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北师大版数学八年级下册 6.2平行四边形的判定 第三课时 同步分层练习
一、夯实基础
1． 如图，在△ABC中， ∠BAC：∠ABC：∠ACB=5：4：3，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，BC的长为半径画弧；②以点C为圆心，AB的长为半径画弧；③两弧相交于点 D，连接AD，CD，则∠ACD的大小为 (　　)
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
设，，，
，
，
解得，
，
由作图步骤可知：，，
∴ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
．
故答案为：C .
【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据作图得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质解答即可．
2．如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是 （　　）
A．AE＝CF B．AF＝CE
C．AE//CF D．∠BAE＝∠DCF
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
A：当AE=CF时，四边形AECF不一定是平行四边形，不符合题意；
B：当AF=CE时，四边形AECF是平行四边形，符合题意；
C：当AE∥CF时，四边形AECF是平行四边形，符合题意；
D：当∠BAE=∠DCF时，四边形AECF是平行四边形，符合题意；
故答案为：A
【分析】根据平行四边形判定定理及性质逐项进行判断即可求出答案.
3． 如图，直线a∥b，点 A，C，E，G在直线a 上，点 B，D，F，H 在直线b 上，则直线a，b之间的距离是 (　　)
A．线段AB 的长度 B．线段CD的长度
C．线段EF 的长度 D．线段GH 的长度
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：由直线a∥b，CD⊥b，得线段CD的长度即为直线a，b之间的距离.
故选：B.
【分析】根据平行线之间的距离的定义作答.
4．如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（　　）
A．与一定相等 B．与一定不相等
C．与一定相等 D．与一定不相等
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在的平分线上，
∴，
由平行线间间距相等可知，
∴，
由于和的长度未知，故二者不一定相等，
故选：A，
【分析】过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，根据角平分线性质可得，再根据平行线性质即可求出答案.
5．如图，AD∥BC，BD与AC相交于点E，设△ABE的面积为S1，△CDE的面积为S2，则下列结论正确的是（　　）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．2S1＝S2
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD∥BC
∴△ADC，△ADB为同底等高的三角形
∴S△ADC=S△ADB ∴S△ADC-S△ADE= S△ABE =S△ADB-S△ADE=S△CDE
即S1=S2
故答案为：A.
【分析】利用同底等高三角形面积相等来推导S1，S2的关系
6．如图，，，，以下三角形和三角形面积相等的有（　　）
①三角形；②三角形；③三角形；④三角形；⑤三角形．
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，∴与面积相等，
∴与面积相等，
∴与面积相等的三角形为：、、，
故选：C．
【分析】根据，，，由平行线之间距离相等，可得相应三角形之间同底等高．
7． 如图，已知直线l1∥l2，点 A，D，F在直线l1上，点 B，C，E，G在直线l2上，AB∥CD，DE，FG 都垂直于l2，垂足分别为 E，G，则AB 　 　CD，DE　 　FG.(填“>”“<”或“=”)
【答案】=；=
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵ 直线l1∥l2， AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
又 AB∥CD，DE，FG 都垂直于l2，垂足分别为 E，G，
∴DE=FG，
故答案为：=；=.
【分析】根据l1∥l2， AB∥CD知四边形ABCD是平行四边形，从而得AB=CD；根据平行线间距离处处相等知CD=FG.
8．如图，在四边形中，，过点的直线交与点，交的延长线与点，若，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
故答案为： ．
【分析】本题根据“同位角相等、两直线平行”可以得出，然后根据平行四边形的判定方法即可得出四边形ABCD是平行四边形，最后根据“平行四边形对应角相等”即可得出答案。
9． 如图，在中，，连接，过点A作交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，若，则　 　．
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形ABDE是平行四边形，
AB=DE，
CE=2AB，
，
，
，
，
CE=2CF=4，
，
故答案为：2.
【分析】先证明四边形ABDE是平行四边形，得到AB=DE，CE=2AB，再利用直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半求得CE的值，从而求解.
二、能力提升
10． 如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵DE=BF，
∴DE-EF=BF-EF，
即DF=BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，
∴Rt△DCF Rt△BAE(HL)，
∴CF=EA，故①正确；
∵AE⊥BD于点E， CF⊥BD于点F，
∴AE∥FC，
∵CF=AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴OE=OF，故②正确；
∵Rt△DCF Rt△BAE，
∴∠CDF=∠ABE，
∴CD∥AB，
∵CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确；
其中正确结论的个数是3个，
故选： D.
【分析】根据平行四边形的性质，根据HL得到Rt△DCF Rt△BAE，即可得到CF=EA判断①；然后根据垂直得到AE∥FC，即可得到CFAE是平行四边形，即可得到OE=OF，判断②；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到ABCD是平行四边形判断③解答即可.
11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，点C的对应点F在BC的延长线上，连结AD，AC和DE交于点O。下列结论中，一定正确的是(　　)。
A．∠B=∠F B．AC⊥DE
C．BC=DF D．AC，DE互相平分
【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；平移的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF， 使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，
∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC， DF=AC，
当∠BAC=90°时， AC⊥DE；
当BC= AC时， ∠B=∠ACB =∠F， 故选项A、B不符合题意；
当BC =AC时，BC= DF，故选项C不符合题意；
连接AE、CD， 如图所示：
∵AD∥BC， AD=CF，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴ AC、DE互相平分，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由平移的性质、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可.
12．如图，在 ABCD中，要在对角线BD上找点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，正确的方案是（　　)。
甲：只需要满足BE=DF；
乙：只需要满足AE=CF；
丙：只需要满足AE∥CF。
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是
C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
甲：在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形 AECF 为平行四边形，故甲正确；
乙：由 AE= CF，不能证明△ABE≌△CDF，不能判定四边形 AECF 为平行四边形，故乙不正确；
丙：∵AE∥CF，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠AEB=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
∴四边形 AECF 为平行四边形，故丙正确.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质，利用SAS得到△ABE≌△CDF，然后推导AE=CF，AE∥CF，判断甲；根据乙的条件不能判断四边形是平行四边形；根据AAS得到△ABE≌△CDF，即可得到AE=CF，根据一组对边平行且相等判定四边形的形状判断丙解答即可.
13．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角∠1=72°，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是　 　.
【答案】72°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图，
∴BC//AD，AB//DC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴∠2=∠1=72°
故答案为：72°.
【分析】首先可证得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可求得.
14．如图，已知四边形ABCD的面积为8 cm，∠DCA＝∠BAC，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是　 　 cm .
【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵ ∠DCA＝∠BAC，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵E 是AB 的中点，
故答案为：2.
【分析】由已知条件可证明四边形ABCD是平行四边形；由平行四边形的性质可知 和 的面积是平行四边形面积的一半；又因为E是AB的中点，所以 的面积是 的一半，问题即可得解.
15．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连接BE，过点D作DF∥BE，交BC于点F，点G，H分别是BE，DF的中点，连接EH，GF.若BC＝8，AB＝6，∠BCD＝120°.延长FG交AB于点P，连接AG，记△APG的面积为S1，△BPG的面积为S2，若FP⊥AB，则＝　 　.
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长FG交DA的延长线于点N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，
∵GE＝GB，∠NEG＝∠FBG，∠NGE＝∠FGB，
∴△EGN≌△BGF（SAS），
∴NE＝BF，
∵AB＝CD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝180°-∠BCD＝60°，
∵FP⊥AB，
∴∠FPB＝∠APN＝90°，
∴∠BFP＝90°-60°＝30°，
∴BF＝2BP，
∵DE＝BF，BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴DE＝BF＝NE，
∵ND∥BC，
∴∠ANP＝∠BFN＝30°，
∴AP＝AN，
设BP＝a，则BF＝DE＝NE＝2a，AE＝8-2a，
AN＝NE+DE-AD＝2a+2a-8＝4a-8，
∴AP＝AN＝2a-4，
∵AP+BP＝AB＝6，
∴2a-4+a＝6，
解得：a＝，
∴BP＝，AP＝2×-4＝，
∵△APG与△BPG同高，
∴
故答案为：.
【分析】延长FG交DA的延长线于点N，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，由平行线的性质可得∠NEG＝∠FBG，利用SAS证明△EGN≌△BGF，得到NE＝BF，根据平行四边形的邻角互补可得∠ABC＝60°，则∠BFP＝30°，BF＝2BP，易得四边形BEDF为平行四边形，则DE＝BF＝NE，由平行线的性质可得∠ANP＝∠BFN＝30°，则AP＝AN，设BP=a，则BF=DE＝NE＝2a，AE＝8-2a，AN＝NE+DE-AD＝4a-8，AP＝AN＝2a-4，根据AP+BP＝AB＝6可求出a的值，得到BP、AP，然后根据同高的三角形面积之比等于对应底边的比进行求解.
16．如图， E， F是 ABCD的对角线AC上的两点，且BF=DE.
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形.
（2）若AF⊥BD， AF=4， CF=5， BE=6，求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：法1：如图，连接AC，交 BD 于点O
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC， OB=OD
∵BF=DE，
∴OF=OE ，
∴ 四边形AFCE是平行四边形：
法2：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC， AD∥BC
∴∠ADE=∠CBF，
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（SAS)，
∴AE=CF， ∠AED=∠CFB，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵四边形AFCE是平行四边形， CF=4，
∴AE=4，
∵AF⊥BD， AF=4
∵BE=6，
∴BF=3， BD=9，
∴四边形ABCD的面积=9×4=36
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)本题要证明四边形AFCE是平行四边形，核心是利用平行四边形的判定定理：
法1：连接对角线交点O，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合BF=D推出OF=OD，再由对角线互相平分判定四边形AFCD是平行四边形：
法2：先证△AED≌△CFB(SAS)，得到AE=CF且AE‖CF，再根据”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形“完成证明；
(2)本题求平行四边形ABCD的面积，核心思路是先求对角线BD的长度，再用对角线相关的面积公式计算：利用AF⊥BD、AF=4、CF=5，结合勾股定理求出EF的长度；再根据BE=6，结合第一问中BF=D的关系，求出BD的总长；最后利用用BD×AF计算总面积。
17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，CE=AF，CH=AG
（1）求证四边形EGFH是平行四边形；
（2）若EH=CH， EG=EC， ∠FHG=30°， 求 的度数.
【答案】（1）证明：∵ABCD 是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ECH=∠FAG
∵CE=AF， CH=AG
∴△ECH≌△FAG（SAS)
∴EH=FG，∠CHE=∠AGF
∴∠EHG=∠FGH
∴EH∥FG
∴四边形EGFH 是平行四边形
（2）解：由（1） 可知四边形EFGH是平行四边形， EG∥FH
∴∠EGH=∠FHG=30°
∵EG=EC
∴∠CGE=∠ECG=30°
∵EH=CH
∴∠HEC=∠ECH=30°
∴∠GEH=180°-∠GHE-∠CGE=180°-60°-30°=90°
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先通过证明△ECH≌△FAG，可得出EH=FG，∠CHE=∠AGF ，进而∠EHG=∠FGH，得出EH∥FG ，然后根据平行四边形的判定，即可得出结论；
（2）由（1） 可知四边形EFGH是平行四边形， EG∥FH，可得出∠EGH=∠FHG=30°，再根据等腰三角形的性质，可得出∠CGE=∠ECG=30°，∠HEC=∠ECH=30°，进而可得出∠GEH=180°-∠GHE-∠CGE=180°-60°-30°=90°。
三、拓展创新
18．如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，线段与轴的夹角为，过点作轴的平行线交轴于点．点为轴正半轴上一点，点为直线上点右侧一动点，连接．设线段的长度为，线段的长度为．
（1）若，．
①求点的坐标；
②如图2，过点作于点，求的值．
（2）如图3，连接交于点．记，，，的面积分别为，，，且满足．
①判断四边形的形状并说明理由；
②若此时四边形的面积为，，且，求，的值．
【答案】（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得：，
∴的值为，的值为
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的实际应用；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可得，在中，用勾股定理求得OE的值，然后根据点A所在的象限即可求解；
②先根据平行线间的距离可得点到的距离等于点到的距离，然后用三角形的面积公式可求解；
（2）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可将AE用含a的代数式表示出来，在Rt△AOE中，用勾股定理将OE用含a的代数式表示出来，设，根据三角形的面积公式可得，，，从而可得，，，然后根据的边上的高与的边上的高之和等于列等式，化简整理可得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可求解；
②根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可得，用完全平方公式求出和的值，从而可得和的值，然后解二元一次方程组即可求解．
（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得，
所以的值为，的值为．
19．如图，在四边形中，，，为上一点，，，作交于点，取上一点，以，为邻边向上作，交于点，
（1）求证：．
（2）记面积为，四边形面积为，
①求与的关系式．
②连结，若为直角三角形时，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴；
（2）解：①延长交于点M，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，为等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴
，
∴．
②根据勾股定理得：
，
∵，
∴，
，
根据勾股定理得：
，
，
当时，，
∴，
解得：或（舍去），
，
∴；
当时，，
∴，
解得：，
，
∴；
当时，，
∴，
解得：，
此时，不符合题意舍去；
综上分析可知：或3．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，从而进行线段的运算得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）①延长交于点M，根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，，，再根据等腰直角三角形的性质得到，，，，从而结合平行四边形的面积求出BM，进而得到MH和MG，再根据化简即可求解；
②先根据勾股定理表示出，进而得到，，再根据勾股定即可得到，从而分类讨论：当时，当时，当时，根据勾股定理即可求解。
1 / 1北师大版数学八年级下册 6.2平行四边形的判定 第三课时 同步分层练习
一、夯实基础
1． 如图，在△ABC中， ∠BAC：∠ABC：∠ACB=5：4：3，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，BC的长为半径画弧；②以点C为圆心，AB的长为半径画弧；③两弧相交于点 D，连接AD，CD，则∠ACD的大小为 (　　)
A．45° B．60° C．75° D．90°
2．如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是 （　　）
A．AE＝CF B．AF＝CE
C．AE//CF D．∠BAE＝∠DCF
3． 如图，直线a∥b，点 A，C，E，G在直线a 上，点 B，D，F，H 在直线b 上，则直线a，b之间的距离是 (　　)
A．线段AB 的长度 B．线段CD的长度
C．线段EF 的长度 D．线段GH 的长度
4．如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（　　）
A．与一定相等 B．与一定不相等
C．与一定相等 D．与一定不相等
5．如图，AD∥BC，BD与AC相交于点E，设△ABE的面积为S1，△CDE的面积为S2，则下列结论正确的是（　　）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．2S1＝S2
6．如图，，，，以下三角形和三角形面积相等的有（　　）
①三角形；②三角形；③三角形；④三角形；⑤三角形．
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
7． 如图，已知直线l1∥l2，点 A，D，F在直线l1上，点 B，C，E，G在直线l2上，AB∥CD，DE，FG 都垂直于l2，垂足分别为 E，G，则AB 　 　CD，DE　 　FG.(填“>”“<”或“=”)
8．如图，在四边形中，，过点的直线交与点，交的延长线与点，若，则　 　．
9． 如图，在中，，连接，过点A作交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，若，则　 　．
二、能力提升
10． 如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，点C的对应点F在BC的延长线上，连结AD，AC和DE交于点O。下列结论中，一定正确的是(　　)。
A．∠B=∠F B．AC⊥DE
C．BC=DF D．AC，DE互相平分
12．如图，在 ABCD中，要在对角线BD上找点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，正确的方案是（　　)。
甲：只需要满足BE=DF；
乙：只需要满足AE=CF；
丙：只需要满足AE∥CF。
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是
C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是
13．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角∠1=72°，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是　 　.
14．如图，已知四边形ABCD的面积为8 cm，∠DCA＝∠BAC，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是　 　 cm .
15．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连接BE，过点D作DF∥BE，交BC于点F，点G，H分别是BE，DF的中点，连接EH，GF.若BC＝8，AB＝6，∠BCD＝120°.延长FG交AB于点P，连接AG，记△APG的面积为S1，△BPG的面积为S2，若FP⊥AB，则＝　 　.
16．如图， E， F是 ABCD的对角线AC上的两点，且BF=DE.
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形.
（2）若AF⊥BD， AF=4， CF=5， BE=6，求四边形ABCD的面积.
17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，CE=AF，CH=AG
（1）求证四边形EGFH是平行四边形；
（2）若EH=CH， EG=EC， ∠FHG=30°， 求 的度数.
三、拓展创新
18．如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，线段与轴的夹角为，过点作轴的平行线交轴于点．点为轴正半轴上一点，点为直线上点右侧一动点，连接．设线段的长度为，线段的长度为．
（1）若，．
①求点的坐标；
②如图2，过点作于点，求的值．
（2）如图3，连接交于点．记，，，的面积分别为，，，且满足．
①判断四边形的形状并说明理由；
②若此时四边形的面积为，，且，求，的值．
19．如图，在四边形中，，，为上一点，，，作交于点，取上一点，以，为邻边向上作，交于点，
（1）求证：．
（2）记面积为，四边形面积为，
①求与的关系式．
②连结，若为直角三角形时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
设，，，
，
，
解得，
，
由作图步骤可知：，，
∴ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
．
故答案为：C .
【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据作图得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质解答即可．
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
A：当AE=CF时，四边形AECF不一定是平行四边形，不符合题意；
B：当AF=CE时，四边形AECF是平行四边形，符合题意；
C：当AE∥CF时，四边形AECF是平行四边形，符合题意；
D：当∠BAE=∠DCF时，四边形AECF是平行四边形，符合题意；
故答案为：A
【分析】根据平行四边形判定定理及性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：由直线a∥b，CD⊥b，得线段CD的长度即为直线a，b之间的距离.
故选：B.
【分析】根据平行线之间的距离的定义作答.
4．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在的平分线上，
∴，
由平行线间间距相等可知，
∴，
由于和的长度未知，故二者不一定相等，
故选：A，
【分析】过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，根据角平分线性质可得，再根据平行线性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD∥BC
∴△ADC，△ADB为同底等高的三角形
∴S△ADC=S△ADB ∴S△ADC-S△ADE= S△ABE =S△ADB-S△ADE=S△CDE
即S1=S2
故答案为：A.
【分析】利用同底等高三角形面积相等来推导S1，S2的关系
6．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，∴与面积相等，
∴与面积相等，
∴与面积相等的三角形为：、、，
故选：C．
【分析】根据，，，由平行线之间距离相等，可得相应三角形之间同底等高．
7．【答案】=；=
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵ 直线l1∥l2， AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
又 AB∥CD，DE，FG 都垂直于l2，垂足分别为 E，G，
∴DE=FG，
故答案为：=；=.
【分析】根据l1∥l2， AB∥CD知四边形ABCD是平行四边形，从而得AB=CD；根据平行线间距离处处相等知CD=FG.
8．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
故答案为： ．
【分析】本题根据“同位角相等、两直线平行”可以得出，然后根据平行四边形的判定方法即可得出四边形ABCD是平行四边形，最后根据“平行四边形对应角相等”即可得出答案。
9．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形ABDE是平行四边形，
AB=DE，
CE=2AB，
，
，
，
，
CE=2CF=4，
，
故答案为：2.
【分析】先证明四边形ABDE是平行四边形，得到AB=DE，CE=2AB，再利用直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半求得CE的值，从而求解.
10．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵DE=BF，
∴DE-EF=BF-EF，
即DF=BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，
∴Rt△DCF Rt△BAE(HL)，
∴CF=EA，故①正确；
∵AE⊥BD于点E， CF⊥BD于点F，
∴AE∥FC，
∵CF=AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴OE=OF，故②正确；
∵Rt△DCF Rt△BAE，
∴∠CDF=∠ABE，
∴CD∥AB，
∵CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确；
其中正确结论的个数是3个，
故选： D.
【分析】根据平行四边形的性质，根据HL得到Rt△DCF Rt△BAE，即可得到CF=EA判断①；然后根据垂直得到AE∥FC，即可得到CFAE是平行四边形，即可得到OE=OF，判断②；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到ABCD是平行四边形判断③解答即可.
11．【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；平移的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF， 使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，
∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC， DF=AC，
当∠BAC=90°时， AC⊥DE；
当BC= AC时， ∠B=∠ACB =∠F， 故选项A、B不符合题意；
当BC =AC时，BC= DF，故选项C不符合题意；
连接AE、CD， 如图所示：
∵AD∥BC， AD=CF，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴ AC、DE互相平分，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由平移的性质、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可.
12．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
甲：在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形 AECF 为平行四边形，故甲正确；
乙：由 AE= CF，不能证明△ABE≌△CDF，不能判定四边形 AECF 为平行四边形，故乙不正确；
丙：∵AE∥CF，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠AEB=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
∴四边形 AECF 为平行四边形，故丙正确.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质，利用SAS得到△ABE≌△CDF，然后推导AE=CF，AE∥CF，判断甲；根据乙的条件不能判断四边形是平行四边形；根据AAS得到△ABE≌△CDF，即可得到AE=CF，根据一组对边平行且相等判定四边形的形状判断丙解答即可.
13．【答案】72°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图，
∴BC//AD，AB//DC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴∠2=∠1=72°
故答案为：72°.
【分析】首先可证得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可求得.
14．【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵ ∠DCA＝∠BAC，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵E 是AB 的中点，
故答案为：2.
【分析】由已知条件可证明四边形ABCD是平行四边形；由平行四边形的性质可知 和 的面积是平行四边形面积的一半；又因为E是AB的中点，所以 的面积是 的一半，问题即可得解.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长FG交DA的延长线于点N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，
∵GE＝GB，∠NEG＝∠FBG，∠NGE＝∠FGB，
∴△EGN≌△BGF（SAS），
∴NE＝BF，
∵AB＝CD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝180°-∠BCD＝60°，
∵FP⊥AB，
∴∠FPB＝∠APN＝90°，
∴∠BFP＝90°-60°＝30°，
∴BF＝2BP，
∵DE＝BF，BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴DE＝BF＝NE，
∵ND∥BC，
∴∠ANP＝∠BFN＝30°，
∴AP＝AN，
设BP＝a，则BF＝DE＝NE＝2a，AE＝8-2a，
AN＝NE+DE-AD＝2a+2a-8＝4a-8，
∴AP＝AN＝2a-4，
∵AP+BP＝AB＝6，
∴2a-4+a＝6，
解得：a＝，
∴BP＝，AP＝2×-4＝，
∵△APG与△BPG同高，
∴
故答案为：.
【分析】延长FG交DA的延长线于点N，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，由平行线的性质可得∠NEG＝∠FBG，利用SAS证明△EGN≌△BGF，得到NE＝BF，根据平行四边形的邻角互补可得∠ABC＝60°，则∠BFP＝30°，BF＝2BP，易得四边形BEDF为平行四边形，则DE＝BF＝NE，由平行线的性质可得∠ANP＝∠BFN＝30°，则AP＝AN，设BP=a，则BF=DE＝NE＝2a，AE＝8-2a，AN＝NE+DE-AD＝4a-8，AP＝AN＝2a-4，根据AP+BP＝AB＝6可求出a的值，得到BP、AP，然后根据同高的三角形面积之比等于对应底边的比进行求解.
16．【答案】（1）证明：法1：如图，连接AC，交 BD 于点O
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC， OB=OD
∵BF=DE，
∴OF=OE ，
∴ 四边形AFCE是平行四边形：
法2：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC， AD∥BC
∴∠ADE=∠CBF，
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（SAS)，
∴AE=CF， ∠AED=∠CFB，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵四边形AFCE是平行四边形， CF=4，
∴AE=4，
∵AF⊥BD， AF=4
∵BE=6，
∴BF=3， BD=9，
∴四边形ABCD的面积=9×4=36
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)本题要证明四边形AFCE是平行四边形，核心是利用平行四边形的判定定理：
法1：连接对角线交点O，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合BF=D推出OF=OD，再由对角线互相平分判定四边形AFCD是平行四边形：
法2：先证△AED≌△CFB(SAS)，得到AE=CF且AE‖CF，再根据”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形“完成证明；
(2)本题求平行四边形ABCD的面积，核心思路是先求对角线BD的长度，再用对角线相关的面积公式计算：利用AF⊥BD、AF=4、CF=5，结合勾股定理求出EF的长度；再根据BE=6，结合第一问中BF=D的关系，求出BD的总长；最后利用用BD×AF计算总面积。
17．【答案】（1）证明：∵ABCD 是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ECH=∠FAG
∵CE=AF， CH=AG
∴△ECH≌△FAG（SAS)
∴EH=FG，∠CHE=∠AGF
∴∠EHG=∠FGH
∴EH∥FG
∴四边形EGFH 是平行四边形
（2）解：由（1） 可知四边形EFGH是平行四边形， EG∥FH
∴∠EGH=∠FHG=30°
∵EG=EC
∴∠CGE=∠ECG=30°
∵EH=CH
∴∠HEC=∠ECH=30°
∴∠GEH=180°-∠GHE-∠CGE=180°-60°-30°=90°
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先通过证明△ECH≌△FAG，可得出EH=FG，∠CHE=∠AGF ，进而∠EHG=∠FGH，得出EH∥FG ，然后根据平行四边形的判定，即可得出结论；
（2）由（1） 可知四边形EFGH是平行四边形， EG∥FH，可得出∠EGH=∠FHG=30°，再根据等腰三角形的性质，可得出∠CGE=∠ECG=30°，∠HEC=∠ECH=30°，进而可得出∠GEH=180°-∠GHE-∠CGE=180°-60°-30°=90°。
18．【答案】（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得：，
∴的值为，的值为
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的实际应用；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可得，在中，用勾股定理求得OE的值，然后根据点A所在的象限即可求解；
②先根据平行线间的距离可得点到的距离等于点到的距离，然后用三角形的面积公式可求解；
（2）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可将AE用含a的代数式表示出来，在Rt△AOE中，用勾股定理将OE用含a的代数式表示出来，设，根据三角形的面积公式可得，，，从而可得，，，然后根据的边上的高与的边上的高之和等于列等式，化简整理可得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可求解；
②根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可得，用完全平方公式求出和的值，从而可得和的值，然后解二元一次方程组即可求解．
（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得，
所以的值为，的值为．
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴；
（2）解：①延长交于点M，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，为等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴
，
∴．
②根据勾股定理得：
，
∵，
∴，
，
根据勾股定理得：
，
，
当时，，
∴，
解得：或（舍去），
，
∴；
当时，，
∴，
解得：，
，
∴；
当时，，
∴，
解得：，
此时，不符合题意舍去；
综上分析可知：或3．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，从而进行线段的运算得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）①延长交于点M，根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，，，再根据等腰直角三角形的性质得到，，，，从而结合平行四边形的面积求出BM，进而得到MH和MG，再根据化简即可求解；
②先根据勾股定理表示出，进而得到，，再根据勾股定即可得到，从而分类讨论：当时，当时，当时，根据勾股定理即可求解。
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