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北师大版数学八年级下册 6.1平行四边形的性质 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C=160°，则∠A=（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，即 ∠A=∠C。
已知 ∠A+∠C=160 ，代入 ∠A=∠C，得： 2∠A=160 ，
解得： ∠A=80。。
故答案为：C。
【分析】平行四边形的定义和性质中，最关键的一条就是，对角相等。 在平行四边形 ABCD 中： ∠A=∠C，既然 ∠A=∠C，那我们就可以把式子中的 ∠C 替换成 ∠A，得到： ∠A+∠A=160 ，建立方程求解 ∠A 的度数。
2．在平行四边形ABCD中， 若∠D=75°， 则∠A的度数为（　　)
A．75° B．105° C．115° D．15°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∴∠A+∠D=180°
∵∠D=75°
∴∠A=180°-75°=105°
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质：相邻两角互补.解题关键是判断出∠A与∠D的位置关系，根据已知∠D的度数，根据平行四边形性质即可求解.
3．如图，在中，F是AD上的一点，CF＝CD，若∠B＝72°，则∠DFC的度数是（　　）
A．78° B．108° C．102° D．72°
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=72°，
∵CF=CD，
∴∠DFC=∠D=72°，
故选：D．
【分析】根据平行四边形的性质得到 根据等腰三角形的性质即可求出
4．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　)
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．1∶2∶1∶2 D．1∶1∶2∶2
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ C正确，
故选： C.
【分析】根据平行四边形的对角相等，容易得出结论.
5．如图，在平行四边形中，，平分交于点，且，则的长为（　　）
A．4 B．3 C． D．2
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，∴∠ECD=∠ECB，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠DEC=∠ECB，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
∵AD=2AB，
∴AD=2CD，
∴AE=DE=AB．
∵，
∴AB=4，
故答案为：A．
【分析】先利用角平分线的定义可得∠ECD=∠ECB，再利用平行线的性质和等量代换可得∠DEC=∠DCE，利用等角对等边的性质可得DE=DC，再结合AD=2AB，求出AE=DE=AB，最后结合，，求出AB=4即可.
6．在平行四边形中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴设，，
∴，
解得．
∴．
∴．
故选：B．
【分析】本题考查平行四边形的角的性质，平行四边形邻角互补、对角相等，先根据邻角和为 结合比例设未知数求，再利用对角相等得的度数。
7．如图，在 ABCD中，AD=3，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，已知EF=1，则 ABCD的周长为　 　.
【答案】16
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由 ABCD知，AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD＝3，
∴∠ABF＝∠CFB，∠EAB＝∠DEA，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF，
∴∠AED＝∠DAE，∠CBF＝∠CFB，
∴AD＝DE，BC＝FC，
∴DE＝CF＝AD＝3，
∴CD＝DE＋CF EF＝3＋3 1＝5，
∴ ABCD的周长为2×（5＋3）＝16．
故答案为：16．
【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明AD＝DE，BC＝FC，再求出CD＝DE＋CF EF＝5，进而计算即可．
8．在平行四边形中，，则　 　°．
【答案】70
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
故答案为：70．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可得到答案．
9．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是　 　。
【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°
∵∠B：∠C=1：2
∴
故答案为：120°.
【分析】根据平行四边形的性质得出AB//CD，推出∠B+∠C=180°，根据∠B：∠C=1：2，求出∠C即可.
二、能力提升
10． 如图，在 ABCD中，点E是其对角线AC上的一点， AC=BC， AB=DE，若∠CDE=34°，则∠CAD的度数是(　　)
A．34° B．35° C．36° D．37°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AB=CD，
∵AC=BC，AB=DE
∴AD=AC，CD=DE
∴∠ACD=∠CED，∠ACD=∠CDA
又∵∠CDE=34°
∴
∴∠CAD=180-∠ACD-∠CDA=34°
故选：A.
【分析】根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质求解即可.
11．如图，在 ABCD中，AC为对角线，E为BC边上一点，连接AE、DE，且AB=AE.若AE平分∠DAB，∠EAC=10°，则∠CAD=（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据等边对等角可得，即可求出∠AED=60° ，然后根据角的和差解答即可．
12．如图，在 ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E.若AD=3，CE=2，则 ABCD的周长是（　　）
A．17 B．16 C．15 D．14
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
的周长．
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线定义得到，然后根据等角对等边得到，然后求出平行四边形的周长即可.
13． 如图，把三个完全相同的平行四边形按如图摆放，其中∠DAB=60°， ∠NMK=30°，若AD=3，点C恰好是边 EH的中点，则 BM的长为　 　.
【答案】6+2
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点Q作QT⊥BM于点T，如图所示：
∴∠QTM=90°
∴△QTM和△QFT都是直角三角形
∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=3
∴BC=AD=3，BC//AD，
∵∠ABC=60°，
∴∠CBE=∠ABC=60°，∠ABC=180°-∠ABC=120°.
∵平行四边形EFGH和平行四边形MNPO和平行四边形ABCD完全相同，
∴EF=AD=MN=3，∠HEF=∠QMN=∠ABC=120°，∠GFE=∠ABC=60°，MQ=EH，
∴∠DEB=180°-∠HEF=180°-120°=60°
在△CBE中，∠CBE=∠DEB=60°
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=CE=3
∵点C恰好是边EH的中点，
∴EH=2CE=6.
∵∠NMK=30°.
∴∠QMT=180°-(∠NMK+∠QMN)=180°-(30°+120°)=30°.
在Rt△QTM中，∠QMT=30°，QM=EH=6
∴，
由勾股定理得：
在Rt△QTE中，∠FAT=90°-∠GFE=90°-60°=30°.
∴QF=2TF
由勾股定理得：，
∴
∴，
∴，
即BM的长为
故答案为：.
【分析】过点Q作QT⊥BM于点T，依题意得∠CBE=∠ABC=60°，∠ABC=120°，EF=AD=MN=3，∠HEF=∠QMN=∠ABC=120°，∠GFE=∠ABC=60°，MQ=EH，由此得∠CBE=∠DEB=60°，则△CBE是等边三角形，进而得BE=BC=CE=3，则EH=2CE=6，求出∠QMT=30°，在Rt△QTM中，可求出，，再求出∠FAT=30°，在Rt△QTE中得QF=2TF，由勾股定理得，继而得，据此即可得出BM的长.
14．如图，点P是 ABCD的边AD上的任意一点，连结BP，CP，若△ABP的面积为1，△BCP的面积为4，则△CDP的面积为　 　.
【答案】3
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，AD||BC，
所以平行线间的距离处处相等，
即△ABP，△BCP和△CDP的高相等，
则，
因为 △ABP的面积为1，△BCP的面积为4 ，
所以S△CDP=S△BCP-S△ABP=4-1=3.
故答案为：3.
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的面积，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD=BC，△ABP，△BCP和△CDP的高相等，结合底边的关系，即可确定△CDP的面积。
15．在 ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠A=　 　°。
【答案】50
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：
【分析】根据平行四边形的性质，可得 又由 即可求得 的度数即可.
16．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，F为AB边上一点，连结CF，交AE于点G，（CF=CB=AE。
（1）若 求CE的长。
（2）求证：BE=CG-AG。
【答案】（1）解：∵CF=CB=AE，BC= ，
∴AE=
∵AE⊥BC于点E，
（2）证明：如图，延长GA到点H，使得AH=BE，连结DH，CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠DAE=90°
∵BC=AE，
∴AE=DA
在△ADH和△EAB中，
∴△ADH≌△EAB(SAS)
∴DH=AB=DC，∠DHA=∠ABE
∴∠DHC=∠DCH
∵CB=CF，
∴∠CBF=∠CFB
∵AB∥CD，
∴∠CFB=∠DCF
∴∠CBF=∠DCF
∵∠DHA=∠ABE，
∴∠DHA=∠DCF
∵∠DHC=∠DCH，
∴∠CHG=∠HCG
∴CG=HG，即CG=AG+AH
∴AH=CG-AG
∵AH=BE，
∴BE=CG-AG
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出BE的长度，进而求出CE；
(2)延长GA到点H，使得AH=BE，连结DH，CH，构造△ADH≌△EAB，利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质来证明等式.
17．如图，在平行四边形中，，，，平分交于点．
（1）求的度数；
（2）求的长度．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
∴
，
，
∵在中，，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）先由平行四边形的邻角互补可得的度数，再利用角平分线的概念即可；
（2）由平行四边形的对边平行可得，再利用角平分线的概念可得，再由等角对等边可得DE＝DA，再由平行四边形的对边相等可得DC＝AB，再利用线段和差关系即可．
（1）解：四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
∴
，
，
∵在中，，
．
三、拓展创新
18．如图，在 ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E.
（1）求证：AB=AE；
（2）若BC=2AE，∠E=34°，求∠DAB的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，BC=AD，
∴∠E=∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFE和△DFC中，
∴△AFE≌△DFC(AAS)，
∴CD=AE，
∴AB=AE
（2）解：由(1)可得AF=DF，BC=AD，
∴BC=2AF
∵BC=2AE，
∴AE=AF，
∵∠E=34°，
∴∠AFE=∠E=34°
∴∠DAB=2∠E=68°
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)首先根据平行四边形的性质，得到对边平行且相等，然后利用平行线的性质得到内错角相等，接着根据点F是AD的中点，得到AF=DF，即可证明△AFE≌△DFC，然后得到CD=AE，即可证明AB=AE；
(2)由（1）得到AF=DF，BC=AD，得到BC=2AE，然后根据等边对等角得到∠AFE=∠E，接着用三角形外角的性质，得到∠DAB的度数.
19．在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且．
（1）如图1，若，求、的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，，
，
，
∴在中：，
∵，
，，
，
在中，，
∵，
，，
，
；
（2）证明：如图，过点作于点，连接，
，，
垂直平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接，
四边形是平行四边形， ，
，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设与的交点为，
点在直线上运动，
当点运动到点处时，有最小值，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
在中，，
，，
即的最小值为．
故答案为：.
【分析】
（1）根据平行四边形的性质，可得，再利用含30度角的直角三角形的性质可得DF=2，CF=2；同理在中含30度角的直角三角形的性质及勾股定理可求解AD，利用线段的和差运算即可得AF的值；
（2）过点作于点，连接，由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，结合平行线的性质即可由AAS证明，得到，，进而得出，再利用HL证明，得到，即可得出结论；
（3）在取点，使得，连接并延长交于，连接，则是等边三角形，结合旋转的性质，可证，得出，进而推出，设与的交点为，点在直线上运动，则当点运动到点处时，有最小值，由（1）可知，，从而得出，再利用勾股定理，求出的长，即为的最小值．
（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作于点，连接，
，，
垂直平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接，
四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设与的交点为，
点在直线上运动，
当点运动到点处时，有最小值，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
在中，，
，，
即的最小值为．
1 / 1北师大版数学八年级下册 6.1平行四边形的性质 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C=160°，则∠A=（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
2．在平行四边形ABCD中， 若∠D=75°， 则∠A的度数为（　　)
A．75° B．105° C．115° D．15°
3．如图，在中，F是AD上的一点，CF＝CD，若∠B＝72°，则∠DFC的度数是（　　）
A．78° B．108° C．102° D．72°
4．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　)
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．1∶2∶1∶2 D．1∶1∶2∶2
5．如图，在平行四边形中，，平分交于点，且，则的长为（　　）
A．4 B．3 C． D．2
6．在平行四边形中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在 ABCD中，AD=3，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，已知EF=1，则 ABCD的周长为　 　.
8．在平行四边形中，，则　 　°．
9．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是　 　。
二、能力提升
10． 如图，在 ABCD中，点E是其对角线AC上的一点， AC=BC， AB=DE，若∠CDE=34°，则∠CAD的度数是(　　)
A．34° B．35° C．36° D．37°
11．如图，在 ABCD中，AC为对角线，E为BC边上一点，连接AE、DE，且AB=AE.若AE平分∠DAB，∠EAC=10°，则∠CAD=（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
12．如图，在 ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E.若AD=3，CE=2，则 ABCD的周长是（　　）
A．17 B．16 C．15 D．14
13． 如图，把三个完全相同的平行四边形按如图摆放，其中∠DAB=60°， ∠NMK=30°，若AD=3，点C恰好是边 EH的中点，则 BM的长为　 　.
14．如图，点P是 ABCD的边AD上的任意一点，连结BP，CP，若△ABP的面积为1，△BCP的面积为4，则△CDP的面积为　 　.
15．在 ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠A=　 　°。
16．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，F为AB边上一点，连结CF，交AE于点G，（CF=CB=AE。
（1）若 求CE的长。
（2）求证：BE=CG-AG。
17．如图，在平行四边形中，，，，平分交于点．
（1）求的度数；
（2）求的长度．
三、拓展创新
18．如图，在 ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E.
（1）求证：AB=AE；
（2）若BC=2AE，∠E=34°，求∠DAB的度数.
19．在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且．
（1）如图1，若，求、的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，即 ∠A=∠C。
已知 ∠A+∠C=160 ，代入 ∠A=∠C，得： 2∠A=160 ，
解得： ∠A=80。。
故答案为：C。
【分析】平行四边形的定义和性质中，最关键的一条就是，对角相等。 在平行四边形 ABCD 中： ∠A=∠C，既然 ∠A=∠C，那我们就可以把式子中的 ∠C 替换成 ∠A，得到： ∠A+∠A=160 ，建立方程求解 ∠A 的度数。
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∴∠A+∠D=180°
∵∠D=75°
∴∠A=180°-75°=105°
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质：相邻两角互补.解题关键是判断出∠A与∠D的位置关系，根据已知∠D的度数，根据平行四边形性质即可求解.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=72°，
∵CF=CD，
∴∠DFC=∠D=72°，
故选：D．
【分析】根据平行四边形的性质得到 根据等腰三角形的性质即可求出
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ C正确，
故选： C.
【分析】根据平行四边形的对角相等，容易得出结论.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，∴∠ECD=∠ECB，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠DEC=∠ECB，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
∵AD=2AB，
∴AD=2CD，
∴AE=DE=AB．
∵，
∴AB=4，
故答案为：A．
【分析】先利用角平分线的定义可得∠ECD=∠ECB，再利用平行线的性质和等量代换可得∠DEC=∠DCE，利用等角对等边的性质可得DE=DC，再结合AD=2AB，求出AE=DE=AB，最后结合，，求出AB=4即可.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴设，，
∴，
解得．
∴．
∴．
故选：B．
【分析】本题考查平行四边形的角的性质，平行四边形邻角互补、对角相等，先根据邻角和为 结合比例设未知数求，再利用对角相等得的度数。
7．【答案】16
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由 ABCD知，AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD＝3，
∴∠ABF＝∠CFB，∠EAB＝∠DEA，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF，
∴∠AED＝∠DAE，∠CBF＝∠CFB，
∴AD＝DE，BC＝FC，
∴DE＝CF＝AD＝3，
∴CD＝DE＋CF EF＝3＋3 1＝5，
∴ ABCD的周长为2×（5＋3）＝16．
故答案为：16．
【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明AD＝DE，BC＝FC，再求出CD＝DE＋CF EF＝5，进而计算即可．
8．【答案】70
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
故答案为：70．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可得到答案．
9．【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°
∵∠B：∠C=1：2
∴
故答案为：120°.
【分析】根据平行四边形的性质得出AB//CD，推出∠B+∠C=180°，根据∠B：∠C=1：2，求出∠C即可.
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AB=CD，
∵AC=BC，AB=DE
∴AD=AC，CD=DE
∴∠ACD=∠CED，∠ACD=∠CDA
又∵∠CDE=34°
∴
∴∠CAD=180-∠ACD-∠CDA=34°
故选：A.
【分析】根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质求解即可.
11．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据等边对等角可得，即可求出∠AED=60° ，然后根据角的和差解答即可．
12．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
的周长．
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线定义得到，然后根据等角对等边得到，然后求出平行四边形的周长即可.
13．【答案】6+2
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点Q作QT⊥BM于点T，如图所示：
∴∠QTM=90°
∴△QTM和△QFT都是直角三角形
∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=3
∴BC=AD=3，BC//AD，
∵∠ABC=60°，
∴∠CBE=∠ABC=60°，∠ABC=180°-∠ABC=120°.
∵平行四边形EFGH和平行四边形MNPO和平行四边形ABCD完全相同，
∴EF=AD=MN=3，∠HEF=∠QMN=∠ABC=120°，∠GFE=∠ABC=60°，MQ=EH，
∴∠DEB=180°-∠HEF=180°-120°=60°
在△CBE中，∠CBE=∠DEB=60°
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=CE=3
∵点C恰好是边EH的中点，
∴EH=2CE=6.
∵∠NMK=30°.
∴∠QMT=180°-(∠NMK+∠QMN)=180°-(30°+120°)=30°.
在Rt△QTM中，∠QMT=30°，QM=EH=6
∴，
由勾股定理得：
在Rt△QTE中，∠FAT=90°-∠GFE=90°-60°=30°.
∴QF=2TF
由勾股定理得：，
∴
∴，
∴，
即BM的长为
故答案为：.
【分析】过点Q作QT⊥BM于点T，依题意得∠CBE=∠ABC=60°，∠ABC=120°，EF=AD=MN=3，∠HEF=∠QMN=∠ABC=120°，∠GFE=∠ABC=60°，MQ=EH，由此得∠CBE=∠DEB=60°，则△CBE是等边三角形，进而得BE=BC=CE=3，则EH=2CE=6，求出∠QMT=30°，在Rt△QTM中，可求出，，再求出∠FAT=30°，在Rt△QTE中得QF=2TF，由勾股定理得，继而得，据此即可得出BM的长.
14．【答案】3
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，AD||BC，
所以平行线间的距离处处相等，
即△ABP，△BCP和△CDP的高相等，
则，
因为 △ABP的面积为1，△BCP的面积为4 ，
所以S△CDP=S△BCP-S△ABP=4-1=3.
故答案为：3.
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的面积，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD=BC，△ABP，△BCP和△CDP的高相等，结合底边的关系，即可确定△CDP的面积。
15．【答案】50
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：
【分析】根据平行四边形的性质，可得 又由 即可求得 的度数即可.
16．【答案】（1）解：∵CF=CB=AE，BC= ，
∴AE=
∵AE⊥BC于点E，
（2）证明：如图，延长GA到点H，使得AH=BE，连结DH，CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠DAE=90°
∵BC=AE，
∴AE=DA
在△ADH和△EAB中，
∴△ADH≌△EAB(SAS)
∴DH=AB=DC，∠DHA=∠ABE
∴∠DHC=∠DCH
∵CB=CF，
∴∠CBF=∠CFB
∵AB∥CD，
∴∠CFB=∠DCF
∴∠CBF=∠DCF
∵∠DHA=∠ABE，
∴∠DHA=∠DCF
∵∠DHC=∠DCH，
∴∠CHG=∠HCG
∴CG=HG，即CG=AG+AH
∴AH=CG-AG
∵AH=BE，
∴BE=CG-AG
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出BE的长度，进而求出CE；
(2)延长GA到点H，使得AH=BE，连结DH，CH，构造△ADH≌△EAB，利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质来证明等式.
17．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
∴
，
，
∵在中，，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）先由平行四边形的邻角互补可得的度数，再利用角平分线的概念即可；
（2）由平行四边形的对边平行可得，再利用角平分线的概念可得，再由等角对等边可得DE＝DA，再由平行四边形的对边相等可得DC＝AB，再利用线段和差关系即可．
（1）解：四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
∴
，
，
∵在中，，
．
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，BC=AD，
∴∠E=∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFE和△DFC中，
∴△AFE≌△DFC(AAS)，
∴CD=AE，
∴AB=AE
（2）解：由(1)可得AF=DF，BC=AD，
∴BC=2AF
∵BC=2AE，
∴AE=AF，
∵∠E=34°，
∴∠AFE=∠E=34°
∴∠DAB=2∠E=68°
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)首先根据平行四边形的性质，得到对边平行且相等，然后利用平行线的性质得到内错角相等，接着根据点F是AD的中点，得到AF=DF，即可证明△AFE≌△DFC，然后得到CD=AE，即可证明AB=AE；
(2)由（1）得到AF=DF，BC=AD，得到BC=2AE，然后根据等边对等角得到∠AFE=∠E，接着用三角形外角的性质，得到∠DAB的度数.
19．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，，
，
，
∴在中：，
∵，
，，
，
在中，，
∵，
，，
，
；
（2）证明：如图，过点作于点，连接，
，，
垂直平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接，
四边形是平行四边形， ，
，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设与的交点为，
点在直线上运动，
当点运动到点处时，有最小值，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
在中，，
，，
即的最小值为．
故答案为：.
【分析】
（1）根据平行四边形的性质，可得，再利用含30度角的直角三角形的性质可得DF=2，CF=2；同理在中含30度角的直角三角形的性质及勾股定理可求解AD，利用线段的和差运算即可得AF的值；
（2）过点作于点，连接，由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，结合平行线的性质即可由AAS证明，得到，，进而得出，再利用HL证明，得到，即可得出结论；
（3）在取点，使得，连接并延长交于，连接，则是等边三角形，结合旋转的性质，可证，得出，进而推出，设与的交点为，点在直线上运动，则当点运动到点处时，有最小值，由（1）可知，，从而得出，再利用勾股定理，求出的长，即为的最小值．
（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作于点，连接，
，，
垂直平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接，
四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设与的交点为，
点在直线上运动，
当点运动到点处时，有最小值，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
在中，，
，，
即的最小值为．
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