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湖南省岳阳市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数满足，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．设向量，则与夹角的余弦值为（ ）
A．0 B． C． D．1
3．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题：
①存在递增数列，使得它是“攀登数列”；
②存在周期数列，使得它是“攀登数列”；
③存在等差数列，使得它是“攀登数列”；
④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列．
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
5．设，是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
7．袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线与曲线交于、两点，其中是切点，记，，则下列判断正确的是（ ）
A．只有一个极值点
B．有两个极值点，且极小值点小于极大值点
C．的极小值点小于极大值点，且极小值为
D．的极小值点大于极大值点，且极大值为2
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元／件）的情况如下表所示.则（ ）
售价x（元/件） 10 11 12 13 14
月销售量y（千件） 10 9 9 7 5
参考公式：①；②；③.
参考数据：，，，.
A．y关于x的线性回归方程为：
B．相关系数（小数点后保留两位）
C．当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件
D．在线性回归方程的估计下，样本点的残差为
10．已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（ ）
A．甲从到达处的方法有种
B．甲从必须经过到达处的方法有种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．为了鉴定新疫苗的效力，将60只小白鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，其结果如下面的列联表．根据此列联表中的数据可以求得________．
发病 未发病 合计
接种 3 27 30
未接种 17 13 30
合计 20 40 60
参考公式：，其中．
13．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长” 将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列，设第次“美好成长”后得到数列为，记，则数列的通项公式为__________.
14．已知随机变量，若，则实数的取值范围________．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：.
16．为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据，得到如下列联表：
单位：只
药物 疾病Y 合计
未患病 患病
未服用 80 40 120
服用 150 30 180
合计 230 70 300
(1)从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物”为事件，记“该动物患疾病”为事件．根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断药物对预防疾病是否有效，简要说明理由；
(2)能否有99%的把握认为药物对预防疾病有效？
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布.
(1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例；
(2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数.
参考数据：若，则，，.
18．如图，在几何体中，四边形为正方形，平面，，，，.
(1)证明：.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
19．已知双曲线的实轴的长为，离心率．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程；
(3)设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
湖南省岳阳市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷
数学试题(参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B C A C D ABD BCD
题号 11
答案 BCD
12．14.7
13．
14．
15．(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数．
(2)；
（3）要证不等式成立，
即证，
也即证不等式，
设，则，
易知是增函数，
又，，
因为，所以，所以，
所以存在唯一的，使得，时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，得，
，
因为，所以，，，
所以，
而，所以，
所以，
所以成立．
16．(1)，，有效，未服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，而服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，两者有较大差异．
因此直观判断，药物X对预防疾病Y有效．
(2)有的把握认为药物对预防疾病有效．
17．(1)
(2)8186人
18．(1)因为平面，平面，所以.
因为四边形ABCD为正方形，所以，
因为平面，所以平面，
又因平面，所以.
(2)
19．(1)
(2)或
(3)是，
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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