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专题十六 带电粒子在有界匀强磁场中的
运动
题型一 带电粒子在几种典型有界匀强磁场中的运动
题型二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
备用习题
◆
◆
听课手册
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
题型一 带电粒子在几种典型有界匀强磁场中的运动
1.解题关键——确定轨迹圆心
求解带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题，首先应画出轨迹圆示意图，
找出轨迹圆心.确定轨迹圆心的3个依据：
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上；
(2)圆心一定在弦的中垂线上；
(3)圆心与轨迹圆上任一点的距离一定等于轨迹半径.
常见情境：
①如图甲，若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹
力 的方向，其交点即为圆心.
②如图乙，若已知粒子运动轨迹上的两点和
其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度
垂线的交点即为圆心.
③如图丙，若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据 计算出轨迹
半径，则在该点沿洛伦兹力方向距离为 的位置为圆心.
2.轨迹半径的计算
方法一(由动力学关系求)：由于，所以轨迹半径；
方法二(由几何关系求)：作辅助线构造出与轨迹半径相关的三角形
(通常是直角三角形)，根据勾股定理、三角函数求解，
或根据正弦定理、余弦定理求解.
例如：如图所示，，或由
求得 .
3.运动时间的计算
方法一(由运动轨迹圆弧所对的圆心角 、圆周运动的周期求)
；
方法二(由运动的弧长、线速度求).
4.作图及分析带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹时需要注意的问题
四个点：入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度所在直线与出射速度所在
直线的交点.
六条线：圆弧两端点所在的半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，
入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的
连线.
三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角(如图所示).粒子速
度的偏转角等于轨迹所对圆心角，并等于 弦与圆
切线的夹角(弦切角)的2倍，即 .
考向一 直线边界问题
注意：进出直线边界磁场具有对称性.
例1 (多选)空间中虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 ，一群电
子以不同速率从边界上的 点以相同的方向射入磁场，其中某一速率为
的电子从点射出，如图所示.已知电子入射方向与边界夹角为 ，则由
以上条件可判断( )
A.该匀强磁场的方向垂直纸面向里
B.所有电子在磁场中的轨迹相同
C.速率大的电子在磁场中运动的时间长
D.与进入磁场时相比，出磁场时，所有电子的速度
方向都改变了
√
√
[解析] 根据左手定则判断可知，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，故A正
确；电子进入磁场后受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向
心力得，解得电子的轨迹半径 ，则电子的轨迹半径与电
子的速率成正比，速率不同，轨迹半径不同，则所有电子在磁场中的轨迹
不同，故B错误；
根据圆的对称性可知，所有电子离开磁场时速度方向与的夹角都是 ，
则与进入磁场时相比，出磁场时所有电子的速度方向都改变了 ，由几
何知识可知，所有电子在磁场中的轨迹对应的圆心角都是 ，电子在磁
场中运动的周期，解得 ，可知所有电子做圆周运动的周期
都相同，则所有电子在磁场中运动的时间都相同，为 ，故
C错误，D正确.
考向二 平行边界问题
注意：平行边界存在临界条件.
例2 (多选)[2025·安徽蚌埠模拟] 两个带等量异种电荷的粒子、 分别以
速度和 射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为
和 ，磁场宽度为，两粒子同时由点出发，同时到达 点，如图
所示，则( )
A.粒子带正电， 粒子带负电
B.两粒子的轨道半径之比
C.两粒子的质量之比
D.两粒子的质量之比
√
√
[解析] 由左手定则可得粒子带负电， 粒子带正电，故A错误；粒子做匀
速圆周运动，运动轨迹如图所示，则， ，
所以，故B正确；由几何关系可得，从运动到， 粒子轨
迹对应的圆心角为 ，粒子轨迹对应的圆心角为 ，
，则 ，根据洛伦兹力提供向心力
可得，则运动周期，、 两粒子带
电荷量相等，可得 ，故C错误，D正确.
考向三 圆形边界问题
1.沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性
(如图甲所示).
粒子做圆周运动的半径 .
粒子在磁场中运动的时间，其中 .
2.不沿径向射入圆形磁场的粒子进磁场的速度方向与半径的夹
角为 ，根据对称性，出磁场时速度方向与半径的夹角也为
，如图乙所示.
例3 [2024·湖北卷] 如图所示，在以点为圆心、半径为 的圆形区域内有
垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 .圆形区域外有大小相等、
方向相反、范围足够大的匀强磁场.一质量为、电荷量为 的带电
粒子沿直径方向从 点射入圆形区域.不计重力，下列说法正确的是
( )
A.粒子的运动轨迹可能经过 点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由点沿方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从点射入到从 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大
小为
√
[解析] 根据磁场圆和轨迹圆相交形成的圆形具有对称性可知，在圆形匀
强磁场区域内，沿着径向射入的粒子总是沿径向射出，所以粒子的运动轨
迹不可能经过点，故A、B错误；粒子连续两次由点沿 方向射入圆形
区域的时间间隔最短对应的轨迹如图甲所示，则最小时间间隔为
，故C错误；
粒子从点射入到从 点射出圆形区域用时最短对应的轨迹如图乙所示，
设粒子在磁场中运动的半径为，根据几何关系可知 ，根据洛伦兹
力提供向心力有，解得 ，故D正确.
考向四 多边形边界问题
带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解
答该类问题主要把握以下两点：
(1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入.
(2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出.
①当 时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距
离为 ，如图甲所示.
②当 时，不能通过两磁场边界的交点，粒子的运动轨迹会和另一个
边界相切，如图乙所示.
例4 [2025·广东韶关期末] 如图所示，直角三角形中 ，
，处在磁感应强度、方向垂直纸面向外的匀强磁场， 点处的粒子
源可向磁场区域各个方向发射速度大小为( 为粒子的比荷)的带正电的
相同粒子.不计粒子的重力和相互间作用力，则( )
A.边上有粒子到达区域的长度为
B.边上有粒子到达区域的长度为
C.从边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
D.从边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为
√
[解析] 粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力，有 ，解得
，如图乙所示，由几何关系可得 边上有粒子到达区域的长度
为 ，故A错误，B正确；
当从点入射时速度方向趋近于平行时，从 边射出的粒子在磁场中运
动的时间趋近于0，故C错误；粒子从边上 点射出时，对应的圆心角
最大，所用时间最长，由几何关系可知，
最大圆心角为 ，则最长时间为
，故D错误.
题型二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
两种思路 一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律
和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规
律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临
界条件求出临界值
两种方法 物理方法 (1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极
值；(3)利用矢量图求极值
数学方法 (1)用三角函数求极值；(2)用二次函数的判别式
求极值；(3)用不等式的性质求极值；(4)用图像
法求极值
从关键词 找突破口 许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不 脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些 特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件
续表
例5 如图所示，竖直平行边界、 之间有垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为，两边界间距为，边界上 点有一粒子源，可沿
纸面内任意方向射出完全相同的质量为、电荷量为 的带正电的粒子，
(1) 从 边射出的粒子在磁场中运动的最短时间；
[答案]
粒子射出的速度大小均为 ，若不计粒子的重力及
粒子间的相互作用，求：
[解析] 由于粒子的速率相同，故粒子在磁场中做圆周运动的半径相同
有
代入数据，解得
要使粒子在磁场中运动的时间最短，则弦应最短，即从 点
( 垂直边界) 射出的粒子运动时间最短，如图甲所示.
设圆心在位置，则粒子在磁场中运动的圆心角为
粒子做圆周运动的周期为
故最短时间为
例5 如图所示，竖直平行边界、 之间有垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为，两边界间距为，边界上 点有一粒子源，可沿
纸面内任意方向射出完全相同的质量为、电荷量为 的带正电的粒子，
(2) 粒子能从 边界射出的区域长度.
[答案]
粒子射出的速度大小均为 ，若不计粒子的重力及
粒子间的相互作用，求：
[解析] 当粒子的速度方向沿方向时，设粒子的轨迹与边界交于 点；
当粒子的速度方向垂直于时，设粒子的轨迹与边界相切于 点.则
、间距为粒子从 边界射出的区域长度，如图乙所示
轨迹过点时，圆心在点，则有
轨迹与相切于点时，圆心在点，有
故粒子从边界射出的区域长度为
例6 [2025·安徽合肥模拟] 如图所示，由两个线段和一个半圆组成边界
， 与半圆的圆心在同一直线上，边界及边界上方存在垂直于
纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为为圆弧边界最低点， 处有
一个粒子源，能在纸面内发射各种速率的带负电粒子，且粒子速度方向与
边界的夹角均为 ，圆弧半径及距离均为 ，粒子比荷的绝对值
均为 .不计粒子重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中做逆时针圆周运动
B.粒子能从圆弧边界射出的最大速度为
C.粒子在磁场中运动的最短时间为
D.粒子在磁场中运动的最长时间为
√
[解析] 粒子带负电，根据左手定则，粒子在磁场中沿顺时针方向做圆周
运动，故A错误；当粒子从 射出时，根据几何关系可知，粒子做圆周运
动的半径 ，此时能从圆弧边界射出的粒子轨道半径最大，对应速度
也最大，令电荷量大小为，根据，解得 ，故B错
误；
当粒子从边界、 射出时粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为 ，此
时对应时间最短，则有 ，故C错误；
假如粒子从圆弧边界出射，出射点为，若与圆弧相切，此时圆弧对应
圆心角达到最大，该粒子在磁场中运动的时间最长，如图所示，根据几何
关系可知，此时粒子恰好经过点，对应圆心角为 ，则有
，故D正确.
[技法点拨]
临界极值问题的四个重要结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.
(2)当速度 一定时，弧长(或劣弧的弦长)越长，则轨迹对应的圆心角越大，
带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.
(3)当速率 变化时，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径，且入射
点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大
(所有的弦长中直径最长).
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问
题形成多解.多解的形成原因一般包含4个方面：
多解成因 分析及图例
带电粒子 的电性不 确定 比荷相同的带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相
同的初速度下，电性不同的粒子在有界磁场中运动轨迹不
同，形成多解
如图所示，带电粒子以速度 垂直进入匀强磁场，若带正电，
则其轨迹为；若带负电，则其轨迹为
_________________________________________
多解成因 分析及图例
磁场的方 向不确定 只知道磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方
向，此时由于磁感应强度方向不确定而形成多解
如图所示，带正电粒子以速度 垂直进入匀强磁场，若磁场方
向垂直于纸面向里，则其轨迹为 ；若磁场方向垂直于纸面向
外，则其轨迹为
____________________________________________
续表
多解成因 分析及图例
临界状态 不唯一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动
轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过
从入射界面反向飞出，于是形成多解，如图所示
__________________________________________________
续表
多解成因 分析及图例
运动具有 周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往
往具有周期性，因而形成多解，如图所示
_____________________________________________________________
续表
例7 (多选)[2025·湖南邵阳模拟] 如图所示，边长
为的等边三角形 内、外分布着两方向相反
的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，
两磁场的磁感应强度大小均为.顶点 处有一粒
A. B. C. D.
子源，粒子源能沿 的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为
、电荷量均为,不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则粒子能通过
点时发射速度大小 为( )
√
√
[解析] 如图所示，由几何关系得 ，由牛顿
第二定律得，解得， 时
；时 .故A、C符合题意.
例8 (多选)在如图所示的平面内,分界线将宽度为 的矩形
区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强
磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁
感应强度大小均为，与磁场左右边界垂直.离子源从 处
射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂
A.， B.， C.， D.，
直且与成 角.已知离子比荷为，不计重力.若离子从 点射出，设出
射方向与入射方向的夹角为 ,则离子的入射速度和对应 角的可能组合
为( )
√
√
[解析] 离子穿过把分成等份，每一等份长 ，如图所示，离子做圆
周运动的半径,由半径公式,可得速度，当 为奇数
时，偏角 ，当为偶数时，偏角 ，选项B、C正确.
带电粒子在几种典型有界匀强磁场中的运动
1.(多选)如图所示，在竖直线 右侧足够大的区域内存
在着磁感应强度大小为 、方向垂直于纸面向里的匀强磁
场.质量相同、电荷量分别为和的带电粒子从 点沿
纸面以相同的初速度 先后射入磁场，已知初速度方向与
成 角，两带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作
用，则( )
A.两带电粒子回到竖直线时到 点的距离相等
B.两带电粒子回到 竖直线时的速度相同
C.两带电粒子在磁场中运动的时间相等
D.从射入到射出磁场的过程中，两带电粒子所受洛伦兹力的冲量相同
√
√
√
[解析] 这两个带电粒子以与成 角射入有界匀强磁场后，由左
手定则可判断，带正电的粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动，带负电的粒
子沿顺时针方向做匀速圆周运动，如图所示(磁场未画出)，因两个粒子所
带电荷量的绝对值和质量都相同，由和 知，
两个粒子的轨迹半径和周期相同，由几何关系知，带负
电的粒子在磁场中转过的角度为 ，带正电的粒子在磁
场中转过的角度 ，则两段圆弧所对应的弦
长相等，即两带电粒子回到竖直线时到 点的距离相
等，选项A正确；
因洛伦兹力不改变速度的大小，结合几何关系分析知，两粒子回到 竖
直线时的速度大小和方向均相同，选项B正确；因两个粒子的运动周期相
同，而在磁场中的偏转角度不同，所以两带电粒子在磁场中运动的时间不
相等，选项C错误；因两带电粒子的初、末速度相同，根据动量定理可知
两粒子所受洛伦兹力的冲量相同，选项D正确.
2.如图所示，圆形虚线框内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，、 、
、是以不同速率对准圆心入射的电子或正电子的运动径迹，、 、
三个出射点和圆心的连线分别与入射方向成 、 、 的夹角，
则这四种粒子中( )
A.沿径迹 运动的粒子在磁场中运动的时间最短
B.沿径迹、 运动的粒子均为正电子
C.沿径迹、运动的粒子的速率之比为
D.沿径迹、 运动的粒子在磁场中运动的时间之比为
√
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有， ，解得
，由于电子和正电子的电荷量和质量 均相等，可知这四种粒子
做圆周运动的周期相等，而沿径迹 运动的粒子偏转角最大，圆心
角也最大，设偏转角为 ，由可知沿径迹 运动的粒子在
磁场中运动的时间最长，A错误；由左手定则可判断沿径迹、
运动的粒子均带负电，为电子，B错误；设圆形磁场的半径为
，根据几何关系可得沿径迹、运动的粒子的轨迹半径分别
为， ，根据可得,则 ，C正确；粒子在
磁场中运动的时间之比为偏转角之比，所以 ，D错误.
带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
3.如图所示，匀强磁场的边界为直角三角形 ，一束带正电的相同粒子
以不同的速度从点沿 方向射入磁场，不计粒子的重力.关于粒子在磁
场中的运动情况，下列说法正确的是( )
A.入射速度越大的粒子，其在磁场中运动的时间越长
B.入射速度越大的粒子，其在磁场中运动的轨迹越长
C.从 边出射的粒子在磁场中运动的时间都相等
D.从 边出射的粒子在磁场中运动的时间都相等
√
[解析] 带电粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨迹半径 ，速度越大，
则轨迹半径越大，从 边出射的粒子，其速度越大，则运动轨迹越短，对
应的圆心角 越小，根据和 可知，其在磁场中运动的时间
越短；从 边出射的粒子，其速度越大，则运动轨迹越长，但速度的偏向
角都相同，而粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对
的圆心角等于速度的偏向角，由 可知粒子
在磁场中运动的时间相等，选项C正确，选项A、B、
D错误.
4.(多选)如图所示，纸面内半径为、圆心为 的圆形区域外存在磁感应强
度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，纸面内的线段 与圆形区域
相切于点，点处有一粒子源，可以沿 方向以不同的速率
射出质量为、电荷量为 的带正电粒子，忽略粒子间的相互作用，不计
重力,要使粒子射入圆形区域内，则粒子的速率可能为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 粒子运动轨迹与边界圆相切时如图所示，设此时轨迹圆半径为 ，
由几何知识得，解得 ，粒子在磁场
中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有，解得 ，故当
粒子速率 时都可以进入圆形区域内，选项A、B错误，C、D正确.
带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
5.(多选)如图所示，点的离子源沿纸面垂直于 方向
向上射出一束负离子，离子所受的重力忽略不计.为把这
束负离子约束在 之下的区域，可加垂直于纸面的匀强
A.，垂直于纸面向里 B. ，垂直于纸面向里
C.，垂直于纸面向外 D. ，垂直于纸面向外
磁场.已知、两点间的距离为，负离子的比荷为，速率为，与
间的夹角为 ，则所加匀强磁场的磁感应强度 的取值范围和方向可能
是( )
√
√
[解析] 当磁场方向垂直于纸面向里时，离子运动的临界轨迹是恰好与
相切,如图甲所示，切点为，设轨迹半径为 ，由几何关系得
，解得，由可得 ，此种磁场方向要求
；当磁场方向垂直于纸面向外时，离子运动的临界轨迹是恰好与
相切，如图乙所示，切点为，设轨迹半经为 ,由几何关系得
，解得，由可得 ，此种磁场方向要求
，B、D正确，A、C错误.
6.如图所示，在半径为 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁
场的磁感应强度大小为，为该圆的一条直径， 为圆心.一带电粒子以
速度从点沿与成 角方向垂直于磁场射入圆形区域，离开磁
场时速度方向恰好与成 角向左，不计粒子所受重力，则( )
A.该粒子一定带负电
B.该粒子的比荷为
C.该粒子在磁场中做圆周运动的半径为
D.该粒子在磁场中的运动时间为
√
[解析] 作出粒子运动的轨迹如图所示，由左手定则可知，粒子带正电，A
错误；由几何关系可知粒子在磁场中运动对应的偏转角为 ，设 为圆
周运动的圆心，由几何关系可知，解得 ，由洛伦
兹力提供向心力，有，解得 ，B正
确，C错误；粒子在磁场中运动对应的偏转角为 ，
故粒子在磁场中运动的时间
，D错误.
7.(多选)如图所示，以点为圆心、半径为 的圆形区域内有垂直纸面向里
的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场的磁感应强
度大小均为.有一质量为、电荷量为的粒子从 点沿半径射入圆形区域，
粒子次穿越圆形区域边界(不包括经过点)后又回到 点，此过程中粒子与
圆心的连线转过角度为 ，不计粒子重力，下列说法正确的是 ( )
A. 的最小值为2
B.时，粒子速度大小为
C.时，粒子从出发到回到点的时间为
D.粒子连续两次穿越圆形区域边界过程中，粒子与圆
心的连线转过的角度为
√
√
[解析] 因为粒子次穿越圆形区域边界(不包括经过点) 后又回到 点，此
过程中粒子与圆心的连线转过角度为 ，画出粒子轨迹示意图如图所
示，的最小值为2，A正确； 时，粒子轨迹圆心间的连线构成圆边
界的外切正方形，根据几何关系可知半径为 ，根据洛伦兹力提供向
心力有，解得 ，B错误；
粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为 ，
时，粒子从出发到回到 点的时间为
，解得 ，C正
确；粒子连续两次穿越圆形区域边界过程中，粒子与圆
心的连线转过的角度为 ，D错误.
作业手册
(限时40分钟)
1.[2024·广西卷] 坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强
度大小为，方向垂直纸面向里.质量为，电荷量为 的粒子，以初速度
从点沿轴正向开始运动，粒子过轴时速度与轴正向夹角为 ，交
点为.不计粒子重力，则点至 点的距离为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有
，可得粒子做圆周运动的半径为，根据几何关系可得
点至 点的距离为
，故选C.
2.如图所示， 坐标系第一象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一不
计重力的带电粒子垂直磁场边界从轴上点以速度射入磁场区域，从
点射出，在轴上.已知， ，则下列说法正确的( )
A.粒子带负电
B.粒子做圆周运动的半径大小为
C.若仅减小磁感应强度，则粒子将从 点下方射出
D.若仅调节入射速度的大小，粒子从轴上 之间
射出的速度范围为
√
[解析] 粒子向左偏转，根据左手定则可知，粒子带正电，故A错误；带电
粒子从 点射出，洛伦兹力提供向心力，由几何关系可得
，解得 ，故B错误；粒子做匀速圆周运动，由
洛伦兹力提供向心力，则有，解得 ，若减小磁感应强度，
则轨道半径增大，可知粒子可能从 点上方射出，故C错误；带电粒子从
点射出，则，带电粒子从 点射出，粒子做了半
个圆周运动，则轨道半径为，则，则 ，即
粒子从轴上之间射出的速度范围为 ，故D正确.
3.(多选)[2025·云南昆明模拟] 如图所示，直线 上方存在范围足够大的
磁感应强度为的匀强磁场，一质子(质量为、电荷量为)以速度从 点
沿与成 角斜向右上的方向射入磁场中，若不计质子重力，则
( )
A.质子从磁场中射出时距点的距离为
B.质子从磁场中射出时距点的距离为
C.质子在磁场中运动的时间为
D.质子在磁场中运动的时间为
√
√
[解析] 由左手定则可判断出质子应落在、 之间，设质子从磁场中射出
时距点的距离为 ，其运动轨迹如图所示，由图示的几何关系可知
，质子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 ，
联立解得 ，故A错误，B正确；质子在磁场中运动轨迹所对应的
圆心角为 ，所以质子在磁场中运动的时间
为，，联立解得 ，故C错
误，D正确.
4.[2025·湖北宜昌模拟] 如图所示，圆形磁场区域内
有垂直纸面向外的匀强磁场， 为磁场区域圆心，完
全相同的两个带正电的粒子、先后从点沿 方
向射入磁场，粒子从点射出磁场，粒子从 点
射出磁场， ， ，不计粒
子重力和两粒子之间的相互作用，则两粒子在磁场
A. B. C. D.
中运动的过程中，洛伦兹力对、 的冲量大小之比为( )
√
[解析] 设磁场区域半径为，根据几何关系可得，粒子 在磁场中运动的
半径为，根据可得；根据几何关系可得，粒子
在磁场中运动的半径为，根据，可得 ，作
出矢量图如图所示，可得，，所以 ，
故选D.
5.[2025·湖南常德模拟] 如图所示，在直角三角形 区域(含边界)内存在
垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场， ， 点处的
粒子源持续将比荷为 的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场中，
不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时间
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 粒子沿边界方向射入磁场并从 边射出磁场时转过的圆心角最
大，粒子在磁场中的运动时间最长，粒子运动轨迹如图所示，由几何知识
可知，其偏转得圆心角，根据洛伦兹力提供向心力则有 ，
粒子运动周期，解得 ，故粒子在磁场中运动的时间
，解得 ，故选B.
6.(多选)[2025·广东汕头模拟] 如图所示，垂直于纸面的有界匀强磁场的宽
度为，磁感应强度大小为，纸面内一束电子从点以速度 垂直于磁场
边界射入，从点穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为 ，
在磁场中运动的时间为.若仅将磁感应强度大小改为 (未知)，电子经时
间到达磁场右边界的 点，恰好不能飞出.下列说法正确的是( )
A.电子的比荷
B.磁感应强度大小为时电子运动时间
C.磁感应强度大小
D.两电子的运动时间之比
√
√
[解析] 当磁感应强度大小为时，由洛伦兹力提供向心力得 ，
根据几何关系可得，联立解得电子的比荷为 ，电子运动
时间为 ，故A错误，B正确；当
磁感应强度大小为时，粒子的轨道半径为 ，联
立解得磁感应强度大小 ，故C正确；当磁感应强度
大小为时，电子运动时间为 ，
则两电子的运动时间之比为 ，故D错误.
7.(多选)如图所示，在边长为的正方形 区域内存
在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为 的匀强磁场，
在 边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以原速
率弹回.一质量为、带电荷量为 的粒子以某一速度垂
直于磁场方向从点射入磁场，恰好从 点射出.下列说法正确的是
( )
A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为
C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为
D.带电粒子在磁场中运动的时间可能为
√
√
[解析] 若粒子带正电，则粒子可以与挡板碰撞后恰好从 点射出，粒
子运动的轨迹如图甲所示，设轨迹半径为 ，由几何关系得
，解得，根据牛顿第二定律得 ，
解得，根据动量定理得 ，故A错误，C正确；
若粒子带负电，则当粒子的运动轨迹如图乙所示时，轨迹半径最小，速度
也最小，此时粒子做圆周运动的半径为 ，由牛顿第二定律，解得 ，故B错误；若粒子带负电，则当粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为时，粒子在磁场中运动的时间为 ，故D正确.
8.(多选)[2025·江西赣州模拟] 如图所示，足
够长的荧光板 上方存在垂直纸面向里的
匀强磁场.荧光板上点正上方有一粒子源 ，
能够均匀地向纸面内各个方向同时发射速度
大小为、比荷为的带负电粒子.点到粒子源的距离为 ，粒子在匀强
磁场中做圆周运动的半径为，， ，不计粒子
所受重力和粒子间的相互作用.下列说法正确的是( )
A.粒子从出发到荧光板的最短时间为
B.粒子从出发到荧光板的最长时间为
C.打到荧光板上的粒子数占总粒子数的三分之一
D.粒子能打到荧光板上的区域长度为
√
√
[解析] 由题意，可画出粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示，由几何知识可知从粒子
源出发，打到 点的粒子运动轨迹对应的弦长最短，运动时间最短，设此时粒子速度
方向转过的角度为 ，根据几何关系有，求得 ，则从粒子源
出发到板的最短时间为 ，故A正确；从粒子源出发打到荧光板
上 点右侧与荧光板恰好相切的点(图中 点) 的粒子运动的时间最长，由几何知识可
得此时轨迹所对应圆心角为 ，则可得运动时间 ，故B
错误；设粒子打在荧光板上的左侧最远处的点为 点，由几何关系可知
，粒子能打到板上右侧最远处的点为 ，由几何
知识可得 ，则粒子能打到荧光板上的区域
长度为 ，故D正确;由几何知识 可求得打到荧光板上
的粒子从粒子源向四周发出时所在范围对应的角度为 ，
则打到荧光板上的粒子数占总粒子数为 ，故C错误.
9.(多选)[2025·甘肃卷] 2025年5月1日，全球首个实
现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚
变实验装置 在我国正式启动总装.如图是托卡
马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心
圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为，内圆半径为.在内圆上 点有
、、 三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回.已知
、、带正电且比荷均为，粒子的速度大小为 ，方向沿同心
圆的径向；和粒子速度方向相反且与 粒子的速度方向垂直.不考虑带电
粒子所受的重力和相互作用.下列说法正确的是( )
A.外圆半径等于
B.粒子返回点所用的最短时间为
C.、粒子返回点所用的最短时间之比为
D.粒子的速度大小为
√
√
[解析] 由题意，作出粒子运动轨迹图，如图甲所示， 粒子恰好到达磁场外边界后
返回， 粒子运动的圆周正好与磁场外边界相切，然后沿径向做匀速直线运动，再做
匀速圆周运动恰好回到点，根据 粒子的速度大小为，可得，设外
圆半径等于 , 由几何关系得 ，则 ，A错误；由A项分析，
粒子返回 点所用的最短时间为第一次回到点的时间， 粒子做匀速圆周运动的
周期 ，在磁场中运动的时间，匀速直线运动的时间
，故粒子返回 点所用的最短时间为 ，B正确；
由题意，作出、 粒子运动轨迹图，如图乙、丙所
示，因为、粒子返回 点都是运动一个圆周，根
据、带正电且比荷均为 ，所以两粒子做圆周运
动周期相同，故所用的最短时间之比为 ，C错误；
由几何关系得 ，根据洛伦兹力提供向心
力有，联立解得 ，D正确.
10.如图所示，平面被一条平行于轴的直线 分为匀强磁场区域和
无磁场区域，磁场区域的磁感应强度方向垂直于纸面向外.比荷为 的带正
电粒子，从坐标为的点，以大小为、方向与 轴正方向成
角的速度发射，能被位于 的粒子
收集器 收集，已知该过程中粒子做匀速圆周
运动的半径为 ，不计粒子重力.
(1) 求磁感应强度的大小.
[答案]
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有
其中
可得磁感应强度的大小为
10.如图所示，平面被一条平行于轴的直线 分为匀强磁场区域和
无磁场区域，磁场区域的磁感应强度方向垂直于纸面向外.比荷为 的带正
电粒子，从坐标为的点，以大小为、方向与 轴正方向成
(2) 求直线到 轴的距离.
[答案]
角的速度发射，能被位于 的粒子
收集器 收集，已知该过程中粒子做匀速圆周
运动的半径为 ，不计粒子重力.
[解析] 粒子运动轨迹如图甲所示
设到轴的距离为，由几何关系有
其中
所以直线到轴的距离为
10.如图所示，平面被一条平行于轴的直线 分为匀强磁场区域和
无磁场区域，磁场区域的磁感应强度方向垂直于纸面向外.比荷为 的带正
电粒子，从坐标为的点，以大小为、方向与 轴正方向成
角的速度发射，能被位于的粒子收集器 收集，已知该过程
(3) 若粒子从轴某位置以大小为、方向与 轴的
正方向成 角的速度发射后，依然能被收
集器收集，求该粒子发射位置的横坐标与 的关系.
[答案]
中粒子做匀速圆周运动的半径为 ，不计粒子重力.
[解析] 粒子运动轨迹如图乙所示
由洛伦兹力提供向心力有
可得
由几何关系有
其中
故该粒子发射位置的横坐标与 的关系为
例1.AD 例2.BD 例3.D 例4.B
例5.(1) (2) 例6.D 例7.AC 例8.BC
基础巩固练
1.C 2.D 3.BD 4.D 5.B 6.BC
综合提升练
7.CD 8.AD 9.BD 10.(1) (2) (3)
专题十六　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
例1　AD　[解析] 根据左手定则判断可知,该匀强磁场的方向垂直纸面向里,故A正确;电子进入磁场后受到洛伦兹力而做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力得evB=m,解得电子的轨迹半径r=,则电子的轨迹半径与电子的速率成正比,速率不同,轨迹半径不同,则所有电子在磁场中的轨迹不同,故B错误;根据圆的对称性可知,所有电子离开磁场时速度方向与PQ的夹角都是θ,则与进入磁场时相比,出磁场时所有电子的速度方向都改变了2θ,由几何知识可知,所有电子在磁场中的轨迹对应的圆心角都是2θ,电子在磁场中运动的周期T=,解得T=,可知所有电子做圆周运动的周期都相同,则所有电子在磁场中运动的时间都相同,为t=·T=,故C错误,D正确.
例2　BD　[解析] 由左手定则可得a粒子带负电,b粒子带正电,故A错误;粒子做匀速圆周运动,运动轨迹如图所示,则Ra==d,Rb==d,所以Ra∶Rb=∶1,故B正确;由几何关系可得,从A运动到B,a粒子轨迹对应的圆心角为60°,b粒子轨迹对应的圆心角为120°,ta==tb=,则Ta∶Tb=2∶1,根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=,则运动周期T==,a、b两粒子带电荷量相等,可得ma∶mb=Ta∶Tb=2∶1,故C错误,D正确.
例3　D　[解析] 根据磁场圆和轨迹圆相交形成的圆形具有对称性可知,在圆形匀强磁场区域内,沿着径向射入的粒子总是沿径向射出,所以粒子的运动轨迹不可能经过O点,故A、B错误;粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的时间间隔最短对应的轨迹如图甲所示,则最小时间间隔为Δt=2T=,故C错误;粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短对应的轨迹如图乙所示,设粒子在磁场中运动的半径为r,根据几何关系可知r=R,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,解得v=,故D正确.
例4　B　[解析] 粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得r==,如图乙所示,由几何关系可得ab边上有粒子到达区域的长度为ΔL=ad-ae=2×cos 30°-(Lcos 30°-)=,故A错误,B正确;当从c点入射时速度方向趋近于平行ca时,从ac边射出的粒子在磁场中运动的时间趋近于0,故C错误;粒子从ab边上f点射出时,对应的圆心角最大,所用时间最长,由几何关系可知,最大圆心角为120°,则最长时间为tmax=T=×=,故D错误.
例5　(1)　(2)2d
[解析] (1)由于粒子的速率相同,故粒子在磁场中做圆周运动的半径相同
有Bqv=m
代入数据,解得r=d
要使粒子在磁场中运动的时间最短,则弦应最短,即从C点(AC垂直边界)射出的粒子运动时间最短,如图甲所示.
设圆心在O1位置,则粒子在磁场中运动的圆心角为60°
粒子做圆周运动的周期为T==
故最短时间为tmin=T=
(2)当粒子的速度方向沿AN方向时,设粒子的轨迹与边界PQ交于E点;当粒子的速度方向垂直于AN时,设粒子的轨迹与边界PQ相切于F点.则E、F间距为粒子从PQ边界射出的区域长度,如图乙所示
轨迹过E点时,圆心在C点,则有CE=d
轨迹与PQ相切于F点时,圆心在O2点,有CF=d
故粒子从PQ边界射出的区域长度为2d
例6　D　[解析] 粒子带负电,根据左手定则,粒子在磁场中沿顺时针方向做圆周运动,故A错误;当粒子从F射出时,根据几何关系可知,粒子做圆周运动的半径r=3R,此时能从圆弧边界射出的粒子轨道半径最大,对应速度也最大,令电荷量大小为q,根据qvmB=m,解得vm=3kRB,故B错误;当粒子从边界CD、FG射出时粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为60°,此时对应时间最短,则有tmin=T=·=·=,故C错误;假如粒子从圆弧边界出射,出射点为H,若CH与圆弧相切,此时圆弧对应圆心角达到最大,该粒子在磁场中运动的时间最长,如图所示,根据几何关系可知,此时粒子恰好经过D点,对应圆心角为120°,则有tmax=T=·=·=,故D正确.
例7　AC　[解析] 如图所示,由几何关系得n2Rsin 30°=3L(n=1,2,3,…),由牛顿第二定律得qv0B=m,解得v0=(n=1,2,3,…),n=1时v0=;n=3时v0=.故A、C符合题意.
例8　BC　[解析] 离子穿过SP把SP分成n等份,每一等份长 ,如图所示,离子做圆周运动的半径r=,由半径公式r==,可得速度v=,当n为奇数时,偏角θ=60°,当n为偶数时,偏角θ=0°,选项B、C正确.专题十六　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　带电粒子在几种典型有界匀强磁场中的运动
1.解题关键——确定轨迹圆心
求解带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题,首先应画出轨迹圆示意图,找出轨迹圆心.确定轨迹圆心的3个依据:
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上;
(2)圆心一定在弦的中垂线上;
(3)圆心与轨迹圆上任一点的距离一定等于轨迹半径.
常见情境:
①如图甲,若已知粒子轨迹上的两点的速度方向,分别确定两点处洛伦兹力F的方向,其交点即为圆心.
②如图乙,若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向,弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心.
③如图丙,若已知粒子轨迹上某点速度方向,又能根据r=计算出轨迹半径r,则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心.
2.轨迹半径的计算
方法一(由动力学关系求):由于qvB=,所以轨迹半径r=;
方法二(由几何关系求):作辅助线构造出与轨迹半径相关的三角形(通常是直角三角形),根据勾股定理、三角函数求解,或根据正弦定理、余弦定理求解.
例如:如图所示,R=,或由R2=L2+(R-d)2求得R.
3.运动时间的计算
方法一(由运动轨迹圆弧所对的圆心角α、圆周运动的周期T求):t=·T;
方法二(由运动的弧长s、线速度v求):t=.
4.作图及分析带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹时需要注意的问题
四个点:入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度所在直线与出射速度所在直线的交点.
六条线:圆弧两端点所在的半径,入射速度所在直线和出射速度所在直线,入射点与出射点的连线,圆心与两条速度所在直线交点的连线.
三个角:速度偏转角、圆心角、弦切角(如图所示).粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹所对圆心角(α),并等于AB弦与圆切线的夹角(弦切角θ)的2倍,即φ=α=2θ=ωt.
考向一　直线边界问题
注意:进出直线边界磁场具有对称性.
例1　(多选)空间中虚线上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,一群电子以不同速率v从边界上的P点以相同的方向射入磁场,其中某一速率为v0的电子从Q点射出,如图所示.已知电子入射方向与边界夹角为θ,则由以上条件可判断 (　)
A.该匀强磁场的方向垂直纸面向里
B.所有电子在磁场中的轨迹相同
C.速率大的电子在磁场中运动的时间长
D.与进入磁场时相比,出磁场时,所有电子的速度方向都改变了2θ
[反思感悟] 　

考向二　平行边界问题
注意:平行边界存在临界条件.
例2　(多选)[2025·安徽蚌埠模拟] 两个带等量异种电荷的粒子a、b分别以速度va和vb射入匀强磁场,两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°,磁场宽度为d,两粒子同时由A点出发,同时到达B点,如图所示,则 (　)
A.a粒子带正电,b粒子带负电
B.两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb=∶1
C.两粒子的质量之比ma∶mb=1∶2
D.两粒子的质量之比ma∶mb=2∶1
[反思感悟] 　


考向三　圆形边界问题
1.沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出,运动具有对称性(如图甲所示).
粒子做圆周运动的半径r=.
粒子在磁场中运动的时间t=T=,其中θ+α=.
2.不沿径向射入圆形磁场的粒子进磁场的速度方向与半径的夹角为θ,根据对称性,出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ,如图乙所示.
例3　[2024·湖北卷] 如图所示,在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B.圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域.不计重力,下列说法正确的是 (　)
A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短,粒子运动的速度大小为
[反思感悟] 　


考向四　多边形边界问题
带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时,会有不同的临界情景,解答该类问题主要把握以下两点:
(1)射入磁场的方式:①从某顶点射入;②从某边上某点以某角度射入.
(2)射出点的判断:经常会判断是否会从某顶点射出.
①当α≤θ时,可以过两磁场边界的交点,发射点到两磁场边界的交点距离为d=2Rsin α,如图甲所示.
②当α>θ时,不能通过两磁场边界的交点,粒子的运动轨迹会和另一个边界相切,如图乙所示.
例4　[2025·广东韶关期末] 如图所示,直角三角形abc中∠a=30°,ac=L,处在磁感应强度B、方向垂直纸面向外的匀强磁场,c点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为(k为粒子的比荷)的带正电的相同粒子.不计粒子的重力和相互间作用力,则 (　)
A.ab边上有粒子到达区域的长度为L
B.ab边上有粒子到达区域的长度为L
C.从ac边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
D.从ac边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为
　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
两种 思路 一是以定理、定律为依据,首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式,然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态,找出临界条件,从而通过临界条件求出临界值
两种 方法 物理 方法 (1)利用临界条件求极值;(2)利用边界条件求极值;(3)利用矢量图求极值
数学 方法 (1)用三角函数求极值;(2)用二次函数的判别式求极值;(3)用不等式的性质求极值;(4)用图像法求极值
从关 键词 找突 破口 许多临界问题,题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时,一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律,找出临界条件
例5　如图所示,竖直平行边界MN、PQ之间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,两边界间距为d,边界MN上A点有一粒子源,可沿纸面内任意方向射出完全相同的质量为m、电荷量为q的带正电的粒子,粒子射出的速度大小均为v=,若不计粒子的重力及粒子间的相互作用,求:
(1)从PQ边射出的粒子在磁场中运动的最短时间;
(2)粒子能从PQ边界射出的区域长度.
例6　[2025·安徽合肥模拟] 如图所示,由两个线段和一个半圆组成边界CDEFG,CDFG与半圆的圆心在同一直线上,边界及边界上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B.E为圆弧边界最低点,C处有一个粒子源,能在纸面内发射各种速率的带负电粒子,且粒子速度方向与边界CD的夹角均为30°,圆弧半径及CD距离均为R,粒子比荷的绝对值均为k.不计粒子重力及粒子间相互作用力,下列说法正确的是 (　)
A.粒子在磁场中做逆时针圆周运动
B.粒子能从圆弧边界射出的最大速度为kRB
C.粒子在磁场中运动的最短时间为
D.粒子在磁场中运动的最长时间为
【技法点拨】
临界极值问题的四个重要结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.
(2)当速度v一定时,弧长(或劣弧的弦长)越长,则轨迹对应的圆心角越大,带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.
(3)当速率v变化时,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.
(4)在圆形匀强磁场中,当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径,且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时,轨迹对应的圆心角最大(所有的弦长中直径最长).
　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由于多种因素的影响,使问题形成多解.多解的形成原因一般包含4个方面:
多解成因 分析及图例
带电粒子的 电性不确定 比荷相同的带电粒子可能带正电荷,也可能带负电荷,在相同的初速度下,电性不同的粒子在有界磁场中运动轨迹不同,形成多解 如图所示,带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场,若带正电,则其轨迹为a;若带负电,则其轨迹为b
磁场的方 向不确定 只知道磁感应强度的大小,而未具体指出磁感应强度的方向,此时由于磁感应强度方向不确定而形成多解 如图所示,带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场,若磁场方向垂直于纸面向里,则其轨迹为a;若磁场方向垂直于纸面向外,则其轨迹为b
临界状态 不唯一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可能穿过磁场飞出,也可能转过180°从入射界面反向飞出,于是形成多解,如图所示
运动具有 周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时,运动往往具有周期性,因而形成多解,如图所示
例7　(多选)[2025·湖南邵阳模拟] 如图所示,边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场,三角形内磁场方向垂直纸面向外,两磁场的磁感应强度大小均为B.顶点A处有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子,粒子质量均为m、电荷量均为+q,不计粒子重力及粒子间的相互作用力,则粒子能通过B点时发射速度大小v0为 (　)
A.
B.
C.
D.
[反思感悟] 　


例8　(多选)在如图所示的平面内,分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分,一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场,另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右边界垂直.离子源从S处射入速度大小不同的正离子,离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角.已知离子比荷为k,不计重力.若离子从P点
射出,设出射方向与入射方向的夹角为θ,则离子的入射速度和对应θ角的可能组合
为 (　)
A.kBL,0°
B.kBL,0°
C.kBL,60°
D.2kBL,60°专题十六　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.C　[解析] 粒子运动轨迹如图所示,在磁场中,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得粒子做圆周运动的半径为r=,根据几何关系可得P点至O点的距离为LPO=r+=(1+),故选C.
2.D　[解析] 粒子向左偏转,根据左手定则可知,粒子带正电,故A错误;带电粒子从N点射出,洛伦兹力提供向心力,由几何关系可得+=r2,解得r=2a,故B错误;粒子做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,则有qvB=m,解得r=,若减小磁感应强度,则轨道半径增大,可知粒子可能从N点上方射出,故C错误;带电粒子从N点射出,则2a=,带电粒子从O点射出,粒子做了半个圆周运动,则轨道半径为, 则=,则v=4vo,即粒子从y轴上ON之间射出的速度范围为~v,故D正确.
3.BD　[解析] 由左手定则可判断出质子应落在O、M之间,设质子从磁场中射出时距O点的距离为d,其运动轨迹如图所示,由图示的几何关系可知rsin 45°=,质子做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,则有qvB=m,联立解得d=,故A错误,B正确;质子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为270°,所以质子在磁场中运动的时间为t=T,T=,联立解得t=,故C错误,D正确.
4.D　[解析] 设磁场区域半径为R,根据几何关系可得,粒子a在磁场中运动的半径为R,根据qvaB=m可得mva=qBR;根据几何关系可得,粒子b在磁场中运动的半径为R,根据qvbB=m,可得mvb=qBR,作出矢量图如图所示,可得Δpa=qBR,Δpb=qBR,所以=,故选D.
5.B　[解析] 粒子沿ac边界方向射入磁场并从ab边射出磁场时转过的圆心角最大,粒子在磁场中的运动时间最长,粒子运动轨迹如图所示,由几何知识可知,其偏转得圆心角θ=,根据洛伦兹力提供向心力则有qvB=,粒子运动周期T=,解得T=,故粒子在磁场中运动的时间t=T=T,解得t=,故选B.
6.BC　[解析] 当磁感应强度大小为B时,由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,根据几何关系可得rsin θ=d,联立解得电子的比荷为=,电子运动时间为t1=T1=×=,故A错误,B正确;当磁感应强度大小为B'时,粒子的轨道半径为r'==d,联立解得磁感应强度大小B'=,故C正确;当磁感应强度大小为B'时,电子运动时间为t2=T2=×=,则两电子的运动时间之比为t1∶t2=4∶9,故D错误.
7.CD　[解析] 若粒子带正电,则粒子可以与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出,粒子运动的轨迹如图甲所示,设轨迹半径为r2,由几何关系得L2+=,解得r2=L,根据牛顿第二定律得qv2B=m,解得v2=,根据动量定理得I=2mv2=,故A错误,C正确;若粒子带负电,则当粒子的运动轨迹如图乙所示时,轨迹半径最小,速度也最小,此时粒子做圆周运动的半径为r1=L,由牛顿第二定律得qv1B=m,解得v1=,故B错误;若粒子带负电,则当粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为时,粒子在磁场中运动的时间为t=T=×=,故D正确.
8.AD　[解析] 由题意,可画出粒子在磁场中的运动轨迹,如图所示,由几何知识可知从粒子源出发,打到P点的粒子运动轨迹对应的弦长最短,运动时间最短,设此时粒子速度方向转过的角度为2θ,根据几何关系有2×dsin θ=d,求得θ=53°,则从粒子源出发到板的最短时间为tmin==,故A正确;从粒子源出发打到荧光板MN上P点右侧与荧光板恰好相切的点(图中T点)的粒子运动的时间最长,由几何知识可得此时轨迹所对应圆心角为α=233°,则可得运动时间tmax==,故B错误;设粒子打在荧光板MN上的左侧最远处的点为K点,由几何关系可知KP==d,粒子能打到板上右侧最远处的点为Q,由几何知识可得PQ==d,则粒子能打到荧光板上的区域长度为KQ=d+d=d,故D正确;由几何知识可求得打到荧光板上的粒子从粒子源向四周发出时所在范围对应的角度为2×53°=106°,则打到荧光板上的粒子数占总粒子数为=<,故C错误.
9.BD　[解析] 由题意,作出a粒子运动轨迹图,如图甲所示,a粒子恰好到达磁场外边界后返回,a粒子运动的圆周正好与磁场外边界相切,然后沿径向做匀速直线运动,再做匀速圆周运动恰好回到A点,根据a粒子的速度大小为va=,可得Ra=R0,设外圆半径等于R',由几何关系得∠AO'B=90°,则R'=R0+R0,A错误;由A项分析,a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间tmin,a粒子做匀速圆周运动的周期T==,在磁场中运动的时间t1=·T=,匀速直线运动的时间t2==,故a粒子返回A点所用的最短时间为tmin=t1+t2=,B正确;由题意,作出b、c粒子运动轨迹图,如图乙、丙所示,因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周,根据b、c带正电且比荷均为,所以两粒子做圆周运动周期相同,故所用的最短时间之比为1∶1,C错误;由几何关系得2Rc=R0,根据洛伦兹力提供向心力有qvcB=,联立解得vc=va,D正确.
甲
乙
丙
10.(1)　(2)a　(3)x=a--4asin θ(0<θ≤)
[解析] (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有qv0B=m
其中r=a
可得磁感应强度的大小为B=
(2)粒子运动轨迹如图甲所示
设MN到x轴的距离为y,由几何关系有tan 60°==
其中PM'=a-acos 30°=a
所以直线MN到x轴的距离为P'M'=a
(3)粒子运动轨迹如图乙所示
由洛伦兹力提供向心力有q×2v0B=m
可得R'==2a
由几何关系有a-x=2R'sin θ+
其中y=a
故该粒子发射位置的横坐标与θ的关系为x=a--4asin θ(0<θ≤)专题十六　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2024·广西卷] xOy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里.质量为m,电荷量为+q的粒子,以初速度v从O点
沿x轴正向开始运动,粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°,交点为P.不计粒子重力,则P点至O点的距离为 (　)
A. B.
C.(1+) D.
2.如图所示,xOy坐标系第一象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场,一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从x轴上M点以速度v射入磁场区域,从N点射出,N在y轴上.已知OM=a,ON=a,则下列说法正确的 (　)
A.粒子带负电
B.粒子做圆周运动的半径大小为3a
C.若仅减小磁感应强度,则粒子将从N点下方射出
D.若仅调节入射速度的大小,粒子从y轴上ON之间射出的速度范围为~v
3.(多选)[2025·云南昆明模拟] 如图所示,直线MN上方存在范围足够大的磁感应强度为B的匀强磁场,一质子(质量为m、电荷量为q)以速度v从O点沿与MN成45°角斜向右上的方向射入磁场中,若不计质子重力,则 (　)
A.质子从磁场中射出时距O点的距离为
B.质子从磁场中射出时距O点的距离为
C.质子在磁场中运动的时间为
D.质子在磁场中运动的时间为
4.[2025·湖北宜昌模拟] 如图所示,圆形磁场区域内有垂直纸面向外的匀强磁场,O为磁场区域圆心,完全相同的两个带正电的粒子a、b先后从A点沿AO方向射入磁场,粒子a从M点射出磁场,粒子b从N点射出磁
场,∠AOM=90°,∠AON=120°,不计粒子重力和两粒子之间的相互作用,则两粒子在磁场中运动的过程中,洛伦兹力对a、b的冲量大小之比为 (　)
A.1∶1 B.∶2
C.∶2 D.∶3
5.[2025·湖南常德模拟] 如图所示,在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场,∠c=30°,a点处的粒子源持续将比荷为k的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场中,不计粒子的重力及粒子之间的相互作用,则粒子在磁场中运动的最长时间为 (　)
A. B. C. D.
6.(多选)[2025·广东汕头模拟] 如图所示,垂直于纸面的有界匀强磁场的宽度为d,磁感应强度大小为B,纸面内一束电子从M点以速度v垂直于磁场边界射入,从N点穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ=60°,在磁场中运动的时间为t1.若仅将磁感应强度大小改为B'(未知),电子经时间t2到达磁场右边界的P点,恰好不能飞出.下列说法正确的是 (　)
A.电子的比荷
B.磁感应强度大小为B时电子运动时间t1=
C.磁感应强度大小B'=
D.两电子的运动时间之比t1∶t2=4∶9
7. (多选)如图所示,在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,在MN边界放一刚性挡板,粒子碰到挡板则能够以原速率弹回.一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度垂直于磁场方向从P点射入磁场,恰好从Q点射出.下列说法正确的是 (　)
A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为
C.若带电粒子与挡板碰撞,则受到挡板作用力的冲量大小为
D.带电粒子在磁场中运动的时间可能为
8.(多选)[2025·江西赣州模拟] 如图所示,足够长的荧光板PQ上方存在垂直纸面向里的匀强磁场.荧光板上N点正上方有一粒子源M,能够均匀地向纸面内各个方向同时发射速度大小为v、比荷为的带负电粒子.N点到粒子源M的距离为d,粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径为d,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,不计粒子所受重力和粒子间的相互作用.下列说法正确的是 (　)
A.粒子从出发到荧光板的最短时间为
B.粒子从出发到荧光板的最长时间为
C.打到荧光板上的粒子数占总粒子数的三分之一
D.粒子能打到荧光板上的区域长度为d
9.(多选)[2025·甘肃卷] 2025年5月1日,全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装.如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图,两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,内圆半径为R0.在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动,并都恰好到达磁场外边界后返回.已知a、b、c带正电且比荷均为,a粒子的速度大小为va=,方向沿同心圆的径向;b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直.不考虑带电粒子所受的重力和相互作用.下列说法正确的是 (　)
A.外圆半径等于2R0
B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D.c粒子的速度大小为va
10.如图所示,xOy平面被一条平行于x轴的直线MN分为匀强磁场区域和无磁场区域,磁场区域的磁感应强度方向垂直于纸面向外.比荷为的带正电粒子A,从坐标为(-a,0)的P点,以大小为v0、方向与x轴正方向成60°角的速度发射,能被位于的粒子收集器Q收集,已知该过程中粒子做匀速圆周运动的半径为a,不计粒子重力.
(1)求磁感应强度的大小.
(2)求直线MN到x轴的距离.
(3)若粒子A从x轴某位置以大小为2v0、方向与x轴的正方向成θ(0<θ≤)角的速度发射后,依然能被收集器Q收集,求该粒子发射位置的横坐标与θ的关系.

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