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北师大版数学八年级下册 6.2平行四边形的判定 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1． 四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A． B．，
C．， D．，
2．如图，在锐角三角形ABC中，AC>AB>CB，AD是BC边上的中线，以点D为圆心，DA长为半径在BC的右侧作弧，延长AD交此弧于点E，连结BE，CE.四边形ABEC是平行四边形的依据是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
3．下列命题中正确的是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF。其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　)。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，在菱形中，M，N是对角线上不重合的两个点，且．当改变点M，N位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是（　　）
A．总是矩形 B．总是菱形
C．中不可能存在 D．中可能存在
6．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等
D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO＝DO，请你添加一个条件使四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是　 　．
8．如图，点E，F分别放在 的边BC，AD上，AC，EF相交于点O，请你添加一个条件(只添一个即可)，使四边形 AECF是平行四边形，你所添加的条件是　 　.
9．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，有下列条件：①OA=OC；②AD//BC；③∠BAC=∠ACD；④AB=CD，从中选择两个条件：　 　（填序号），使得四边形ABCD是平行四边形。
二、能力提升
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．如图，在四边形中，对角线交于点．（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12． 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，在对角线 BD 上取两点 E，F，连结 AE，CE，AF，CF.有下列条件：①BE=DF；②∠BAE=∠DCF；③AE⊥BD，CF⊥BD；④AE=CF；
⑤AE∥CF.其中能得到四边形 AECF 是平行四边形的有 (　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．如图，在□ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD交BC于点E，交BD于点F，且AB=AE，若AB=4，BD=8，则sin∠CBD的值为　 　.
14．如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交上一条弧于点，作射线；以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，则四边形的周长为　 　．
15．在四边形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有　 　组.
16．如图，在中，BE平分 于点H，交BC于点G，交DC的延长线于点 F.
（1）写出与 相等的一个角，即 　 　
（2） 若AB=3，AD=5，求CF的长.
17． 如图，在 中，，延长 AO 到点 C，使得 . 过点 C 作 交 BO 的延长线于点 D，连接 AD，BC.
（1） 求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
（2） 已知 ，，求四边形 ABCD 的面积.
三、拓展创新
18．矩形在平面直角坐标系的位置如图所示，F为上一点，将沿折叠，使点B恰好落在与y轴的交点E处．连接，若的长满足．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使以E，F，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，交于点，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：对于选项C：
∵，，，
∴．
∴．
同理可得．
∴四边形为平行四边形．
选项A、B、D均不符合平行四边形的判定条件．
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断解答即可.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
由作图知AD=DE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴四边形ABEC是平行四边形的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故答案为：D.
【分析】由作图过程可知，BE=AC，CE=AB， 结合平行四边形的判定可得答案.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误，不符合题意；
B：有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误，不符合题意；
C：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意；
D：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以，
故答案为：B.
【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐一判断即可.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接交于O，
由菱形 的性质可知：对角线互相平分且垂直，即 ，，且 。
已知 ，结合 ，可得 ，即 。
∵ 且 ，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定四边形 是平行四边形。
又∵，即平行四边形 的对角线互相垂直，故它是菱形，∴。
当菱形 的对角线 时，该菱形即为正方形，此时 。
故答案为：B。
【分析】本题以菱形为载体，考查特殊四边形的判定与性质；解题的核心思路是从菱形的性质出发，通过对角线关系，先判定四边形 为平行四边形，再利用对角线垂直的条件证明其为菱形，最后根据对角线相等的特殊情况，得出其为正方形并确定角度。
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：、平行四边形对边平行，原选项说法正确，不符合题意；
、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，原选项说法正确，不符合题意；
、平行四边形对角相等，原选项说法正确，不符合题意；
、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原选项说法错误，符合题意；
故选：．
【分析】
根据平行四边形的判定与性质逐项判断即可.
7．【答案】AD∥BC(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加条件： AD∥BC，
证明： ∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，
∵∠AOD=∠COB， DO=BO，
∴△DAO≌△BCO(AAS)，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为： AD∥BC(答案不唯一).
【分析】根据平行四边形的判定方法作答即可.
8．【答案】AF=CE(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∵AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形
故答案为：AF=CE.
【分析】
利用平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可得到答案.
9．【答案】②③（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：②③，
证明：
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；
①②，
证明：
在△ADO和△CBO中，
∴ △ADO≌△CBO(AAS)，
∴AD=BC，
∴ 四边形ABCD 是平行四边形；
①③，
证明：在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴AB=CD，
∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；
③④，
证明：∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴ 四边形ABCD 是平行四边形.
故答案为：②③或①②或①③或③④.
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可.
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO，
∴EO=FO，
∵AE=CF，
∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
②由DE＝BF无法证明四边形DEBF是平行四边形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CDF，
∴∠AED=∠CFB，
∴∠DEO=∠BFO，
∴DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
④同理可证当∠ABE＝∠CDF时，四边形DEBF是平行四边形；
∴只有①③④可以，
故选B．
【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以.
11．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
A、若时，平行四边形是菱形，
不能判定，故不符合题意；
B、若时，平行四边形是菱形，
∴，故符合题意；
C、若时，平行四边形是矩形，
不能证明，故不符合题意；
D、若时，平行四边形是矩形，
不能证明，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】由“对角线互相平分的四边形”是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得出四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的对角线互相平分且每一条对角线平分一组对角可判断A、B选项；根据“对角线相等的平行四边形是矩形”得出四边形ABCD是矩形，进而根据矩形只是对边相等，对角线互相平分可判断C、D选项.
12．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，
由条件可知AB∥CD， AB=CD， AO=CO， DO= BO，
∴∠ABE=∠CDF，
①由条件可得OE=OF， OA=OC， 即可判定四边形AECF是平行四边形；
②添加∠BAE=∠DCF， 结合∠ABE=∠CDF， AB=CD， 可证得△ABE≌△CDF(ASA)， ∴BE=DF， 可得OE=OF， OA=OC， 可以证明四边形AECF是平行四边形；
③由条件可证得AE∥CF，根据∠AEB=∠CFD=90°， ∠ABE=∠CDF， AB=CD， 证明△ABE≌△CDF(AAS)， 可得AE=CF， 可以证明四边形AECF是平行四边形；
④无法判定△ABE≌△CDF，则无法判定四边形AECF是平行四边形；
⑤由条件可得∠AEB=∠CFD， 结合∠ABE=∠CDF， AB=CD， 则△ABE≌△CDF(AAS)，继而可得AE =CF，可以证明四边形AECF是平行四边形；
∴能得到四边形AECF是平行四边形的个数是4个.
故选： C.
【分析】利用平行四边形的判定及全等三角形的性质求解.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点D作DG∥AE交BC的延长线于点G，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴ADGE是平行四边形，
∴DG=AE，
又∵AB=AE=4，
∴DG=4，
∵AD∥BC， AE⊥BD，
∴DG⊥BD，
∴∠BDG=90°，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点D作DG∥AE交BC的延长线于点G，即可得到ADGE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质的推理得到DG=4，∠BDG=90°，然后根据勾股定理求出BG长，利用正弦定义解答即可.
14．【答案】20
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵
∴
由作图得，
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形，
∴菱形的周长为.
故答案为：20.
【分析】由等边对等角可得，由作图得则可推出由你持续相等，两直线平行推出从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形是菱形，最后根据菱形性质即可求解.
15．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的判断定理可作出判断.
16．【答案】（1）∠CBE(答案不唯一)
（2）解：∵BE平分∠ABC.
∴∠ABE=∠EBC.
∵四边形 ABCD是平行四边形.
∴AD∥BC，AB∥DC， BC=AD=5.
∴∠EBC=∠AEB，∠EAG=∠AGB.
∵∠ABE=∠AEB.
∴AB=AE.
∵AH⊥BE.
∴AH平分∠BAD，
∴∠BAG=∠EAG.
∴∠BAG=∠AGB，
∴AB=BG=3.
∴CG=BC-BG=5-3=2.
∵AB∥DC，
∴∠BAG=∠F.
又∵∠AGB=∠FGC.
∴∠CGF=∠F，
∴CF=CG=2
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠AEB=∠CBE
故答案为：∠CBE(答案不唯一)
【分析】（1）根据平行四边形性质可得AD∥BC，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得∠ABE=∠EBC，根据平行四边形性质可得AD∥BC，AB∥DC， BC=AD=5，则∠EBC=∠AEB，∠EAG=∠AGB，根据等角对等边可得AB=AE，根据角平分线判定定理可得AH平分∠BAD，则∠BAG=∠EAG，根据等角对等边可得AB=BG=3，根据边之间的关系可得CG，根据直线平行性质可得∠BAG=∠F，则∠CGF=∠F，再根据等角对等边即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：
四边形 ABCD 是平行四边形；
（2）解：∵，
∴
在 中，
∵，，
∴ 由勾股定理可得
∴ 四边形 ABCD 面积为：
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定以及勾股定理的应用.
（1）要证四边形ABCD是平行四边形，需证明一组对边平行且相等.已知CD∥AB，只需再证CD=AB，
由CD∥AB得∠DCO=∠BAO，已知CO=AO，且∠DOC=∠BOA（对顶角相等），所以△DCO △BAO（ASA），因此CD=AB，结合CD∥AB，可得四边形ABCD是平行四边形；
（2）结合平行四边形面积=底×高与已知条件∠OAB=90°，以AB为底、AC为高，因为OA=OC=3，BC=10结合勾股定理可求AB=8，即可求出面积.
18．【答案】（1）解：由得：AE-4=0且AB-8=0
∴AE=4，AB=8
∴A（-4，8），B（-4，0）
（2）解：设AE为x，根据勾股定理有：
解得：x=3
设ED为y，根据勾股定理有：
解得：y=6
∴D（6，8）
（3）∵点E到点F：（0-4，8-3）=F（-4，5）
∴P1=（6-4，0-3）=（2，-3）
∵点F到点E：（-4+4，5+3）=E（0，8）
∴P2=（6+4，0+3）=（10，3）
∵点C到点E：（6-6，0+8）=E（0，8）
∴P3=（-4-6，5+8）=（-10，13）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】本题主要考查直角坐标系的应用、勾股定理及动点问题，熟练掌握相关知识和解题技巧是解题关键。（1）利用算术平方根和平方数的非负性质，确定AE和AB的数值；
（2）建立未知边长的方程，运用勾股定理求解边长，进而确定坐标位置；
（3）分类讨论三种情形：以CF为对角线；以CE为对角线；以EF为对角线。
19．【答案】（1）证明：∵分别为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
在平行四边形中，，，
在中，，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（）利用三角形中位线的性质求出，，再求出，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可；
（）根据题意先求出，，再利用勾股定理求出AC的值，最后计算求解即可.
1 / 1北师大版数学八年级下册 6.2平行四边形的判定 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1． 四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A． B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：对于选项C：
∵，，，
∴．
∴．
同理可得．
∴四边形为平行四边形．
选项A、B、D均不符合平行四边形的判定条件．
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断解答即可.
2．如图，在锐角三角形ABC中，AC>AB>CB，AD是BC边上的中线，以点D为圆心，DA长为半径在BC的右侧作弧，延长AD交此弧于点E，连结BE，CE.四边形ABEC是平行四边形的依据是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
由作图知AD=DE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴四边形ABEC是平行四边形的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故答案为：D.
【分析】由作图过程可知，BE=AC，CE=AB， 结合平行四边形的判定可得答案.
3．下列命题中正确的是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误，不符合题意；
B：有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误，不符合题意；
C：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意；
D：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF。其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　)。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以，
故答案为：B.
【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐一判断即可.
5．如图，在菱形中，M，N是对角线上不重合的两个点，且．当改变点M，N位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是（　　）
A．总是矩形 B．总是菱形
C．中不可能存在 D．中可能存在
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接交于O，
由菱形 的性质可知：对角线互相平分且垂直，即 ，，且 。
已知 ，结合 ，可得 ，即 。
∵ 且 ，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定四边形 是平行四边形。
又∵，即平行四边形 的对角线互相垂直，故它是菱形，∴。
当菱形 的对角线 时，该菱形即为正方形，此时 。
故答案为：B。
【分析】本题以菱形为载体，考查特殊四边形的判定与性质；解题的核心思路是从菱形的性质出发，通过对角线关系，先判定四边形 为平行四边形，再利用对角线垂直的条件证明其为菱形，最后根据对角线相等的特殊情况，得出其为正方形并确定角度。
6．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等
D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：、平行四边形对边平行，原选项说法正确，不符合题意；
、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，原选项说法正确，不符合题意；
、平行四边形对角相等，原选项说法正确，不符合题意；
、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原选项说法错误，符合题意；
故选：．
【分析】
根据平行四边形的判定与性质逐项判断即可.
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO＝DO，请你添加一个条件使四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是　 　．
【答案】AD∥BC(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加条件： AD∥BC，
证明： ∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，
∵∠AOD=∠COB， DO=BO，
∴△DAO≌△BCO(AAS)，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为： AD∥BC(答案不唯一).
【分析】根据平行四边形的判定方法作答即可.
8．如图，点E，F分别放在 的边BC，AD上，AC，EF相交于点O，请你添加一个条件(只添一个即可)，使四边形 AECF是平行四边形，你所添加的条件是　 　.
【答案】AF=CE(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∵AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形
故答案为：AF=CE.
【分析】
利用平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可得到答案.
9．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，有下列条件：①OA=OC；②AD//BC；③∠BAC=∠ACD；④AB=CD，从中选择两个条件：　 　（填序号），使得四边形ABCD是平行四边形。
【答案】②③（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：②③，
证明：
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；
①②，
证明：
在△ADO和△CBO中，
∴ △ADO≌△CBO(AAS)，
∴AD=BC，
∴ 四边形ABCD 是平行四边形；
①③，
证明：在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴AB=CD，
∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形；
③④，
证明：∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴ 四边形ABCD 是平行四边形.
故答案为：②③或①②或①③或③④.
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可.
二、能力提升
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO，
∴EO=FO，
∵AE=CF，
∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
②由DE＝BF无法证明四边形DEBF是平行四边形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CDF，
∴∠AED=∠CFB，
∴∠DEO=∠BFO，
∴DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
④同理可证当∠ABE＝∠CDF时，四边形DEBF是平行四边形；
∴只有①③④可以，
故选B．
【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以.
11．如图，在四边形中，对角线交于点．（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
A、若时，平行四边形是菱形，
不能判定，故不符合题意；
B、若时，平行四边形是菱形，
∴，故符合题意；
C、若时，平行四边形是矩形，
不能证明，故不符合题意；
D、若时，平行四边形是矩形，
不能证明，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】由“对角线互相平分的四边形”是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得出四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的对角线互相平分且每一条对角线平分一组对角可判断A、B选项；根据“对角线相等的平行四边形是矩形”得出四边形ABCD是矩形，进而根据矩形只是对边相等，对角线互相平分可判断C、D选项.
12． 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，在对角线 BD 上取两点 E，F，连结 AE，CE，AF，CF.有下列条件：①BE=DF；②∠BAE=∠DCF；③AE⊥BD，CF⊥BD；④AE=CF；
⑤AE∥CF.其中能得到四边形 AECF 是平行四边形的有 (　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，
由条件可知AB∥CD， AB=CD， AO=CO， DO= BO，
∴∠ABE=∠CDF，
①由条件可得OE=OF， OA=OC， 即可判定四边形AECF是平行四边形；
②添加∠BAE=∠DCF， 结合∠ABE=∠CDF， AB=CD， 可证得△ABE≌△CDF(ASA)， ∴BE=DF， 可得OE=OF， OA=OC， 可以证明四边形AECF是平行四边形；
③由条件可证得AE∥CF，根据∠AEB=∠CFD=90°， ∠ABE=∠CDF， AB=CD， 证明△ABE≌△CDF(AAS)， 可得AE=CF， 可以证明四边形AECF是平行四边形；
④无法判定△ABE≌△CDF，则无法判定四边形AECF是平行四边形；
⑤由条件可得∠AEB=∠CFD， 结合∠ABE=∠CDF， AB=CD， 则△ABE≌△CDF(AAS)，继而可得AE =CF，可以证明四边形AECF是平行四边形；
∴能得到四边形AECF是平行四边形的个数是4个.
故选： C.
【分析】利用平行四边形的判定及全等三角形的性质求解.
13．如图，在□ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD交BC于点E，交BD于点F，且AB=AE，若AB=4，BD=8，则sin∠CBD的值为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点D作DG∥AE交BC的延长线于点G，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴ADGE是平行四边形，
∴DG=AE，
又∵AB=AE=4，
∴DG=4，
∵AD∥BC， AE⊥BD，
∴DG⊥BD，
∴∠BDG=90°，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点D作DG∥AE交BC的延长线于点G，即可得到ADGE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质的推理得到DG=4，∠BDG=90°，然后根据勾股定理求出BG长，利用正弦定义解答即可.
14．如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交上一条弧于点，作射线；以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，则四边形的周长为　 　．
【答案】20
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵
∴
由作图得，
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形，
∴菱形的周长为.
故答案为：20.
【分析】由等边对等角可得，由作图得则可推出由你持续相等，两直线平行推出从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形是菱形，最后根据菱形性质即可求解.
15．在四边形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有　 　组.
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的判断定理可作出判断.
16．如图，在中，BE平分 于点H，交BC于点G，交DC的延长线于点 F.
（1）写出与 相等的一个角，即 　 　
（2） 若AB=3，AD=5，求CF的长.
【答案】（1）∠CBE(答案不唯一)
（2）解：∵BE平分∠ABC.
∴∠ABE=∠EBC.
∵四边形 ABCD是平行四边形.
∴AD∥BC，AB∥DC， BC=AD=5.
∴∠EBC=∠AEB，∠EAG=∠AGB.
∵∠ABE=∠AEB.
∴AB=AE.
∵AH⊥BE.
∴AH平分∠BAD，
∴∠BAG=∠EAG.
∴∠BAG=∠AGB，
∴AB=BG=3.
∴CG=BC-BG=5-3=2.
∵AB∥DC，
∴∠BAG=∠F.
又∵∠AGB=∠FGC.
∴∠CGF=∠F，
∴CF=CG=2
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠AEB=∠CBE
故答案为：∠CBE(答案不唯一)
【分析】（1）根据平行四边形性质可得AD∥BC，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得∠ABE=∠EBC，根据平行四边形性质可得AD∥BC，AB∥DC， BC=AD=5，则∠EBC=∠AEB，∠EAG=∠AGB，根据等角对等边可得AB=AE，根据角平分线判定定理可得AH平分∠BAD，则∠BAG=∠EAG，根据等角对等边可得AB=BG=3，根据边之间的关系可得CG，根据直线平行性质可得∠BAG=∠F，则∠CGF=∠F，再根据等角对等边即可求出答案.
17． 如图，在 中，，延长 AO 到点 C，使得 . 过点 C 作 交 BO 的延长线于点 D，连接 AD，BC.
（1） 求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
（2） 已知 ，，求四边形 ABCD 的面积.
【答案】（1）证明：
四边形 ABCD 是平行四边形；
（2）解：∵，
∴
在 中，
∵，，
∴ 由勾股定理可得
∴ 四边形 ABCD 面积为：
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定以及勾股定理的应用.
（1）要证四边形ABCD是平行四边形，需证明一组对边平行且相等.已知CD∥AB，只需再证CD=AB，
由CD∥AB得∠DCO=∠BAO，已知CO=AO，且∠DOC=∠BOA（对顶角相等），所以△DCO △BAO（ASA），因此CD=AB，结合CD∥AB，可得四边形ABCD是平行四边形；
（2）结合平行四边形面积=底×高与已知条件∠OAB=90°，以AB为底、AC为高，因为OA=OC=3，BC=10结合勾股定理可求AB=8，即可求出面积.
三、拓展创新
18．矩形在平面直角坐标系的位置如图所示，F为上一点，将沿折叠，使点B恰好落在与y轴的交点E处．连接，若的长满足．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使以E，F，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由得：AE-4=0且AB-8=0
∴AE=4，AB=8
∴A（-4，8），B（-4，0）
（2）解：设AE为x，根据勾股定理有：
解得：x=3
设ED为y，根据勾股定理有：
解得：y=6
∴D（6，8）
（3）∵点E到点F：（0-4，8-3）=F（-4，5）
∴P1=（6-4，0-3）=（2，-3）
∵点F到点E：（-4+4，5+3）=E（0，8）
∴P2=（6+4，0+3）=（10，3）
∵点C到点E：（6-6，0+8）=E（0，8）
∴P3=（-4-6，5+8）=（-10，13）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】本题主要考查直角坐标系的应用、勾股定理及动点问题，熟练掌握相关知识和解题技巧是解题关键。（1）利用算术平方根和平方数的非负性质，确定AE和AB的数值；
（2）建立未知边长的方程，运用勾股定理求解边长，进而确定坐标位置；
（3）分类讨论三种情形：以CF为对角线；以CE为对角线；以EF为对角线。
19．在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，交于点，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵分别为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
在平行四边形中，，，
在中，，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（）利用三角形中位线的性质求出，，再求出，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可；
（）根据题意先求出，，再利用勾股定理求出AC的值，最后计算求解即可.
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