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模拟预测练 2026年内蒙古通辽市初中数学中考复习备考
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图水平放置的一个由长方体和圆柱组成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则整数m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在正六边形中，分别以点，为圆心，线段长为半径画弧，两弧在正六边形内部交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的直径，点在圆周上，，则的弧长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
8．在四边形中，O是对角线的交点，且与面积相等，则下列条件不一定能推出四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点是反比例函数图象上一点．过正半轴上一点，作与反比例函数的图象交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．若，且，则（ ）.
A．有最小值 B．有最大值1
C．有最大值2 D．有最小值
二、填空题
11．因式分解：________．
12．园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为________．
13．如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________．
14．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______．
15．如图，在中，，，是内部的一点，连接，，，若，，则线段的长为_________．
三、解答题
16．计算
17．解不等式组
18．已知．求代数式的值．
19．小李和小张是足球爱好者，某天他们相约一起去足球比赛现场为南通支云队加油，现场的观赛区分为A，B，C，D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
(1)小李购买门票在A区观赛的概率为_________；
(2)请用画树状图或列表法求小李和小张在同一区域观看比赛的概率．
20．某中学准备开展春学期社会实践活动，学校给出：梅园，：鼋头渚，：锡惠公园，：拈花湾，共四个目的地．为了解学生最喜欢哪一个目的地，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有__________人；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)扇形统计图中对应的扇形圆心角度数是__________；
(4)已知该校共有学生人，根据调查结果估计该校最喜欢去鼋头渚的学生人数．
21．如图，在四边形中，，，连接，平分．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)过点作，垂足为，过点作，分别交，于点，．若，，则菱形的边长为_________．
22．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，过点作轴的垂线，垂足为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当的面积为时，求点坐标.
23．如图，甲、乙两同学准备测量学校旗杆的高度，甲同学在旗杆左侧的教学楼的阳台处测得旗杆顶点的仰角为，且阳台的高度为米，乙同学在旗杆右侧的空地上点处测得旗杆顶点的仰角为(点，，在同一条直线上)，已知米，求旗杆的高(精确到米，参考数据：， ，，)．
24．如图,中,，点O在上,过点B，分别与、交于D、是的切线交于点F．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若与相切于点M的半径为3，，求的长．
25．如图1，在中，，，点为的中点；动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿线段运动，点同时在线段上运动，运动过程中始终保持，当点到达点时运动就停止，设运动的时间为秒，连接、．
(1)当点在线段上时，求证：．
(2)当射线将分成面积相等的两部分时，求点运动的时间．
(3)如图2，设射线与线段的交点为，求点在从向运动的过程中，点所走过的路径长．
26．如何设置挡板？
如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计）
【初步体验】
（1）如图②，若，，则_________．
【数学思考】
（2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值．
【问题解决】
（3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中：
（Ⅰ）直接写出最小时的的值；
（Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B C D D B B C
1．A
【分析】本题考查绝对值的基本性质，只需根据负数的绝对值是它的相反数计算即可．
【详解】解：．
2．A
【分析】根据主视图是从正面观察几何体得出平面图形即可．
【详解】解：其主视图是上下两个长方形，上面的长方形较小，且居中，如图所示；
3．C
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
4．B
【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．首先确定和的范围，然后求出整数m的值的值即可．
【详解】解：∵，即，，即，
又∵，
∴整数m的值为：3，
故选：B．
5．C
【分析】由作图可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，根据多边形内角和定理可得，根据角之间的关系可以求出．
【详解】解：由作图可知，
是等边三角形，
，
六边形是正六边形，
，
．
6．D
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由圆周角定理可得，根据弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，
为直径，
，
，
，
，
的直径，
的半径，
的弧长为．
7．D
【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限．
∵抛物线的对称轴是，
∴，即二次函数．
当时，．
对于一次函数，当时，，
所以图象D符合题意．
8．B
【分析】先根据题意可得，．再根据，，作出图形说明B；当时，根据“角角边”证明，可得，再根据“角角边”证明，可得，进而得出说明A；当时，根据“斜边直角边”证明，可得，即可说明C；当时，再证明，可得，即可解答D．
【详解】解：∵ ，和共底，
∴点和点到直线的距离相等，即，且．
当时，，此时四边形不是平行四边形，所以B符合题意；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形，所以A不符合题意；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，所以C不符合题意；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，则D不符合题意．
9．B
【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式和直线的解析式，过点作轴，过点作轴，可证，根据相似三角形的性质可以求出点的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，即可得到的长度．
【详解】解：把点的坐标代入反比例函数中，
可得：，
解得：，
反比例函数的解析式是，
设直线的解析式是，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
，
设直线的解析式为，
如下图所示，过点作轴，过点作轴，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标是，
，
，
点的横坐标是，
点的纵坐标是，
点的坐标是，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，
可得：，
．
10．C
【详解】由已知条件，根据不等式的性质求得b≤＜0和a≥；然后根据不等式的基本性质求得≤2 和当a＞0时，＜0；当≤a＜0时，≥；
所以A、当a＞0时，＜0，即的最小值不是，故本选项错误；
B、当≤a＜0时，≥，有最小值是，无最大值；故本选项错误；
C、有最大值2；故本选项正确；
D、无最小值；故本选项错误．
故选C．
考点：不等式的性质．
11．
【分析】先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：．
12．440
【分析】将每个图形的花卉分为圆点和三角形两部分；圆点数量规律为第个图形有个；三角形数量规律为第个图形有个；将两部分数量相加，，得到第个图形的总盆数，再将代入即可．
【详解】解：第一部分是用圆点表示的图形，数量规律是1，2，3，4，…；
圆点数量规律为第个图形有个；
第二部分是用三角形表示的部分，数量规律是，，，，…，
三角形数量规律为第个图形有个；
∴图中的花卉盆数是，
当时，．
13．
【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可．
【详解】解：连接，交于点，则：，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
14．9
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
∴，两点关于原点对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴，，
∴，，
∴，
把代入，
得，
解得，
故答案为：9．
15．
【分析】过点作于点，过点作于点，过作于点，利用勾股定理结合等积法求得，利用直角三角形的性质、勾股定理结合等积法求得，推出点和点重合，据此求解即可．
【详解】如图，过点作于点，过点作于点，过作于点，
∵，，
∴，
在中，．
由得，，
∴在中，，
∴在中，，
∴设，则，
由勾股定理得，
解得，，
∴在中，，
在中，，
∴点和点重合，
∴．
16．-8.
【分析】根据乘方的定义、立方根的定义、零指数幂及负整数指数幂的性质依次计算后，再根据实数的运算法则求得计算结果即可．
【详解】原式＝4﹣4+1﹣9
＝0+1﹣9
＝﹣8
【点睛】本题考查了实数的综合运算，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、平方和开立方等知识点是解决问题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
原不等式组的解集为：．
18．
【分析】本题考查分式的化简求值，先化简题目中的式子，然后根据，可以得到，再代入化简后的式子即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式=．
19．(1)
(2)图见解析，
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键；
（1）直接根据概率公式可进行求解；
（2）根据树状图可求解概率．
【详解】（1）解：由题意得：小李购买门票在A区观赛的概率为；
故答案为；
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，
其中小李和小张在同一区域观看比赛（记为事件A）的结果有4种，
∴小李和小张在同一区域观看比赛的概率为．
20．(1)
(2)见解析
(3)
(4)人
【分析】本题考查了画条形统计图，求扇形的圆心角度数，用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）用目的地的人数除以其所占的比例即可求解；
（2）用总人数减去其它三个目的地的人数算出目的地的人数，补全条形统计图即可；
（3）用乘以目的地的人数所占的比例即可；
（4）用乘以该校最喜欢去鼋头渚的学生所占的比例即可．
【详解】（1）解：这次被调查的学生共有（人），
故答案为：；
（2）解：目的地人数为（人），
补全图形如下：
（3）解：扇形统计图中对应的扇形圆心角度数是，
故答案为：；
（4）解：（人），
答：根据调查结果估计该校最喜欢去鼋头渚的学生人数有人．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明是四边形是平行四边形，再结合，邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形为菱形；
（2）先利用菱形的性质得到，然后证明三角形和三角形全等得到的长度，再根据三角形相似的性质进行计算即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形为菱形．
（2）四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理
，
又，
．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、三角形全等的判定、三角形相似的判定、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，三角形的全等的判定与性质是解答的关键．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，三角形的面积公式，即可．
（1）把点代入，即可；
（2）把点代入，得：，再根据的面积为，即可．
【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点
∴
解得：
∴反比例函数的解析式为：．
（2）∵点反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点．
23．米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题；过点作于，证是等腰直角三角形，得，，设米，则，，再由锐角三角函数定义列出方程，解得：，进而求解即可．
【详解】解：过点作于，如图所示：
则四边形是矩形，
米，，
由题意得：，，
是等腰直角三角形，
，
，
设米，
则(米)，(米)，
在中，，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
米，
答：旗杆的高约为米．
24．(1)，详见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是作辅助线，利用切线性质得垂直，结合特殊四边形与勾股定理建立方程求解。
（1）连接，由等腰三角形性质得；结合切线性质，推得；
（2）连接，证正方形得边长为，用勾股定理求、，设，在中列方程，解得。
【详解】（1）证明：连接 ．
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∵ 是 的切线，
∴
∴
（2）解：连接 ．
∵ 与 相切于点 ，
∴
∵ ，
∴ 四边形 是矩形．
∵ ，
∴ 矩形 是正方形．
∴ .
在 中，，
∴ ．
设 ，则 ，，
在 中，由勾股定理：，，，，．
∴ ．
25．(1)见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）设交于点，过点作于点，根据射线将分成面积相等的两部分得出，进而求得的长，根据求得，即可得出，进而分类讨论，即可求解；
（3）分当在上运动时，当在上运动时，点在上运动，当在上运动，点在上运动，分别求得的长，即可求解．
【详解】（1）在中，，，点为的中点，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，
设交于点，过点作于点，
∵是等腰直角三角形，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，
∵射线将分成面积相等的两部分
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，则
，则
∴当射线将分成面积相等的两部分时，求点运动的时间或
（3）解：当在上运动时，如图所示，
连接并延长交于点，
∵
∴
又∵
∴
∴
又
∴垂直平分，
∴垂直平分
∴
当在上运动时，点在上运动，
如图所示，当在上运动，
同理可得
∴
设
∴，
∴，
又∵
∴四点共圆，且圆心为
∴点在上运动，
∴
综上所述，点所走过的路径长为．
【点睛】本题考查了求弧长，直角所对的圆周角是直径，全等三角形的性质与判定，正切的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26．（1）2；（2）；（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把代入求解即可；
（2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G，解直角三角形求出，，则，当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为，
当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上，类似（1）可求，设，抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出解得，则，即可求解；
（3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小，此时，设直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出，则，然后根据正切定义求解即可；
（Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H，根据正切的定义可求出，设，则，则，类似（1）求出的解析式为，把代入求出，根据勾股定理得出，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
∴，
∵，，
∴，，
设抛物线解析式为，
把代入，得，
解得，
故答案为：2；
（2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G，
∵，，
∴，，
∴，
当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为，
当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上，
设，
∵经过、、，
∴设抛物线解析式为，
把代入，得 ，
解得，
∴，
设
∵经过经过、，
∴设抛物线解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
联立方程组，
化简得，
∵直线与的图象有唯一的交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得或（舍去）
∴，
∴，
即m的值为；
（3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小，
此时，
设设直线解析式为，
联立方程组，
化简得，
∵直线与的图象有唯一的交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
∴，
设，
则；
（Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H，
∵，
∴，
∴的解析式为，
∵点P在的图象上，设，
则
∴当时，有最小值为8，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正切的定义等知识，明确题意，找准临界位置是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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