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北师大版数学八年级下册 6.1平行四边形的性质 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列说法错误的是(　　)
A．AB=CD B．AO=OC C．AC=BD D．∠DAB=∠BCD
2．如图，已知的对角线和相交于点O．若，，则的长可能是（ ）
A．2 B．8 C．10 D．14
3．如图，在平行四边形中，下列结论不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ）
A．22 B．20 C．16 D．10
5．如图，在中，的平分线交的延长线于点，若，，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，在中，于点，于点，若，则为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．135°
7．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，两条对角线的和为18，AD的长为8，则△OBC的周长为　 　.
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，若S ABCD =12，则S阴影　 　．
9．如图，在中，，的平分线交于，交的延长线于点，则　 　．
二、能力提升
10．如图，在等腰梯形中，，、相交于点O，则图中全等三角形共（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点.若AE=4，DE=3，AB=5，则AC的长为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在 ABCD中， AC⊥AB， BE平分∠ABC分别交AC， AD于点F， E，若CF=2AF=4，则 DE的长为(　　)
A． B．3 C． D．
13．如图，□ABCD的面积为12，点 E是边AD上的一点，则图中阴影部分的面积为　 　.
14．如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10，BD=6，则AD的长为　 　.
15．如图，在□ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线分别与AB，DC交于点E，F，若△AOD的面积为3，则四边形BCFE的面积等于　 　。
16．如图，大坝横截面的迎水坡AD的坡比(DE：AE)为4：3，背水坡 BC的坡比(CF：BF)为1：2，大坝高 DE=40m，坝顶宽 CD=30m.
（1）求AD的长.
（2）求大坝横截面的面积.
17． 如图①， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F.
（1）求证：OE=OF；
（2）如图②，已知AD=1，BD=2，AC=2 ，∠DOF=∠α.
①当∠α为多少度时，EF⊥AC？
②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长.
三、拓展创新
18．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若，连接OE；
①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
19．已知：如图，在梯形中，，，求的度数及的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，故A，B，D选项正确，C选项不一定正确．
故答案为：C .
【分析】根据平行四边形的性质逐一判断即可．
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】根据平行四边形性质可得OA，OB，再根据三角形三边关系即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，
由平行四边形的性质可知：对边相等，即 AD = BC；
对角线互相平分，即 OA = OC；
邻角互补，由 ADC 得 BAD + ABC = 180。
而对角线互相垂直是菱形的性质，一般平行四边形不一定满足，
因此 AC BD 不一定成立。
故选： A。
【分析】本题主要考查平行四边形的性质：对边平行且相等、邻角互补、对角线互相平分。根据这些性质逐一判断各选项，其中对角线垂直不是平行四边形的必然性质，从而找出不一定正确的结论。
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∵△OCD的周长为16，
∴OD+OC=16 6=10，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=20，
故选B．
【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形周长的计算. 解题关键在于先由平行四边形对边相等得CD=AB，再结合的周长求出OD+OC，最后利用对角线平分的性质，得到BD+AC=2(OD+OC).
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵的平分线交的延长线于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】
由解平分线的概念得，由平行四边形的对边平行得，则等量代换由等角对等边得，再借助平行四边形的对边相等即可．
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠AEC+∠AFC+∠C+∠EAF=360°，且∠EAF=55°，
∴∠C=360°-90°-90°-55°=125°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=55°．
故答案为：B．
【分析】先利用四边形的内角和求出∠C=360°-90°-90°-55°=125°，再利用平行四边形的性质可得∠B+∠C=180°，最后求出∠B的度数即可.
7．【答案】17
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
OD，BC=AD=8，
又∵两条对角线的和为18，
的周长为9+8=17.
故答案为：17.
【分析】根据平行四边形的性质得到OB+OC=9，BC=AD=8，然后根据三角形的周长解答即可.
8．【答案】3
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】四边形ABCD是平行四边形
∴AO＝CO，BO＝OD；AB∥CD
∴∠AEO＝∠CFO
∠AOE＝∠COF
∴△AEO≌△CFO(AAS)
S阴影=S△EOB+S△CFO＝S△ABO=S平行四边形ABCD
S平行四边形ABCD＝12，
S阴影＝×12=3
故答案为3
【分析】
利用中心对称性将分散的阴影部分面积转化为一个规则的三角形的面积即可求解.
9．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4 ．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，再利用角平分线的定义及等量代换可得，再利用等角对等边的性质可得，再利用线段的和差求出AE的长，从而可得AB的长.
10．【答案】C
【知识点】等腰梯形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，
四边形是等腰梯形，，
，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
图中全等三角形共3对.
故答案为：C.
【分析】由等腰梯形的性质可得，，，通过SAS可判定、，得到对应角相等，再通过ASA判定，因此可得图中全等三角形共3对.
11．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
平行四边形中，，
垂直平分，
，，，
，，
，，
，
是直角三角形，是等腰直角三角形，
．
故答案为：B．
【分析】连接，根据平行四边形的性质得到EO垂直平分AC，即可得到AE=EC，然后根据勾股定理的逆定理得到是是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出AC长即可．
12．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过F作BC于H，
BE平分
的面积 的面积 H，
令AB=x，则BC=2x，
由勾股定理得到：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵BE平分
故选： C.
【分析】过F作于H，根据角平分线的性质得到FH=FA，根据三角形的面积公式可得 令AB=x，在Rt△ABC中根据勾股定理求出 即可得到 然后根据平行线的性质和角平分线的定义推理得到 分局等角对等边得到 再根据线段的和差解答即可.
13．【答案】3
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AB=CD，AD=CB，AO=OC
∴△EBC和△ABC的BC上的高相等，
∴△EBC和△ABC的面积相等，
∵AC=CA，AB=CD，AD=CB
∴△ABC≌△CDA(SSS)，
∴△ABC的面积= ABCD面积的一半.
∵AO=OC，
∴△OBC的面积=△ABC面积的一半.
∴图中阴影部分的面积=△EBC的面积-△OBC的面积=6-3-3.
故答案为：3.
【分析】由平行四边形的性质推出AD//BC，AB=CD，AD=CB，AO=OC，由三角形的面积公式得到△EBC和△ABC的面积相等，判定△ABC≌△CDA(SSS)，得到△ABC的面积=△BCD面积的一半=6，由三角形的面积公式得到△OBC的面积=△ABC面积的一半=3，即可得到图中阴影部分的面积.
14．【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴在中，．
故答案为：4．
【分析】根据平行四边形的性质可知，，然后根据勾股定理求出的长解答．
15．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
的面积 的面积=3，
的面积为6，
∴平行四边形ABCD 的面积为12.
∵平行四边形是中心对称图形，
∴ 四边形BCFE 的面积 平行四边形ABCD的面积=6.
故答案为：6.
【分析】根据平行四边形的性质得到OD=OB即可得到△AOB、△AOD的面积相等，然后求出平行四边形ABCD的面积，再根据对称性解答即可.
16．【答案】（1）解：坡比 DE：AE=4：3，DE=40m
（2）解：坡比 CF：BF=1：2，CF=40m
BF=2×40=80m
AB=AE+EF+FB=30+30+80=140m
梯形面积
【知识点】梯形；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）先根据坡比的定义求出长，再根据勾股定理解答即可；
（2）先根据坡比的定义求出长，再由梯形面积公式解答即可．
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD，AB∥CD.
∴∠EBO=∠FDO.
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA）.
∴OE=OF.
（2）解：①∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD=BD=1，OA=AC=.
又∵AD=1，
∴AD2+OD2=OA2.
∴∠ADO=90°，∠AOD=45°.
∵EF⊥AC， ∠AOF=90°.
∴∠α=∠AOF-∠AOD=90°-45°=45°.
②∵OA=OC，EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC.
∴AF=FC.
∵在Rt△ABD中，AB=，∴CD=AB=.
∴△ADF的周长=AD+DF+FA=AD+CD=1+.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质
【解析】【分析】(1)要证明OE=OF，可利用平行四边形对角线互相平分，及对边平行的性质及全等三角形的判定，即可得出结论。
(2)①通过分析直角三角形及角度关系，确定α的值；②在EF⊥AC的条件下，利用对称性及线段长度求解周长。
本题综合运用平行四边形性质、全等三角形判定、勾股定理及几何对称性。关键在于通过角度分析确定EF⊥AC时的α值，并利用垂直平分线性质简化周长计算。
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB AC＝4×4＝16；……(4分)
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，再由角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAD＝60°，根据等边三角形的判定即可得出结论；
（2） ① 根据已知条件求得AE＝CE，再利用等边三角形的性质求得∠BAC＝90°，最后根据平行四边ABCD的面积＝2S△ABC，利用三角形的面积公式代入数据计算即可求解；
② 由平行四边形的性质得到S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，再由等边三角形的性质得到BE＝AB＝mBC，设BC边上的高为h，BC的长为b，利用三角形的面积公式求得并结合＝k， 得到2﹣m＝k，从而求解.
19．【答案】解：解法一：分别作，，、是垂足，
，，
，
四边形是矩形．
，
，
≌．
，
，，
，
在中，
，
，
，
，
，
由勾股定理，
得，
，．
解法二：过点作交于点，
，
四边形是平行四边形．
，，
，，
，
即，，
是直角三角形，是等边三角形，
，，
，．
在中，
，
，．
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【分析】过点作交于点，先证出是直角三角形，是等边三角形，再求出，，最后求出即可.
1 / 1北师大版数学八年级下册 6.1平行四边形的性质 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列说法错误的是(　　)
A．AB=CD B．AO=OC C．AC=BD D．∠DAB=∠BCD
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，故A，B，D选项正确，C选项不一定正确．
故答案为：C .
【分析】根据平行四边形的性质逐一判断即可．
2．如图，已知的对角线和相交于点O．若，，则的长可能是（ ）
A．2 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】根据平行四边形性质可得OA，OB，再根据三角形三边关系即可求出答案.
3．如图，在平行四边形中，下列结论不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，
由平行四边形的性质可知：对边相等，即 AD = BC；
对角线互相平分，即 OA = OC；
邻角互补，由 ADC 得 BAD + ABC = 180。
而对角线互相垂直是菱形的性质，一般平行四边形不一定满足，
因此 AC BD 不一定成立。
故选： A。
【分析】本题主要考查平行四边形的性质：对边平行且相等、邻角互补、对角线互相平分。根据这些性质逐一判断各选项，其中对角线垂直不是平行四边形的必然性质，从而找出不一定正确的结论。
4．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ）
A．22 B．20 C．16 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∵△OCD的周长为16，
∴OD+OC=16 6=10，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=20，
故选B．
【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形周长的计算. 解题关键在于先由平行四边形对边相等得CD=AB，再结合的周长求出OD+OC，最后利用对角线平分的性质，得到BD+AC=2(OD+OC).
5．如图，在中，的平分线交的延长线于点，若，，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵的平分线交的延长线于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】
由解平分线的概念得，由平行四边形的对边平行得，则等量代换由等角对等边得，再借助平行四边形的对边相等即可．
6．如图，在中，于点，于点，若，则为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．135°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠AEC+∠AFC+∠C+∠EAF=360°，且∠EAF=55°，
∴∠C=360°-90°-90°-55°=125°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=55°．
故答案为：B．
【分析】先利用四边形的内角和求出∠C=360°-90°-90°-55°=125°，再利用平行四边形的性质可得∠B+∠C=180°，最后求出∠B的度数即可.
7．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，两条对角线的和为18，AD的长为8，则△OBC的周长为　 　.
【答案】17
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
OD，BC=AD=8，
又∵两条对角线的和为18，
的周长为9+8=17.
故答案为：17.
【分析】根据平行四边形的性质得到OB+OC=9，BC=AD=8，然后根据三角形的周长解答即可.
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，若S ABCD =12，则S阴影　 　．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】四边形ABCD是平行四边形
∴AO＝CO，BO＝OD；AB∥CD
∴∠AEO＝∠CFO
∠AOE＝∠COF
∴△AEO≌△CFO(AAS)
S阴影=S△EOB+S△CFO＝S△ABO=S平行四边形ABCD
S平行四边形ABCD＝12，
S阴影＝×12=3
故答案为3
【分析】
利用中心对称性将分散的阴影部分面积转化为一个规则的三角形的面积即可求解.
9．如图，在中，，的平分线交于，交的延长线于点，则　 　．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4 ．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，再利用角平分线的定义及等量代换可得，再利用等角对等边的性质可得，再利用线段的和差求出AE的长，从而可得AB的长.
二、能力提升
10．如图，在等腰梯形中，，、相交于点O，则图中全等三角形共（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】等腰梯形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，
四边形是等腰梯形，，
，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
图中全等三角形共3对.
故答案为：C.
【分析】由等腰梯形的性质可得，，，通过SAS可判定、，得到对应角相等，再通过ASA判定，因此可得图中全等三角形共3对.
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点.若AE=4，DE=3，AB=5，则AC的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
平行四边形中，，
垂直平分，
，，，
，，
，，
，
是直角三角形，是等腰直角三角形，
．
故答案为：B．
【分析】连接，根据平行四边形的性质得到EO垂直平分AC，即可得到AE=EC，然后根据勾股定理的逆定理得到是是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出AC长即可．
12．如图，在 ABCD中， AC⊥AB， BE平分∠ABC分别交AC， AD于点F， E，若CF=2AF=4，则 DE的长为(　　)
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过F作BC于H，
BE平分
的面积 的面积 H，
令AB=x，则BC=2x，
由勾股定理得到：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵BE平分
故选： C.
【分析】过F作于H，根据角平分线的性质得到FH=FA，根据三角形的面积公式可得 令AB=x，在Rt△ABC中根据勾股定理求出 即可得到 然后根据平行线的性质和角平分线的定义推理得到 分局等角对等边得到 再根据线段的和差解答即可.
13．如图，□ABCD的面积为12，点 E是边AD上的一点，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】3
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AB=CD，AD=CB，AO=OC
∴△EBC和△ABC的BC上的高相等，
∴△EBC和△ABC的面积相等，
∵AC=CA，AB=CD，AD=CB
∴△ABC≌△CDA(SSS)，
∴△ABC的面积= ABCD面积的一半.
∵AO=OC，
∴△OBC的面积=△ABC面积的一半.
∴图中阴影部分的面积=△EBC的面积-△OBC的面积=6-3-3.
故答案为：3.
【分析】由平行四边形的性质推出AD//BC，AB=CD，AD=CB，AO=OC，由三角形的面积公式得到△EBC和△ABC的面积相等，判定△ABC≌△CDA(SSS)，得到△ABC的面积=△BCD面积的一半=6，由三角形的面积公式得到△OBC的面积=△ABC面积的一半=3，即可得到图中阴影部分的面积.
14．如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10，BD=6，则AD的长为　 　.
【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴在中，．
故答案为：4．
【分析】根据平行四边形的性质可知，，然后根据勾股定理求出的长解答．
15．如图，在□ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线分别与AB，DC交于点E，F，若△AOD的面积为3，则四边形BCFE的面积等于　 　。
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
的面积 的面积=3，
的面积为6，
∴平行四边形ABCD 的面积为12.
∵平行四边形是中心对称图形，
∴ 四边形BCFE 的面积 平行四边形ABCD的面积=6.
故答案为：6.
【分析】根据平行四边形的性质得到OD=OB即可得到△AOB、△AOD的面积相等，然后求出平行四边形ABCD的面积，再根据对称性解答即可.
16．如图，大坝横截面的迎水坡AD的坡比(DE：AE)为4：3，背水坡 BC的坡比(CF：BF)为1：2，大坝高 DE=40m，坝顶宽 CD=30m.
（1）求AD的长.
（2）求大坝横截面的面积.
【答案】（1）解：坡比 DE：AE=4：3，DE=40m
（2）解：坡比 CF：BF=1：2，CF=40m
BF=2×40=80m
AB=AE+EF+FB=30+30+80=140m
梯形面积
【知识点】梯形；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）先根据坡比的定义求出长，再根据勾股定理解答即可；
（2）先根据坡比的定义求出长，再由梯形面积公式解答即可．
17． 如图①， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F.
（1）求证：OE=OF；
（2）如图②，已知AD=1，BD=2，AC=2 ，∠DOF=∠α.
①当∠α为多少度时，EF⊥AC？
②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD，AB∥CD.
∴∠EBO=∠FDO.
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA）.
∴OE=OF.
（2）解：①∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD=BD=1，OA=AC=.
又∵AD=1，
∴AD2+OD2=OA2.
∴∠ADO=90°，∠AOD=45°.
∵EF⊥AC， ∠AOF=90°.
∴∠α=∠AOF-∠AOD=90°-45°=45°.
②∵OA=OC，EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC.
∴AF=FC.
∵在Rt△ABD中，AB=，∴CD=AB=.
∴△ADF的周长=AD+DF+FA=AD+CD=1+.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质
【解析】【分析】(1)要证明OE=OF，可利用平行四边形对角线互相平分，及对边平行的性质及全等三角形的判定，即可得出结论。
(2)①通过分析直角三角形及角度关系，确定α的值；②在EF⊥AC的条件下，利用对称性及线段长度求解周长。
本题综合运用平行四边形性质、全等三角形判定、勾股定理及几何对称性。关键在于通过角度分析确定EF⊥AC时的α值，并利用垂直平分线性质简化周长计算。
三、拓展创新
18．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若，连接OE；
①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB AC＝4×4＝16；……(4分)
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，再由角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAD＝60°，根据等边三角形的判定即可得出结论；
（2） ① 根据已知条件求得AE＝CE，再利用等边三角形的性质求得∠BAC＝90°，最后根据平行四边ABCD的面积＝2S△ABC，利用三角形的面积公式代入数据计算即可求解；
② 由平行四边形的性质得到S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，再由等边三角形的性质得到BE＝AB＝mBC，设BC边上的高为h，BC的长为b，利用三角形的面积公式求得并结合＝k， 得到2﹣m＝k，从而求解.
19．已知：如图，在梯形中，，，求的度数及的长．
【答案】解：解法一：分别作，，、是垂足，
，，
，
四边形是矩形．
，
，
≌．
，
，，
，
在中，
，
，
，
，
，
由勾股定理，
得，
，．
解法二：过点作交于点，
，
四边形是平行四边形．
，，
，，
，
即，，
是直角三角形，是等边三角形，
，，
，．
在中，
，
，．
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【分析】过点作交于点，先证出是直角三角形，是等边三角形，再求出，，最后求出即可.
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