资源简介

重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高一下学期
6月定时检测数学试题
一、单选题
1．已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，菱形是水平放置的四边形OABC的直观图，其中，则四边形OABC的周长为（ ）
A．3 B．4
C．6 D．8
3．已知平面向量，且，则
A． B． C． D．
4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，的面积，（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个圆锥的体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为测量河对岸CD两点间的距离．在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，为楼底一点且平面BCD，若楼高，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（ ）

A． B． C． D．
8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
9．已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
10．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则点为的垂心
C．在中，向量与满足，且，则为等边三角形
D．若，，分别表示，的面积，则
11．如图，在棱长为1的正方体中，上底面内(含边界)有一动点，下列说法正确的有（ ）

A．若平面平面，则
B．当时，点的轨迹长度为
C．若异面直线CE与AB所成角为，则的取值范围是
D．若是上一动点，则的最小值为
三、填空题
12．已知是虚数单位，则______.
13．已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为______.
14．已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是______.
四、解答题
15．已知向量，满足：，，.
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若，求实数的值.
16．已知中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的周长．
17．如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，，，．
(1)求证：平面；
(2)求证： 平面；
(3)若 ，求直线 BC与平面BDE所成角的余弦值．
18．中，，分别为内角的对边，．
(1)求角的大小；
(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围；
(3)若，，且的面积为，求的长度．
19．在正三棱台中，，为的中点．
(1)求三棱台的体积；
(2)设分别为棱上的点，且均在同一个平面上．
(i)当为的中点时，证明：；
(ii)当最小时，求平面与平面的夹角的正弦值．
参考答案
1．A
2．C
3．B
4．C
5．B
6．C
7．B
8．B
9．ABD
10．AC
11．ABD
12．
13．
14．
15．（1）由题可得，
因为，，代入可得，
，所以与的夹角的余弦值.
（2）因为，所以，
化简可得，
将，，代入可得，解得或.
16．（1）展开已知等式得，
整理得， 由正弦定理得，
代入余弦定理得，
因为，所以.
（2）由正弦定理，代入得，
因此，结合已知得
.
再由余弦定理，代入得，
代入得.
因此的周长为.
17．(1)设正方形对角线的交点为，连接，
由题可知，所以，又因为，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
(2)连接，因为，且，
所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，所以，
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以 平面；
（3）设菱形对角线交点为，连接，由（2）知平面，
所以直线与平面所成的角为，
因为，所以，又，所以为等边三角形，
所以，所以，所以，
所以.
18．（1）解：因为，
由正弦定理得，
即，
因为，可得，
所以，
即，
又因为，可得，所以，即，
又由，所以，
因为，所以，可得.
（2）解：由（1）知：且，
所以的面积为，
又由正弦定理得，
可得，
因为为锐角三角形，可得，且，
所以，可得，可得，
所以，所以，即
所以的面积的取值范围为.
（3）解：因为的面积为，可得，解得，
又因为，所以，
因为，可得.
由正弦定理得，
又因为，可得，则，
因为，可得，
在中，由余弦定理得，
即，所以.
19．（1）取上下底面的中心，连接，
因为，则，
所以三棱台的高，
又，
所以
（2）(i)略
(ii)设，则，
由(i)知，所以，
又，所以，整理得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以当，即为中点时，最小，
此时，且，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，为等边三角形，
在正三棱台中，，所以，
所以，
取的中点，连接，则，
又平面平面，
所以平面与平面的夹角为或其补角，
在中，，
所以，
在等边三角形中，，
在中，，
所以平面与平面的夹角的正弦值为.

展开更多......

收起↑