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期末压轴题专练-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）
1．如图 1，已知直线 MN∥PQ，点 A在直线 PQ上，点 B在直线 MN、PQ之间， ∠BAP=45°，点 C在直线MN上，记∠MCB=α.作∠ABD交直线 PQ于点 D (D在 A的右侧)使得
（1）当α=　 　时， AB⊥BC；
（2）求∠BDP (用含有α的式子表示) ；
（3）点 E为平面内一点且满足 直线 CE与直线 BD交于点 F.问∠BFC是否为定值 若是，请求出这个值，若不是，则求出∠BFC与∠MCB的数量关系.
2．如图，在由边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点和点 C1均为格点(网格线的交点) .已知点 C (-3， 3) ， C1(1， 0) .
（1）将△ABC平移得到△A1B1C1，使得点 C的对应点为 C1，在所给的网格中画出△A1B1C1；线段 AB和A1B1的关系是 ▲ ；若△ABC内任意一点 P的坐标为(a，b)，则平移后其对应点 P1的坐标为 ▲ .
（2）以点 C为旋转中心，将△ABC逆时针旋转 90°得到△A2B2C，请在所给的网格中画出△A2B2C，点A2的坐标是 ▲ .
3．甘肃敦煌100兆瓦熔盐塔式光热电站是全球最高，聚光面积最大的熔盐塔式光热电站．这种发电站通过大量“定日镜”将太阳光反射到中心处的吸热塔，将其内的熔盐加热至600多摄氏度后发电．图2是“定日镜”反射太阳光的模型：线段，表示两个“定日镜”．两条平行的光线，经过镜子反射后，都射向点H．且满足，．下面我们探究模型中角的数量关系：
（1）特殊情形：如图1，若点D，H，E在同一直线上，，求的度数；
（2）一般情形：如图2，若，．
①求与的度数（用含α，β的代数式表示）；
②与的数量关系为：________；
（3）推广拓展：如图3，加入第三面“定日镜”，平行光（）经过反射后射向点H．已知，，请直接写出与的数量关系（用含k的等式表示）．
4．如图1，“燕尾洲”是金华江、东阳江和武义江三江交汇之处，孕育了一代又一代金华人。如图 2，现测得三江交汇处夹角，为了点亮金华，现在处各安装一盏可旋转的探照灯，分别从 MA、NB、PC 开始按顺时针方向旋转，现测得，灯 M 的旋转速度为每秒，灯 N 的旋转速度为每秒，灯 P 的旋转速度为每秒，且满足．
（1）求的值；
（2）求灯开始旋转几秒时，灯光第一次与平行？
（3）设三盏灯同时从起始点开始旋转，在三盏灯各旋转到之前，求当其中两盏灯的光线平行时，灯的旋转时间；
5．如图所示，交于点，点在的延长线上，点在线段上，与相交于点，。
（1）求证：。
（2）若点在的延长线上，且，，则和相等吗请说明理由。
（3）在的条件下，若，，求的度数。
6．如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A (a，-4) ， B (-4， b) ，且满足 点 C为 y轴正半轴上的一个动点.
（1） a=　 　， b=　 　；
（2）连接 AC、OB交于点 D，若三角形 ABD和三角形 COD的面积相等，求点 C的坐标；
（3）如图 2，过点 C作 AB的平行线 l，点 M、N为直线 l上两个动点，线段 AM和线段 BN相交于点 E，且满足 AM=10， BN=8，求四边形 ABMN面积的最大值.
7．如图1，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足：，将线段平移得到线段，点A对应点C，点B对应点D，点C的横坐标与点D的纵坐标都为2．
（1）直接写出A，B，C，D四点的坐标；
（2）E是x轴上一点，三角形的面积是三角形面积的2倍，求点E的横坐标；
（3）如图2，点Q在线段上，连接交y轴于点P，连接，若三角形与三角形的面积差为2，求点Q的坐标．
8．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记.
无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 例如： 即 的整数部分为2，小数部分为.
根据以上笔记内容，请完成如下任务.
（1）任务一：的整数数部分为　 　，小数部分为　 　；
（2）任务二：a为的小数部分，b为、的整数部分，请计算的值；
（3）任务三：，其中x是整数，且09．如图，在以点为原点的平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，点在轴上，且轴，满足．一动点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点首次回到点时停止），运动时间为秒（）．
（1）点的坐标为___________，点的坐标为___________；
（2）连接，若把长方形的面积分成的两部分，求出点的坐标；
（3）点在运动过程中，是否存在点到轴的距离为个单位长度的情况，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”．
（1）若点是“完美点”，求的值；
（2）若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”．
11．在平面直角坐标系中，对于任意两点和，我们定义它们两点间的坐标距离如下：
若，则点和点的坐标距离为；
若，则点和点的坐标距离为
已知点，将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点．
（1）点的坐标为_______，两点间的坐标距离为_______；
（2）为轴正半轴上一点，为轴正半轴上一点，
①若点与点之间的坐标距离等于，求点的坐标；
②若与点之间的坐标距离均为，求两点间的坐标距离．
12．某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过10吨，则按每吨a元收费；若每月用水超过10吨，则超过部分按每吨b元收费(b>a) ．
（1）已知小明家3月份用水12吨，交水费26元；4月份用水15吨，交水费35元．求a和b的值．
（2）到了5月份，为了应对旱情，自来水公司调整了收费标准：超过10吨的部分，每吨加收1元的污水处理费，如果当月用水量超过20吨，超过20吨的部分每吨加收2元污水处理费．已知小明家5月份和6月份用水都超过20吨，且6月份的用水量比5月份多10吨．若这两个月的水费总和为192元，求小明家 5月份和 6月份各用水多少吨
13． 2026年第一季度数据显示，中国新能源汽车销量占汽车总销量的四成，每10辆新车中就有4辆是新能源车型。这表明环保理念已经深入人心，越来越多的人选择绿色出行。
（1）某新能源汽车公司4S店3月两款新车共交付100台，其中每台大型SUV利润为5万元，每台小型轿车利润为3万元，两款汽车共创利润为420万元。请问该店3月交付的大型SUV和小轿车各多少台
（2）小毛同学家想购买一台某品牌的新能源汽车，有两种购买方式：
方式一：整车购买汽车价格为30万元，一次性缴纳购车款，并需要再支付车款5%的汽车购置税
方式二：租电购买（必须购买电池），汽车和电池分开卖，汽车价格为20万元，并需要再支付车款5%的汽车购置税，5年后需要购买电池，电池价格为14万元，但随着电池技术的发展，5年后这款电池打a折，请你帮小毛同学算一算，用租电方式购买，当电池打几折的时候两种方式付款金额一样
14．2024年春晚名为《武 BOT》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用 (单位：万元)
2 3 340
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递 22万件；B型机器人每台每天可分拣快递 18万件.
（1）求A，B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人(A，B都有)，费用恰好用完 800万元，请写出所有符合情况的方案，并选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
15．四月份是樱桃上市的旺季．某水果超市销售樱桃，第一周每千克樱桃的销售单价比第二周销售单价高元，该水果超市这两周共销售樱桃千克，且第一周樱桃的销量与第二周的销量之比为，该水果超市这两周樱桃销售总额为元．
（1）第二周樱桃销售单价是每千克多少元？
（2）随着樱桃的大量上市，四月份第三周，樱桃定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周樱桃的销量比第二周增加了，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周樱桃总销量的，且大于非会员的销量，求为整数的最小值．
16．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.
例如：方程 2x-6=0的解为 x=3，不等式组 的解集为 1（1）在方程①3x-2=0， ②x+1=0， ③x-（3x+1)=-5 中，不等式组 的关联方程是　 　；（填序号)
（2）若不等式组 的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　 　；（写出一个即可)
（3）若方程 都是关于 x的不等式组 的关联方程，求 m的取值范围.
17．妈妈准备用5万元投资金融产品，她查询到有A、B两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益．例如：投资100元，第一周的周收益率为5%，则第一周的收益为100×5%＝5(元)，第二周投资的本金将变为100＋5＝105(元)．如图是这两款产品过去5周的周收益率公告信息．(第一周：3月1日～3月7日)
（1）若妈妈3月1日投资产品B，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并说明理由．
（2）请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由.
18．某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分.学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成统计表和统计图（条形统计图不完整）.
年级 平均数 中位数 众数
七年级 a分 9分 9分
八年级 8.8分 9分 b分
（1） 根据以上信息填空：a=　 　，b=　 　；
（2） 把条形统计图补充完整.
（3） 若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】（1）45°
（2）解：如图，过点B作BK∥MN，
由（1）得∠ABC＝α＋45°，∠ABK＝∠BAP＝45°，
∴∠ABD＝∠ABC＝α＋15°．
∴∠KBD＝∠ABK ∠ABD＝45° (α＋15°)＝30° α，
∵BK∥PQ，
∴∠BDP＝∠KBD＝30° α；
（3）解：∵∠ABC＝α＋45°，∠ABD＝∠ABC，
∴∠ABD＝α＋15°，∠CBD＝∠ABC＝α＋30°．
分两种情况：
当点E在直线MN下方时，如图，过点F作FT∥MN，过点B作BI∥MN，
∵∠MCE＝∠BCE，
∴∠MCF＝∠MCB＝α，
∵FT∥MN，BI∥MN，
∴∠TFC＝∠MCF＝α，∠CBI＝∠MCB＝α，BI∥FT，
∴∠DBI＝∠CBD ∠CBI＝α＋30° α＝30° α，
∵BI∥FT，
∴∠TFD＝∠IBD＝30° α，
∴∠BFC＝∠TFD＋∠TFC＝30° α＋α＝30°；
当点E在直线MN上方时，如图，过点F作FT∥MN，过点B作BI∥MN，
∵∠MCE＝∠BCE，
∴∠MCF＝∠MCB＝α，
∵FT∥MN，BI∥MN，
∴∠TFC＝∠MCF＝α，∠CBI＝∠MCB＝α，BI∥FT，
∴∠DBI＝∠CBD ∠CBI＝α＋30° α＝30° α，
∵BI∥FT，
∴∠TFD＝∠IBD＝30° α，
∴∠BFC＝∠TFD ∠TFC＝30° α α＝30° α，
∴∠BFC＝30° ∠MCB．
综上，当点E在直线MN上方时，∠BFC＝30° ∠MCB；当点E在直线MN下方时，∠BFC＝30°．
2．【答案】（1）解：；
平行且相等；（a+4，b-3）；
（2）解：；
（1，2）
3．【答案】（1）
（2）①，；②
（3）
4．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵MA旋转后与OC平行，
∴OA的旋转角为140°，
这时t=；
（3）解：设旋转后的灯光为MA'，NB'，PC'，
当MA'∥NB'时，如图，∠A'MN=∠B'NM，
则180-8t+30=180-5t-30，解得t=20；
当NB'∥PC'时，∠B'NP=∠C'PN，
则180-5t+40=180-2t-40，解得t=；
综上所述，t的值为20或.
5．【答案】（1）证明：BDA+CEG=，BDA+ADC=，
ADC=CEG
AD//EF
（2）解：BAD和CAD相等
理由如下：
EDH=C，
DH//AC
H=AGF
F=H，
F=AGF
AD//EF，
BAD=F，CAD=AGF
BAD=CAD
（3）解：FHBC，
CEG=
C=，
CGE=--=。
F=AGF=CGE=。
6．【答案】（1）-2；-3
（2）解：如图1，过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，延长HB，GA交于点T，连接OA，
由（1）得A（ 2， 4），B（ 4， 3），
∴AG＝2，OG＝4，OH＝4，BH＝3，BT＝ 3 （ 4）＝1，AT＝ 2 （ 4）＝2，
∴S△AOB＝S长方形OHTG S△BOH S△AOG S△ABT
＝4×4 ×3×4 ×2×4 ×1×2
＝5；
∵三角形ABD和三角形COD的面积相等，
∴S△ABD＋S△AOD＝S△COD＋S△AOD，
∴S△AOC＝S△AOB＝5，
∴OC AG＝5，
∴OC＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（3）解：如图2，将线段MA平移得到线段NS，连接AS（其中点M与点N是对应点），
∴AS∥MN，AS＝MN，SN＝AM＝10，
∵AB∥MN，
∴AB∥AS，
∴A、B、S三点共线，
∵MN∥AB，
∴S△ABM＝S△ABN；
∵平行线间的距离处处相等，
∴S△AMN＝S△ANS，
∴S四边形ABMN＝S△ABM＋S△AMN＝S△ABN＋S△ANS＝S△BNS；
∵垂线段最短，
∴点B到NS的距离一定不大于BN的长，
∴当BN⊥NS时，△BNS的面积有最大值，最大值为×10×8＝40，
∴四边形ABMN的面积的最大值为40．
7．【答案】（1），，
（2）或
（3）或
8．【答案】（1）3；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴
9．【答案】（1）；
（2）解：∵，，
∴，，
∴长方形的面积为，
∵把长方形的面积分成的两部分，
∴一部分的面积为，一部分面积为，
∴可分两种情况讨论：当时和当时，
①当时，
此时点P在上，设点P的坐标为，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
②当时，
此时点P在上，设点P的坐标为，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，若把长方形的面积分成的两部分，点P的坐标为或.
（3）解：存在，①当点P在上时，，
根据题意可知，此时，即，
∴，
解得；
②当点P在上时，此时点P到x轴的距离为8，
则，
解得，
根据题意，的最大值为，
∵，
∴不符合题意；
③当点P在上时，，
根据题意可知，此时，即，
∴，
解得；
综上所述，存在点到轴的距离为个单位长度的情况，此时的值为4或．
10．【答案】（1）解：∵点是“完美点”，
∴，
或，
解得或；
（2）解：∵点的长距为4且点C在第四象限内，
，
解得，
，
∴点D的坐标为，
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴D是“完美点”．
11．【答案】（1），
（2）①；②
12．【答案】（1）解：由题意可得方程组
②-①得b =3 ③
把③代入①得a =2
故方程组的解为
（2）解：设小明家 5 月份用水 x 吨，则 6 月份用水(x+10)吨．
根据题意得方程： [20 + 40 + 5(x - 20)] + [20 + 40 + 5(x + 10 - 20)] = 192
化简得：10x = 222
x = 22.2
则 6 月份用水量为： 22.2 + 10 = 32.2 (吨)．
答：小明家 5 月份用水 22.2 吨，6 月份用水 32.2 吨．
13．【答案】（1）解：设该店3月交付的大型SUV为x台，y辆小型轿车，
根据题意得：
解得：
答：设该店3月交付的大型SUV为60台，则小轿车40台
（2）解：根据题意得：
解得：a=7.5
答：用租电方式购买，当电池打七五折的时候两种方式付款金额一样.
14．【答案】（1）解：设A，B两种型号智能机器人的单价分别为x，y万元，
根据题意可得， 解得
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A，B两种型号智能机器人分别为m，n台，
由题意可得， 80m+60n=800，
化简可得， 4m+3n=40， 即
又∵m，n为正整数，
∴符合条件的m，n如下：
m=1， n=12，此时每天分拣快递的件数为22+18×12=238(万件) ；
m=4， n=8，此时每天分拣快递的件数为22×4+18×8=232(万件) ；
m=7， n=4， 此时每天分拣快递的件数为22×7+18×4=226(万件) ；
∵238>232>226，
∴m=1，n=12时，每天分拣快递的件数最多，
答：符合条件的方案有三种：①购买 A型1台，B型12台；②购买 A型4台，B型8台；③购买 A型7台，B型4台，购买 A型智能机器人1台，B型智能机器人12台时，每天分拣快递的件数最多.
15．【答案】（1）解：设第一周樱桃销售单价是每于克元，第二周樱桃销售单价是每千克元，
根据题意，得，
解得，
答：第二周草莓销售单价是每于克元；
（2）解：∵该水果超市这两周共销售樱桃千克，四月份第三周的销售单价是元/千克，
∴四月份第三周的销售量为千克，
∵通过会员优惠活动购买的销量占第三周樱桃总销量的且大于非会员的销量，
∴，
解得，
∴为整数的最小值．
16．【答案】（1）①③
（2）x-1=0
（3）解： 得： m方程 2x-1=x+2的解为 x=3，方程的解为 x=2.
∴m的取值范围为 1≤m<2.
17．【答案】（1）解：这种说法不对，
理由：设开始投资x元，
则两周结束时的总资产为： 0.9996x≠x，
故到第二周结束时会不赚不赔，这种说法不对；
（2）解：建议选择产品A.理由：由图可以看出两款产品平均周收益率相近，但产品A波动较小，且一直是正收益，说明收益比较稳定，故建议选择产品A.
18．【答案】（1）8.5；9
（2）解：依题意，条形统计图补充如图，
（3）解：小红的判断正确，理由如下：
七年级的人数：（人），
八年级的人数：10+15=25（人），
25＞22，
故八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，
所以小红的判断正确.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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