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浙教版八下数学期末两周冲刺复习——特殊平行四边形概念回顾
一、矩形
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　)。
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是DO，AO的中点。若AB=4 ，BC=4，则△OEF的周长为（　　)。
A．6 B． C． D．
3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将一把含30°角的三角尺放置在矩形纸板上，∠AMF=90°，已知矩形纸板的长是宽的2倍，M是BC的中点，则∠AFE的度数为　 　。
5． 如图，AC，BD 为矩形ABCD 的对角线，DE⊥AC 于点 E，∠BDE=20°，则∠ACB 的度数为　 　.
6．如图， AFDE的顶点F在矩形ABCD的边BC上，点F与点B，C不重合，若△AED的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积之和为　 　。
7．如图，在 ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.求证：四边形BECD是矩形.
二、菱形
8．四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（　　）
A．∠BAD=∠ABC B．AB⊥BD C．AC⊥BD D．AC=BD
9．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD属于菱形的依据是（　　)。
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
10．菱形不具备的性质是（　　)。
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．属于轴对称图形 D．属于中心对称图形
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点的坐标是O（0，0)，点B的坐标是（0，1)，且. 则点A的坐标是　 　。
12．如图，在菱形中，，连接，则　 　度．
13．如图将菱形的沿翻折，使点C落在边上，连结，，如果，设的面积为，的面积为，则　 　，　 　．
14．小惠自编一题： “如图， 在四边形 中， 对角线 交于点 ． 求证： 四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠： 小洁：
证明： ， 这个题目还缺少条件， 需要补充一个条件才 能证明．
垂直平分 ．
，
四边形 是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打 “ √ ”；若赞成小洁的说法， 请你补充一个条件， 并证明．
三、正方形
15． 如图，已知 ABCD 的对角线AC，BD交于点O，添加下列条件后， ABCD 不一定是正方形的是(　　)
A．AB=AD，AC=BD B．AB=BC，AC⊥BD
C．∠BAD=90°，AC⊥BD D．∠AOD=90°，AO=DO
16．已知四边形 ABCD 是平行四边形，有下列结论：
①当AB=BC时，它是菱形；
②当AC⊥BD 时，它是菱形；
③当∠ABC=90°时，它是矩形；
④当AC=BD时，它是正方形.
其中正确的是 (填序号).
17．“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．如图由两个全等的矩形和矩形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点A，B，D在一条直线上，若，则拼补后的正方形边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
18．添加一个条件，使矩形 ABCD 成为正方形，这个条件可以是　 　.
19．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则（2）处可以添加的条件是　 　．
20． 如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，连结GE并两端延长，交AD于点P，交BC于点Q.若， ，则BQ=　 　.
21．如图，四边形是正方形，是上任意一点（点与、不重合），于，于．
（1）求证：；
（2）求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A.对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B.两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
D.其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理逐项判断解答即可.
2．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC=4，OA=， OD=，AC=BD，
∴AC=，OA=OD=4，
∵点E、F分别是DO、AO的中点，
∴EF是△OAD的中位线，OE=OF=2，
∴EF==2，
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=6，
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质和勾股定理得出AC，再证明EF是△OAD的中位线，由中位线定理得出OE=OF=OA，即可求出△OEF的周长.
3．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，AD∥BC，AB∥CD，OA=OB=OC=OD，
∴，∠OBC=∠OCB，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故答案为：C．
【分析】矩形性质为：①对角线相等且互相平分，②四个内角都是直角，③对边平行且相等，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】15°
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵BC=2AB=2BM，
∴AB=BM，
∴∠AMB=45°，
∵∠AMF=90°，
∴∠FMC=45°，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD//BC，
∴∠AFM=∠FMC=45°
∵∠MFE=60°，
∴∠AFE=15°
故答案为：15°.
【分析】由BC=2AB=2BM，得到△ABM是等腰直角三角形，又根据四边形ABCD是矩形，得到AD//BC，推出∠AFM=∠FMC=45°，因为∠MFE=60°，得到∠AFE=15°.
5．【答案】35°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，
四边形 ABCD 是矩形，
故答案为：35° .
【分析】根据三角形外角求出∠BOC的度数，然后根据矩形的性质、等边对等角和三角形的内角和定理解答即可.
6．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形AFDE是平行四边形
∴S△ADE=S△ADF=4
∵四边形ABCD是矩形
∴阴影部分两个三角形的面积和=S△ADF=4
故答案为：4.
【分析】 由平行四边形的性质可得S△ADE=S△ADF=4，由矩形的性质可得阴影部分两个三角形的面积和=S△ADF=4.
7．【答案】证明：∵四边形ABD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出CD＝AB，CD∥AB，证出BE＝CD，则四边形BECD是平行四边形，证∠DBE＝90°，即可得出结论.
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
又∵∠BAD=∠ABC，
∴∠BAD=90°，即四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
B：AB⊥BD，不能判断四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
C：∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故符合题意；
D：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定定理逐项判断解答即可.
9．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解： 由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形）判断即可.
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解： 菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质进行判断即可.
11．【答案】(2，0)
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC=90°，OC=OA，
∵点B的坐标是（0，1），
∴OB=1，
在直角三角形BOC中，
∴OC=2，
∵C和A关于原点对称，
∴A坐标为(2，0)
故答案为：(2，0).
【分析】 根据菱形性质得OC的长，因而得点C的坐标，根据对称性质可得答案.
12．【答案】63
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵是菱形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
13．【答案】 ；
【知识点】公式法解一元二次方程；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在上取一点G，使，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由翻折得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由翻折可得DC=DE
∵△DAE≌△DFC
∴ DE=DF
∴DC=DF，
∴，
∴，
∴，
由得；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】本题首先根据三个等腰三角形、、全等，可得，利用即可求；构造，利用相似比和求出面积比，利用等高求出，进而得到．
14．【答案】解：赞成小洁的说法， 补充条件： ，
证明如下：
，
四边形ABCD是平行四边形．
又
∴ 平行四边形 是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行分析解答即可.
15．【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A： 添加AB=AD，AC=BD，则平行四边形ABCD是正方形，不符合题意；
B：添加 AB=BC，AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形，符合题意；
C：添加 ∠BAD=90°，AC⊥BD ，则平行四边形ABCD是正方形，不符合题意；
D：添加 ∠AOD=90°，AO=DO ，则平行四边形ABCD是正方形，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据正方形的性质解答即可.
16．【答案】①②③
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①当AB=BC时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断它是菱形，故①正确；
②当 时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断它是菱形，故②正确；
③当 时，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断它是矩形，故③正确；
④当AC=BD时，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断它是矩形，故④错误；
故正确的是：①②③.
故答案为：①②③ .
【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理解答即可.
17．【答案】A
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵矩形和矩形全等，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴正方形的面积=，
∴正方形边长为.
故选：A．
【分析】根据矩形和矩形全等，四边形是正方形，可知，，，再根据， 可求出的长，进而可求出正方形的面积，再求算术平方根即可.
18．【答案】AB=BC(答案不唯一)
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解： 使矩形 ABCD 成为正方形，添加的条件是：AB=BC，
故答案为：AB=BC .
【分析】根据一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形解答即可.
19．【答案】有一组邻边相等（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填一个角是直角；对角线相等的平行四边形是矩形，则（1）处可填对角线相等；
有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填有一组邻边相等；对角线互相垂直的矩形是正方形，则（2）处可填 对角线互相垂直 ；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处填有一组邻边相等； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则（3）处填 对角线互相垂直；
有一个角是直角的菱形是正方形，则（4）处可填有一个角是直角；对角线相等的菱形是正方形，则（4）处可填 对角线相等 .
故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）．
【分析】由于矩形、菱形是特殊的平行四边形，故在平行四边形的基础上添加矩形具有的特殊性质“一个内角是直角或对角线相等”可得该平行四边形是矩形；在平行四边形的基础上添加菱形具有的特殊性质“邻边相等或对角线互相垂直”可得该平行四边形是菱形；由于正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故在菱形基础上添加矩形的特殊性质“一个内角是直角或对角线相等”可得该菱形是矩形；在矩形基础上添加菱形的特殊性质“邻边相等或对角线互相垂直”可得该矩形是正方形，据此解答即可.
20．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：延长AE交BC于点I，
∵△ABE≌△DAH≌△BCF≌△CDG
∴BF=AE=2
∴EF=BF-BE=1
∴E为BF的中点
又∵EI||CF
∴I为BC的中点，EI为△BCF的中位线
∴EI=CF=
∵AP||QI
∴，设QI=a，则AP=4a
在△BEQ和△DGP中
∴△BEQ≌△DGP
∴PD=BQ
设BQ=b，则PD=b
∵I为BC的中点
∴4a+b=2(a+b)得b=2a，故BQ=
故答案为： .
【分析】延长AE交BC于点I，可得EI的长，由AP||QI可得AP：QI=4，设QI、BQ的长，由中点可知BQ=2QI，即可得BQ的长.
21．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：由（1）知：，
∴，
∵，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形性质得，，再根据垂直定义得，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等证明，进而可依据“”判定；
（2）根据全等三角形对应边相等得，，然后再根据线段和差、等量代换即可得出结论.
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∵，
∴．
1 / 1浙教版八下数学期末两周冲刺复习——特殊平行四边形概念回顾
一、矩形
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　)。
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A.对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B.两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
D.其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理逐项判断解答即可.
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是DO，AO的中点。若AB=4 ，BC=4，则△OEF的周长为（　　)。
A．6 B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC=4，OA=， OD=，AC=BD，
∴AC=，OA=OD=4，
∵点E、F分别是DO、AO的中点，
∴EF是△OAD的中位线，OE=OF=2，
∴EF==2，
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=6，
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质和勾股定理得出AC，再证明EF是△OAD的中位线，由中位线定理得出OE=OF=OA，即可求出△OEF的周长.
3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，AD∥BC，AB∥CD，OA=OB=OC=OD，
∴，∠OBC=∠OCB，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故答案为：C．
【分析】矩形性质为：①对角线相等且互相平分，②四个内角都是直角，③对边平行且相等，据此逐一判断得出答案.
4．如图，将一把含30°角的三角尺放置在矩形纸板上，∠AMF=90°，已知矩形纸板的长是宽的2倍，M是BC的中点，则∠AFE的度数为　 　。
【答案】15°
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵BC=2AB=2BM，
∴AB=BM，
∴∠AMB=45°，
∵∠AMF=90°，
∴∠FMC=45°，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD//BC，
∴∠AFM=∠FMC=45°
∵∠MFE=60°，
∴∠AFE=15°
故答案为：15°.
【分析】由BC=2AB=2BM，得到△ABM是等腰直角三角形，又根据四边形ABCD是矩形，得到AD//BC，推出∠AFM=∠FMC=45°，因为∠MFE=60°，得到∠AFE=15°.
5． 如图，AC，BD 为矩形ABCD 的对角线，DE⊥AC 于点 E，∠BDE=20°，则∠ACB 的度数为　 　.
【答案】35°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，
四边形 ABCD 是矩形，
故答案为：35° .
【分析】根据三角形外角求出∠BOC的度数，然后根据矩形的性质、等边对等角和三角形的内角和定理解答即可.
6．如图， AFDE的顶点F在矩形ABCD的边BC上，点F与点B，C不重合，若△AED的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积之和为　 　。
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形AFDE是平行四边形
∴S△ADE=S△ADF=4
∵四边形ABCD是矩形
∴阴影部分两个三角形的面积和=S△ADF=4
故答案为：4.
【分析】 由平行四边形的性质可得S△ADE=S△ADF=4，由矩形的性质可得阴影部分两个三角形的面积和=S△ADF=4.
7．如图，在 ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.求证：四边形BECD是矩形.
【答案】证明：∵四边形ABD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出CD＝AB，CD∥AB，证出BE＝CD，则四边形BECD是平行四边形，证∠DBE＝90°，即可得出结论.
二、菱形
8．四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（　　）
A．∠BAD=∠ABC B．AB⊥BD C．AC⊥BD D．AC=BD
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
又∵∠BAD=∠ABC，
∴∠BAD=90°，即四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
B：AB⊥BD，不能判断四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
C：∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故符合题意；
D：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定定理逐项判断解答即可.
9．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD属于菱形的依据是（　　)。
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解： 由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形）判断即可.
10．菱形不具备的性质是（　　)。
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．属于轴对称图形 D．属于中心对称图形
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解： 菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质进行判断即可.
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点的坐标是O（0，0)，点B的坐标是（0，1)，且. 则点A的坐标是　 　。
【答案】(2，0)
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC=90°，OC=OA，
∵点B的坐标是（0，1），
∴OB=1，
在直角三角形BOC中，
∴OC=2，
∵C和A关于原点对称，
∴A坐标为(2，0)
故答案为：(2，0).
【分析】 根据菱形性质得OC的长，因而得点C的坐标，根据对称性质可得答案.
12．如图，在菱形中，，连接，则　 　度．
【答案】63
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵是菱形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
13．如图将菱形的沿翻折，使点C落在边上，连结，，如果，设的面积为，的面积为，则　 　，　 　．
【答案】 ；
【知识点】公式法解一元二次方程；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在上取一点G，使，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由翻折得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由翻折可得DC=DE
∵△DAE≌△DFC
∴ DE=DF
∴DC=DF，
∴，
∴，
∴，
由得；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】本题首先根据三个等腰三角形、、全等，可得，利用即可求；构造，利用相似比和求出面积比，利用等高求出，进而得到．
14．小惠自编一题： “如图， 在四边形 中， 对角线 交于点 ． 求证： 四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠： 小洁：
证明： ， 这个题目还缺少条件， 需要补充一个条件才 能证明．
垂直平分 ．
，
四边形 是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打 “ √ ”；若赞成小洁的说法， 请你补充一个条件， 并证明．
【答案】解：赞成小洁的说法， 补充条件： ，
证明如下：
，
四边形ABCD是平行四边形．
又
∴ 平行四边形 是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行分析解答即可.
三、正方形
15． 如图，已知 ABCD 的对角线AC，BD交于点O，添加下列条件后， ABCD 不一定是正方形的是(　　)
A．AB=AD，AC=BD B．AB=BC，AC⊥BD
C．∠BAD=90°，AC⊥BD D．∠AOD=90°，AO=DO
【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A： 添加AB=AD，AC=BD，则平行四边形ABCD是正方形，不符合题意；
B：添加 AB=BC，AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形，符合题意；
C：添加 ∠BAD=90°，AC⊥BD ，则平行四边形ABCD是正方形，不符合题意；
D：添加 ∠AOD=90°，AO=DO ，则平行四边形ABCD是正方形，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据正方形的性质解答即可.
16．已知四边形 ABCD 是平行四边形，有下列结论：
①当AB=BC时，它是菱形；
②当AC⊥BD 时，它是菱形；
③当∠ABC=90°时，它是矩形；
④当AC=BD时，它是正方形.
其中正确的是 (填序号).
【答案】①②③
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①当AB=BC时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断它是菱形，故①正确；
②当 时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断它是菱形，故②正确；
③当 时，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断它是矩形，故③正确；
④当AC=BD时，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断它是矩形，故④错误；
故正确的是：①②③.
故答案为：①②③ .
【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理解答即可.
17．“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．如图由两个全等的矩形和矩形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点A，B，D在一条直线上，若，则拼补后的正方形边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵矩形和矩形全等，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴正方形的面积=，
∴正方形边长为.
故选：A．
【分析】根据矩形和矩形全等，四边形是正方形，可知，，，再根据， 可求出的长，进而可求出正方形的面积，再求算术平方根即可.
18．添加一个条件，使矩形 ABCD 成为正方形，这个条件可以是　 　.
【答案】AB=BC(答案不唯一)
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解： 使矩形 ABCD 成为正方形，添加的条件是：AB=BC，
故答案为：AB=BC .
【分析】根据一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形解答即可.
19．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则（2）处可以添加的条件是　 　．
【答案】有一组邻边相等（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填一个角是直角；对角线相等的平行四边形是矩形，则（1）处可填对角线相等；
有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填有一组邻边相等；对角线互相垂直的矩形是正方形，则（2）处可填 对角线互相垂直 ；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处填有一组邻边相等； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则（3）处填 对角线互相垂直；
有一个角是直角的菱形是正方形，则（4）处可填有一个角是直角；对角线相等的菱形是正方形，则（4）处可填 对角线相等 .
故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）．
【分析】由于矩形、菱形是特殊的平行四边形，故在平行四边形的基础上添加矩形具有的特殊性质“一个内角是直角或对角线相等”可得该平行四边形是矩形；在平行四边形的基础上添加菱形具有的特殊性质“邻边相等或对角线互相垂直”可得该平行四边形是菱形；由于正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故在菱形基础上添加矩形的特殊性质“一个内角是直角或对角线相等”可得该菱形是矩形；在矩形基础上添加菱形的特殊性质“邻边相等或对角线互相垂直”可得该矩形是正方形，据此解答即可.
20． 如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，连结GE并两端延长，交AD于点P，交BC于点Q.若， ，则BQ=　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：延长AE交BC于点I，
∵△ABE≌△DAH≌△BCF≌△CDG
∴BF=AE=2
∴EF=BF-BE=1
∴E为BF的中点
又∵EI||CF
∴I为BC的中点，EI为△BCF的中位线
∴EI=CF=
∵AP||QI
∴，设QI=a，则AP=4a
在△BEQ和△DGP中
∴△BEQ≌△DGP
∴PD=BQ
设BQ=b，则PD=b
∵I为BC的中点
∴4a+b=2(a+b)得b=2a，故BQ=
故答案为： .
【分析】延长AE交BC于点I，可得EI的长，由AP||QI可得AP：QI=4，设QI、BQ的长，由中点可知BQ=2QI，即可得BQ的长.
21．如图，四边形是正方形，是上任意一点（点与、不重合），于，于．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：由（1）知：，
∴，
∵，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形性质得，，再根据垂直定义得，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等证明，进而可依据“”判定；
（2）根据全等三角形对应边相等得，，然后再根据线段和差、等量代换即可得出结论.
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∵，
∴．
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