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河北承德市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷
一、单选题
1．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．某人对一个密码锁进行密码尝试，最多尝试4次，一旦输入正确就停止尝试，记尝试次数为X，则事件表示的试验结果是（ ）
A．第4次尝试正确 B．第4次尝试错误 C．前3次尝试均错误 D．前3次尝试均正确
3．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数的图象与直线相切于点，则实数（ ）
A． B．2 C． D．3
6．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．48 D．288
8．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（ ）
A．五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种
B．安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法
C．五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法
D．A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法
11．下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
三、填空题
12．已知，则______．
13．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成__________个四位数.（数字作答）
14．已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________．
四、解答题
15．设函数在及时取得极值．
(1)求出的值；
(2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
16．某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名医生参加赈灾医疗队.
(1)若甲、乙必须参加，则有多少种不同的选法？
(2)若甲、乙均不参加，则有多少种不同的选法？
(3)若甲、乙两人至少有一人参加，则有多少种不同的选法？
(4)若医疗队中至少有2名内科医生和1名外科医生，则有多少种不同的选法？
17．已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比为．
(1)求的值；
(2)若展开式的第项是有理项，求的取值集合；
(3)记展开式中所有奇数项的系数之和为，偶数项的系数之和为，求．
18．已知函数．
(1)求的极值；
(2)若在区间上有三个零点，求的取值范围．
19．设函数，为函数的导函数.
(1)求证：；
(2)设函数.
（i）讨论的单调性；
（ii）若时，，求实数的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】对于A，因，而，故A错误；
对于B，因，故B错误；
对于C，因，而，故C正确；
对于D，因，而，故D错误.
2．C
【详解】事件表示尝试次数为4次.根据规则，进行第4次尝试的充要条件是前3次尝试均错误，故事件与‘前3次尝试均错误’等价.
3．C
【详解】不等式可整理为，
设函数，
令，解得：，，解得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，
则实数的取值范围是.
4．C
【详解】，则，
令，即，且，
，故的单调递增区间为．
5．A
【详解】，则，解得，
所以，即切点为，
代入直线整理得，解得.
6．D
【详解】设表示“发送的信号为0”，表示“接收的信号为0”，
则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”.
由题意得，，，，，.
由贝叶斯公式有.
故已知接收的信号为1，则发送的信号为0的概率为.
7．B
【详解】的展开式通项为：，
要得到的展开式中的系数，分两类讨论：
①取1乘的项：令，解得，对应系数为，
②取乘的项：令，解得，对应系数为，
将两类系数求和，得的总系数为.
8．D
【详解】，已知不等式，则，即，
设，求导得，
函数是实数集上的减函数，
又，即，
，故不等式的解集为．
9．ACD
【详解】对于A：，所以．
又由，故A正确；
对于B：，
变形可得，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，则有，
故，故D正确，
故选：ACD
10．ACD
【详解】对于A,将A、B两名同学看作一个整体，与其他三个同学一起全排列，则共有种情况，故A正确，
对于B，安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有种安排方法,故B错误，
对于C,由于A、B、C三人值日的先后顺序固定，只需要将剩下两名同学安排好即可，故共有种方法，故C正确，
对于D,从三个人中选2个人安排在第一天和第二天，则有种方法，假若前两天值日的人为分别为，则6天的安排有共有5种，故总的安排有,故D正确，
故选：ACD
11．BD
【详解】对A：，则，故A错误；
对B：，则，解得，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，则，
则，故D正确.
12．255
【详解】令，可得；
令，可得，
令，可得，
所以.
13．
【详解】从1，2，3，4，5中选一个数字作为千位，
然后从剩下5个数中任选三个排百位，十位，个位，
共有种排法.
14．
【详解】若使得，
则，，
时，，则在上单调递增，
，
又在单调递增，所以，
，解得，
则实数a的取值范围为．
15．(1)
(2)
【详解】（1）对函数求导可得，
因为在和处取得极值，所以是方程的两个根，
由韦达定理：,解得.
将代入导函数得：，
当时，当时，当时，
和处导数值变号，故为极值点，所以.
（2）由，得，,
时，，单调递增；时，，单调递减；
时，，单调递增，，，，
因此在上的最小值为.
任意都满足，等价于最小值大于，
即：，解得：，所以的取值范围是.
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）根据题意，若甲、乙必须参加，
在剩下的7人中再选3人即可，有种选法；
（2）甲乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有种选法；
（3）在 9人中选出5人，有种选法，甲乙均不能参加的选法有种，
则甲乙两人至少有一人参加的选法有种选法；
（4）①队中有2名内科医生和3名外科医生，有种选法；
②队中有3名内科医生和2名外科医生，有种选法；
③队中有4名内科医生和1名外科医生，有种选法，
由分类计数原理，可得种不同的选法.
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）展开式的通项公式为，
由题意得，即，解得.
（2）由（1）得展开式的第项为，
所以由题意得且，解得，
所以的取值集合为.
（3）由（1）得展开式的第项为，
所以，
，
设多项式，其系数，
则，，
令，则，令，则，
所以.
18．(1)极大值为，极小值为；
(2)
【详解】（1）函数的定义域为.
∵ ，
∴ .
令，解得或.
当时，，故，单调递增.
当时，，故，单调递减.
当时，，故，单调递增.
∴ 为的极大值点，极大值为.
为的极小值点，极小值为.
（2）计算在区间端点的函数值：
，
.
∵ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使在上有3个不同的零点，需满足：
解得，即的取值范围为.
19．(1)证明见解析
(2)（i）答案见解析；（ii）.
【详解】（1）函数，则，当且仅当时等号成立，
所以.
（2）（i）函数，则，
由（1）可知，，
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，解得，，
由于，则有，即，
当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（ii）由（i）可知：
①当时，在上单调递增；恒成立；
②当时，在上单调递减，，与题设矛盾，
综上，实数的取值范围是.

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