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广西壮族自治区贵港市2026年初中学业水平考试第二次适应性检测 数学
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．2025年9月3日，东风液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
6．南宁市教育和体育局为了了解该市义务教育阶段学校120万名学生眼睛视力情况，在南宁市所属各区县不同地区的学校按照学生比例随机抽查了5万名学生进行测试，并将结果进行统计，在这个调查中，下列说法正确的是（ ）
A．样本容量是5万名学生
B．总体是该市义务教育阶段学校的120万名学生的视力情况
C．这个调查是全面调查
D．个体是该市义务教育阶段学校的每一名学生
7．下列各式中，化简后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
8．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．三年多来，在文旅融合政策的推动下，某市的文旅产业实现健康快速发展，2023年全市旅游总收入约100亿元，2025年旅游总收入提升至121亿元，那么2023年到2025年的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
10．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
12．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④；⑤若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
13．25的算术平方根是 _______ .
14．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是_____．
15．把多项式分解因式的结果是_____．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点在反比例函数（ ）的图象上，则的面积等于______．
三、解答题
17．计算
(1)计算：；
(2)解方程组：．
18．如图，四边形是矩形，连接．
(1)实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
(2)猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．
19．2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取20名学生进行了问卷调查，调查结果以百分制呈现（结果均为整数）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：（A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
八年级20名学生成绩是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：80，81，82，85，87，89，89．
八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差八年级86a九年级b95

根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对阅兵活动相关知识更加了解？请说明理由；
(3)该校八、九年级共有学生1800人且全部参与问卷调查，请估计八、九年级共有多少名学生的成绩不低于90分？
20．如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若点B是的中点，且，求的半径．
21．项目式学习：
项目式学习：小区新能源充电设施优化方案
项目背景 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持．
核心素材
(1)项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
(2)项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．
22．【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离水平面的距离为米．
请尝试解决以下问题：
【数学建模】
(1)设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式：
【实践探究】
(2)在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为米，求该点到支架的水平距离；
【拓展应用】
(3)为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段，，组成，点F在线段上，．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架的最大长度．
23．新定义：如图1，对于平面内的一个四边形，Y是上一点，连接，，存在点Y，使得且，我们称四边形是“直角等距四边形”，点Y是四边形的“等垂点”．
【初步探索】
(1)如图2，矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则和的数量关系是______；
【类比探究】
(2)如图3，四边形是“直角等距四边形”，Q是它的“等垂点”，分别过点J，K作的垂线，垂足分别为M和N．
①求证：；
②若，，求的长；
【拓展应用】
(3)如图4，在中，，，，点U，V为中不在同一边上的两点，且点U为所在边的中点，若以R，U，V，T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求的长．
参考答案
1．A
【详解】解：的相反数为，
故选：A．
2．B
【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征，
∴点位于第二象限．
3．D
【详解】解：．
故选：D．
4．A
【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
5．A
【详解】解：东风洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同．
6．B
【详解】解：样本容量是样本中个体的数目，是一个数值，不能表述为“5万名学生”，
A选项说法错误；
总体是考查对象的全体，本题考查对象是该市义务教育阶段120万名学生的视力情况，
B选项说法正确；
本次调查只抽取部分学生进行测试，属于抽样调查，不是全面调查，
C选项说法错误；
个体是总体中每一个考查对象，本题个体是该市义务教育阶段每一名学生的视力情况，不是每一名学生本身，
D选项说法错误．
7．B
【详解】解：同类二次根式化简后被开方数相同才可合并
对各选项依次化简：
选项A，，被开方数为，不能与合并；
选项B，，被开方数为，能与合并；
选项C，，被开方数为，不能与合并；
选项D，，被开方数为，不能与合并；
8．C
【详解】解：如下图所示，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．
9．A
【详解】解：设2023年到2025年的年平均增长率为，
2023年旅游总收入为100亿元，经过两年增长后2025年总收入为121亿元，
可列方程为，
两边同除以100得，
增长率为正数，
，
解得，
即年平均增长率为．
10．C
【详解】解：令和相交于点，
，
，
，
，
．
11．D
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，，
如图所示：
∵于点E，于点F，
∴四边形是矩形，则，
当时，的值最小，即的值最小，
∴，
∴，
∴的最小值为．
12．B
【详解】解：①由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则，故①错误；
②函数的对称轴是，开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，故②错误；
③当时，方程有一根在和之间，抛物线对称轴为，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当时，函数值小于0，
则，故③正确；
④∵抛物线对称轴为，则，
∴，故④正确；
⑤抛物线的顶点为，
∴方程没有实数根时，
∴抛物线顶点在x轴下方,
∴，
∴，故⑤正确，
∴正确的选项有③④⑤共3个．
13．5
【详解】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5，
故答案为：5．
14．
【详解】解：∵某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，
∴恰好选中《算学启蒙》的概率是，
故答案为：
15．
【详解】解：=．
故答案为．
16．
【详解】解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足为，则，
∴，
∵是的中线，
∴，
设，则，
∵点在反比例函数（）的图象上，
∴的横坐标为，的横坐标为，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：得：，
解得，
将代入①，解得，
．
18．(1)见解析
(2)，证明见解析
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：猜想，
证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵．
∴，，
∵，
∴
∵的平分线，交于点M．
∴，
∴，
∴
19．(1)，，
(2)九年级学生对阅兵活动相关知识更加了解，理由见解析
(3)人
【详解】（1）解：众数，
中位数是第位数据，的人数为：人，
的人数为：人，
故，
组所占百分比，
；
（2）解：九年级学生对阅兵活动相关知识更加了解，理由如下：八、九年级的平均分均为分，九年级的中位数，众数均高于八年级的中位数，故整体上看九年级学生竞赛成绩较好．
（3）解：九年级组人数：人，
八年级90分以上人，
人．
20．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
是的半径，
故是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
点B是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
故的半径为．
21．(1)
单枪充电桩单价为2000元/个，双枪充电桩单价为3200元/个
(2)
小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个
【详解】（1）解：根据题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元/个），
答：单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个；
（2）解∶单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个），
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个），
设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，
总花费为元，
∵此次加购支出不超过26880元，
∴，
解得，
∵为整数，
∴a的最小值为4，
答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个．
22．(1)
(2)该点到支架的水平距离为米或米；
(3)支架的最大长度为．
【详解】（1）解：由题知，，抛物线的顶点坐标为，
，
代入点可得，，解得，
．
（2）解：令，即，
解得，
答：该点到支架的水平距离为米或米；
（3）解：由题知，，
当时，，
，
设直线的解析式为，代入，，
可得，
解得，
直线的解析式为，
，
设，
点F在线段上，，
，
，
，
，
，
当时，有最大值1.125．
支架的最大长度为．
23．(1)
(2)①见解析；②
(3)或
【详解】（1）解：，证明如下：
过点作，则四边形是矩形，
∴，
矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，
，，
是等腰直角三角形，
，
矩形，
，
；
（2）解：①证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②，，四边形是“直角等距四边形”，
，
为等腰三角形，，
点为的中点，
，
在中，，
由①知，
，
是等腰三角形，，
故点为中点，
，
；
（3）解：在中，，，
，
当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”．
过作于，
∴，
∴，
∴，
设，
由“等垂点”可得，，
∴，、
∵，
，
，，
∵，
∴，解得，
∴；
当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”．
过作于，
∴，
∴，
∴，
解得，
由“等垂点”可得，，同理可得，
，，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或 ．

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