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期末压轴题专练-2025-2026学年数学七年级下册苏科版（2024）
1． 逆向运用幂的运算法则可以得到 根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解。
（1）计算 的结果是　 　；
（2）若 求m的值；
（3）已知 比较a， b， c的大小。
2．规定两数a、b之间的一种运算．记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，则，即．
（1）根据上述规定，填空：　 　 ；　 　 ．
（2）计算 ，并说明理由．
3．规定两数a，b之间的一种运算，记作：：如果，那么
例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：______；
（2）若，，且，求的值；
（3）①若，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算：_____．
4．如图1，一个长为2a，宽为2b的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形.
（1）根据图1和图2，写出( ab之间的一个等量关系　 　
（2）利用(1)中的结论解决下列问题： 2x-y=10， xy=12，求2x+y的值：
（3）如图3，正方形ABCD和正方形EFGH面积之和为58，点E、点F在边AB上，若AE+BF=4，求图中阴影部分的面积.
5．【阅读理解】
完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题.
例如：若a+b=3，ab=1，求的值.
解：
（1）【尝试探究】
请仿照上例解决下列问题：
①若x+y=-5，xy=-3，则=　 　.
②若，则xy=　 　.
（2）①若x满足（6-x）（x-2）=3，求的值.
②若x满足，求（2027-x）（2025-x）的值.
（3）【类比应用】
如图，正方形ABCD的边长为x，AE=2，FC=4，长方形EBFG的面积是10，四边形HIBE和BJKF都是正方形，ILJB是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）.
6．综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如，由图1可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题.
（1）【直接应用】若x+y=4，x2+y2=9，求xy的值.
（2）【类比应用】若x（4-x）=2，则x2+（4-x）2= 　 　.
（3）【知识迁移】将两块全等的特制直角三角板（∠AOB=∠COD=90°）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接AC，BD.若AD=12，S△AOC+S△BOD=40，求一块直角三角板的面积.
7．【实践与探究】
材料：一副直角三角尺，记作：△ABC和△DEF，其中∠ACB=∠EFD=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°.
（1）操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为MN、PQ，AB与DE相交于点O，则∠BOE为　 　°.
（2）操作二：保持MN、PQ不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在MN上，点F在PQ上，点A与点E重合，点C与点D重合，若∠NBC=4∠PFA，求∠PFA的度数。
（3）操作三：将图①位置的三角尺DEF绕点F以每秒4°的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当0≤t≤90时，请完成下面两个问题：
（Ⅰ）三角尺ABC不动，当边AB与三角板DEF的直角边EF平行时，t=　 　.（直接写出所有满足条件的值）
（Ⅱ）如图③，同时将三角尺ABC绕点B以每秒1°的速度顺时针旋转，当边AB与三角板DEF的一条直角边（边EF或DF）平行时，t=　 　.（直接写出所有满足条件的值）
8．对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132．这三个新三位数的和为；，即．
（1）计算：______．
（2）符号表示百位上的数字为a，十位为b，个位为c的数，则______．（用a，b，c表示）
（3）若s，t都是“相异数”，其中，（，，x，y都是正整数）
①________，________．
②规定，当时，求k的最大值．（提醒：可直接利用第2小题结论）
9．对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
（1）判断方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明理由；
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值；
（3）若对于任意的有理数，未知数为的方程组的解与具有“邻好关系”，请求出的值．
10．综合与实践
为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织480名师生前往红色教育基地开展研学实践活动，需租用A型、B型两种大巴车，相关信息如下：
①若租用A型大巴车5辆、B型大巴车4辆，则还差15个座位可载满全部师生；
②B型大巴车每辆的最大载客人数比A型大巴车每辆的最大载客人数的2倍少30人；
③两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示：
型号 最大载客人数 日租金(元)
A x 360
B y 450
请根据上述信息，完成下列任务：
（1）【任务1】求x和y的值.
（2）【任务2】学校计划同时租用A型大巴车和B型大巴车(两种车型均至少租用1辆)，且恰好坐满480名师生.问共有几种租车方案 并指出其中最省钱的方案和所需的租金.
（3）【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即A型大巴车日租金降为300元/辆，B型大巴车日租金为420元/辆.学校计划用3240元租用大巴车，且全部用完，且能载480名师生.请问学校的计划能实现吗 如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由.
11．根据以下素材，探索完成任务。
随着AI技术的发展，越来越多的行业引入机器人来高效、精准地完成工作。某物流公司先引入了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人。
素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表：
型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）]
A m 2
B n 1.5
C 600 1.8
素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物；
素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务。
（1）【任务1】求m和n的值。
（2）【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时。
（3）【任务3】该公司引进C型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投入1台），且C型机器人台数是A型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务。
①求出所有可行的机器人安排方案。
②直接写出最省电方案的耗电量为 ▲ 千瓦时。
12．定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”。
例如：已知方程3x-6=0和不等式x-1>0，对于未知数x，当x=2时，使得3×2-6=0，x-1=2-1=1>0同时成立，则称x=2是方程3x-6=0与不等式x-1>0的“和谐解”。
（1）x=3是否是方程3x-9=0与不等式3（x-2）<6的“和谐解” 　 　；（填“是”或“不是”）
（2）x=2是方程4x-5=3与不等式（组）①，②，③中　 　的“和谐解”；（只填序号）
（3）如果x=2是关于x的方程3x-a=0与关于x的不等式组的“和谐解”，那么a=　 　，b的取值范围是　 　；
（4）如果x=n是关于x的方程x+2m=3与关于x的不等式组的“和谐解”，求出n的取值范围。
13．某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有 12名同学，需要购买跳绳的有 10名同学.
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过 800元 不优惠
超过 800元，但不超过 1200元 按总售价打九折
超过1200元 其中 1200元部分打九折，超过1200元部分打八折
（1）请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价.
（2）若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元
（3）按照上题的优惠办法，班长用 1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完.其中足球不少于 12个，跳绳不少于 10条，请你设计出所有的购买方案.
14．若不等式(组)只有个正整数解(为自然数)，则称这个不等式(组)为阶不等式(组)．
我们规定：当时，这个不等式（组为0阶不等式（组．
例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
（1）是　 　阶不等式；是　 　阶不等式组；
（2）若关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围；
（3）关于的不等式组的正整数解有，，，，其中如果是阶不等式组，且关于的方程的解是的正整数解，请求出的值以及的取值范围．
15．探究与证明
（1）【推理证明】
如图，GF⊥AB，垂足为F，CD⊥AB，垂足为D，DE∥BC，求证：∠1=∠2.
请补全下面的证明过程.
证明：∵GF⊥AB，CD⊥AB（已知），
∴∠BFG=∠BDC=90°（垂直的定义）.
∴GF∥CD　 　.
∴∠2=∠　 　（两直线平行，同位角相等）.
又：DE∥BC（已知），
∴∠1=∠　 　　 　.
∴∠1=∠2　 　.
（2）【拓展证明】
若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“∠1=∠2”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题 若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例.
（3）【迁移应用】
如图，有下列四个条件：①GF⊥AB，②CD⊥AB，③∠1=∠2，④DE∥BC.从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有　 　个真命题.
答案解析部分
1．【答案】（1）
（2）解：
得m=2
（3）解：
∵32<81<125，
∴32 <81 <125 ，
∴a2．【答案】（1）3；0
（2）解：
理由如下：设，，
则，，
∵，
∴，
∴．
3．【答案】（1）
（2）解：，，
，，
，
；
（3）解：①，，，
，，，
，
，
，
；
②2
4．【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴，
∴；
（3）解：设，，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为．
5．【答案】（1）31；-8
（2）①记6-x=a；6-4=b，
∴a+b=6-x+x-2=4，
∵（6-x）（x-2）=3，
∴ab=3，
=16-2×3
=10
②记2027-x=a，2025-x=b，
∴a-b=2027-x-（2025-x）=2，
∴2026-2ab=4，
∴ab=1011，
∴（2027-x）（2025-x）=1011
（3）44
6．【答案】（1）解：（1）
又
，
；
（2）12
（3）解：∵两块直角三角板全等，
，，
点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
，．
设，．
，
又，
，
，
，
，
答：一块直角三角板的面积为16．
7．【答案】（1）105
（2）设∠PFA=x°，则∠NBC=4∠PFA=4x°，
过点C作CG∥MN，
∴∠GCB=∠NBC=4x°，
∵MN∥PQ
∴∠GCF+PFC=180°，即
，
，
，
解得x=15，
即∠PFA=15°；
（3）15s或60s；20秒或80秒或50秒
8．【答案】（1）解：9；
（2）
（3）解：①；；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴或或，
当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴的最大值为
9．【答案】（1）解：方程组的解x与y不具有“邻好关系”，理由如下：，
得，，
把代入①得，，解得，
∴方程组的解是，
∵，
∴方程组的解x与y不具有“邻好关系”.
（2）解：
得，，
∴，
∵方程组的解x与y具有“邻好关系”，
∴，解得或.
∴的值为-2或-4.
（3）解：，
∵该方程组的解x与y具有“邻好关系”，
∴，即或，
当时，与②联立得，，解得：，
把代入①得，即，
∵对于任意的有理数，方程成立，
∴，，
∴，，
∴.
当时，与②联立得，，解得，
把代入①得，即，
∵对于任意的有理数，方程成立，
∴，，
∴，，
∴.
综上，或．
∴的值 为或.
10．【答案】（1）解：根据题意可得：
解得：
答：A型号大巴车最大载客数为45人，B型号大巴车最大载客数为60人；
（2）解：设租用a辆A型大巴车，则需要租用B型大巴车 辆，
为整数且
解得：
∴1≤a≤9且a为整数，
当a=4时，
当a=8时，
∴共有2种租车方案：
方案一、租用A型大巴车4辆，B型大巴车5辆，所需租金为4×360+5×450=3690(元) ；
方案二、租用A型大巴车8辆，B型大巴车2辆，所需租金为8×360+2×450=3780(元) ；
∵3690<3780，
∴最省钱的方案是租用A型大巴车4辆，B型大巴车5辆，所需租金为3690元；
（3）解：由(2)可知共有2种租车方案：
方案一、租用A型大巴车4辆，B型大巴车5辆，
所需租金为4×300+5×420=3300(元) ；
方案二、租用A型大巴车8辆，B型大巴车2辆，
所需租金为8×300+2×420=3240(元) ；
∴学校的计划能实现，租车方案为租用A型大巴车8辆，B型大巴车2辆.
11．【答案】（1）解：由题意，得
解得
（2）设A型机器人用了x台，B型机器人用了y台。
由题意，得500x+400y=4000，
整理，得
因为x，y都是正整数，所以x是4的倍数，
所以x=4，y=5，
所以总耗电量为2×4+1.5×5=15.5（千瓦时）。
（3）①设安排A型机器人a台，B型机器人b台，则C型机器人a台。
由题意，得
整理，得b=20-2a。
由题意得，a是2的倍数，故所有可行方案列表如下：
方案 A型/台 B型/台 C型/台 总耗电量/千瓦时
一 2 16 1 14.9
二 4 12 2 14.8
三 6 8 3 14.7
四 8 4 4 14.6
②14.6
12．【答案】（1）是
（2）③
（3）6；
（4）解：由题知，，则。
将代入不等式组，得，
解得，
所以的取值范围是。
13．【答案】（1）解：设足球的单价是元，跳绳的单价是元，
由题意得，
解得．
答：足球的单价是100元，跳绳的单价是20元．
（2）解：（元）．
答：优惠后实际只需支付1240元．
（3）解：设购买足球个，购买跳绳条，购买的总价为元，
由题意得，，，
∵，
∴，
解得，
∴，即，
∴，
解得，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
∴购买方案共有3个：购买足球12个，购买跳绳20条；购买足球13个，购买跳绳15条；购买足球14个，购买跳绳10条．
14．【答案】（1）0；1
（2）解：解不等式组得： ≤x<2a，1
由题意得： x有4个正整数解，为： 1， 2， 3， 4，
∴4<2a≤5，
解得： 2（3）解：由题意得，m是正整数，且p≤x∴m=10.
15．【答案】（1）同位角相等，两直线平行；3；3；两直线平行，内错角相等；等量代换
（2）真命题，理由如下：
∵GF⊥AB，CD⊥AB（已知），
∴∠BFG=∠BDC=90°（垂直的定义），
∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
∴DE∥BC（两直线平行，内错角相等）
（3）从四个条件①GF⊥AB、②CD⊥AB、③∠1=∠2、④DE∥BC中选三个为题设，另一个为结论，可构成以下 4 个真命题：题设：①②④，结论：③题设：①②③，结论：④题设：①③④，结论：②题设：②③④，结论：①因此，真命题共有4个故答案为：4。
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