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期末压轴题专练-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）
1．有一对兄弟，其中哥哥22岁，弟弟15岁，假定哥哥乘坐宇宙飞船进行太空探索，弟弟则留在地面.请利用以下信息尝试解决问题：
科学知识：根据爱因斯坦相对论，当地面上的时间经过1年时，宇宙飞船内的时间经过 年，其中：c代表光速且为 千米/秒，v代表宇宙飞船的速度.
（1）设地面时间经过x年，飞船内时间经过y年，且宇宙飞船的速度v=0.6c.
①求y关于x的函数表达式.
②弟弟20岁时，求此时宇宙飞船内哥哥的年龄.
（2）若飞船先以0.6c的速度飞行a年(“a”代表在地面上的时间)，随后加速至 0.8c的速度继续飞行.当弟弟35岁时，在宇宙飞船内的哥哥恰好也是35岁，求a的值.
2．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：
（1）模仿材料中的计算方法，化简___________；___________．
（2）计算：；
（3）已知，求的值．
3．阅读理解：已知a，b为非负实数，因为（ 所以 当且仅当a=b时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用.
例如：已知x>0，求代数式 的最小值.
解：令 则由 得
当且仅当 即正数x=2时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当x>0时，求代数式 的最小值，并求出此时x的值.
（2）已知m>1，则当m =　 　时，代数式 取到最小值，最小值为　 　.
（3）某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距100千米。根据经验，该货车每小时的耗油成本y（元)与行驶速度x（千米/小时)的平方成正比，比例系数为0.01 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时 36元。设货车从甲地到乙地的总成本为W元，为了使总成本W最低，货车的行驶速度x应为多少千米/小时 此时的最低总成本是多少元 （注：假设道路限速允许该速度行驶)
4．我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则．在平面直角坐标系中，已知点和点，则的中点坐标为．
（1）如图1，请以点C为坐标原点建立平面直角坐标系，点和点，请以代数推理的方法完成这个定理的证明．
（2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长．
5．李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含 30°的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙.
已知： 如图 1， 在△ABC和△ADE中， ∠ACB=∠ADE=90°， AC=AE=2， ∠B=∠D=30°.
（1）【初识图形】
如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，当点 E恰好落在△ABC的边AB上时，连接CE、BD.则CE长为 　 　，BD长为 　 　 .
（2）【深度探析】
如图 3， 在△ADE绕点 A旋转过程中， 当 AD||BC时， 连接 BD、CE， 延长 CE交 BD于点 F.
∠BCF的度数为 　 　， ∠DEF的度数为 　 　；
（3）求证：点 F为线段 BD的中点.
（4）【拓展探究】
在△ADE绕点 A 旋转过程中，试探究 B、D、E三点能否构成以 DE为直角边的直角三角形.若能，直接写出线段 BE的长；若不能，请说明理由.
6．【定义新运算】
对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足．例如： ．
（1）计算： ， （a为正实数）；
【应用新运算】
（2）对于正实数a、b，若满足，，求a、b的值．
【拓展应用】
（3）如图，记的三边长分别为a、b、c，，，，．若，，求．
7．【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
8．如图，在矩形ABCD中， 点 E是 BC边上的动点，连接AE，点 B关于AE的对称点为点 F，连接EF，作射线 CF交直线AD于点 G.
（1）【动手操作】如图（1），若点G与点A重合时，在图 1中补全图形，则线段 EF与线段AB 的数量关系为 ▲ ；
（2）【深入探究】如图（2），若AE∥CG，探究线段EF与线段AB的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展探究】若点E在射线BC上运动，当E，F，D三点共线时，直接写出△ECF的面积.
9．综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积.
图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米）
在图1中，将线段AB向上平移1米到线段A'B'，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）；
在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线A'B'C'，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）.
（1）问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为s1，s2，则s1=　 　平方米，并比较大小：s1　 　s2（填“>”“=”或<”）；
（2）动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个”折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分；
（3）联想探索人教7下P30拓广探索：
如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是　 　平方米（用含a，b的式子表示）；
（4）实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条”相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求
10．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得．
（1）___________；
【探究提炼】
（2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数；
【理解应用】
（3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由．
11．为响应深圳市在创建国家级文明卫生城市中，提升绿化档次的政策．宝安区某校计划购进，两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买种树木2棵，种树木5棵，共需460元；购买种树木3棵，种树木1棵，共需300元．
（1）求种，种树木每棵各多少元；
（2）因布局需要，购买种树木的数量不少于种树木数量的4倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款种树木按市场价八折优惠，种树木按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
12．广东以“打造世界领先的低空经济产业高地”为目标，在低空经济领域发展迅速. 某广东物流公司计划在粤港澳大湾区开通无人机配送服务. 现需采购两种型号的物流无人机，请根据以下素材完成相关任务：
素材一：A型无人机：适用于城市内短途配送；B型无人机：适用于跨城际长途配送.
素材二：已知采购 2架 A型无人机和 3架 B型无人机总价为 92万元；采购 4架 A型无人机和 1架 B型无人机总价为 56万元.
素材三：该公司欲采购这两种无人机共 44架. 根据大湾区配送网络规划：
①A型无人机数量不少于 B型无人机的 3倍，以确保城市内配送密度；
②B型无人机至少采购 5架，以满足跨城际配送需求.
（1）任务一：确定 A型无人机和 B型无人机的单价；
（2）任务二：请你根据大湾区配送网络规划，帮该公司确定最省钱的购买方案，并求出此方案的购买资金.
13．【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义一图象一性质一应用．他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知y＝2|x﹣2|﹣2，如表是y与x的几组对应值．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 6 4 2 0 ﹣2 a 2 …
（1）a＝　 　；
（2）描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接．根据函数图象写出该函数的一条性质： ▲ ；
（3）【拓展应用】
若点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系：　 　；
（4）结合函数y＝2|x﹣2|﹣2的图象，请写出不等式2|x﹣2|﹣2＞x﹣1的解集：　 　．
14．已知一次函数（）过定点（2，0），另一个一次函数为。
（1）请你判断是否过定点，并说明理由。
（2）点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数和的图象上，求证：。
（3）设函数，当时，函数y有最大值12，求a的值。
15．在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式(组)展开进一步的探究.
【发现】在数轴上，x=1表示一个点，x≥1则表示 x=1这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线，x≥1则表示直线 x=1及其右侧所有点组成的平面区域.
（1）【探究】
直线 y=2x-3如图 1所示，它表示为以方程 y=2x-3的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点(2，1)在直线 y=2x-3上， 是方程 y=2x-3的一个解；点(2， 4)在直线 y=2x-3上方， 是不等式y≥2x-3的一个解，从而发现结论：不等式 y≥2x-3可以表示为直线 y=2x-3及其　 　(填“上方”或“下方”)的所有点组成的平面区域；不等式 y≤2x-3可以表示为直线 y=2x-3及其　 　(填“上方”或“下方”)的所有点组成的平面区域.
（2）【应用】
图 2阴影部分(含边界)是　 　(填写不等式组)表示的平面区域.
（3）已知不等式组
16．数字华容道是一种经典的智力游戏，目标是通过滑动棋盘上的数字方块，将打乱的数字按照从左到右、从上到下的顺序排列整齐.学校组织以“智取华容”为主题的四阶数字华容道比赛，下面是甲、乙两名选手10场比赛每场用时的统计表(单位：秒)：
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 17 15 16 18 17 18 18 15 16 19
乙 16 16 15 15 14 14 15 14 12 14
为评价这两名选手的比赛成绩，小明计算了甲、乙10场比赛用时的三种统计量，且绘制了他们比赛用时的箱线图，分别如下：
　 方差 中位数 平均数
甲 1.69 17秒 16.9秒
乙 1.25 ▲ 秒 14.5秒
请根据上述统计图表的信息，解答下列问题：
（1）上表中乙比赛用时的中位数为：　 　秒；统计图中箱线图A反映的是选手　 　的比赛用时；
（2）请分别运用“平均数+方差”“中位数+箱线图”两种数据分析方式，对甲、乙两名选手数字华容道比赛成绩进行评价(说明：游戏所用时间越短成绩越好).
答案解析部分
1．【答案】（1）解：①把v=0.6c代入得，
∴y=0.8x；
②当弟弟20岁时，哥哥的年龄为22+0.8×(20-15)=26岁；
（2）解：当v=0.8c时，，
则22+0.8a+0.6(35-25-a)=35，
解得：a=5.
2．【答案】（1）；
（2）解：原式
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴
．
3．【答案】（1）解：令 则由 得
当且仅当 即正数x=2时，代数式有最小值，最小值为4
（2）4；3
（3）解：由题意得：
当且仅当 时，即x=60
∴当货车的行驶速度为60km/h时，总成本最低，最低成本是120元。
4．【答案】（1）解：如图，以C为坐标原点，OB为x轴，OA为y轴，建立平面直角坐标系，过点D作与点E
，
，
在中，，由勾股定理可得，
∵D为AB中点，
∴D的坐标为，
，
在中，，有勾股定理可得，
；
（2）解：连接BE、DE，
∵点E是AC的中点，，
，
由题意可得：，，
．
5．【答案】（1）2；4
（2）15°；15°
（3）证明：延长CF，AD相交于点H
∵AH∥BC，∠BCF=15°
∴∠DHF=∠BCF=15°
∵∠DEF=15°
∴∠DEF=∠DHF
∴DH=DE
∵DE=BC
∴DH=BC
∵∠DFH=∠BFC
∴△DFH≌△BFC(AAS)
∴DF=BF
∴点F为线段BD的中点
（4）2或6或
6．【答案】（1），；
（2）解：∵，，
∴
解得
（3）解：，，
，
，，
，
为直角三角形
，
，，
为直角三角形
，
，即
，
，
∴．
7．【答案】解：（1）25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得：，，
，
该蚂蚁爬行的最短路程厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点，
连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，
，，，，
根据勾股定理有：
，
蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为．
8．【答案】（1）解：
补全图形如图：
理由：当 G 与 A 重合时，射线 CF 经过点 A，即 A，F，C 三点共线。
由轴对称性质，AE 垂直平分 BF，
∴AE 是 ∠BAC 的角平分线，且 BE=EF。
在 Rt△ABC 中，
tan∠BAC==，
∴∠BAC=60 。
∵AE 平分 ∠BAC，
∴∠BAE=30 。
在 Rt△ABE 中，
tan∠BAE=，即 tan30 =。
解得 EF=4×=。
∴=EF。
∴。
（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠CGD＝∠GCB
∵CG∥AE
∴∠GCB＝∠AEB∠AEF＝∠CFE
∵F是点B关于AE的对称点
∴∠AEB＝∠AEF，BE＝EF
∴∠GCB＝∠CFE
∴，即
（3）解：或
9．【答案】（1）40；=
（2）解：如图，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求
（3）（ab-a）
（4）解：草地面积为（32-4）×（20-4）=448（平方米）
∵450>448，
∴这个道路宽设计不达到要求
10．【答案】解：（1）；
（2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，，
∵折叠，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（3）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∵在菱形中，是的角平分线，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作于点，设，
则，，
∵，即，
∴，
∴，
∴当最小时，即最小时，面积最小，
∴当时，即最小，面积最小，
如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴
∴的面积存在最小值是．
11．【答案】（1）种树每棵80元，种树每棵60元
（2）当购买种树木80棵，种树木20棵时所需费用最少，最少为6200元
12．【答案】（1）解：设A型无人机的单价为x万元/架，B型无人机的单价为y万元/架，
∵2架A型无人机和3架B型无人机总价为92万元；4架A型无人机和1架B型无人机总价为56万元，
∴根据题意列二元一次方程组得，，
解得，
即A型无人机的单价为7.6万元/架，B型无人机的单价为25.6万元/架，
答：A型无人机的单价为7.6万元/架，B型无人机的单价为25.6万元/架
（2）解：设购买A型无人机a架，则购买B型无人机（44 a）架，购买资金为w万元，
根据题意列一元一次不等式组得，，
解得33≤a≤39，
∴w＝7.6a＋25.6（44 a）＝ 18a＋1126.4，
∵ 18＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝39时，w有最小值，
此时w＝ 18×39＋1126.4＝424.4（万元），
44 a＝44 39＝5（架）．
答：最省钱的购买方案为购买A型无人机39架，B型无人机5架，购买资金为424.4万元．
13．【答案】（1）0
（2）解：如图：
当x<2时，y随着x的增大而减小
（3）m+n=4
（4）x<1或x>5
14．【答案】（1）解：因为一次函数过定点，
所以，；
当时，，
所以一次函数过定点
（2）解： 因为点和点分别在一次函数和的图象上，
所以，，即；
因为，所以；
因为，所以，即
（3）解：，
①若，随的增大而增大，当时，，解得；
②若，随的增大而减小，当时，，解得；
所以的值为或
15．【答案】（1）上方；方
（2）
（3）解：①请在图 3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域 G，并求出该阴影部分的面积.
②请直接写出 y=-5x+b与区域 G有交点时 b的取值范围.
解：①平面区域 G如图所示，为△ABC；
①解方程组，得：，
②当直线y=-5x+b经过点A时，则有-5x+b=
解得Ь=
当直线y=-5x +b经过点C时，则有b=-2，
∴-2≤b≤
16．【答案】（1）14.5；甲
（2）解：从“平均数+方差”的特征分析如下：
选手乙比赛所用时间的平均数14.5秒，低于选手甲比赛所用时间的平均数16.9秒，并且选手乙的方差1.25，低于选手甲的方差1.69，说明选手乙的成绩更稳定.所以，从平均数和方差的角度可以看出选手乙比赛用时少且成绩稳定，选手乙比选手甲成绩好.
从“中位数+箱线图”的特征分析如下：
选手乙的中位数14.5秒低于选手甲的中位数17秒，并且箱线图中，选手乙的箱体比选手甲的箱体更短，说明选手乙比赛用时更集中，他的成绩更稳定.所以，从中位数和箱线图的角度可以看出选手乙的比赛用时少且成绩稳定，选手乙比选手甲成绩好.
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