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华师大版数学七年级下册数学期末测试题
一、选择题（10题，每题4分，共40分）
1．在①；②；③④中方程有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若a>b，则下列不等式变形错误的是(　　)
A．a+3>b+3 B．a-2>b-2 C．- 4a>-4b D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
4．如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形ABCD中， ∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，则∠ABC的大小为（　　）
A．70° B．90° C．105° D．140°
5．如图，直角三角形 ABC沿直角边 BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中不一定正确的是(　　)
A．BE=EC B．BE=CF C．∠A=∠D D．AC∥DF
6．现有正三角形、正十边形与第三种正多边形能铺平整的地面，则第三种正多边形可以是(　　)
A．正十二边形 B．正十三边形 C．正十四边形 D．正十五边形
7．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为x人，车数为y辆，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是；当输入时，输出结果是．如果输入的x是正整数，输出结果是，那么满足条件的x的值最多有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图，已知，，的延长线交的角平分线于点，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．小文在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，则小长方形的面积为(　　).
A．135 B．105 C．90 D．45
二、填空题（6题，每题4分，共24分）
11．若方程（a+1）x+3y|a|=1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为　 　 .
12．一个多边形的内角和是外角和的 5倍多 180°，则这个多边形的边数为　 　.
13．定义一种运算：．例如；再如，按照这种定义，当　 　时，．
14．关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为　 　．
15．如图，在△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，外角∠CAN的平分线AM交BC延长线于点M，若∠M=35°，则∠CFE度数是　 　.
16．一家水果店购进一批盒装荔枝、樱桃和草莓，并全部组合成“荔子初丹”（内装4盒荔枝）、“樱有尽有”（内装8盒樱桃）、“喜上莓梢”（内装6盒草莓）三款礼盒进行销售，其中“荔子初丹”与“喜上莓梢”礼盒的数量之和比“樱有尽有”礼盒数量的2倍少30套，且所有礼盒全部卖出．第二次该水果店购进与第一次数量分别相同的盒装荔枝、樱桃和草莓．也是全部组合成礼盒进行销售．根据顾客反馈信息，第二次销售除了第一次的三款礼盒（每款礼盒规格与第一次相同），还组合成“春分”、“夏至”两款混合水果礼盒若干套．其中每套“春分”礼盒包含：1盒荔枝、4盒樱桃、5盒草莓；每套“夏至”礼盒包含：1盒荔枝、3盒樱桃、4盒草莓．若第二次的所有礼盒也全部卖出，且第二次“荔子初丹”礼盒的数量是第一次该种礼盒数量的，第二次“喜上莓梢”礼盒共有61套，“春分”和“夏至”礼盒中所有水果的总盒数比“春分”礼盒中荔枝的盒数多1350盒，则第一次销售的所有礼盒共有　 　套．
三、解答题（9题，共86分）
17．解下列方程组：
（1）
（2） ．
18．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示.现将三角形ABC平移，使点移动到点，点E、F分别是点B、C的对应点.
（1）请画出平移后的三角形DEF；
（2）连接BE和CF；求四边形BCFE的面积．
19．解不等式（组)：
（1）并把解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组 并写出它的整数解.
20．在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC.
（1）如图（1），AD⊥BC 于 D，若∠C=75°， ，求∠EAD的度数.
（2）如图（1），AD⊥BC 于 D，判断∠EAD= 是否成立，并说明你的理由.
（3）如图（2），F为AE上一点，FD⊥BC于 D，这时∠EFD与∠B，∠C 又有什么数量关系 （不用证明）
21．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目。学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球。已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元。
（1）求排球、足球的单价各是多少元
（2）根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用。
22．在△ABC中，∠ACB=90°，D，E 分别是边AC，BC上的点，P 是AB 上的一个动点，设∠DPE=α.
（1）如图1，若点 P 在线段AB 上，α=50°，J则∠ADP+∠PEB=　 　°.
（2）如图2，若点 P 在边 AB 上，试判断α，∠ADP，∠PEB之间的数量关系，并说明理由.
（3）如图3，当点 P 运动到边AB 的延长线上时，直接写出α，∠ADP，∠PEB 之间的数量关系.
23．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.
例如：方程 2x-6=0的解为 x=3，不等式组 的解集为 1（1）在方程①3x-2=0， ②x+1=0， ③x-（3x+1)=-5 中，不等式组 的关联方程是　 　；（填序号)
（2）若不等式组 的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　 　；（写出一个即可)
（3）若方程 都是关于 x的不等式组 的关联方程，求 m的取值范围.
24．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
25．【问题背景】
在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答：
【构造联系】
（1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________．
【深入探究】
（2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，．
①当平分时，求的度数．
②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数．
【拓展探索】
（3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】方程的定义及分类
【解析】【解答】解：①2x+3y﹣1，没有“=”，不是方程；
②1+7=15﹣8+1，没有未知数，不是方程；
③1﹣x=x+1，是方程；
④x+2y=3，是方程．
故答案为：B．
【分析】利用方程的定义（含有未知数的等式：①含有未知数；②是等式）逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、a>b，不等式两边同时加3，不等号方向不变，故a+3>b+3，变形正确，A错误；
B、a>b，不等式两边同时减2，不等号方向不变，故a-2>b-2，变形正确，B错误；
C、a>b，不等式两边同时乘以-4，不等号方向应改变，故a>b变形为-4a<-4b，而非-4a>-4b，变形错误，C正确；
D、a>b，不等式两边同时除以5（正数），不等号方向不变，故，变形正确，D错误．
故答案为：C .
【分析】先根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；再结合a>b，逐一验证每个选项的变形是否符合上述性质．
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：轴对称图形需存在一条直线，使图形沿直线折叠后两侧完全重合；中心对称图形需绕某点旋转后与自身重合。
A选项图形同时满足轴对称与中心对称定义；
B、C选项图形仅为轴对称图形，不满足中心对称；
D选项图形仅为中心对称图形，不满足轴对称。
故答案为：
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定，解题时需紧扣两类图形的定义，逐一核对选项图形是否同时符合两种图形的特征，即可快速筛选出正确答案。
4．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，连接DB并延长
∵∠ABE=∠ADB+∠A，∠CBE=∠CDB+∠C，∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE
=∠ADB+∠A+∠CDB+∠C
=∠ADC+∠A+∠C
=35°×3
=105°
故答案为：C
【分析】连接DB并延长，根据三角形外角性质可得∠ABE=∠ADB+∠A，∠CBE=∠CDB+∠C，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知BE=CF， ∠A=∠D ， AC∥DF 。B、C、D正确，A错误。
故答案为：A
【分析】根据图形平移的性质逐一判断各选项。
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设第三种正多边形的边数为n.
正三角形各个内角的度数为
根据多边形内角和定理，得正十边形各个内角的度数为
结合镶嵌的相关知识得，
则第三种正多边形的内角为
结合正多边形的每个内角公式可得
解得n=15
即第三种正多边形是正十五边形.
故答案为：D .
【分析】由多边形的内角和公式可知：正三角形与正十边形的每个内角分别为 与 ，结合镶嵌的知识可知正n边形的每个内角为再利用“正多边形内角和公式”可得到关于n的方程，解此方程即可得到未知数n的值即可.
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设人数为人，车数为辆，
由题意得，，
故选：．
【分析】设人数为人，车数为辆，根据“ 3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行 ”列方程组解答．
8．【答案】D
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意知，，
解得，
若，解得，
若，解得，
∴满足条件的的值最多有2个．
故选：D．
【分析】根据程序图示列方程解答即可．
9．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，与交于点，与交于点，
，，
，，，
，，，，
是的角平分线，，
．
故选：．
【分析】根据平行线的性质（内错角相等）得出的度数，利用三角形外角性质得出的度数，最后利用角平分线的定义和三角形外角性质解答即可．
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵个一样大小的小长方形，
∴设小长方形的宽为，长为，
∴由图可得大长方形的边长为或，图中大正方形的边长可表示为或，
据题意得：，
解得：，
∴小长方形的面积．
故答案为：A .
【分析】设小长方形的宽为，长为，根据图、图中图形边长的不同表示方法列方程组求出x和y的值解答即可．
11．【答案】1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵方程(a+1)x+3y|a|=1是关于x，y的二元一次方程，
∴未知数x，y的次数都为1，且系数不为0，可得，
由|a|=1，得a=1或a=-1；
由a+1≠0，得a≠-1；
综上，a=1．
故答案为：1．
【分析】先根据二元一次方程的定义，要满足两个条件：一是未知数的次数都为1，因此y的指数|a|必须等于1；二是含未知数的项的系数不能为0，因此x的系数a+1不能等于0；再分别解这两个条件得到a=1．
12．【答案】13
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
根据题意列方程得：，
解得．
故答案为：13.
【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和定理及多边形的外角和为列方程求出n的值解答即可．
13．【答案】
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据定义，
，
，
所以方程为：，解得．
故答案为：．
【分析】本题考查定义新运算与一元一次方程的结合，首先根据新运算规则，分别展开等式两边的行列式。左边展开为，化简得；右边展开为，化简得。由此得到一元一次方程，求解该方程即可得出的值。
14．【答案】5
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：k-2x=3（k-2），
k-2x=3k-6，
2x=6-2k，
x=3-k，
∵k-2x=3（k-2）的解为非负数，
∴3-k≥0，
解得：k≤3，
解不等式x-2（x-1）≤3，得：x≥-1，
解不等式≥x，得：x≤k，
∵不等式组有解，
∴k≥-1，
则-1≤k≤3，
∴符合条件的整数k的值的和为-1+0+1+2+3=5，
故答案为：5．
【分析】先求出方程的解及不等式组的解集，根据不等式组有解即可求出k的取值范围，再根据题目要求求出答案。
15．【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，且，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线的定义可得，即可得到，根据三角形的内角和定理求出，利用三角形外角得到解答即可．
16．【答案】444
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设第一次销售的“樱有尽有”礼盒是x套，“荔子初丹”礼盒是y套，则“喜上莓梢”礼盒是（2x 30 y）套，设第二次销售的“春分”礼盒是a套，“夏至”礼盒是b套，依题意有：
4y＝a＋b＋×4y，即3y 2a 2b＝0①，
6（2x 30 y）＝61×6＋5a＋4b，即12x 6y 5a 4b＝546②，
10a＋8b＝a＋1350，即9a＋8b＝1350③，
②＋③得12x 6y＋4a＋4b＝1896，即6x 3y＋2a＋2b＝948④，
①＋④得6x＝948，解得x＝158，
则x＋2x 30＝3x 30＝474 30＝444
故第一次销售的所有礼盒共有444套．
故答案为：444．
【分析】先设第一次“樱有尽有”礼盒数量为x，“茄子初丹”为y，第二次“春分”a套，"夏至“b套，根据荔枝、草莓总盒数相等及第三个条件列出方程，联立求解x的，再计算第一次总礼盒数即可.
17．【答案】（1）解：① +②， 得 ，
所以 ．
把 代人 ②，
得 ．
所以原方程组的解是
（2）解：整理可得
由①+2×②得7s=21
解得，
将 代人 ②，
得 ，
解得 ，
所以原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）运用加减消元法，让①+②消去y，求出x后代入再求出y，即可得出原方程组的解；（2）运用加减消元法，①+2×②消去t，求出s后代入再求出t，即可得出原方程组的解.
18．【答案】（1）解：由题意得，三角形ABC向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形DEF，如图，三角形DEF即为所求.
（2）解：如图， 线段BE， CF即为所求.
四边形BCFE的面积为：3×2=6.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】(1)由题意得，三角形ABC向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形DEF，结合平移的性质画图即可.
(2)直接连接BE和CF即可，利用平行四边形的面积公式计算即可.
19．【答案】（1）解：
∴6-2（2x-4)≥3（1-5x)，
6-4x+8≥3-15x，
-4x+15x≥3-6-8，
11x≥-11，
则x≥-1，
将解集表示在数轴上如下：
（2）解：解不等式①得： x≥-3，
解不等式②得： x<3，
则不等式组的解集为-3≤x<3，其整数解为-3、-2、-1、0、1、2.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再求出整数解即可求出答案.
20．【答案】（1）解：∵∠C=75°，∠B=35°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=70°.
∵ AE 平分∠BAC，
又∵AD⊥BC，
∴ ∠DAC= 90° - ∠C = 15°，
∴ ∠EAD =∠EAC-∠DAC=20°.
（2）解：成立.
理由如下：∵ AE 平分∠BAC，
（3）解：
如图，过A作AG⊥BC 于 G.
由 (2) 知，
90°.
∵ FD⊥BC，
∴∠FDG=90°，
∴ ∠AGC=∠FDG，
∴FD∥AG，
∴∠EFD=∠EAG，
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】⑴根据三角形内角和定理得∠BAC的度数，再根据角平分线定义得∠EAC的度数，最后根据直角三角形两锐角互余得 ∠EAD的度数 .
⑵根据三角形内角和定理、角平分线定义及直角三角形两锐角互余推理可得.
⑶借助（2）的结论，结合平行线性质得∠EFD=∠EAG，从而得到.
21．【答案】（1）解：设排球的单价是元，足球的单价是元，
根据题意，得，
解得。
答：排球的单价是90元，足球的单价是70元
（2）解：设购买个排球，则购买个足球，
根据题意，得，
解得。
设学校购买排球和足球的总费用为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
又，且为整数，
当时，取得最小值5100，此时（个）。
答：最省钱的一种购买方案为：购买45个排球，15个足球，此时的总费用是5100元。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设排球的单价是元，足球的单价是元，根据 购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元 ，可得出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设购买个排球，则购买个足球， 购买足球的数量不多于排球数量的，且总费用不超过5200元，可得出不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，进而设学校购买排球和足球的总费用为元，则，根据一次函数的性质，结合不等式组的整数解，即可得出最省钱的一种购买方案。
22．【答案】（1）140
（2）解：∠ADP+∠PEB=90°+α.理由如下：
∵∠ADP=180°-∠CDP，∠PEB=180°-∠CEP，且∠CDP+∠CEP=360°-∠C-∠DPE=360°-90°-α=270°-α，
∴∠ADP+∠PEB=90°+α.
（3）∠ADP=90°+∠PEB+α
【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： (1) ①如图1中， 连接PC.
PE，
故答案为：140°.
（3）解：∠ADP=90°+∠PEB+α.理由如下：
由外角的性质可知，∠ADP=∠C+∠CMD，∠CMD=∠PEB+∠DPE，
∴∠ADP=90°+∠PEB+α，
【分析】(1)如图1中， 连接PC.证明 即可.
（2）利用（1）中结论解决问题.
(3)利用三角形的外角的性质解决问题即可.
23．【答案】（1）①③
（2）x-1=0
（3）解： 得： m方程 2x-1=x+2的解为 x=3，方程的解为 x=2.
∴m的取值范围为 1≤m<2.
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：（1），解得：-1①3x-2=0，解得：
∵
∴①是方程组的关联方程
②x+1=0，解得：
∵
∴②不是方程组的关联方程
③x-（3x+1)=-5，解得：x=2
∵-1<2<4
∴③是方程组的关联方程
故答案为：①③
（2）解得：，则整数解为x=1
∴这个关联方程可以是x-1=0
故答案为：x-1=0
【分析】（1）求出不等式组的解集，再根据关联方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）求出不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可求出答案.
（3）求出不等式组的解集，再根据关联方程的定义建立不等式即可求出答案.
24．【答案】（1）解：根据题意，可得
1.2+0.2（n-1）
=1.2+0.2n-0.2
=1+0.2n（m）
答：当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为（1+0.2n）m
（2）解：当L=2.6时，0.2n+1=2.6
解得，n=8
2×8=16（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
解得：
因为x为正整数，
所以x=3，4，5，
所以共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次。
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据图①可知，一辆购物车车身长1.2m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m，列出函数关系式；
（2）把L=2.6代入（1）中的解析式，求出n的值即可；
（3）设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，根据题意得到，求出m的取值范围，然后再根据x的取值，最后再确定据此方案即可
（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放时长，
故答案为：．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，
因此由（1）可得，
解得，
（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
25．【答案】（1）②③；④；
（2）①∵平分，
∴，
∴；
②∵平分，
∴
，
∵平分，
∴
，
∴
；
（3）或
【知识点】角的运算；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）图①中；
图②中；
图③中，
∴；
图④中；
∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④；（2）
（3）当在内部时，如图所示：
∵平分，
∴
，
∵平分，
∴
，
∴
，
即此时；
当在外部，且、在上方时，如图所示：
∵平分，
∴
，
∵平分，
∴
∴
，
即此时；
当在外部，且在上方，在下方时，如图所示：
∵平分，
∴
，
∵平分，
∴，
∴
，
即此时；
当在外部，且在下方，在下方时，如图所示：
∵平分，
∴，
∵平分，
∴
，
∴
，
即此时；
当在外部，且在下方，在上方时，如图所示：
∵平分，
∴
，
∵平分，
∴
，
∴
，
即此时；
综上分析可知：或．
【分析】（1）本题考察角的关系判断（相等、互补），解题需结合三角尺的固定角度，计算每个摆法中和的度数或关系。摆法①：，互为余角；摆法②：，，因此；摆法③：，，同角的余角相等，故；摆法④：，互为补角；因此相等的摆法是②③，互补的摆法是④。
（2）①本题考察角平分线的定义和角的和差计算，解题需先利用角平分线求出相关角的度数，再通过和差关系求解。已知，平分，根据角平分线定义，；又因为，且，所以。
②本题考察角平分线定义和复杂角的和差计算，解题需通过设未知数表示相关角，再推导目标角。设，因为平分，且，所以；平分，且，所以；又因为，代入得，因此。
（3）本题考察旋转过程中角的动态关系，需结合角平分线定义分情况讨论。当在内部时，平分得，平分得，通过推导，得；当在外部部分情况时，同理推导可得，另一些情况则推导得，整理后为；综上，数量关系为或。
1 / 1华师大版数学七年级下册数学期末测试题
一、选择题（10题，每题4分，共40分）
1．在①；②；③④中方程有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】方程的定义及分类
【解析】【解答】解：①2x+3y﹣1，没有“=”，不是方程；
②1+7=15﹣8+1，没有未知数，不是方程；
③1﹣x=x+1，是方程；
④x+2y=3，是方程．
故答案为：B．
【分析】利用方程的定义（含有未知数的等式：①含有未知数；②是等式）逐项分析判断即可.
2．若a>b，则下列不等式变形错误的是(　　)
A．a+3>b+3 B．a-2>b-2 C．- 4a>-4b D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、a>b，不等式两边同时加3，不等号方向不变，故a+3>b+3，变形正确，A错误；
B、a>b，不等式两边同时减2，不等号方向不变，故a-2>b-2，变形正确，B错误；
C、a>b，不等式两边同时乘以-4，不等号方向应改变，故a>b变形为-4a<-4b，而非-4a>-4b，变形错误，C正确；
D、a>b，不等式两边同时除以5（正数），不等号方向不变，故，变形正确，D错误．
故答案为：C .
【分析】先根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；再结合a>b，逐一验证每个选项的变形是否符合上述性质．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：轴对称图形需存在一条直线，使图形沿直线折叠后两侧完全重合；中心对称图形需绕某点旋转后与自身重合。
A选项图形同时满足轴对称与中心对称定义；
B、C选项图形仅为轴对称图形，不满足中心对称；
D选项图形仅为中心对称图形，不满足轴对称。
故答案为：
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定，解题时需紧扣两类图形的定义，逐一核对选项图形是否同时符合两种图形的特征，即可快速筛选出正确答案。
4．如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形ABCD中， ∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，则∠ABC的大小为（　　）
A．70° B．90° C．105° D．140°
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，连接DB并延长
∵∠ABE=∠ADB+∠A，∠CBE=∠CDB+∠C，∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE
=∠ADB+∠A+∠CDB+∠C
=∠ADC+∠A+∠C
=35°×3
=105°
故答案为：C
【分析】连接DB并延长，根据三角形外角性质可得∠ABE=∠ADB+∠A，∠CBE=∠CDB+∠C，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．如图，直角三角形 ABC沿直角边 BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中不一定正确的是(　　)
A．BE=EC B．BE=CF C．∠A=∠D D．AC∥DF
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知BE=CF， ∠A=∠D ， AC∥DF 。B、C、D正确，A错误。
故答案为：A
【分析】根据图形平移的性质逐一判断各选项。
6．现有正三角形、正十边形与第三种正多边形能铺平整的地面，则第三种正多边形可以是(　　)
A．正十二边形 B．正十三边形 C．正十四边形 D．正十五边形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设第三种正多边形的边数为n.
正三角形各个内角的度数为
根据多边形内角和定理，得正十边形各个内角的度数为
结合镶嵌的相关知识得，
则第三种正多边形的内角为
结合正多边形的每个内角公式可得
解得n=15
即第三种正多边形是正十五边形.
故答案为：D .
【分析】由多边形的内角和公式可知：正三角形与正十边形的每个内角分别为 与 ，结合镶嵌的知识可知正n边形的每个内角为再利用“正多边形内角和公式”可得到关于n的方程，解此方程即可得到未知数n的值即可.
7．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为x人，车数为y辆，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设人数为人，车数为辆，
由题意得，，
故选：．
【分析】设人数为人，车数为辆，根据“ 3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行 ”列方程组解答．
8．如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是；当输入时，输出结果是．如果输入的x是正整数，输出结果是，那么满足条件的x的值最多有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意知，，
解得，
若，解得，
若，解得，
∴满足条件的的值最多有2个．
故选：D．
【分析】根据程序图示列方程解答即可．
9．如图，已知，，的延长线交的角平分线于点，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，与交于点，与交于点，
，，
，，，
，，，，
是的角平分线，，
．
故选：．
【分析】根据平行线的性质（内错角相等）得出的度数，利用三角形外角性质得出的度数，最后利用角平分线的定义和三角形外角性质解答即可．
10．小文在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，则小长方形的面积为(　　).
A．135 B．105 C．90 D．45
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵个一样大小的小长方形，
∴设小长方形的宽为，长为，
∴由图可得大长方形的边长为或，图中大正方形的边长可表示为或，
据题意得：，
解得：，
∴小长方形的面积．
故答案为：A .
【分析】设小长方形的宽为，长为，根据图、图中图形边长的不同表示方法列方程组求出x和y的值解答即可．
二、填空题（6题，每题4分，共24分）
11．若方程（a+1）x+3y|a|=1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为　 　 .
【答案】1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵方程(a+1)x+3y|a|=1是关于x，y的二元一次方程，
∴未知数x，y的次数都为1，且系数不为0，可得，
由|a|=1，得a=1或a=-1；
由a+1≠0，得a≠-1；
综上，a=1．
故答案为：1．
【分析】先根据二元一次方程的定义，要满足两个条件：一是未知数的次数都为1，因此y的指数|a|必须等于1；二是含未知数的项的系数不能为0，因此x的系数a+1不能等于0；再分别解这两个条件得到a=1．
12．一个多边形的内角和是外角和的 5倍多 180°，则这个多边形的边数为　 　.
【答案】13
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
根据题意列方程得：，
解得．
故答案为：13.
【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和定理及多边形的外角和为列方程求出n的值解答即可．
13．定义一种运算：．例如；再如，按照这种定义，当　 　时，．
【答案】
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据定义，
，
，
所以方程为：，解得．
故答案为：．
【分析】本题考查定义新运算与一元一次方程的结合，首先根据新运算规则，分别展开等式两边的行列式。左边展开为，化简得；右边展开为，化简得。由此得到一元一次方程，求解该方程即可得出的值。
14．关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为　 　．
【答案】5
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：k-2x=3（k-2），
k-2x=3k-6，
2x=6-2k，
x=3-k，
∵k-2x=3（k-2）的解为非负数，
∴3-k≥0，
解得：k≤3，
解不等式x-2（x-1）≤3，得：x≥-1，
解不等式≥x，得：x≤k，
∵不等式组有解，
∴k≥-1，
则-1≤k≤3，
∴符合条件的整数k的值的和为-1+0+1+2+3=5，
故答案为：5．
【分析】先求出方程的解及不等式组的解集，根据不等式组有解即可求出k的取值范围，再根据题目要求求出答案。
15．如图，在△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，外角∠CAN的平分线AM交BC延长线于点M，若∠M=35°，则∠CFE度数是　 　.
【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，且，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线的定义可得，即可得到，根据三角形的内角和定理求出，利用三角形外角得到解答即可．
16．一家水果店购进一批盒装荔枝、樱桃和草莓，并全部组合成“荔子初丹”（内装4盒荔枝）、“樱有尽有”（内装8盒樱桃）、“喜上莓梢”（内装6盒草莓）三款礼盒进行销售，其中“荔子初丹”与“喜上莓梢”礼盒的数量之和比“樱有尽有”礼盒数量的2倍少30套，且所有礼盒全部卖出．第二次该水果店购进与第一次数量分别相同的盒装荔枝、樱桃和草莓．也是全部组合成礼盒进行销售．根据顾客反馈信息，第二次销售除了第一次的三款礼盒（每款礼盒规格与第一次相同），还组合成“春分”、“夏至”两款混合水果礼盒若干套．其中每套“春分”礼盒包含：1盒荔枝、4盒樱桃、5盒草莓；每套“夏至”礼盒包含：1盒荔枝、3盒樱桃、4盒草莓．若第二次的所有礼盒也全部卖出，且第二次“荔子初丹”礼盒的数量是第一次该种礼盒数量的，第二次“喜上莓梢”礼盒共有61套，“春分”和“夏至”礼盒中所有水果的总盒数比“春分”礼盒中荔枝的盒数多1350盒，则第一次销售的所有礼盒共有　 　套．
【答案】444
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设第一次销售的“樱有尽有”礼盒是x套，“荔子初丹”礼盒是y套，则“喜上莓梢”礼盒是（2x 30 y）套，设第二次销售的“春分”礼盒是a套，“夏至”礼盒是b套，依题意有：
4y＝a＋b＋×4y，即3y 2a 2b＝0①，
6（2x 30 y）＝61×6＋5a＋4b，即12x 6y 5a 4b＝546②，
10a＋8b＝a＋1350，即9a＋8b＝1350③，
②＋③得12x 6y＋4a＋4b＝1896，即6x 3y＋2a＋2b＝948④，
①＋④得6x＝948，解得x＝158，
则x＋2x 30＝3x 30＝474 30＝444
故第一次销售的所有礼盒共有444套．
故答案为：444．
【分析】先设第一次“樱有尽有”礼盒数量为x，“茄子初丹”为y，第二次“春分”a套，"夏至“b套，根据荔枝、草莓总盒数相等及第三个条件列出方程，联立求解x的，再计算第一次总礼盒数即可.
三、解答题（9题，共86分）
17．解下列方程组：
（1）
（2） ．
【答案】（1）解：① +②， 得 ，
所以 ．
把 代人 ②，
得 ．
所以原方程组的解是
（2）解：整理可得
由①+2×②得7s=21
解得，
将 代人 ②，
得 ，
解得 ，
所以原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）运用加减消元法，让①+②消去y，求出x后代入再求出y，即可得出原方程组的解；（2）运用加减消元法，①+2×②消去t，求出s后代入再求出t，即可得出原方程组的解.
18．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示.现将三角形ABC平移，使点移动到点，点E、F分别是点B、C的对应点.
（1）请画出平移后的三角形DEF；
（2）连接BE和CF；求四边形BCFE的面积．
【答案】（1）解：由题意得，三角形ABC向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形DEF，如图，三角形DEF即为所求.
（2）解：如图， 线段BE， CF即为所求.
四边形BCFE的面积为：3×2=6.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】(1)由题意得，三角形ABC向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形DEF，结合平移的性质画图即可.
(2)直接连接BE和CF即可，利用平行四边形的面积公式计算即可.
19．解不等式（组)：
（1）并把解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组 并写出它的整数解.
【答案】（1）解：
∴6-2（2x-4)≥3（1-5x)，
6-4x+8≥3-15x，
-4x+15x≥3-6-8，
11x≥-11，
则x≥-1，
将解集表示在数轴上如下：
（2）解：解不等式①得： x≥-3，
解不等式②得： x<3，
则不等式组的解集为-3≤x<3，其整数解为-3、-2、-1、0、1、2.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再求出整数解即可求出答案.
20．在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC.
（1）如图（1），AD⊥BC 于 D，若∠C=75°， ，求∠EAD的度数.
（2）如图（1），AD⊥BC 于 D，判断∠EAD= 是否成立，并说明你的理由.
（3）如图（2），F为AE上一点，FD⊥BC于 D，这时∠EFD与∠B，∠C 又有什么数量关系 （不用证明）
【答案】（1）解：∵∠C=75°，∠B=35°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=70°.
∵ AE 平分∠BAC，
又∵AD⊥BC，
∴ ∠DAC= 90° - ∠C = 15°，
∴ ∠EAD =∠EAC-∠DAC=20°.
（2）解：成立.
理由如下：∵ AE 平分∠BAC，
（3）解：
如图，过A作AG⊥BC 于 G.
由 (2) 知，
90°.
∵ FD⊥BC，
∴∠FDG=90°，
∴ ∠AGC=∠FDG，
∴FD∥AG，
∴∠EFD=∠EAG，
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】⑴根据三角形内角和定理得∠BAC的度数，再根据角平分线定义得∠EAC的度数，最后根据直角三角形两锐角互余得 ∠EAD的度数 .
⑵根据三角形内角和定理、角平分线定义及直角三角形两锐角互余推理可得.
⑶借助（2）的结论，结合平行线性质得∠EFD=∠EAG，从而得到.
21．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目。学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球。已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元。
（1）求排球、足球的单价各是多少元
（2）根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用。
【答案】（1）解：设排球的单价是元，足球的单价是元，
根据题意，得，
解得。
答：排球的单价是90元，足球的单价是70元
（2）解：设购买个排球，则购买个足球，
根据题意，得，
解得。
设学校购买排球和足球的总费用为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
又，且为整数，
当时，取得最小值5100，此时（个）。
答：最省钱的一种购买方案为：购买45个排球，15个足球，此时的总费用是5100元。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设排球的单价是元，足球的单价是元，根据 购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元 ，可得出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设购买个排球，则购买个足球， 购买足球的数量不多于排球数量的，且总费用不超过5200元，可得出不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，进而设学校购买排球和足球的总费用为元，则，根据一次函数的性质，结合不等式组的整数解，即可得出最省钱的一种购买方案。
22．在△ABC中，∠ACB=90°，D，E 分别是边AC，BC上的点，P 是AB 上的一个动点，设∠DPE=α.
（1）如图1，若点 P 在线段AB 上，α=50°，J则∠ADP+∠PEB=　 　°.
（2）如图2，若点 P 在边 AB 上，试判断α，∠ADP，∠PEB之间的数量关系，并说明理由.
（3）如图3，当点 P 运动到边AB 的延长线上时，直接写出α，∠ADP，∠PEB 之间的数量关系.
【答案】（1）140
（2）解：∠ADP+∠PEB=90°+α.理由如下：
∵∠ADP=180°-∠CDP，∠PEB=180°-∠CEP，且∠CDP+∠CEP=360°-∠C-∠DPE=360°-90°-α=270°-α，
∴∠ADP+∠PEB=90°+α.
（3）∠ADP=90°+∠PEB+α
【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： (1) ①如图1中， 连接PC.
PE，
故答案为：140°.
（3）解：∠ADP=90°+∠PEB+α.理由如下：
由外角的性质可知，∠ADP=∠C+∠CMD，∠CMD=∠PEB+∠DPE，
∴∠ADP=90°+∠PEB+α，
【分析】(1)如图1中， 连接PC.证明 即可.
（2）利用（1）中结论解决问题.
(3)利用三角形的外角的性质解决问题即可.
23．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.
例如：方程 2x-6=0的解为 x=3，不等式组 的解集为 1（1）在方程①3x-2=0， ②x+1=0， ③x-（3x+1)=-5 中，不等式组 的关联方程是　 　；（填序号)
（2）若不等式组 的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　 　；（写出一个即可)
（3）若方程 都是关于 x的不等式组 的关联方程，求 m的取值范围.
【答案】（1）①③
（2）x-1=0
（3）解： 得： m方程 2x-1=x+2的解为 x=3，方程的解为 x=2.
∴m的取值范围为 1≤m<2.
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：（1），解得：-1①3x-2=0，解得：
∵
∴①是方程组的关联方程
②x+1=0，解得：
∵
∴②不是方程组的关联方程
③x-（3x+1)=-5，解得：x=2
∵-1<2<4
∴③是方程组的关联方程
故答案为：①③
（2）解得：，则整数解为x=1
∴这个关联方程可以是x-1=0
故答案为：x-1=0
【分析】（1）求出不等式组的解集，再根据关联方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）求出不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可求出答案.
（3）求出不等式组的解集，再根据关联方程的定义建立不等式即可求出答案.
24．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，可得
1.2+0.2（n-1）
=1.2+0.2n-0.2
=1+0.2n（m）
答：当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为（1+0.2n）m
（2）解：当L=2.6时，0.2n+1=2.6
解得，n=8
2×8=16（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
解得：
因为x为正整数，
所以x=3，4，5，
所以共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次。
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据图①可知，一辆购物车车身长1.2m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m，列出函数关系式；
（2）把L=2.6代入（1）中的解析式，求出n的值即可；
（3）设用扶手电梯运输x次，则直立电梯运输（5-x）次，根据题意得到，求出m的取值范围，然后再根据x的取值，最后再确定据此方案即可
（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放时长，
故答案为：．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，
因此由（1）可得，
解得，
（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
25．【问题背景】
在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答：
【构造联系】
（1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________．
【深入探究】
（2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，．
①当平分时，求的度数．
②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数．
【拓展探索】
（3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系．
【答案】（1）②③；④；
（2）①∵平分，
∴，
∴；
②∵平分，
∴
，
∵平分，
∴
，
∴
；
（3）或
【知识点】角的运算；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）图①中；
图②中；
图③中，
∴；
图④中；
∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④；（2）
（3）当在内部时，如图所示：
∵平分，
∴
，
∵平分，
∴
，
∴
，
即此时；
当在外部，且、在上方时，如图所示：
∵平分，
∴
，
∵平分，
∴
∴
，
即此时；
当在外部，且在上方，在下方时，如图所示：
∵平分，
∴
，
∵平分，
∴，
∴
，
即此时；
当在外部，且在下方，在下方时，如图所示：
∵平分，
∴，
∵平分，
∴
，
∴
，
即此时；
当在外部，且在下方，在上方时，如图所示：
∵平分，
∴
，
∵平分，
∴
，
∴
，
即此时；
综上分析可知：或．
【分析】（1）本题考察角的关系判断（相等、互补），解题需结合三角尺的固定角度，计算每个摆法中和的度数或关系。摆法①：，互为余角；摆法②：，，因此；摆法③：，，同角的余角相等，故；摆法④：，互为补角；因此相等的摆法是②③，互补的摆法是④。
（2）①本题考察角平分线的定义和角的和差计算，解题需先利用角平分线求出相关角的度数，再通过和差关系求解。已知，平分，根据角平分线定义，；又因为，且，所以。
②本题考察角平分线定义和复杂角的和差计算，解题需通过设未知数表示相关角，再推导目标角。设，因为平分，且，所以；平分，且，所以；又因为，代入得，因此。
（3）本题考察旋转过程中角的动态关系，需结合角平分线定义分情况讨论。当在内部时，平分得，平分得，通过推导，得；当在外部部分情况时，同理推导可得，另一些情况则推导得，整理后为；综上，数量关系为或。
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