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2026年江西省九江市修水县一模数学试题
一、单选题
1．在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．某学校篮球场旁供学生休息的石板凳如图所示，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点是的中点，点在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一张锐角纸片，点，分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②为任意实数时，；③；④不等式的解集为．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
7．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为_________．
8．若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______．
9．在比例尺为的示意图上，某市地铁一号线的长度约为，则它的实际长度约为________．
10．如图，将图（1）所示的七巧板，拼成图（2）所示的四边形，连接，则_____．
11．如图，正六边形内接于，的半径为10，则这个正六边形的边心距的长为__________．
12．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在线段上，以点D为圆心，为半径作，且与的两边相切，则x的值为______．

三、解答题
13．计算或解方程：
(1)解方程：；
(2)计算：．
14．如图，已知点是上三点，且于点，若半径，求的值．
15．若是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)求出实数的取值范围；
(2)若方程的两个实数根满足，求的值．
16．如图，电路图上有1个电源，3个开关和1个完好的小灯泡．
(1)若随机闭合1个开关，小灯泡发光是一个 事件（填“必然”“随机”或“不可能”）；
(2)若随机闭合2个开关，请用列表或画树状图的方法求小灯泡发光的概率．
17．如图，已知点在直角三角形的斜边上，以为直径的与直角边相切于点，请仅用无刻度直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1中过点作的平行线；
(2)在图2中过点作的平行线．
18．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，交反比例函数的图象于，两点．试求：
(1)反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)一次函数的表达式．
19．如图，在中，，点在边上，点是边上一点，连接，且．
(1)求证：以为直径的与直线相切；
(2)在（1）的条件下，若，求的半径．
20．如图，某款机器人的手臂由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求这三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座．
(1)若上臂与水平面平行，且，计算此时点到地面的距离；
(2)如图2，在一次操作中，上臂的点落在水平地面上，计算这时点到点的最大距离？（结果保留根号）
21．如图，在矩形中，，点是上的一个动点（点不与点，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．
(1)当点为的中点时，求该反比例函数的表达式；
(2)当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
22．三角形内角平分线还有这样一个定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
(1)【探究说理】如图1，已知在中，平分，求证：．请根据提示完成证明．
证明：作于点于点，…（请完成以下证明）
(2)【问题解决】如图2，已知正方形的边长为为的角平分线，求的长．
23．抛物线：（其中）与轴交于两点（点在点的左侧）．
(1)①填空：当时，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
②随值的变化，抛物线是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由；
(2)若将抛物线经过适当平移后，得到抛物线的对应点分别为点，求抛物线的表达式；
(3)设抛物线的顶点为点，当，为直角三角形时，求方程的根．
参考答案
1．C
【详解】解：如图，
在中，
∵，
∴
2．B
解：从左边看，可得左视图为：
3．B
解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
注意到，三角形①与②全等，
∴三角形①与②的面积相等．
∴阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．
∴针头扎在阴影区域内的概率为．
4．C
解：∵点是的中点，
∴，
∵，
∴．
5．D
解：∵，
∴，
∵沿将剪成面积相等的两部分，
∴的面积是原面积的一半，
∴，
∴，
∴．
6．A
解：由图象可得，抛物线开口向上，抛物线对称轴为，抛物线与轴交于正半轴，
∴，对称轴为，常数项，
∴，
∴；
∴，①正确；
∵抛物线顶点坐标为，即函数的最小值为，且抛物线开口向上，
∴对任意实数，都有，②正确；
∵
∴，③正确；
由题意得，
，
∴二次函数值小于一次函数的值，
∵二次函数过点和，这两个点也在直线上，
∴两个函数的交点为和，
由图可得，在两个交点之间，抛物线在直线的下方，
∴不等式成立的范围是，④正确．
综上所述，正确的个数有4个．
7．
解：将代入方程得，
整理得 ，
解得 ．
8．
解：将代入，得，
将代入，得，
∵，
∴．
9．80
解：设它的实际长度约为，
根据比例尺的定义可得：
，
解得：，
．
10．
解：如图，设等腰直角的直角边为，则小正方形的边长为，
∴，
如图，，，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
11．
解：如图，连接，

∵六边形是内接正六边形，
∴，
∴，
故答案为：．
12．或或1
【详解】如图，与直角边、斜边都相切时，则是的角平分线，
过点C作于点F，则，
，
，
，
由题意得：，，，
，，
由勾股定理得：，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：；
如图，与直角边、斜边都相切时，则点D在的角平分线上，
连接并延长交于点G，过G作于点H，设与直角边相切于点E，则，
是的角平分线，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，
∴，
，
，
，
∵，
，
，
∴
，
，
，
，
；
当与直角边相切于点F，与直角边相切于点E，
则，

∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，x的取值为或或1．
故答案为：或或1．
13．(1)；
(2)5
（1）解：，
，
解得；
（2）解：
．
14．
解：
．
．
在中，，
．
15．(1)
(2)
（1）解：由题意得，
，
解得；
（2）解：由题意得，，
∵
，
解得，符合题意．
16．(1)不可能
(2)
（1）解：由题意得，随机闭合1个开关，小灯泡发光是一个不可能事件；
（2）解：根据题意，列表如下：
由上表可知，共有6种等可能的结果，其中随机闭合2个开关能使小灯泡发光的结果有4种，
（小灯泡发光）．
17．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：即为所求．
18．(1)，
(2)
（1）解：把点代入，得，
反比例函数的表达式为；
把点代入，得，
解得，
点；
（2）解：由（1）得点，
把点代入，
得，
解得，
一次函数的表达式为．
19．(1)见解析
(2)1
（1）证明：如图，作，垂足为点．
，
，
．
∴平分，
又，
，
以为直径的与直线相切；
（2）解：由（1）可知．
设的半径为，则，
在中，，
．
在中，，
解得，（舍去），
的半径为1．
20．(1)点到地面的距离为
(2)此时点到点的最大距离为
（1）解：如图，过点作，垂足为点，
则在中，．
，
，
，
点到地面的距离为；
（2）解：当点在同一直线上时，点与点的距离最大，
此时点构成，
，
即此时点到点的最大距离为．
21．(1)
(2)，最大面积为3
（1）解：，
点，
点，
点为的中点，
点，
把点代入，得，
解得，
该函数表达式为；
（2）解：设点，
由点在函数图象上，得．
将代入，得，
故点，
以为底，长为；高为点到直线的距离，
的面积，
当时，面积最大，此时，最大面积为3．
22．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵共边上的高，
∴，
作于点E，于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵平分，
由（1）的结论可知，，
∴，
解得．
23．(1)①；；②会，定点
(2)或
(3)
（1）解：①∵，
∴，
令，则，
解得或，
∴点的坐标为，点的坐标为；
②会．求值如下：
，
当时，，
抛物线会经过定点；
（2）解：当时，解得，
．
点的对应点分别为点，
，
，解得，
抛物线的表达式为或；
（3）解：方程的根为，
，
顶点的坐标为，如图，
当为直角三角形时，结合抛物线的性质可得：为等腰直角三角形，
，
，
解得，
且，
，
代入方程中得，
解得．

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