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实验十二 测量电源的电动势和内阻
教材原型实验
拓展创新实验
备用习题
◆
◆
听课手册
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
一、实验目的
1.掌握测定电源的电动势和内阻的方法.
2.会用图像法求电动势和内阻.
3.体会一次函数思想在物理实验图像中的应用.
二、实验原理
甲
在闭合电路中,由闭合电路的欧姆定律可得电源的电动势、内阻 、路端
电压、电流存在的关系为,、在电路中不随外电阻 的变化
而改变.测量原理图如图甲所示,改变外电阻,可测
得一系列和的值 (至少6组),然后在 坐标
系中描点作图,所得直线与纵轴的交点的纵坐标
值为电动势,图线斜率的绝对值为内阻 ,这种方
法叫伏安法.
三、实验器材
电池、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线若干、坐标纸.
四、实验步骤
1.按如图甲所示电路图连接电路,将滑动变阻器调到有效电阻最大.
2.检查电路无误后,闭合开关,调节滑动变阻器滑片的位置,使电流表有明显
示数,记下一组 值.
3.改变滑动变阻器滑片的位置5次,用同样的方法,再测出5组 数值.然后
断开开关,整理好器材.
五、数据处理
方法一:列方程组，解出、 ，并多次测量求平均值.
方法二:用图像法处理数据，如图所示.
乙
(1) 图线与纵轴交点的纵坐标值为_____________；
(2) 图线斜率的绝对值为_______.
电源电动势
内阻
六、误差分析
1.偶然误差
(1)由读数不准引起误差.
(2)用图像法求和时，由于作图不准确造成误差.
(3)测量过程中通电时间过长或电流过大，都会引起、变化.
2.系统误差
由于电压表和电流表内阻影响而导致的误差.
丙
(1)如图丙所示，在理论上，其中电压表示数 是路端电
压.实验中忽略了通过电压表的电流 而形成误差，而且电压表示数越大，
即：
越大.
丁
结论：
当时，，用、 画出图丁中右侧的修正图，由图可以看
出：， .
从电路的角度看，电压表应看成内电路的一部分，
故实际测出的是电池和电压表这一整体的等效内阻
和电动势.因为电压表和电池并联，所以 小于电池
内阻；因为外电阻断开时，、两点间电压
等于电动势 ，此时电源与电压表构成回路，所以
，即.，
戊
(2)若采用图戊所示电路，在理论上， 为通过电源的电
流真实值.实验中忽略了电流表两端的电压 而形成误差.
即：
己
结论：
当时，，用、 画出图己中的修正图，由图可以看
从电路的角度看， .由于通常情况下
电池的内阻较小，所以这时 的误差非常大.
出：， .
七、注意事项
1.为了使电池的路端电压变化明显，应选内阻稍大些的电池(选用已使用过
一段时间的干电池).
2.在实验中不要将调得过大，每次读完和 的数据后应立即断开电源，
以免干电池在大电流放电时极化现象严重，使得和 明显变化.
3.测出不少于6组和 的数据，且变化范围要大些，用方程组求解时，类
似于逐差法，要将测出的、 数据中，第1和第4组为一组，第2和第5组为
一组，第3和第6组为一组，分别解出、 值再求平均值.
4.在画 图线时，要使尽可能多的点落在这条直线上，不在直线上的点
应对称分布在直线两侧，可舍弃个别离直线较远的点，以减小偶然误差.
例1 [2025·四川成都模拟] 某兴趣小组尝试测量某电源的电动势和内阻，
并探究滑动变阻器(最大阻值为)消耗的功率 .
(1) 已知电源内阻比较小，移动滑动变阻器滑片时，为了使电压表示数变
化比较明显，该小组同学在思考后将 的定值电阻串联到电路中，
则图甲中的___(选填“A”或“B”)可以解决该问题.
A
[解析] 根据闭合电路欧姆定律可得
，由于太小， 值变化较小，
所以串联电阻应置于干路.故选A.
(2) 根据(1)问中选择的电路，多次调节滑动变阻器 的阻值，读出相应的
电压表和电流表示数和，将测得的数据描绘出如图乙所示的 图像，
电源的内阻____ (结果保留2位有效数字)，滑动变阻器 消耗的最大
功率为______ .
2.0
0.225
[解析] 根据题图甲中A电路，由闭合电路欧姆定律有 ，
结合题图乙可知，纵截距表示电动势，即 ，斜率绝对值表示等效
内阻，则 ，解得 ，串联电阻
后，等效内阻为，所以当滑动变阻器的阻值等于 时，滑动变
阻器消耗的功率最大，为
.
(3) 该小组同学根据(1)问中选择的电路，分析了实验中由电表内阻引起的
实验误差.图丙中，实线是根据本实验的数据描点作图得到的 图像，
虚线是该电源在没有电表内阻影响的理想情况下所对应的 图像，则
可能正确的是___.
A. B. C. D.
√
[解析] 由电路图可知，由于电压表的分流作用，电流的测量值小于真实
值，因此虚线在实线的上方，当电压表示数为零时，电流测量值与真实值
相等，因此虚线与实线在 轴相交.故选B.
例2 [2023·湖北卷] 某实验小组为测量干电池的电动势和内阻，设计了如
图甲所示电路，所用器材如下：
电压表(量程 ，内阻很大)；
电流表(量程 )；
电阻箱(阻值 )；
干电池一节、开关一个和导线若干.
(1) 根据图甲，完成图乙中的实物图连线.
[答案] 如图所示
(2) 调节电阻箱到最大阻值，闭合开关.逐次改变电阻箱的电阻，记录其阻
值、相应的电流表示数和电压表示数.根据记录数据作出的 图像
1.58
均可
[解析] 由闭合电路欧姆定律可得
，由图丙可知电动势
，内阻
.
如图丙所示，则干电池的电动势为_____
(保留3位有效数字)，内阻为
_____________________ (保留2位有效
数字).
(3) 该小组根据记录数据进一步探究，作出 图像如图丁所示.利用图
丁中图像的纵轴截距，结合(2)问得到的电动势与内阻，还可以求出电流表
内阻为__________________ (保留2位有效数字).
均可
[解析] 根据 ，可得
，由图丁可知 ，解
得 .
(4) 由于电压表内阻不是无穷大，本实验干电池内阻的测量值______
(选填“偏大”或“偏小”).
偏小
[解析] 由于电压表内阻不是无穷大，则实验测得的是电压表内阻与电源
内阻的并联值，即实验中测得的电池内阻偏小.
测电源电动势和内阻的方法除了伏安法之外，还有安阻法和伏阻法.
实验 电路
安阻法
伏阻法
实验 原理
续表
图像
续表
考向一 安阻法
例3 [2025·湖北卷] 某实验小组为测量一节干电池的电动势和内阻 ，设
计了如图甲所示电路，所用器材如下：干电池 、智能手机、电流传感器、
(1) 在电路中起______(填“保护”或“分流”)作用.
保护
[解析] 串联在电路中，起保护作用.
定值电阻 、电阻箱、开关、导线等.按电路图
连接电路，将智能手机与电流传感器通过蓝牙无
线连接，闭合开关，逐次改变电阻箱的阻值 ，
用智能手机记录对应的电流传感器测得的电流 .
回答下列问题：
(2) 与、、、的关系式为 _______________.
[解析] 由闭合电路欧姆定律得 ，整理得
.
(3) 根据记录数据作出图像，如图乙所示. 已知 ，可得
______________________(保留三位有效数字)， _______________
_______ (保留两位有效数字).
均可
均
[解析] 根据上述分析，结合题图乙可知，
, ,解得
可
，.
(4) 电流传感器的电阻对本实验干电池内阻的测量结果____(填“有”或“无”)
影响.
有
[解析] 电流传感器有内阻时， ，解得
，则 ，则
，故电流传感器的电阻对干电池内
阻的测量结果有影响.
考向二 伏阻法
例4 [2024·辽宁卷] 某探究小组要测量电池的电动势和内阻.可利用的器材
有：电压表、电阻丝、定值电阻(阻值为)、金属夹、刻度尺、开关 、
导线若干.他们设计了如图所示的实验电路原理图.
(1) 实验步骤如下：
①将电阻丝拉直固定，按照图甲连接电路，金属夹置于电阻丝的___
(选填“”或“ ”)端；
②闭合开关，快速滑动金属夹至适当位置并记录电压表示数 ，断开开
关，记录金属夹与端的距离 ；
③多次重复步骤②，根据记录的若干组、 的值，作出图丙中图线Ⅰ；
④按照图乙将定值电阻接入电路，多次重复步骤②，再根据记录的若干组
、 的值，作出图丙中图线Ⅱ.
[解析] 为了保护电路，避免通过电源的电流过大，闭合开关前，金属夹
应置于使电阻丝接入电路的阻值最大处，即应该置于 端.
(2) 由图线得出纵轴截距为，则待测电池的电动势 _ _.
[解析] 对于图甲电路，根据闭合电路欧姆定律有 ，设金属丝的
电阻率为 ，横截面积为，根据欧姆定律和电阻定律有， ，
联立可得，整理可得 ，对于图乙电路，根据闭合
电路欧姆定律有，根据欧姆定律和电阻定律有 ，
，联立并整理可得，所以图线的纵轴截距 ，
解得 .
(3) 由图线求得Ⅰ、Ⅱ的斜率分别为、，若 ，则待测电池的内阻
____(用和 表示).
[解析] 由题意可知，，又，联立解得 .
1.在测量某电源电动势和内阻时，因为电压表和电流表的影响，不论使用
何种接法，都会产生系统误差，为了消除电表内阻造成的系统误差，某实
验兴趣小组设计了如图甲所示的实验电路进行测量.已知 .
(1) 按照图甲所示的电路图，将图乙中的器材实物连线补充完整.
[答案] 如图所示
(2)实验操作步骤如下：
①将滑动变阻器滑到最左端位置；
②接法Ⅰ：单刀双掷开关与1接通，闭合开关，调节滑动变阻器 ，记录
下若干组数据的值，断开开关 ；
③将滑动变阻器滑到最左端位置；
④接法Ⅱ：单刀双掷开关与2闭合，闭合开关，调节滑动变阻器 ，记
录下若干组数据的值，断开开关 ；
⑤分别作出两种情况所对应的和 图像.
(3) 单刀双掷开关接1时，某次读取电表数据时，电压表指针如图丙所示，
此时_____ .
1.30
[解析] 电压表的量程为，分度值为 ，需要估读到分度值的下
一位，由图丙可知电压表读数为 .
(4) 根据测得数据，作出和 图像如图丁所示，根据图线求得
电源电动势_____，内阻 _____.(结果均保留两位小数)
1.80
2.50
[解析] 当单刀双掷开关接1，电流表示数为零时，电
压表测量准确，故电动势对应图像的纵截距，
故 ；当单刀双掷开关接2，电压表示数为
零时，电流表测量准确，由 图像可知滑动变
阻器短路时电流为，根据闭合电路欧姆定律
可知 ，解得内阻为
.
(5) 由图丁可知_______(选填“接法Ⅰ”或“接法Ⅱ”)测得的电源内阻更接近真实值.
接法Ⅱ
[解析] 由图丁可知图像的斜率绝对值为 ，
解得 ，由图丁可知 图像的斜率绝
对值为，解得 ，
由于 ，
故接法Ⅱ测得的电源内阻更接近真实值.
(6) 综合考虑，若只能选择一种接法，应选择_______(选填“接法Ⅰ”或“接法
Ⅱ”)测量更合适.
接法Ⅱ
[解析] 由电路图可知接法Ⅰ的误差来源是电流表的分压，接法Ⅱ的误差来源
是电压表的分流，由于电源内阻较小，远小于电压表内阻，结合(5)问分
析可知，若只能选择一种接法，应选择接法Ⅱ更合适.
2.某探究小组学习了多用电表的工作原理和使用方法后，为测量一种新型
材料制成的圆柱形电阻的电阻率,进行了如下实验探究.
(1) 该小组用螺旋测微器测量该圆柱形电阻的直径 ，示数如图甲所示，
其读数为______.再用游标卡尺测得其长度 .
3.700
[解析] 螺旋测微器的读数为 .
(2) 该小组用如图乙所示的电路测量该圆柱形电阻 的阻值.图中电流表量
程为、内阻为 ，定值电阻的阻值为 ，电阻箱 的
最大阻值为 .首先将置于位置1，闭合，多次改变电阻箱 的阻
值，记下电流表的对应读数 ，实验数据见下表.
5.0 0.414 2.42
10.0 0.352 2.84
15.0 0.308 3.25
20.0 0.272 3.68
25.0 0.244 4.10
30.0 0.222 4.50
根据表中数据,在图丙中绘制出图像.再将 置于位置2，此时电流表
读数为.根据图丙中的图像可得____ (结果保留2位有效数字).
最后可由表达式_ _____得到该材料的电阻率(用、、 表示) .
6.0
[解析] 由图像可知，时， ，则 .由电阻
定律有，又，可得 .
(3) 该小组根据图乙的电路和图丙的 图像，还可以求得电源电动势
12
3.0
[解析] 将 置于1，由闭合电路欧姆定律可
得 ，变形得
，斜率 ，
截距，解得 ，内阻
.
____,内阻____ .(结果均保留2位
有效数字)
(4) 持续使用后，电源电动势降低、内阻变大.若该小组再次将此圆柱形电
阻连入此装置，测得电路的电流，仍根据原来描绘的图丙的图像得到该电
阻的测量值会______(选填“偏大”“偏小”或“不变”).
偏大
[解析] 电动势减小，内阻变大，则圆柱形电阻连入装置后，测得的电流
比变化前偏小，在图像中对应的电阻值偏大，即该电阻的测量值偏大.
3.某同学从实验室找到如下器材，准备测未知电源的电动势和内阻.
A.待测电源一个
B.直流电压表，量程为 ，内阻非常大
C.定值电阻
D.电阻箱
E.导线和开关
该同学设计的电路如图甲所示，根据该电路进行实验操作：多次改变电阻
箱的阻值，记录每次电阻箱的阻值和电压表的示数，在 坐标系中
描出的坐标点如图乙所示.
(1) 分别用和表示电源的电动势和内阻，则与 的关系式为
____ _____________________.
[解析] 由题图可知，电压表与定值电阻 并联，电压表测的是定值电阻
两端的电压，电路中电流为 ，由闭合电路欧姆定律可得
，变形得 .
(2) 在图乙的坐标纸上画出 关系图线.
[答案] 如图所示
[解析] 拟合成直线，如图所示.
(3) 根据图线求得电源电动势____________________，内阻
_____________________ .(均保留3位有效数字)
均可
均可
[解析] 根据图线求得斜率 ，
纵截距，由，，解得， .
作业手册
(限时40分钟)
1.[2024·甘肃卷] 精确测量干电池电动势和内阻需要考虑电表内阻的影响.
可用器材有：电压表(量程 ，
内阻约为 )、电流表
(量程 )、滑动变阻器、开关、
干电池和导线若干.某小组开展了以
下实验.
(1) 考虑电流表内阻影响
① 用图甲所示电路测量电流表的内阻.从图乙电压表和电流表读数可得电
流表内阻_____ (保留2位有效数字).
1.0
[解析] 由图乙可知，电压表读数为，电流表读数为 ，
根据欧姆定律可得电流表内阻为
；
② 用图丙所示电路测量干电池电动势和内阻.电压表读数、电流表读数、
干电池内阻和电流表内阻分别用、、和 表示.则干电池电动势
__________(用、和 表示).
[解析] 由闭合电路欧姆定律可知，干电池电动
势的表达式为 ；
丁
③ 调节滑动变阻器测得多组电表读数，作出图丁所示的 图像.则待测
干电池电动势_____(保留3位有效数字)、内阻____ (保留1位小数).
1.40
1.0
[解析] 根据 变形得到
，根据图像可知，纵截距
，斜率的绝对值
，所以待测干
电池电动势为，内阻为 .
(2) 考虑电压表内阻影响
该小组也尝试用图戊所示电路测量电压表内阻，但发现实验无法完成.原
因是___.
A.电路设计会损坏仪器
B.滑动变阻器接法错误
C.电压太大无法读数
D.电流太小无法读数
√
[解析] 由于将电压表串联接在电路中，电压表内阻很大，电路中电流太
小，故无法完成实验的原因可能是电流太小无法读数，故选D.
2.[2025·湖南益阳模拟] 某同学分别用图1甲和图1乙的电路测量同一节干
电池的电动势和内阻.
图1
(1) 在下面方框中画出图1乙的电路图.
[答案] 如图所示
[解析] 图1乙中，电压表测电流表和变阻器串联电路两端的电压，则图1
乙对应的电路图如图所示.
图1
(2) 某次测量时电流表和电压表的示数如图2所示，则电流 _____A，电
压_____ .
0.40
1.30
图2
[解析] 由图1甲、乙可知，电压表选择量程，电流表选择
量程，所以电表示数分别为、 .
(3) 实验得到如图3所示的两条直线，图中直线Ⅰ对应电路是图1____
(选填“甲”或“乙”).
乙
图3
图3
[解析] 不考虑电表内阻时，由闭合电路欧姆定律可得 ，则
图像的纵轴截距为电源电动势，斜率绝对值为电源内阻.设电流表的
内阻为，电压表的内阻为 .对图1甲电路，由闭合电路欧姆定律有
①；对图1乙电路，由闭合电路欧姆定律有
，变形可得 ②.
比较①②两式可知，①式对应的 图线的斜率绝对值
较大，故图3中直线Ⅰ对应电路是图1乙，图3中直线Ⅱ对
应电路是图1甲.
(4) 该电池的电动势_____(保留三位有效数字)，内阻_____
(保留两位有效数字).
1.52
0.53
[解析] 由①式可知，图3中直线Ⅱ所测电池的电动势没有电表内阻引起的
误差，则 .由②式可知，图3中直线Ⅰ所测电池的短路电流没有电
表内阻引起的误差，设图线Ⅰ的函数式为
，代入任意两点的数据有
， ，联立
得，，则 ，
则 .
图3
3.[2025·广东深圳模拟] 要测量一电源的电动势(略小于)和内阻
(约)，现有下列器材：电压表(量程为)、电阻箱 (可调节范围
为)，定值电阻(阻值为 )，开关和导线.某实验小组根据所
给器材设计了如图甲所示的实验电路.
(1) 实验小组同学计划用作图法处理数据，同学们多次调节电阻箱阻值 ，
读出电压表对应的数据，建立坐标系并描点连线，得出了如图乙所示的图
像，图像纵坐标表示，图像的横坐标表示电压表读数的倒数 .若所得
图像的斜率为，图像的延长线在纵轴上的截距为 ，则该电源的电动势
__，内阻__.(用和 表示)
[解析] 通过电源的电流，根据闭合电路的欧姆定律有 ，
联立并整理得，可知题图乙中图线的斜率为 ，延长线
在纵轴上的截距为，整理得， .
(2) 从实验中取两组数据，电阻箱阻值为 时，对应电压表读数为
；电阻箱阻值为 时，电压表读数为 .由这两组数据可求
得电源的内阻为____ ，电动势为____ .(结果均保留两位有效数字)
1.0
2.8
[解析] 根据(1)分析可得 ，将数据代入得
，，联立解得 ，
.
(3) 利用上述方法测出的测量值和真实值相比，______， ______
.(均选填“大于”“等于”或“小于”)
小于
小于
[解析] 实验误差来源于电压表内阻 的分流，流过电源的电流
，由闭合电路欧姆定律得 ，联立并整理可得
，对应图线有， ，解得
，，由(1)可知， ，故可得
， .
4.[2025·安徽阜阳模拟] 某学习小组把铜片和锌片相隔约 插入一个苹
果中，制成了一个苹果电池.为了测量该苹果电池的电动势和内阻 ，他
们进行了以下实验操作：
(1) 先用多用电表的“直流电压 ”挡粗测苹果电池的电动势，如图甲所
示，则多用电表的读数为_____ .若考虑系统误差，则该苹果电池的电动
势 应______测量值(选填“大于”“等于”或“小于”).
0.85
大于
[解析] 直流电压挡最小刻度为 ，
则多用电表的读数为 .若考虑系统误
差，即直流电压挡的内阻不是无穷大，则
该苹果电池的电动势 应大于测量值.
(2)为验证上述判断，大家想尽可能准确地测量出苹果电池的电动势和内
阻，他们选用以下器材进一步实验.
A.电阻箱(最大阻值为 )
B. 数字电压传感器(内阻可视为无穷大)
C. 数据采集器
D.笔记本电脑
E.导线和开关
具体实验步骤如下：
①将该苹果电池与实验器材按图乙所示电路连接；
②调节电阻箱阻值，闭合开关，待示数稳定后，记录电阻
箱的阻值和数字电压传感器显示的数值 后立即断开开关；
③每次将电阻箱的阻值增大 ，重复以上实验步骤，
测量出值和值，计算出相应的和 ，并记录数据；
④根据数据，绘制出关系图线，如图丙中图线 所示.
(3) 根据实验数据绘制的图线 可得该苹果电池的电动势为______，内阻
为_______；(结果均保留2位有效数字)
[解析] 根据可得，由图像可知 ，
，可得， .
(4) 若用普通的磁电式电压表代替数字电压传感器进行实验，得到的图线
可能是图丙中的___(选填“”“”或“ ”).
[解析] 若用普通的磁电式电压表代替数字电压传感器进行实验，则方程
变为，可得，即 图线的斜率不
变，截距变大，则得到的图线可能是图丙中的 .
(1)电源电动势 (2)内阻 例1.(1)A (2)2.0 0.225 (3)B 例2.
(1)如图所示
(2)1.58 均可 (3)均可 (4)偏小
例3.(1)保护 (2) (3)均可
均可 (4)有 例4.(1) (2) (3)
1.(1)①1.0 ② ③1.40 1.0 (2)D 2.(1)如图所示
. .
(2)0.40 1.30 (3)乙 (4)1.52 0.53 3.(1) (2)1.0 2.8 (3)小
于 小于 4.(1)0.85 大于 (3) (4)实验十二　测量电源的电动势和内阻
1.(1)①1.0　②I(r+RA)　③1.40　1.0　(2)D
[解析] (1)①由图乙可知,电压表读数为U=0.60 V,电流表读数为I=0.58 A,根据欧姆定律可得电流表内阻为RA== Ω≈1.0 Ω;②由闭合电路欧姆定律可知,干电池电动势的表达式为E=U+I(r+RA);③根据E=U+I(r+RA)变形得到U=-(r+RA)I+E,根据图像可知,纵截距b=E=1.40 V,斜率的绝对值=r+RA= Ω=2.0 Ω,所以待测干电池电动势为E=1.40 V,内阻为r=1.0 Ω.
(2)由于将电压表串联接在电路中,电压表内阻很大,电路中电流太小,故无法完成实验的原因可能是电流太小无法读数,故选D.
2.(1)如图所示　(2)0.40　1.30　(3)乙　(4)1.52　0.53
[解析] (1)图1乙中,电压表测电流表和变阻器串联电路两端的电压,则图1乙对应的电路图如图所示.
(2)由图1甲、乙可知,电压表选择0~3 V量程,电流表选择0~0.6 A量程,所以电表示数分别为I=0.40 A、U=1.30 V.
(3)不考虑电表内阻时,由闭合电路欧姆定律可得U=E-Ir,则U I图像的纵轴截距为电源电动势,斜率绝对值为电源内阻.设电流表的内阻为RA,电压表的内阻为RV.对图1甲电路,由闭合电路欧姆定律有U=E-I(r+RA)　①;对图1乙电路,由闭合电路欧姆定律有E=U+r,变形可得U=E-r·I　②.比较①②两式可知,①式对应的U I图线的斜率绝对值较大,故图3中直线Ⅰ对应电路是图1乙,图3中直线Ⅱ对应电路是图1甲.
(4)由①式可知,图3中直线Ⅱ所测电池的电动势没有电表内阻引起的误差,则E≈1.52 V.由②式可知,图3中直线Ⅰ所测电池的短路电流没有电表内阻引起的误差,设图线Ⅰ的函数式为U=-kI+b,代入任意两点的数据有1.46=-0.1k+b,1.24=-0.52k+b,联立得k≈0.524,b≈1.512,则I0=≈2.89 A,则r=≈0.53 Ω.
3.(1)　　(2)1.0　2.8　(3)小于　小于
[解析] (1)通过电源的电流I=,根据闭合电路的欧姆定律有E=U+Ir,联立并整理得=·-,可知题图乙中图线的斜率为k=,延长线在纵轴上的截距为-b=-,整理得r=,E=.
(2)根据(1)分析可得E=U+r,将数据代入得E=2.40 V+r,E=2.60 V+r,联立解得r=1.0 Ω,E=2.8 V.
(3)实验误差来源于电压表内阻RV的分流,流过电源的电流I真=+,由闭合电路欧姆定律得E真=U+I真r真,联立并整理可得=·--,对应图线有-=-b,=k,解得r真=,E真=k·r真=k·,由(1)可知r测=,E测=,故可得E测4.(1)0.85　大于　(3)1.0 V　7.8 kΩ　　(4)b
[解析] (1)直流电压2.5 V挡最小刻度为0.05 V,则多用电表的读数为0.85 V.若考虑系统误差,即直流电压挡的内阻不是无穷大,则该苹果电池的电动势E应大于测量值.
(3)根据E=U+r可得=+·,由图像可知=1.0 V-1,==7.8 V-1·kΩ,可得E=1.0 V,r=7.8 kΩ.
(4)若用普通的磁电式电压表代替数字电压传感器进行实验,则方程变为E=U+(+)r,可得=(+)+·,即 图线的斜率不变,截距变大,则得到的图线可能是图丙中的b.实验十二　测量电源的电动势和内阻 (限时40分钟)
1.[2024·甘肃卷] 精确测量干电池电动势和内阻需要考虑电表内阻的影响.可用器材有:电压表(量程0~1.5 V,内阻约为1.5 kΩ)、电流表(量程0~0.6 A)、滑动变阻器、开关、干电池和导线若干.某小组开展了以下实验.
甲
乙
(1)考虑电流表内阻影响
①用图甲所示电路测量电流表的内阻.从图乙电压表和电流表读数可得电流表内阻RA=　　　　Ω(保留2位有效数字).
②用图丙所示电路测量干电池电动势和内阻.电压表读数、电流表读数、干电池内阻和电流表内阻分别用U、I、r和RA表示.则干电池电动势E=U+　　　　(用I、r和RA表示).
③调节滑动变阻器测得多组电表读数,作出图丁所示的U I图像.则待测干电池电动势E=　　　　V(保留3位有效数字)、内阻r=　　　　Ω(保留1位小数).
丁
(2)考虑电压表内阻影响
该小组也尝试用图戊所示电路测量电压表内阻,但发现实验无法完成.原因是　　　　.
A.电路设计会损坏仪器
B.滑动变阻器接法错误
C.电压太大无法读数
D.电流太小无法读数
2.[2025·湖南益阳模拟] 某同学分别用图1甲和图1乙的电路测量同一节干电池的电动势和内阻.
图1
(1)在下面方框中画出图1乙的电路图.
(2)某次测量时电流表和电压表的示数如图2所示,则电流I=　　　　 A,电压U=　　　　 V.
图2
(3)实验得到如图3所示的两条直线,图中直线Ⅰ对应电路是图1　　　　(选填“甲”或“乙”).
图3
(4)该电池的电动势E=　　　　 V(保留三位有效数字),内阻r=　　　　 Ω(保留两位有效数字).
3.[2025·广东深圳模拟] 要测量一电源的电动势E(略小于3 V)和内阻r(约1 Ω),现有下列器材:电压表V(量程为0~3 V)、电阻箱R(可调节范围为0~999.9 Ω),定值电阻R0(阻值为4 Ω),开关和导线.某实验小组根据所给器材设计了如图甲所示的实验电路.
(1)实验小组同学计划用作图法处理数据,同学们多次调节电阻箱阻值R,读出电压表对应的数据,建立坐标系并描点连线,得出了如图乙所示的图像,图像纵坐标表示,图像的横坐标表示电压表读数的倒数.若所得图像的斜率为k,图像的延长线在纵轴上的截距为-b,则该电源的电动势E=　　　　,内阻r=　　　　.(用k和b表示)
(2)从实验中取两组数据,电阻箱阻值为2.0 Ω时,对应电压表读数为2.40 V;电阻箱阻值为9.0 Ω时,电压表读数为2.60 V.由这两组数据可求得电源的内阻r为　　　　 Ω,电动势E为　　　　 V.(结果均保留两位有效数字)
(3)利用上述方法测出的测量值和真实值相比,E测　　　　E真,r测　　　　r真.(均选填“大于”“等于”或“小于”)
4.[2025·安徽阜阳模拟] 某学习小组把铜片和锌片相隔约1 cm插入一个苹果中,制成了一个苹果电池.为了测量该苹果电池的电动势E和内阻r,他们进行了以下实验操作:
(1)先用多用电表的“直流电压2.5 V”挡粗测苹果电池的电动势,如图甲所示,则多用电表的读数为　　　　V.若考虑系统误差,则该苹果电池的电动势E应　　　　测量值(选填“大于”“等于”或“小于”).
(2)为验证上述判断,大家想尽可能准确地测量出苹果电池的电动势和内阻,他们选用以下器材进一步实验.
A.电阻箱(最大阻值为9999.9 Ω)
B.DIS数字电压传感器(内阻可视为无穷大)
C.DIS数据采集器
D.笔记本电脑
E.导线和开关
具体实验步骤如下:
①将该苹果电池与实验器材按图乙所示电路连接;
②调节电阻箱阻值,闭合开关,待示数稳定后,记录电阻箱的阻值R和数字电压传感器显示的数值U后立即断开开关;
③每次将电阻箱的阻值增大1000 Ω,重复以上实验步骤,测量出R值和U值,计算出相应的和,并记录数据;
④根据数据,绘制出 关系图线,如图丙中图线a所示.
(3)根据实验数据绘制的图线a可得该苹果电池的电动势为　　　　,内阻为　　　　;(结果均保留2位有效数字)
(4)若用普通的磁电式电压表代替数字电压传感器进行实验,得到的图线可能是图丙中的　　　　(选填“b”“c”或“d”). 实验十二　测量电源的电动势和内阻
例1　(1)A　(2)2.0　0.225　(3)B
[解析] (1)根据闭合电路欧姆定律可得U=E-Ir,由于r太小,U值变化较小,所以串联电阻应置于干路.故选A.
(2)根据题图甲中A电路,由闭合电路欧姆定律有U=E-I(r0+R0),结合题图乙可知,纵截距表示电动势,即E=3.0 V,斜率绝对值表示等效内阻,则r0+R0=|k|= Ω=10 Ω,解得r0=2.0 Ω,串联电阻R0后,等效内阻为r=r0+R0,所以当滑动变阻器的阻值等于r时,滑动变阻器消耗的功率最大,为Pm=== W=0.225 W.
(3)由电路图可知,由于电压表的分流作用,电流的测量值小于真实值,因此虚线在实线的上方,当电压表示数为零时,电流测量值与真实值相等,因此虚线与实线在I轴相交.故选B.
例2　(1)如图所示　(2)1.58　0.64(0.62~0.66均可)　(3)2.2(2.0~2.5均可)　(4)偏小
[解析] (2)由闭合电路欧姆定律可得U=E-Ir,由图丙可知电动势E=1.58 V,内阻r= Ω=0.64 Ω.
(3)根据E=I(R+RA+r),可得=·R+,由图丁可知=1.8 A-1,解得RA=2.2 Ω.
(4)由于电压表内阻不是无穷大,则实验测得的是电压表内阻与电源内阻的并联值,即实验中测得的电池内阻偏小.
例3　(1)保护　(2)(R+r+R0)　(3)1.47(1.45~1.49均可)　1.3(1.2~1.4均可)　(4)有
[解析] (1)R0串联在电路中,起保护作用.
(2)由闭合电路欧姆定律得E=I(R+R0+r),整理得=(R+r+R0).
(3)根据上述分析,结合题图乙可知,= V-1,=7 A-1,解得E=1.47 V,r=1.3 Ω.
(4)电流传感器有内阻时,E=I(R+R0+r真+RA),解得=R+,则=7 A-1,则r测=r真+RA,故电流传感器的电阻对干电池内阻的测量结果有影响.
例4　(1)A　(2)　(3)
[解析] (1)为了保护电路,避免通过电源的电流过大,闭合开关前,金属夹应置于使电阻丝接入电路的阻值最大处,即应该置于A端.
(2)对于图甲电路,根据闭合电路欧姆定律有U=E-Ir,设金属丝的电阻率为ρ,横截面积为S,根据欧姆定律和电阻定律有I=,R=ρ,联立可得U=E-r,整理可得=+·,对于图乙电路,根据闭合电路欧姆定律有U=E-I(r+R0),根据欧姆定律和电阻定律有I=,R=ρ,联立并整理可得=+·,所以图线的纵轴截距b=,解得E=.
(3)由题意可知k1=,k2=,又=n,联立解得r=.实验十二　测量电源的电动势和内阻
　　　　　 　　　　　 　　　　　
一、实验目的
1.掌握测定电源的电动势和内阻的方法.
2.会用图像法求电动势和内阻.
3.体会一次函数思想在物理实验图像中的应用.
二、实验原理
在闭合电路中,由闭合电路的欧姆定律可得电源的电动势E、内阻r、路端电压U、电流I存在的关系为U=E-Ir,E、r在电路中不随外电阻R的变化而改变.测量原理图如图甲所示,改变外电阻,可测得一系列I和U的值(至少6组),然
甲
后在U I坐标系中描点作图,所得直线与纵轴的交点的纵坐标值为电动势E,图线斜率的绝对值为内阻r,这种方法叫伏安法.
三、实验器材
电池、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线若干、坐标纸.
四、实验步骤
1.按如图甲所示电路图连接电路,将滑动变阻器调到有效电阻最大.
2.检查电路无误后,闭合开关,调节滑动变阻器滑片的位置,使电流表有明显示数,记下一组(I,U)值.
3.改变滑动变阻器滑片的位置5次,用同样的方法,再测出5组(I,U)数值.然后断开开关,整理好器材.
五、数据处理
方法一:列方程组,解出E、r,并多次测量求平均值.
乙
方法二:用图像法处理数据,如图所示.
(1)图线与纵轴交点的纵坐标值为　　　　　　　　　;
(2)图线斜率的绝对值为　　　　　.
六、误差分析
1.偶然误差
(1)由读数不准引起误差.
(2)用图像法求E和r时,由于作图不准确造成误差.
(3)测量过程中通电时间过长或电流过大,都会引起E、r变化.
2.系统误差
由于电压表和电流表内阻影响而导致的误差.
(1)如图丙所示,在理论上E=U+(IV+IA)r,其中电压表示数U是路端电压.实验中忽略了通过电压表的电流IV而形成误差,而且电压表示数越大,IV越大.
丙
丁
即:U真=U测
I真=I测+IV=I测+
结论:
当U测=0时,I真=I测,用U真、I真画出图丁中右侧的修正图,由图可以看出:E真>E测,r真>r测.
从电路的角度看,电压表应看成内电路的一部分,故实际测出的是电池和电压表这一整体的等效内阻和电动势.因为电压表和电池并联,所以r测小于电池内阻r真;因为外电阻R断开时,a、b两点间电压Uab等于电动势E测,此时电源与电压表构成回路,所以Uab(2)若采用图戊所示电路,在理论上E=(U+UA)+Ir,I为通过电源的电流真实值.实验中忽略了电流表两端的电压UA而形成误差.
戊
己
即:I真=I测
U真=U测+I测RA
结论:
当I测=0时,U真=U测,用U真、I真画出图己中的修正图,由图可以看出:E测=E真,r测>r真.
从电路的角度看,r测=r真+RA.由于通常情况下电池的内阻较小,所以这时r测的误差非常大.
七、注意事项
1.为了使电池的路端电压变化明显,应选内阻稍大些的电池(选用已使用过一段时间的干电池).
2.在实验中不要将I调得过大,每次读完U和I的数据后应立即断开电源,以免干电池在大电流放电时极化现象严重,使得E和r明显变化.
3.测出不少于6组I和U的数据,且变化范围要大些,用方程组求解时,类似于逐差法,要将测出的U、I数据中,第1和第4组为一组,第2和第5组为一组,第3和第6组为一组,分别解出E、r值再求平均值.
4.在画U I图线时,要使尽可能多的点落在这条直线上,不在直线上的点应对称分布在直线两侧,可舍弃个别离直线较远的点,以减小偶然误差.
例1　[2025·四川成都模拟] 某兴趣小组尝试测量某电源的电动势和内阻,并探究滑动变阻器(最大阻值为20 Ω)消耗的功率P.
(1)已知电源内阻比较小,移动滑动变阻器滑片时,为了使电压表示数变化比较明显,该小组同学在思考后将R0=8 Ω的定值电阻串联到电路中,则图甲中的　　　　(选填“A”或“B”)可以解决该问题.
(2)根据(1)问中选择的电路,多次调节滑动变阻器R的阻值,读出相应的电压表和电流表示数U和I,将测得的数据描绘出如图乙所示的U I图像,电源的内阻r0=　　　　 Ω(结果保留2位有效数字),滑动变阻器R消耗的最大功率为　　　　 W.
(3)该小组同学根据(1)问中选择的电路,分析了实验中由电表内阻引起的实验误差.图丙中,实线是根据本实验的数据描点作图得到的U I图像,虚线是该电源在没有电表内阻影响的理想情况下所对应的U I图像,则可能正确的是　　　　.
A
B
C
D
丙
[反思感悟] 　

例2　[2023·湖北卷] 某实验小组为测量干电池的电动势和内阻,设计了如图甲所示电路,所用器材如下:
电压表(量程0~3 V,内阻很大);
电流表(量程0~0.6 A);
电阻箱(阻值0~999.9 Ω);
干电池一节、开关一个和导线若干.
(1)根据图甲,完成图乙中的实物图连线.
(2)调节电阻箱到最大阻值,闭合开关.逐次改变电阻箱的电阻,记录其阻值R、相应的电流表示数I和电压表示数U.根据记录数据作出的U I图像如图丙所示,则干电池的电动势为　　　　V(保留3位有效数字),内阻为　　　　Ω(保留2位有效数字).
(3)该小组根据记录数据进一步探究,作出 R图像如图丁所示.利用图丁中图像的纵轴截距,结合(2)问得到的电动势与内阻,还可以求出电流表内阻为　　　　Ω(保留2位有效数字).
(4)由于电压表内阻不是无穷大,本实验干电池内阻的测量值　　　　(选填“偏大”或“偏小”).
测电源电动势和内阻的方法除了伏安法之外,还有安阻法和伏阻法.
实验电路 安阻法 伏阻法
实验原理 E= r= E= r=
图像
=R+
R=E·-r =·+
考向一　安阻法
例3　[2025·湖北卷] 某实验小组为测量一节干电池的电动势E和内阻r,设计了如图甲所示电路,所用器材如下:干电池 、智能手机、电流传感器、定值电阻R0、电阻箱、开关、导线等.按电路图连接电路,将智能手机与电流传感器通过蓝牙无线连接,闭合开关S,逐次改变电阻箱的阻值R,用智能手机记录对应的电流传感器测得的电流I.回答下列问题:
(1)R0在电路中起　　　　(填“保护”或“分流”)作用.
(2)与E、r、R、R0的关系式为=　　　　.
(3)根据记录数据作出 R图像,如图乙所示.已知R0=9.0 Ω,可得E=　　　　V(保留三位有效数字),r=　　　　Ω(保留两位有效数字).
(4)电流传感器的电阻对本实验干电池内阻的测量结果　　　　(填“有”或“无”)影响.
考向二　伏阻法
例4　[2024·辽宁卷] 某探究小组要测量电池的电动势和内阻.可利用的器材有:电压表、电阻丝、定值电阻(阻值为R0)、金属夹、刻度尺、开关S、导线若干.他们设计了如图所示的实验电路原理图.
(1)实验步骤如下:
①将电阻丝拉直固定,按照图甲连接电路,金属夹置于电阻丝的　　　　(选填“A”或“B”)端;
②闭合开关S,快速滑动金属夹至适当位置并记录电压表示数U,断开开关S,记录金属夹与B端的距离L;
③多次重复步骤②,根据记录的若干组U、L的值,作出图丙中图线Ⅰ;
④按照图乙将定值电阻接入电路,多次重复步骤②,再根
据记录的若干组U、L的值,作出图丙中图线Ⅱ.
(2)由图线得出纵轴截距为b,则待测电池的电动势E=　　　　.
(3)由图线求得Ⅰ、Ⅱ的斜率分别为k1、k2,若=n,则待测电池的内阻r=　　　　(用n和R0表示).
五、(1)电源电动势E　(2)内阻r

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