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2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题
一、单选题
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列简笔画中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．某校创建了五个社团：文学社、天文社、辩论社、党宣部、曲艺社，圆圆从中随机选择一个社团加入，则选中“党宣部”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列为解分式方程的其中四个步骤，其中错误的步骤是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．下列调查中，适合抽样调查的是（ ）
A．了解某班同学期中考试的数学成绩
B．了解全市中小学生的身高情况
C．了解一张试卷的知识点分布情况
D．对乘坐某班次飞机的乘客进行安检
8．在平面直角坐标系中，点绕原点旋转得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点
B．图象位于第二、四象限
C．当时，随的增大而减小
D．当时，随的增大而增大
10．《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ）
A．（千米） B．（千米）
C．（千米） D．（千米）
12．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，有一段之字形路段，经过两次转弯后的路段与初始路段保持平行，若第一次转弯时，则__________．
14．分解因式：____________．
15．游泳池完成换水需要经过“排水—清洗—注水”三个过程．图中折线表示的是该游泳池在换水过程中池中的水量与时间之间的关系，则清洗游泳池所用的时间为____．
16．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________．
三、解答题
17．按要求解题：
(1)计算：；
(2)解不等式组：．
18．2025年12月15日，我国新型高空高速长航时无人机彩虹成功首飞．某玩具商为吸引客源，现决定购买，两种无人机模型共100架，已知购买1架模型和1架模型共需65元；购买2架模型和1架模型共需100元．
(1)求，两种无人机模型的单价分别为多少元；
(2)若玩具商决定购买以上两种无人机模型的总费用不超过3300元，那么他最多可以购买种无人机模型多少架？
19．为增强学生安全意识，某校举行了一次全校2000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
安全知识竞赛成绩频数分布直方图安全知识竞赛成绩扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：__________，__________；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)扇形统计图中D等级所在扇形的圆心角度数为_________度；
(4)若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
20．如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若所对圆心角的度数为，求的度数．
21．某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）．
水平距离
竖直高度
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分．
(1)【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)【应用模型】羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是多少？
22．【综合实践】测量铜像高度
【工具准备】边长为且一边带有刻度的正方形硬纸板、量角器．
【测量步骤】如图，将正方形硬纸板斜放在地面上，使得，，三点在同一直线上，，将点对准点，视线经过边上一点，读取，测得．
【查阅数据】，．
【计算结果】
(1)求的长度；
(2)求铜像的高度．
23．【基础探究】
在正方形中，，点分别在边上，与相交于点．
(1)①如图1，若点分别是的中点，则___________；
②如图2，若，则___________；
【类比探究】
在菱形中，，点分别在边上，对角线相交于点，与相交于点，连接交于点．
(2)①如图3，若点分别是的中点，求的值；
②如图4，若，求证：；
【拓展延伸】
(3)如图5，在四边形中，，且，点为的中点．若，请直接写出的值．
参考答案
1．A
【详解】解：∵是负数，其余三个数都是非负数，
∴，
∴四个数中最小的数是．
2．D
【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
3．B
【详解】解：圆圆随机选择社团时，总共有5种等可能的结果，其中选中“党宣部”的结果只有1种.
根据概率公式，得选中“党宣部”的概率为 ，B选项符合题意．
4．D
【详解】解：选项A：，A错误；
选项B：，B错误；
选项C：，C错误；
选项D：，D正确．
5．D
【详解】解：，
方程两边同乘最简公分母，
可得，故正确，
展开多项式并去括号，可得，
即，故正确，
合并同类项可得，故正确，
移项整理可得，与不符，故错误．
6．C
【详解】解：点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，
可得点的横坐标为，纵坐标为，
故点的坐标为．
7．B
【详解】解：选项：调查范围仅为一个班，范围小，适合全面调查；
选项：仅调查一张试卷的知识点分布，工作量小，适合全面调查；
选项：飞机安检事关公共安全，必须全面检查，适合全面调查；
选项：调查全市中小学生身高，调查范围广，工作量大，难以完成全面调查，适合抽样调查．
8．D
【详解】解：∵点绕原点旋转得到点，
∴点与点关于原点对称，
∵关于原点对称的点，横坐标和纵坐标分别是原坐标的相反数，
∴点的坐标为．
9．C
【详解】解：∵ 当时，，
∴A错误；
∵ ，
∴ 反比例函数图象位于第一、三象限，
∴B错误；
∵ ，当 时，函数图象在第三象限，
∴ 随的增大而减小，
∴正确；
∵ ，当时，函数图象在第一象限，
∴ 随的增大而减小，不是增大，
∴错误．
10．C
【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱，
若每人出5钱，还差钱，则总钱数加上还差的钱等于羊价即，
若每人出7钱，还差3钱，则总钱数加上还差的3钱等于羊价即，
因此，可列方程组为，
故选：C．
11．C
【详解】解；由题意得，，
∴劣弧的长为千米，
故选：C．
12．D
【详解】解：连接，

∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
故选：D．
13．/度
【详解】解：由题意得，
∴．
14．/
【详解】解：，
故答案为：．
15．
【详解】解：由图象可得，
排水的速度为：，
∴排水用的时间为：，
清洗游泳池所用的时间为：．
故答案为：．
16．
【详解】解：点，点，
，，
∴在中，；
连接，，，过作，，，垂足分别为，，，
是的内心，
∴分别平分
∴
∵
∴
∴
同理可得，，，
设，则，，
，
解得：，
∴，
的坐标为，
点关于轴对称的点的坐标是．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式．
（2）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
18．(1)模型的单价是35元，模型的单价是30元
(2)该玩具商最多可以购买模型60架．
【详解】（1）解：设模型的单价是元，模型的单价是元，
根据题意，解得，
答：模型的单价是35元，模型的单价是30元；
（2）解：设该玩具商购买模型架，则购买模型架，
根据题意得，解得，
∴的最大值为60．
答：该玩具商最多可以购买模型60架．
19．(1)，
(2)见解析
(3)
(4)320人
【详解】（1）解： ．
∵，
∴．
（2）解：等级学生有（人），
补全频数分布直方图如下：
安全知识竞赛成绩频数分布直方图
（3）解：扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为．
（4）解：（人）．
答：估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有320人．
20．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵是直径，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接
∵，
∴．
∵，
∴．
21．(1)
(2)
【详解】（1）解：将点代入，
得
解得
∴与的函数解析式为．
（2）解：．
∵，
∴当时，有最大值为．
答：羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是．
22．(1)
(2)
【详解】（1）解∶四边形是正方形，
，．
，三点共线，
， ．
， ．
．
，即．
．
答：的长度为．
（2）解：由（1）可得，
．
∵，
．
∵，
．
∴，即．
．
∴铜像的高度为．
23．(1)①；②；
(2)①；②见解析；
(3)
【详解】（1）①解：如图1，连接，设和交于点．
∵四边形是正方形，，
∴．
∵点分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
②解：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴
∴．
（2）①解：∵四边形是菱形，，
∴，，平分，
∴，
∴，
∴．
∵点分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②证明：如图2，延长至点，使，连接．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解:如图3，作，交于点，交于点，作，交的延长线于点，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴．
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．

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