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一题一课期末复习3--二元一次方程（组）的解法
一．例题（共2小题）
1．按要求解下列方程组．
（1）； （2）．
2．已知方程组与有相同的解，求a，b的值．
知识点： 解题思路：
二．基础练习
3．按要求解下列方程组．
（1）（用代入法）； （2）（用加减法）．
4．解方程组：
（1） （2）
5．解方程组：
（1）； （2）．
6．下面是小莹同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程组
解：①×2，得4x﹣8y＝﹣3．③…第一步
②﹣③，得3y＝6．…第二步
解得y＝2．把y＝2代入①，得2x﹣8＝﹣3．
解得．…第三步
所以该方程组的解是．
任务：
（1）小莹的解法从第　 　 步开始出现错误，写出正确的步骤　 　 ．
（2）请求出该解方程组的解．
7．解方程组：
（1）； （2）．
8．解方程组：
（1）； （2）； （3）．
三．提高练习
9．若方程组和方程组有相同的解．
（1）求方程组正确的解．（2）求a，b的值．
10．若关于x，y的方程组和方程组有相同的解．
（1）求关于x，y的方程组正确的解．（2）求a，b的值．
11．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错②中的b，解得．
（1）求正确的a，b的值；（2）求原方程组的正确解．
12．对于有理数x和y，定义新运算：x⊙y＝ax+by，其中a、b是常数，已知2⊙4＝12，4⊙10＝2．
（1）求a、b的值；（2）若x＝1，x⊙y＝6，求y的值．
13．定义一种新运算“※”：对于有理数x和y，x※.例如：2※1＝2．
（1）直接写出（﹣1）※7＝ 　 　 ；
（2）已知2※，求x的值．
14．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知：3*2＝﹣1，2 1＝4．
（1）求a，b的值；（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程 x﹣y＝6，求m的值．
15．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求2a﹣3b的值．
四．培优练习
16．数学课上老师写了一个关于x，y的二元一次方程（a+1）x+（a﹣2）y+5﹣2a＝0，（其中a为常数且a≠﹣1，2）．
（1）若是该方程的一个解，求a的值；
（2）大家会发现，当a每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，请聪明的你求出这个公共解；
17．已知关于x，y的方程组．
（1）请直接写出方程x+2y＝5的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，请求出这个方程的公共解．
18．已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+3y＝7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x﹣3y＝2，求m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m的值．
19．已知关于x，y的二元一次方程组，其中a为实数．
（1）当a＝2时，求方程组的解；
（2）求x+y的值（用含a的代数式表示）；
（3）试说明无论a取何数时，代数式6x﹣3y的值始终不变．
20．阅读探索：
材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为，
解得，即，解得．
材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：的解；
（2）若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．
（3）已知x、y、z，满足，试求z的值．
21．已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+3y＝7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x﹣3y＝1，求m的值；
（3）无论m取何值，方程x﹣3y+mx+3＝0总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？
22．问题提出
已知实数x，y满足，求7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
利用上面的知识解答下面问题：
（1）已知方程组，则2x+y的值为 　 　 ．
问题探究
（2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变．
问题解决
（3）甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？
23．【数学问题】解方程组．
【思路分析】小明观察后发现可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
（2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组．
24．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x、y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③
③×14得：14x+14y＝14④
①﹣④得：y＝2，从而得x＝﹣1
所以原方程组的解是
（1）请你运用上述方法解方程组
（2）请你直接写出方程组的解是 　 　 ；
（3）猜测关于x、y的方程组（m≠n）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
25．已知关于x，y的二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+a﹣1＝0．
（1）当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解，试求这个公共解．
（2）试说明：无论a取何值，该公共解都是原二元一次方程的解．一题一课期末复习3--二元一次方程（组）的解法
一．例题
1．按要求解下列方程组．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据解二元一次方程组的步骤进行计算；
（2）根据解二元一次方程组的步骤进行计算．
【解答】解：（1），
把②代入①得，2x+3（4x﹣9）＝1，
2x+12x﹣27＝1，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得，y＝4×2﹣9＝﹣1，
∴原方程组的解为；
（2），
①×2+②得，6x+4y+2x﹣4y＝10+14，
8x＝24，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得，3×3+2y＝5，
解得：y＝﹣2，
∴原方程组的解为．
2．已知方程组与有相同的解，求a，b的值．
【答案】a，b．
【分析】根据题意得出方程组，进而得出x，y的值代入另两个方程求出a，b的值即可．
【解答】解：将第一个方程组中的第一个方程和第二个方程组中的第一个方程联立，组成新的方程组．
解这个方程组，得，．
将代入第一个方程组中的第二个方程和第二个方程组中的第二个方程，得，﹣6a﹣45＝4，﹣30﹣9b＝1．
解得，a，b．
二．基础练习
3．按要求解下列方程组．
（1）（用代入法）；
（2）（用加减法）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法：代入消元法解方程组即可；
（2）根据解二元一次方程组的方法：加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1），
由①得，y＝5x﹣3③，
把③代入②得：3x+2（5x﹣3）＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入③得：y＝5﹣3＝2，
则方程组的解为；
（2），
①×2+②×3，得13x＝26，
解得：x＝2，
把x＝ 2代入①，得4+3y＝1，
解得：y＝﹣1，
∴方程组的解为．
4．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1），
②×2得，2x+4y＝6③，
①+③得，5x＝10，
解得x＝2，
将x＝2代入①得，y，
∴方程组的解为；
（2），
①+②得，3x＝15，
解得x＝5，
将x＝5代入①得，y＝﹣1，
∴方程组的解为．
5．解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用代入消元法解方程组即可．
【解答】解：（1），
①+②得，2x+x+y﹣y＝5+1，
3x＝6，
解得：x＝2；
把x＝2代入x﹣y＝1得，2﹣y＝1，
解得：y＝1；
∴方程组的解为；
（2），
把①代入②得，x﹣2（5﹣x）＝2，
解得：x＝4；
把x＝4代入①得，y＝1，
∴方程组的解为．
6．下面是小莹同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程组
解：①×2，得4x﹣8y＝﹣3．③…第一步
②﹣③，得3y＝6．…第二步
解得y＝2．把y＝2代入①，得2x﹣8＝﹣3．
解得．…第三步
所以该方程组的解是．
任务：
（1）小莹的解法从第　一　 步开始出现错误，写出正确的步骤　4x﹣8y＝﹣6　 ．
（2）请求出该解方程组的解．
【答案】（1）一，4x﹣8y＝﹣6；
（2）．
【分析】（1）观察小莹的做题过程，由解二元一次方程组的方法判断即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1），
①×2，得4x﹣8y＝﹣6③，
∴小莹的解法从第一步开始出现错误，正确的步骤为4x﹣8y＝﹣6．
故答案为：一，4x﹣8y＝﹣6；
（2）①×2，得4x﹣8y＝﹣6③，
②﹣③，得3y＝9，
解得：y＝3，
把y＝3代入①，得2x﹣4×3＝﹣3，
解得：x，
∴方程组的解为．
7．解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先把方程组整理为，再利用加减消元法解方程组即可；
（2）先消去未知数z，得到4x+3y＝17④，5x+y＝13⑤，再利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：整理得：，
①+②得：x＝5，
②﹣①得：，
∴方程组的解为：．
（2），
①+②得：4x+3y＝17④
①+③得：5x+y＝13⑤⑤×3﹣④得：x＝2，
把x＝2代入⑤得：y＝3，
把x＝2，y＝3代入③得：z＝1，
∴方程组的解为：．
8．解方程组：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用代入消元法解此题即可；
（2）利用加减消元法解此题即可；
（3）整理①式，先利用整体代入法，再利用加减消元法解此题．
【解答】解：（1）将原方程组标号得，
将①代入②得2x+4（3x﹣1）＝24，
∴x＝2，
将x＝2代入①得y＝5，
∴；
（2）将原方程组标号得，
①×2得：6x﹣4y＝4③，
②+③得：11x＝5，
∴，
将代入①得：
，
∴，
∴；
（3）将原方程组标号得，
整理①得3（x+y）+2（x﹣y）＝36③，
将②代入③得4（x﹣y）+2（x﹣y）＝36，
解得x﹣y＝6④，
将④代入③得3（x+y）+12＝36，
解得x+y＝8⑤，
④+⑤得2x＝14，
∴x＝7，
将x＝7代入⑤，得y＝1，
∴．
三．提高练习
9．若方程组和方程组有相同的解．
（1）求方程组正确的解．
（2）求a，b的值．
【答案】（1）；
（2）a的值是，b的值是．
【分析】（1）由题意得，解方程组即可解答．
（2）首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到一共关于a、b的方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵方程组和方程组有相同的解，
∴，
①+②得3x﹣y+2x+y＝7+8，解得x＝3，
将x＝3代入①得y＝2，
∴方程组的解为．
（2）∵方程组和方程组有相同的解，
∴可得新方程组，
解得：，
把，代入，得，
解得．
故a的值是，b的值是．
10．若关于x，y的方程组和方程组有相同的解．
（1）求关于x，y的方程组正确的解．
（2）求a，b的值．
【答案】（1）；（2）a，b．
【分析】（1）利用加减法求解比较简便；
（2）把x、y的值代入方程组得关于a、b的方程组，求解即可．
【解答】解：（1），
①+②，得5x＝15，
∴x＝3．
把x＝3代入②，得6+y＝8，
∴y＝2．
∴原方程组的解为．
（2）把代入方程组，得，
把a＝3+2b代入3a+2＝b，得9+6b+2＝b，
∴b．
把b代入3+2b＝a，得a．
11．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错②中的b，解得．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先将代入方程5x＝by+10之中可得b的值；再将代入方程ax﹣4y＝﹣6之中可得a的值；
（2）将（1）中求出的a，b的值代入方程组之中，再解这个方程中即可．
【解答】解：（1）∵甲看错了方程①中的a，解得，
∴是方程5x＝by+10的解，
∴15＝b+10，
解得：b＝5，
∵乙看错②中的b，解得，
∴是方程ax﹣4y＝﹣6的解，
∴﹣a﹣8＝﹣6，
解得：a＝﹣2，
∴a＝﹣2，b＝5，
（1）a＝﹣2，b＝5
（2）
（2）将a＝﹣2，b＝5代入原方程组，得：，
整理得：，
③﹣④得：3y＝1，
解得：，
将代入④，得：，
解得：，
∴原方程组的正确解为．
12．对于有理数x和y，定义新运算：x⊙y＝ax+by，其中a、b是常数，已知2⊙4＝12，4⊙10＝2．
（1）求a、b的值；
（2）若x＝1，x⊙y＝6，求y的值．
【答案】（1）a＝28，b＝﹣11；
（2）y＝2．
【分析】（1）根据新定义运算可得：，根据解二元一次方程组的方法，利用加减消元法解方程组即可；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以得到关于y的一元一次方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）∵2⊙4＝12，4⊙10＝2，
∴，
由①，得2a＝12﹣4b③，
把③代入②，得2（12﹣4b）+10b＝2，
去括号，得24﹣8b+10b＝2，
解得：b＝﹣11，
把b＝﹣11代入③，得2a＝12﹣4×（﹣11），
解得：a＝28，
∴a＝28，b＝﹣11；
（2）∵a＝28，b＝﹣11，x⊙y＝6，
∴28x﹣11y＝6，
∵x＝1，
∴28﹣11y＝6，
解得：y＝2．
13．定义一种新运算“※”：对于有理数x和y，x※.例如：2※1＝2．
（1）直接写出（﹣1）※7＝ 　　 ；
（2）已知2※，求x的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
（﹣1）※7
；
故答案为：；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：
，
12+3x＝10x+4，
﹣7x＝﹣8，
．
14．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知：3*2＝﹣1，2 1＝4．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程 x﹣y＝6，求m的值．
【答案】（1）；
（2）0．
【分析】（1）根据新定义运算，结合3*2＝﹣1，2 1＝4列出方程组即可求解；
（2）先根据新运算法则列出关于x，y的方程组，用含m的式子表示出x，y，再根据x﹣y＝6即可求出m的值．
【解答】解：（1）由题意可得：，
∴．
（2）∵，
∴，
∵x﹣y＝6，
∴3m+4﹣（m﹣2）＝6，
解得：m＝0，
∴m的值为0．
15．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求2a﹣3b的值．
【答案】6．
【分析】根据题意可以把原方程组的解代入原方程组，变成关于a、b的二元一次方程组，求解方程组，把得到的方程组的解代入代数式求值即可．
【解答】解：由题意可得，
①+②得4a＝6，
a，
代入①得2b＝4，
b＝﹣1，
∴2a﹣3b＝23×（﹣1）＝6．
四．培优练习
16．数学课上老师写了一个关于x，y的二元一次方程（a+1）x+（a﹣2）y+5﹣2a＝0，（其中a为常数且a≠﹣1，2）．
（1）若是该方程的一个解，求a的值；
（2）大家会发现，当a每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，请聪明的你求出这个公共解；
【答案】（1）a＝﹣5；
（2）．
【分析】（1）把代入原方程，再解方程即可；
（2）把原方程整理为（x+y﹣2）a+x﹣2y+5＝0，再根据方程有1个公共解可得：，再解方程组即可．
【解答】解：（1）将代入方程得（a+1）x+（a﹣2）y+5﹣2a＝0，
∴2（a+1）+a﹣2+5﹣2a＝0，
整理得：a+5＝0，
解得a＝﹣5；
（2）∵（a+1）x+（a﹣2）y+5﹣2a＝0，
∴（x+y﹣2）a+x﹣2y+5＝0，
∵当a每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，
∴即，
①﹣②得：，
把代入①得：，
∴这个方程的公共解为：．
17．已知关于x，y的方程组．
（1）请直接写出方程x+2y＝5的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，请求出这个方程的公共解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可．
（2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入x﹣2y+mx+9＝0，从而可得答案．
（3）方程变形后，确定出公共解即可．
【解答】解：（1）方程x+2y＝5，
解得：x＝﹣2y+5，
当y＝1时，x＝3；y＝2，x＝1．
（2）联立得：，
解得：，
代入得：﹣5﹣10﹣5m+9＝0，
解得：．
（3）∵x﹣2y+mx+9＝0，即（1+m）x﹣2y+9＝0总有一个解，
∴方程的解与m无关，
∴mx＝0，x﹣2y+9＝0，
解得：x＝0，．
则方程的公共解为．
18．已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+3y＝7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x﹣3y＝2，求m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m的值．
【答案】（1），；
（2）；
（3）2或﹣1．
【分析】（1）求出x＝7﹣3y＞0，求出y，求出整数y，再求出方程的正整数解即可；
（2）求出的解，把代入x﹣3y+mx+3＝0得出3﹣4+3m+3＝0，再求出m即可；
（3）把（1）中求出的x、y的值代入②，即可求出m．
【解答】解：（1）x+3y＝7，
x＝7﹣3y，
∵x、y为正整数，
∴7﹣3y＞0，
∴y，
∴y只能为1和2，
当y＝1时，x＝4；
等y＝2时，x＝1，
所以方程x+3y＝7的所有正整数解是，；
（2），
∵方程组的解满足2x﹣3y＝2，
∴得出方程组，
解方程组得：，
把代入x﹣3y+mx+3＝0，得3﹣4+3m+3＝0，
解得：m；
（3），
把代入②，得4﹣3+4m+3＝0，
解得：m＝﹣1，
把代入②，得1﹣6+m+3＝0，
解得：m＝2，
即m＝2或﹣1．
19．已知关于x，y的二元一次方程组，其中a为实数．
（1）当a＝2时，求方程组的解；
（2）求x+y的值（用含a的代数式表示）；
（3）试说明无论a取何数时，代数式6x﹣3y的值始终不变．
【答案】（1）；
（2）3a﹣2；
（3）说明见解析．
【分析】（1）把a＝2代入关于x，y的二元一次方程组得关于x，y的方程组，解方程组求出x，y即可；
（2）把两个方程相加，求出x+y即可；
（3）把方程②×5+①，消去a，从而得到2x﹣y的值，从而求出6x﹣3y的值即可．
【解答】解：（1）把a＝2代入关于x，y的二元一次方程组得：，
①+②得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝3，
∴方程组的解为：，
∴当a＝2时，方程组的解为：；
（2），
①﹣②得：2x+2y＝6a﹣4，
2（x+y）＝6a﹣4，
x+y＝3a﹣2；
（3）证明：，
②×5得：5x﹣5y＝﹣5a③，
①+③得：8x﹣4y＝﹣4，
2x﹣y＝﹣1，
∴6x﹣3y＝3（2x﹣y）＝3×（﹣1）＝﹣3，
∴无论a取何数时，代数式6x﹣3y的值始终不变．
20．阅读探索：
材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为，
解得，即，解得．
材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：的解；
（2）若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．
（3）已知x、y、z，满足，试求z的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）z＝2．
【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可；
（2）用换元法替换5（m﹣3）和3（n+2），根据已知条件解方程组即可；
（3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设，，
∴原方程可以化为，
用②﹣①×2得：﹣3y＝﹣3，解得y＝1，
把y＝1代入到①得：x+2＝4，解得x＝2，
∴方程组的解为，
即，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：设，
则方程化为：，
即，
解得；
（3）解：将方程①3x﹣2z+12y＝47，
变形为，
将方程②代入③得：，
解得z＝2．
21．已知关于x，y的方程组．
（1）请写出方程x+3y＝7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x﹣3y＝1，求m的值；
（3）无论m取何值，方程x﹣3y+mx+3＝0总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？
【答案】（1）或；（2）；（3）．
【分析】（1）对x、y分别赋值讨论即可；（2）用代入法求二元一次方程组的解即可；
（3）由题意可知x＝0，求出y＝1，即可求m的解．
【解答】解：（1）方程x+3y＝7有正整数解，
当x＝1时，y＝2，
当x＝4时，y＝1，
方程的正整数解是：或；
（2）因为方程组的解满足2x﹣3y＝1，
所以可得新的方程组：，
①+②可得：3x＝8，，
解得：，
将，，代入x﹣3y+mx+3＝0可得：
，
；
（3）因为方程x﹣3y+mx+3＝0总有一个公共解，
即mx+（x﹣3y+3）＝0有一个公共解，
所以x＝0，
将x＝0代入可得：y＝ 1，
方程的解为．
22．问题提出
已知实数x，y满足，求7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
利用上面的知识解答下面问题：
（1）已知方程组，则2x+y的值为 　2　 ．
问题探究
（2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变．
问题解决
（3）甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？
【答案】（1）2；（2）答案见解析；（3）购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元．
【分析】（1）依据题意，由可得①﹣②得，2x+y＝2，进而判断得解；
（2）依据题意，由，可得①+②得，3x＝3a+1，进而x，再把x代入②得，2y＝2﹣a，故可得y，再计算x+y可以判断得解；
（3）依据题意，设购买甲1件x元，乙1件y元，丙1件z元，则，可得①×8+②×4得，20x+20y+20z＝1080+420，故2x+2y+2z＝150，进而可以得解．
【解答】解：（1），
∴①﹣②得，2x+y＝2．
故答案为：2．
（2），
∴①+②得，3x＝3a+1，
∴x．
把x代入②得，
2y＝2﹣a，
∴y．
∴x+y．
∴无论a取何值，x+y的值始终不变．
（3）由题意，设购买甲1件x元，乙1件y元，丙1件z元，
则，
∴①×8+②×4得，20x+20y+20z＝1080+420，
∴2x+2y+2z＝150．
答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元．
23．【数学问题】解方程组．
【思路分析】小明观察后发现可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
（2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）把①代入②，求出x的值，再把x的值代入①，求出y的值；
（2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可．
【解答】解：（1）按照小明的思路，完成解方程组的过程如下：
，
把①代入②，得5x﹣2×2＝6，
∴x＝2，
把x＝2代入①得：2+y＝2，
∴y＝0，
∴；
（2），
把①代入③得：3+c＝0，
∴c＝﹣3，
把c＝﹣3代入②得：5a﹣9＝1，
∴a＝2，
把a＝2代入①得：2+b＝3，
∴b＝1，
∴．
24．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，由于x、y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将是计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③
③×14得：14x+14y＝14④
①﹣④得：y＝2，从而得x＝﹣1
所以原方程组的解是
（1）请你运用上述方法解方程组
（2）请你直接写出方程组的解是 　　 ；
（3）猜测关于x、y的方程组（m≠n）的解是什么？并用方程组的解加以验证．
【答案】（1）；（2）；（3），验证见解析．
【分析】（1）根据题干给定的方法求解即可；
（2）根据题干给定的方法求解即可；
（3）根据已有方程组进行猜想即可，将解代入两个方程进行验证即可．
【解答】解：（1），
②﹣①得：3x+3y＝3，所以x+y＝1③，
③×2022得：2022x+2022y＝2022④，
①﹣④得：y＝2，
把y＝2代入③得：x+2＝1，
解得：x＝﹣1，
所以原方程组的解是：；
（2），
②﹣①得：x﹣y＝1③，
③×2077得：2077x﹣2077y＝2077④，
①﹣④得：﹣y＝2，解得：y＝﹣2，
把y＝﹣2代入③得：x+2＝1，
解得：x＝﹣1，
所以原方程组的解是：；
故答案为：；
（3）猜测：，
当x＝﹣1，y＝2时，第一个方程：左边＝﹣m+（m+1）×2＝﹣m+2m+2＝m+2＝右边，
第二个方程：左边＝﹣n+（n+1）×2＝﹣n+2n+2＝n+2＝右边，
∴是原方程组的解．
25．已知关于x，y的二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+a﹣1＝0．
（1）当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解，试求这个公共解．
（2）试说明：无论a取何值，该公共解都是原二元一次方程的解．
【答案】（1）；（2）见详解．
【分析】（1）方程整理后根据条件列出方程组，解方程组即可得到结果；
（2）根据题意，列出方程组证明即可．
【解答】解：（1）（a﹣3）x+（2a﹣5）y+a﹣1＝0．
整理得：（x+2y+1）a﹣3x﹣5y﹣1＝0，
由条件可得，
解得．
∴这个公共解为；
（2）把（a﹣3）x+（2a﹣5）y+a﹣1＝0化为下面的形式；（x+2y+1）a＝3x+5y+1，
，
解得
∴无论a取何值，这个公共解都是原二元一次方程的解．

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