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北师大版数学八年级下册 6.3三角形的中位线 同步分层练习
一、夯实基础
1．如图，在中，，，分别为，的中点，若，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点C、点D且CD=12米.则A，B间的距离是（　　）
A．24米 B．26米 C．28米 D．30米
3．如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
4．如图，已知矩形中，分别是上的点，、分别是、的中点，当在上从向移动而不动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不改变 D．线段的长不能确定
5．如图，平行四边形的对角线交于点，点为的中点，若，则的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6． 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D、E分别是边AB、AC与网格对角线的交点，连结DE，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
7．已知、分别是的边，的中点，连接，若，则的长为　 　．
8．如图，在四边形ABCD中对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点.AC=4cm，BD=6cm，则EF=　 　cm.
9．如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F、G分别为、的中点．若，则的长为　 　．
二、能力提升
10．如图，在△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AC=12，MN=2，则AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
11．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（　　)。
A．3 B．2 C． D．4
12．如图，在 ABCD中， BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE， ∠BEC=90°，点M ， N分别是BE， EC 的中点，连接AM ， MN ， DN. AN交BE于点O.延长AN交DC于点G.则下列结论中： ①CE平分∠BCD； ②AM⊥BE；③BC=2AB； ④AM2+DN2= BC2；⑤OE= DN. 正确的有（　　）个.
A．5 B．4 C．3 D．2
13．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2 ，AD=2，点 M，N分别为线段 BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，连接DM，MN，点E，F分别是DM，MN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为　 　.
14．如下图：在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E、F分别是各边中点， AB=9cm，AC=12cm，则△DEF的周长=　 　 cm。
15．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为　 　cm.
16．如图，在中，点G、H分别是、中点，点E、F在对角线上，
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件　 　，使得四边形是平行四边形并说明理由；
（2）连接交于点O，若，，，求的长.
17．如图，在中， ，在边上截取，连接，过点作于点，是边的中点，连接.若，，求的长度.
三、拓展创新
18．如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连结FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD。（提示：取BD的中点H，连结FH，HE)
（2）如图2，在△ABC中，O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，连结DG，若AB=CD=5，∠OEC=60°，求OE的长度。
19．在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为平面内一点.
（1）如图1，α=90°，P在BC上，CD⊥AP，若CP=AC，且AP=4，则AD= 　 　； S△ABP= 　 　；
（2）如图2，P为BC中点，连接AP，过B点的直线分别交AP，AC于E，F两点，若AE=AF，求证：CF=2PE.
（3）如图3，α=60°，P为△ABC外一点，且满足∠APB=150°，求证：CP=AB.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别为，的中点
∴AC=2MN=6
∴
故答案为：D
【分析】根据三角形中位线定理可得AC，再根据勾股定理即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C、点D分别是OA、OB的中点，
∴CD是△OAB的中位线，
∴CD=AB，
∵CD=12，
∴AB=24.
故答案为：A。
【分析】本题的核心是识别并应用三角形中位线定理，观察图形和条件，判断出 CD 是△OAB 的中位线（C、D 分别是 OA、OB 的中点）；根据中位线定理，中位线 CD 的长度是第三边 AB 的一半；代入已知的 CD 长度，直接计算出 AB 的长度
3．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：因为D、E、F分别是△ABC三边的中点，所以AD、BE、CF是三角形的中线。
中线CF将△ABC分成面积相等的两部分，因此△AFO与△BFO的面积相等。
中线AD将△ABC分成面积相等的两部分，因此△BDO与△CDO的面积相等。
中线BE将△ABC分成面积相等的两部分，因此△AOE与△COE的面积相等。
设△AFO、△BFO、△BDO、△CDO、△AOE、△COE的面积分别为、、、、、。
根据上述关系，有，，。
已知△ABC的面积是12，所以：；
代入相等关系，得到：；
化简得：；
而、、正好是图中三个阴影三角形的面积，因此阴影部分的面积和为6。
故答案为：B。
【分析】这道题的核心是利用三角形中线等分面积的性质：三角形的一条中线会把这个三角形分成两个面积相等的小三角形。解题时，我们可以先根据中点的条件，找出图中面积相等的三角形，再通过整体面积关系求出阴影部分的面积和。
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵、分别是、的中点，
∴为的中位线，
∴．
∵不动，
∴线段的长不改变．
故选：C．
【分析】连接，由三角形中位线定理得出，由题意可得AR为定值，即可求解．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵点E是的中点，∴是的中位线，
∴由三角形的中位线定理可得：．
故选：C．
【分析】本题考查平行四边形和三角形中位线的性质。首先，由四边形是平行四边形，可知对角线互相平分，因此。接着，由于点E是边的中点，根据三角形中位线定理，线段成为的中位线，从而可以得出所需结论。
6．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵由作图知D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE为AB的中点
∴DE=BC
∵BC=
∴DE=
故答案为：D .
【分析】由图形特点知DE为中位线，由中位线定理可得DE的长.
7．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵、分别是的边，的中点，
∴是的中位线，
∵
∴，
故答案为：3．
【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，是的中位线，因此直接用的长度乘以即可求出。
8．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC中点H，连接EH，FH
∵E，F分别是AB，CD的中线
∴
∴∠EHF=90°
∴
故答案为：
【分析】取BC中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
9．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ F、G分别为、的中点，
∴FG=CD，
∵四边形为平行四边形，
∴CD=AB，
∵，
∴CD=6，
∴FG=3.
故答案为：3.
【分析】根据F、G分别为、的中点可得FG=CD，再根据平行四边形的性质得出CD=6，进而得出答案.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长BN交AC于D
平分，
又
，
点M是边上的中点
为 的中位线
故答案为：D．
【分析】延长BN交AC于D，根据ASA得到 ，根据对应边相等得到 ， ，即可得到 为 的中位线，根据三角形中位线的性质得到 ，解答即可．
11．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵ D， E分别是BC， AC的中点，
∵BF平分
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AB，根据平行线的性质、角平分线的定义解答即可.
12．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAE=∠BCD，
∴∠AEB=∠CBE，∠CED=∠BCE.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE.
∵M 是 BE 的中点，
∴AM⊥BE，
∴∠AME=90°，∠MAE=
平分∠BCD，故①②正确；
∵N是CE的中点，M是BE的中点，
∴ MN 是△BCE 的中位线，
∴MN∥AD.
∵AM∥CE，
∴四边形AMNE 是平行四边形，
∴MN=AE，
∴ MN=AB.
∴ BC=2AB，故③正确；
由上得BC=2AB=2AE=2CD，AM=EN，
∴CD=DE，
∴DN⊥CE，
故④错误；
由上得
故⑤正确.
故正确的结论有①②③⑤.
故答案为：B .
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到∠AEB=∠ABE，即可得到AB=AE，然后根据三线合一得到AM⊥BE，然后得到AM∥EN，进而推理得到平分∠BCD判断①②；然后得到四边形AMNE是平行四边形，根据三角形的中位线定理得到BC=2AB判断③；根据勾股定理判断④，根据OA=ON，AE=DE，得到OE与DN的关系判断⑤解答即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DN，
∵DE=EM，FN=FM，
∴，
∴当点N与点B重合时，DN的值最大，即此时EF最大
∵在Rt△ABD中，AD=2，
∴
∴EF的最大值
故答案为：.
【分析】连接DN，由三角形中位线的判定和性质可知，当点N与点B重合时，DN的值最大即此时EF最大，由勾股定理求出此时DN的长，即可求出EF的最大值.
14．【答案】18
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ AB=9cm，AC=12cm，
BC=，
又∵ D、E、F分别是各边中点，
∴，，，
∴△DEF的周长为，
故答案为：18.
【分析】先根据勾股定理求出BC长，然后根据三角形的中位线性质得到，，，求出周长即可.
15．【答案】10
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD为平行四边形，
∵点E是AB的中点，
∴OE为 的中位线，
故答案为： 10.
【分析】根据平行四边形的性质，可得出点 O平分 BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD=2OE，继而求出答案.
16．【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又∵点G是的中点，
是的中位线，
．
的长为2.5
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠CHF，
∵ 点G、H分别是、中点，
∴AG=CH，
在△AEG和△CFH中，
∵
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠EFH，
∴GE∥HF，
∴ 四边形是平行四边形 .
【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，进而得出∠GAE=∠CHF，AG=CH，根据SAS得出△AEG≌△CFH，进而得出GE=HF，∠AEG=∠CFH，再证明GE∥HF，即可得证；
（2）连接交于点O，根据中位线的性质即可得出答案.
17．【答案】解： 在中， ，，，
.
，，，，即为的中点.
又是边的中点，为的中位线，
.
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】运用勾股定理求出斜边AC的长度，再通过等腰三角形三线合一性质得到中点，最后利用三角形中位线定理求出EF的长度.
18．【答案】（1）证明：如图1，连结BD，取BD的中点H，连结EH，FH。∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴∠HEF=∠BME，∠HFE=∠CNE。
∵∠BME=∠CNE，∴∠HEF=∠HFE。
∴HE=HF。∴AB=CD
（2）解：如图2，连结BD，取BD的中点H，连结EH，OH。∵E，H，O分别为AD，BD，BC的中点，
∵AB=CD，∴OH=EH。∴∠HOE=∠HEO。
∵∠OEC=60°，
∴∠HEO=∠HOE=∠OEC=60°。
∴△OEH是等边三角形。
∵AB═DC═5，∴OE=OH=
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1) 连结BD， 取DB的中点H， 连结EH、FH， 证明出 证出HE=HF，进而证出结论；
(2) 连结BD， 取DB的中点H， 连结EH、OH， 证明出EH=OH，可证明证出 是等边三角形，进而求出 长即可.
19．【答案】（1）2；4
（2）证明：取CF的中点N，连接PN，则CF=2FN，如图2所示：
∵点P为BC中点，
∴PN是△BCF的中位线，
∴PN∥BF，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵PN∥BF，
∴∠APN=∠AEF，∠ANP=∠AFE，
∴∠APN=∠ANP，
∴AP=AN，
∴AP-AE=AN-AF，
∴PE=FN，
∴CF=2PE；
（3）证明：将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，如图3所示：
则∠PAM=60°，AP=AM，
∴△APM是等边三角形，
∴AP=MP，∠AMP=60°，
∵∠BAC=α=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠PAM=∠BAC=60°，
∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，
∴∠PAB=∠MAC，
在△PAB和△MAC中，
，
∴△PAB≌△MAC（SAS），
∴PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，
∴∠PMC=360°-（∠AMP+∠AMC）=360°-（60°+150°）=150°，
∴∠APB=∠PMC=150°，
在△APB和△PMC中，
∴△APB≌△PMC（SAS），
∴AB=CP，
即CP=AB
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，如图1所示：
∵CD⊥AP，CP=AC，AP=4，
∴AD=PDAP=2，
∵CD⊥AP，BH⊥AP，
∴∠H=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
又∵∠BAH+∠DAC=∠BAC=α=90°，
∴∠BAH=∠ACD，
在△BAH和△ACD中，
，
∴△BAH≌△ACD（AAS），
∴BH=AD=2，
∴S△ABPAP BH4×2=4，
故答案为：2；4；
【分析】（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，根据等腰直角三角形的性质，利用AAS得到△BAH≌△ACD，即可得到BH=AD=2，然后根据三角形的面积公式解答即可；
（2） 取CF的中点N，连接PN， ，则PN是△BCF的中位线，则CF=2FN，然后根据平行线的性质和等角对等边得到AP=AN，则PE=FN，证明结论即可；
（3）将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，则△APM是等边三角形，然后根据SAS推理得到△PAB≌△MAC得PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，即可得到∠APB=∠PMC=150°，然后可以得到△APB≌△PMC，然后根据全等三角形的对应边相等证明结论．
1 / 1北师大版数学八年级下册 6.3三角形的中位线 同步分层练习
一、夯实基础
1．如图，在中，，，分别为，的中点，若，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别为，的中点
∴AC=2MN=6
∴
故答案为：D
【分析】根据三角形中位线定理可得AC，再根据勾股定理即可求出答案.
2．如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点C、点D且CD=12米.则A，B间的距离是（　　）
A．24米 B．26米 C．28米 D．30米
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C、点D分别是OA、OB的中点，
∴CD是△OAB的中位线，
∴CD=AB，
∵CD=12，
∴AB=24.
故答案为：A。
【分析】本题的核心是识别并应用三角形中位线定理，观察图形和条件，判断出 CD 是△OAB 的中位线（C、D 分别是 OA、OB 的中点）；根据中位线定理，中位线 CD 的长度是第三边 AB 的一半；代入已知的 CD 长度，直接计算出 AB 的长度
3．如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：因为D、E、F分别是△ABC三边的中点，所以AD、BE、CF是三角形的中线。
中线CF将△ABC分成面积相等的两部分，因此△AFO与△BFO的面积相等。
中线AD将△ABC分成面积相等的两部分，因此△BDO与△CDO的面积相等。
中线BE将△ABC分成面积相等的两部分，因此△AOE与△COE的面积相等。
设△AFO、△BFO、△BDO、△CDO、△AOE、△COE的面积分别为、、、、、。
根据上述关系，有，，。
已知△ABC的面积是12，所以：；
代入相等关系，得到：；
化简得：；
而、、正好是图中三个阴影三角形的面积，因此阴影部分的面积和为6。
故答案为：B。
【分析】这道题的核心是利用三角形中线等分面积的性质：三角形的一条中线会把这个三角形分成两个面积相等的小三角形。解题时，我们可以先根据中点的条件，找出图中面积相等的三角形，再通过整体面积关系求出阴影部分的面积和。
4．如图，已知矩形中，分别是上的点，、分别是、的中点，当在上从向移动而不动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不改变 D．线段的长不能确定
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵、分别是、的中点，
∴为的中位线，
∴．
∵不动，
∴线段的长不改变．
故选：C．
【分析】连接，由三角形中位线定理得出，由题意可得AR为定值，即可求解．
5．如图，平行四边形的对角线交于点，点为的中点，若，则的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵点E是的中点，∴是的中位线，
∴由三角形的中位线定理可得：．
故选：C．
【分析】本题考查平行四边形和三角形中位线的性质。首先，由四边形是平行四边形，可知对角线互相平分，因此。接着，由于点E是边的中点，根据三角形中位线定理，线段成为的中位线，从而可以得出所需结论。
6． 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D、E分别是边AB、AC与网格对角线的交点，连结DE，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵由作图知D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE为AB的中点
∴DE=BC
∵BC=
∴DE=
故答案为：D .
【分析】由图形特点知DE为中位线，由中位线定理可得DE的长.
7．已知、分别是的边，的中点，连接，若，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵、分别是的边，的中点，
∴是的中位线，
∵
∴，
故答案为：3．
【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，是的中位线，因此直接用的长度乘以即可求出。
8．如图，在四边形ABCD中对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点.AC=4cm，BD=6cm，则EF=　 　cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC中点H，连接EH，FH
∵E，F分别是AB，CD的中线
∴
∴∠EHF=90°
∴
故答案为：
【分析】取BC中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
9．如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F、G分别为、的中点．若，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ F、G分别为、的中点，
∴FG=CD，
∵四边形为平行四边形，
∴CD=AB，
∵，
∴CD=6，
∴FG=3.
故答案为：3.
【分析】根据F、G分别为、的中点可得FG=CD，再根据平行四边形的性质得出CD=6，进而得出答案.
二、能力提升
10．如图，在△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AC=12，MN=2，则AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长BN交AC于D
平分，
又
，
点M是边上的中点
为 的中位线
故答案为：D．
【分析】延长BN交AC于D，根据ASA得到 ，根据对应边相等得到 ， ，即可得到 为 的中位线，根据三角形中位线的性质得到 ，解答即可．
11．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（　　)。
A．3 B．2 C． D．4
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵ D， E分别是BC， AC的中点，
∵BF平分
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AB，根据平行线的性质、角平分线的定义解答即可.
12．如图，在 ABCD中， BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE， ∠BEC=90°，点M ， N分别是BE， EC 的中点，连接AM ， MN ， DN. AN交BE于点O.延长AN交DC于点G.则下列结论中： ①CE平分∠BCD； ②AM⊥BE；③BC=2AB； ④AM2+DN2= BC2；⑤OE= DN. 正确的有（　　）个.
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAE=∠BCD，
∴∠AEB=∠CBE，∠CED=∠BCE.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE.
∵M 是 BE 的中点，
∴AM⊥BE，
∴∠AME=90°，∠MAE=
平分∠BCD，故①②正确；
∵N是CE的中点，M是BE的中点，
∴ MN 是△BCE 的中位线，
∴MN∥AD.
∵AM∥CE，
∴四边形AMNE 是平行四边形，
∴MN=AE，
∴ MN=AB.
∴ BC=2AB，故③正确；
由上得BC=2AB=2AE=2CD，AM=EN，
∴CD=DE，
∴DN⊥CE，
故④错误；
由上得
故⑤正确.
故正确的结论有①②③⑤.
故答案为：B .
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到∠AEB=∠ABE，即可得到AB=AE，然后根据三线合一得到AM⊥BE，然后得到AM∥EN，进而推理得到平分∠BCD判断①②；然后得到四边形AMNE是平行四边形，根据三角形的中位线定理得到BC=2AB判断③；根据勾股定理判断④，根据OA=ON，AE=DE，得到OE与DN的关系判断⑤解答即可.
13．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2 ，AD=2，点 M，N分别为线段 BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，连接DM，MN，点E，F分别是DM，MN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DN，
∵DE=EM，FN=FM，
∴，
∴当点N与点B重合时，DN的值最大，即此时EF最大
∵在Rt△ABD中，AD=2，
∴
∴EF的最大值
故答案为：.
【分析】连接DN，由三角形中位线的判定和性质可知，当点N与点B重合时，DN的值最大即此时EF最大，由勾股定理求出此时DN的长，即可求出EF的最大值.
14．如下图：在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E、F分别是各边中点， AB=9cm，AC=12cm，则△DEF的周长=　 　 cm。
【答案】18
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ AB=9cm，AC=12cm，
BC=，
又∵ D、E、F分别是各边中点，
∴，，，
∴△DEF的周长为，
故答案为：18.
【分析】先根据勾股定理求出BC长，然后根据三角形的中位线性质得到，，，求出周长即可.
15．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为　 　cm.
【答案】10
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD为平行四边形，
∵点E是AB的中点，
∴OE为 的中位线，
故答案为： 10.
【分析】根据平行四边形的性质，可得出点 O平分 BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD=2OE，继而求出答案.
16．如图，在中，点G、H分别是、中点，点E、F在对角线上，
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件　 　，使得四边形是平行四边形并说明理由；
（2）连接交于点O，若，，，求的长.
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又∵点G是的中点，
是的中位线，
．
的长为2.5
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠CHF，
∵ 点G、H分别是、中点，
∴AG=CH，
在△AEG和△CFH中，
∵
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠EFH，
∴GE∥HF，
∴ 四边形是平行四边形 .
【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，进而得出∠GAE=∠CHF，AG=CH，根据SAS得出△AEG≌△CFH，进而得出GE=HF，∠AEG=∠CFH，再证明GE∥HF，即可得证；
（2）连接交于点O，根据中位线的性质即可得出答案.
17．如图，在中， ，在边上截取，连接，过点作于点，是边的中点，连接.若，，求的长度.
【答案】解： 在中， ，，，
.
，，，，即为的中点.
又是边的中点，为的中位线，
.
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】运用勾股定理求出斜边AC的长度，再通过等腰三角形三线合一性质得到中点，最后利用三角形中位线定理求出EF的长度.
三、拓展创新
18．如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连结FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD。（提示：取BD的中点H，连结FH，HE)
（2）如图2，在△ABC中，O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，连结DG，若AB=CD=5，∠OEC=60°，求OE的长度。
【答案】（1）证明：如图1，连结BD，取BD的中点H，连结EH，FH。∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴∠HEF=∠BME，∠HFE=∠CNE。
∵∠BME=∠CNE，∴∠HEF=∠HFE。
∴HE=HF。∴AB=CD
（2）解：如图2，连结BD，取BD的中点H，连结EH，OH。∵E，H，O分别为AD，BD，BC的中点，
∵AB=CD，∴OH=EH。∴∠HOE=∠HEO。
∵∠OEC=60°，
∴∠HEO=∠HOE=∠OEC=60°。
∴△OEH是等边三角形。
∵AB═DC═5，∴OE=OH=
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1) 连结BD， 取DB的中点H， 连结EH、FH， 证明出 证出HE=HF，进而证出结论；
(2) 连结BD， 取DB的中点H， 连结EH、OH， 证明出EH=OH，可证明证出 是等边三角形，进而求出 长即可.
19．在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为平面内一点.
（1）如图1，α=90°，P在BC上，CD⊥AP，若CP=AC，且AP=4，则AD= 　 　； S△ABP= 　 　；
（2）如图2，P为BC中点，连接AP，过B点的直线分别交AP，AC于E，F两点，若AE=AF，求证：CF=2PE.
（3）如图3，α=60°，P为△ABC外一点，且满足∠APB=150°，求证：CP=AB.
【答案】（1）2；4
（2）证明：取CF的中点N，连接PN，则CF=2FN，如图2所示：
∵点P为BC中点，
∴PN是△BCF的中位线，
∴PN∥BF，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵PN∥BF，
∴∠APN=∠AEF，∠ANP=∠AFE，
∴∠APN=∠ANP，
∴AP=AN，
∴AP-AE=AN-AF，
∴PE=FN，
∴CF=2PE；
（3）证明：将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，如图3所示：
则∠PAM=60°，AP=AM，
∴△APM是等边三角形，
∴AP=MP，∠AMP=60°，
∵∠BAC=α=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠PAM=∠BAC=60°，
∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，
∴∠PAB=∠MAC，
在△PAB和△MAC中，
，
∴△PAB≌△MAC（SAS），
∴PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，
∴∠PMC=360°-（∠AMP+∠AMC）=360°-（60°+150°）=150°，
∴∠APB=∠PMC=150°，
在△APB和△PMC中，
∴△APB≌△PMC（SAS），
∴AB=CP，
即CP=AB
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，如图1所示：
∵CD⊥AP，CP=AC，AP=4，
∴AD=PDAP=2，
∵CD⊥AP，BH⊥AP，
∴∠H=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
又∵∠BAH+∠DAC=∠BAC=α=90°，
∴∠BAH=∠ACD，
在△BAH和△ACD中，
，
∴△BAH≌△ACD（AAS），
∴BH=AD=2，
∴S△ABPAP BH4×2=4，
故答案为：2；4；
【分析】（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，根据等腰直角三角形的性质，利用AAS得到△BAH≌△ACD，即可得到BH=AD=2，然后根据三角形的面积公式解答即可；
（2） 取CF的中点N，连接PN， ，则PN是△BCF的中位线，则CF=2FN，然后根据平行线的性质和等角对等边得到AP=AN，则PE=FN，证明结论即可；
（3）将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，则△APM是等边三角形，然后根据SAS推理得到△PAB≌△MAC得PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，即可得到∠APB=∠PMC=150°，然后可以得到△APB≌△PMC，然后根据全等三角形的对应边相等证明结论．
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