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期末压轴题专练-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）
1．小鹿和小橙进行了为期5天的跳绳集训，教练要根据两人的成绩选择一人评定为“跳绳新星”．小鹿和小橙根据自己5天的跳绳成绩绘制如下折线统计图．
（1）小橙对比两个统计图后说：“我的成绩上升更显著，进步更明显．”小橙的说法合理吗 　 　(填“合理”或“不合理”)
（2）根据这5次跳绳成绩，将数据整理如下表：
　 最高成绩(个) 平均成绩(个) 第5日相对于第1日成绩的增长率
小鹿 161 139.6 40%
小橙 A 138.4 b
②求a和b的值．
③教练按以下方式进行评定：最高成绩高者得1分，平均成绩高者得1分，第5日相对于第1日成绩的增长率高者得2分，最终将得分高者评为“跳绳新星”．请你通过计算，说明谁会获得“跳绳新星”．
2．某商场1月至5月的月销售额(单位：万元)分别为：180，90，115，95，120.图①为商场服装部1月至5月月销售额占商场当月销售额的百分比统计图，图②为商场服装部5月各卖区销售额占5月服装部销售额的百分比统计图．
（1）商场服装部5月的销售额是　 　万元；服装部5月D卖区的销售额是　 　万元．
（2）甲同学认为，商场服装部3月的销售额比2月的销售额少；
乙同学认为，商场服装部5月销售额最大与最小的卖区分别是B，D；
丙同学认为，因为商场服装部1月至5月月销售额占商场当月销售额的百分比的平均数为32%，商场1月至5月的月销售额的平均数为120万元，120×32%＝38.4(万元)，所以商场服装部1月至5月月销售额的平均数是38.4万元．
结合所提供的信息，分别对他们的结论作出判断，并说明理由.
3．为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A(足球)、B(篮球)、C(体操)、D(田径)四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项.为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 ▲ 名学生，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求项目B对应的圆心角的度数；
（3）已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表的方法求抽到两名性别相同的学生的概率.
4．每年的3月 14日是国际数学节，又称圆周率日.中国邮政于2025年3月 14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感.
已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同.凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票.
（1）小颖在该商场消费315元，获得了一次抽盲盒的机会.小颖恰好抽到“圆周率”的概率是多少 她获得现金奖励的概率是多少
（2）此活动推出的一个月里，共抽了580次盲盒，请估计商场这一个月里需要支付此活动的费用.
5．在平行四边形ABCD中，已知 的面积为12，将线段AB绕点 B 旋转一周，点A 的对应点为A'。
（1）如图1，当点A'恰好落在 BC上时，过点 B作 的平分线交AD于点E，连接A'E。求证：四边形 ABA'E为平行四边形。
（2）如图2，当旋转角为（ 时，连接AA'，并延长交CD于点 G.求线段A'G的长。
（3）连接AA'及A'D，当 为直角三角形时，求 A'D的长度（直接写出答案)。
6．在正方形中，点是对角线所在直线上的一点，点在的延长线上，且，连接．
（1）如图①，当点在线段上时，________；
（2）如图②，当点在的延长线上时，交的延长线于点，其他条件不变，判断的形状并说明理由；
（3）如图③，把正方形改为菱形，点在的延长线上，交的延长线于点，其他条件不变，当时，直接写出线段与线段的数量关系．
7．综合与实践
（1）【提出问题】
如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为_____；
（2）【类比探究】
如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．
①求的度数；
②当时，求的长；
（3）【迁移运用】
如图3，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长．
8．【综合与探究】问题情境：将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E．
猜想证明：
（1）猜想与的数量关系，并证明；
（2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形；
问题解决：
（3）在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请直接写出的值．
9．仔细阅读下面例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式为x+3，求另一个因式以及m的值.
解：设另一个因式为(x+n)，
由题意得 即
则有 解得 所以另一个因式为x-7，m的值是-21.
问题：请仿照上述方法解答下面问题，
（1）若x2+ bx+c=(x-2)(x+3)，则b=　 　； c=　 　；
（2）已知二次三项式 有一个因式为2x-3，求另一个因式以及k的值.
10．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）上述操作能验证的等式是：　 　
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9a-b=36，3a+b=9则3a-b= ▲
②计算：
11． 2026年清明假期，长沙岳麓山、橘子洲等各大景区游客量大幅攀升，文旅氛围浓厚。某商家抢抓文旅机遇，购进岳麓山纪念徽章和橘子洲纪念钥匙扣两款特色文创，深受游客及本地学生喜爱。已知每个橘子洲纪念钥匙扣的进价比每枚岳麓山纪念徽章贵5元，且用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等。
（1）求每枚岳麓山纪念徽章和每个橘子洲纪念钥匙扣的进价各是多少元
（2）该商家计划购进两种文创产品共50件，要求橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元，则有哪几种购买方案 请将购买方案列举出来。
12． 综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水.
浓度关系式： 其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位： kg).
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%.
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水
（2）策略二：如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略　 　更优.
13．在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤：
小深：原式
小圳：原式
（1）小深解法第一步的依据是　 　，小圳解法第一步的依据是　 　.
A.等式的基本性质 B.分式的基本性质 C.乘法结合律 D.乘法分配律
（2）请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，-3，1，-1”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值.
14．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
（1）利用材料1解决下面的问题：
当时，求这个三角形的面积：
（2）利用材料2解决下面的问题：
已知三条边的长度分别是，记的周长为．
①当时，请直接写出中最长边的长度________；
②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
15．在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：；
．
（1）【类比】仿照上述方法将化成另一个式子的平方；
（2）【拓展】运用上述方法化简：；
（3）【变式】若，且a，m，n均为正整数，求a的值．
16．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： 善于思考的小明进行了以下探索：
设 其中a，b，m，n均为整数)，则有
这样小明就找到了一种把 a，b为整数)这类式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若用含m，n的代数式分别表示a，b，则a=　 　，b=　 　。
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：
　 　+　 　=（　 　+　 　）2
（3）若 且a，m，n均为正整数，求a的值。
答案解析部分
1．【答案】（1）不合理
（2）解：②
③通过比较得出：小鹿的得分为3分，小橙的得分为1分，因为小鹿的得分高于小橙的得分，所以小鹿获得“跳绳新星”．
2．【答案】（1）36；1.8
（2）解：甲、丙同学的结论错误，乙同学的结论正确．理由：商场服装部3月的销售额为115×24%＝27.6(万元)，2月的销售额为90×28%＝25.2(万元)，27.6＞25.2，
所以商场服装部3月的销售额比2月的销售额多，故甲同学结论错误；
由扇形统计图可知，商场服装部5月销售额最大与最小的卖区分别是B，D，故乙同学结论正确；
商场服装部1月至5月月销售额的平均数为(180×46%＋25.2＋27.6＋95×32%＋36)÷5＝40.4(万元)≠38.4万元，所以丙同学结论错误．
3．【答案】（1）解：80
C项目人数为：80-32-28-4=16(人)，
补全条形统计图如下：
各项目人数的条形统计图

（2）解：
答：项目B 对应的圆心角的度数为126°.
（3）解：根据题意，画出树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两名性别相同的学生的结果有4种，
∴P (抽到两名性别相同的学生)
4．【答案】（1）解：总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“圆周率”的结果有2种，能获得现金奖励的结果有6种，
所以小颖恰好抽到“圆周率”的概率为
小颖获得现金奖励的概率为
（2）解：商场这一个月里需支付邮票的费用为：2×580=1160（元)
抽到“圆周率”的总次数约为： （次)
抽到“毕达哥拉斯定理、欧拉公式”的总次数约为： （次)
∴商场这一个月里大约需支付此活动的费用为： 1160+145×10+290×6=4350（元)
5．【答案】（1）证明：∵线段AB绕点B旋转，点A的对应点为A'，
∴BA＝BA'
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA'∥AE
∴∠A'B E＝∠AEB，
∵BE平分∠AB A'
∴∠ABE=∠A'BE
∴∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∴AB'=AE
∵AB'∥AE
∴四边形ABA'E是平行四边形；
（2）解：如图2，连接BG，过点B作BH⊥AG
∵将AB沿点B旋转，点A的对应点为A'，
∴BA＝BA'，
∵∠ABA'＝60°，
∴△ABB'是等边三角形，AB＝
∴∠BAA'＝60°，AB＝AA'＝
∵BH⊥AG
∴AH=，BH，
∵S ABCD＝12，SΔABG＝S ABCD
∴SΔABG＝ AG BH＝6
∴AG＝，
∴A'G＝AG﹣AA'＝，
∴A'G=
（3）解：A'D＝2或4或或．
6．【答案】（1）
（2）解：是等腰直角三角形．
理由如下：如图②，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，
∵四边形是正方形，
∴，平分，
∵点在的延长线上，
∴，
在四边形中，，，
∴，
∵，且在的垂直平分线上，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形
（3）
7．【答案】（1）
（2）①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
②当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．

（3）或
8．【答案】解：（1），理由如下：
如图①，
连接，
四边形与四边形都是矩形，
，
，
∴，
根据旋转性质得：，
在和中，
，
，
.
（2）证明：如图2，
连接，
根据旋转的性质可得：，
四边形是矩形，
，，，
∴，
又，
，
，
，，
四边形是平行四边形.
（3）的值 为或．
9．【答案】（1）1；-6
（2）解：设另一个因式为(x+t)，
解得t=-2， k=6，
∴另一个因式为(x-2).
10．【答案】（1）a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）解：①4；
②原式=

11．【答案】（1）解：设每枚岳麓山纪念徽章的进价为x元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价(x+5)元，由题意可得，
解得x=10，
检验，当x=10 时， x(x+5)≠0，所以，原分式方程的解是x=10，
每个橘子洲纪念钥匙扣的进价是：10+5=15 (元)
答：每枚岳麓山纪念徽章的进价10元，每个橘子洲纪念钥匙扣的进价是15元
（2）解：设购买了a枚岳麓山纪念徽章，则购买了(50-a)个橘子洲纪念钥匙扣，由题意可得，
解得23≤a≤25，
∵a为整数，
∴a=23，24，25，
∴有三种购买方案：
方案一：购买23枚岳麓山纪念徽章，27个橘子洲纪念钥匙扣；
方案二：购买24枚岳麓山纪念徽章，26个橘子洲纪念钥匙扣；
方案三：购买25枚岳麓山纪念徽章，25个橘子洲纪念钥匙扣.
12．【答案】（1）解：把 代入 得，
解得：w=9.5，经检验，符合题意，
答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水；
（2）解：如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，能达到洗衣目标.
第一次漂洗：把 代入 得，
第二次漂洗：把 代入 得，
∵0.008%<0.01%，
∴如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）二
13．【答案】（1）B；D
（2）小深：
解：原式
∵x≠3，-3，-1
∴x=1
原式
小圳：
解：原式
∵x≠3，-3，-1
∴x=1
原式
14．【答案】（1）解：∵，∴，
∴
（2）解：①3；
②∵，
∴，，
∴
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值，
∴，
∴
．
15．【答案】（1）解：
（2）解：，
（3）解：①当，，
②当，．
综上所述，或16．
16．【答案】（1）m2+3n2；2mm
（2）13；4；1；2
（3）解：由题意得
∵4=2mn，且m，n为正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2。
或
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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