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湖南长沙铁路第一中学2025-2026学年高三考前模拟数学试题
一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，是第一象限角，则元素的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的两个焦点分别为，，且过点，则该椭圆的上顶点为（ ）
A． B． C． D．
6．某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低 （ ）
A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲
8．已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．则极大值与极小值的差不小于1时，实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．在单调递减
C．的图像关于直线对称
D．有最大值
10．下列说法正确的是（ ）
A．随机变量，若，则，方差
B．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个
C．函数若对，恒成立，则
D．在中，，，为边上的中点，，则的面积为
11．已知抛物线C：的焦点为F，C的准线与轴的交点为，直线与交于，两点，是上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．最小值为1
B．若直线过点，则的准线上存在点使得为钝角
C．若线段的中点横坐标为4，则的最大值为10
D．的最大值为
三、填空题
12．的展开式中，项的系数是否存在 其系数为_____（若存在用数字作答，若不存在系数为0）．
13．已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____．
14．把4个不同的礼物等可能地放入编号为1，2，3，4的四个礼盒中，表示有礼物的礼盒数量，记放入1号，2号，3号，4号礼盒中的礼物的个数分别为，，，．设函数，记，则时的概率_____．
四、解答题
15．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，分别用两台机床各生产了200件产品，乙机床生产的产品一级品的频率为；
甲机床生产的产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品
甲机床 150 50
(1)写出甲机床生产的产品中一级品的频率；把两台机床生产的产品放到一起，若抽到的产品为二级品，那么它是甲机床生产的概率是多少
(2)以样品产品中的频率为概率，从乙机床生产的产品中随机抽取3件，求抽到一级品的数量的分布列和方差．
16．在中，．
(1)求角；
(2)若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式；
(3)在（2）条件下，设数列，求的前27项的和．
17．如图1所示，是边长为2的正三角形，四边形是一个等腰梯形，，，O为的中点，现在沿着把折起到的位置，连接，，使得，如图2所示．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求三棱锥的外接球的半径．
18．已知椭圆：（）的离心率，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线：相交于B，C两点，点A是椭圆的下顶点，直线，分别与相交于P，Q两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：；
(3)记和的面积分别是、，求的最小值．
19．若函数的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，则称该公共点为函数与的一个“公切点”.
(1)若函数与存在“公切点”，求实数的值；
(2)设函数，直线是曲线在点处的切线.求证:直线不经过点(1,0);
(3)已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“公切点” 并说明理由.
参考答案
1．A
【详解】，其对应点为，
复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，
对应点为，则．
2．C
【详解】集合，是第一象限角，
，该角为第一象限角，为第一象限角，为第二象限角，
则，即元素的个数为3.
3．A
【详解】由，得，
由，得，
即，所以.
4．D
【详解】因为，
则.
5．C
【详解】椭圆的两个焦点分别为，，设为，
设椭圆方程为，
在椭圆上，
故，
故，则该椭圆的上顶点为，即.
6．B
【详解】因为圆锥的轴截面是等腰三角形，且轴截面是直角三角形，因此轴截面是等腰直角三角形.
设母线长为，底面圆半径为，则，化简得.
轴截面面积，解得，进而
圆锥侧面积为.
7．D
【详解】甲两次总花费元，甲两次总加油量升，
因此甲的平均单价.
设油箱容积为升，即乙每次加油量为升，则乙两次总花费元，乙两次总加油量升，
因此乙的平均单价.
.
因为，所以，因此，即.
8．A
【详解】，
由题意可得有两个不等实根，
则，有，即，，
且有，即，
设的另一实根为，则，即；
由且，则，若，则，
当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
即的极大值为，极小值为，
此时有，解得；
若，则，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
即的极大值为，极小值为，
此时有恒成立；
综上可得：.
9．ACD
【详解】，解得，
即的定义域为，A选项正确．
，令，则．
二次函数的图象的对称轴为直线，
又的定义域为的图象关于直线对称．C选项正确．
由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误．
当时，有最大值，，D选项正确．
10．AC
【详解】A. 因为随机变量，方差，又，所以，故正确；
B.正方体有8个顶点，从8个顶点中选4个有，正方体有6个表面，每个面有4个顶点，共6种情况，
6个对角面每个面有4个顶点，共6种情况，所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥有，故错误；
C.因为，所以函数，即，
若恒成立，则，又因为，所以，故正确；
D.如图所示：
在中，，，
为边上的中点，，则，
两边平方得，即，
由余弦定理得，即，两式联立得，
所以，故错误.
11．AC
【详解】抛物线的焦点，准线，点，设，
对于A，，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，直线，由，得，则，令，
则，
，，因此，B错误；
对于C，当直线过点时，，
当且仅当时取等号，即过抛物线焦点的最短弦长为4，当时，
，当且仅当直线过点时取等号，C正确，
对于D，，
当时，；当时，，
当且仅当，即时取等号，D错误.

12．0
【详解】展开式的通项公式为，
由，得与矛盾，因此不存在项，所以其系数为0.
13．/
【详解】由点在直线上，可得，
整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上，
则圆心到直线的距离为，
根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为.
14．/
【详解】所有可能数为种；
将从四个礼盒中选出三个，将四个礼物分成2个，1个，1个三组，
将三组放入选出的三个礼盒中，则时共有种不同可能；
故.
15．(1)，
(2)
X 0 1 2 3
P
方差：
【详解】（1）甲机床生产的产品中一级品的频率，
乙机床生产的产品中一级品数量为件，
若抽到的产品为二级品，那么它是甲机床生产的概率为：.
（2）由题知
,，
，.
所以分布列：
X 0 1 2 3
P
方差：.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）中，因为，所以，
又，则，
因为，所以，
又，因此．
（2）设等差数列的公差为，结合（1）有，
又，则，解得，
所以．
（3）结合（2）有，
设，该函数的最小正周期，
则，
故，
所以．
17．(1)连接，，，
由是边长为2的正三角形，可得，，，
又由等腰梯形，且，可得，
因为，所以，所以，
因为，且，平面，所以平面．
(2)
(3)
【详解】（1）略
（2）取的中点，连接，
因为四边形为等腰梯形，且为的中点，所以，且，
又因为平面，则，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，结合（1），得，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，故可取，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

（3）连接，结合（2）有，则，
因为，所以，所以的外接圆圆心为，
又平面，所以三棱锥的外接球的球心在直线上，
如下图，设外接球半径为，则，

设，则，解得，
所以．
18．(1)
(2)证明：直线的斜率显然存在，设直线的方程为．
由整理得．
设，，则，，．
由（1）知，
所以，的斜率分别为，，
故，所以．
(3)．
【详解】（1）因为，所以，
，又点在上，
所以，
解得，，椭圆的方程为．
（2）略
（3）设直线的方程为，显然，由得，解得或，
所以，则．

由（2）知，则直线的方程为，解得，
同理，．
由得，解得或，
所以，则，
同理，．
由（2）知，则，
则，
，
当且仅当时等号成立，即的最小值为．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)存在，理由见解析.
【详解】（1）设是的“共切点”，
则由且，
由于，所以，解得，
所以，
当时，满足题意，
故
（2）由于，所以，
故直线的斜率为，则直线的方程为，
将点代入可得，故，
即，故，
，即，
令，
假设直线经过点，则在上存在零点，
由，所以在上单调递增，
所以，故在上无零点，这与假设矛盾，故直线不经过点，
（3）因为，所以，
由且，得，
两式相除可得，
设，
由于，且的图象连续不断，所以存在使得，
则，将其代入可得，
此时满足方程组，即是函数与在区间内的一个“公切点”，
因此，对任意，存在，使得与在区间内存在“公切线”.

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