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一题一课期末复习4--二元一次方程（组）的应用
一．例题（共1小题）
1．根据如表素材，完成表中的任务．
探究优惠购物问题
素材1 某校重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批篮球和跳绳，已知篮球的单价比跳绳的单价的5倍多10元，购买2个篮球与购买11条跳绳所花的钱一样多．
素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：篮球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个篮球送一条跳绳． 现学校要购买篮球30个，跳绳a（a＞30）根．
问题解决
任务1 求篮球的单价与跳绳的单价各是多少？
任务2 当a为何值时，使用方案①，方案②购买篮球和跳绳的总费用相同？
任务3 若两种优惠方案可同时使用，当a＝60时，请你通过计算给出更省钱的购买方案．
【答案】（任务1）篮球的单价是110元，跳绳的单价是20元；
（任务2）a的值为35；
（任务3）当a＝60时，更省钱的购买方案为：先按方案②购买30个篮球（获赠30条跳绳），再按方案②购买30条跳绳．
【分析】（任务1）设跳绳的单价是x元，篮球的单价是y元，根据购买2个篮球与购买11条跳绳所花的钱一样多，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（任务2）根据使用方案①，方案②购买篮球和跳绳的总费用相同，列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；
（任务3）利用总价＝单价×数量，可求出使用方案①，方案②及“先按方案②购买30个篮球（获赠30条跳绳），再按方案②购买30条跳绳”所需费用，比较后，即可得出结论．
【解答】解：（任务1）设跳绳的单价是x元，篮球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：篮球的单价是110元，跳绳的单价是20元；
（任务2）根据题意得：0.85（110×30+20a）＝110×30+20（a﹣30），
解得：a＝35，
答：a的值为35；
（任务3）选择方案①所需费用为（110×30+20×60）×0.85＝3825（元）；
选择方案②所需费用为110×30+20×（60﹣30）＝3900（元）；
先按方案②购买30个篮球（获赠30条跳绳），再按方案②购买60﹣30＝30（条），跳绳所需费用为110×30+20×0.85×30＝3810（元），
∵3900＞3825＞3810，
∴当a＝60时，更省钱的购买方案为：先按方案②购买30个篮球（获赠30条跳绳），再按方案②购买30条跳绳．
二．变式练习
2．某车间有22名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓1200个或螺帽2000个，1个螺栓要配2个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？
【答案】10名工人生产螺栓，12名工人生产螺帽．
【分析】设应安排x名工人生产螺栓，则安排（22﹣x）名工人生产螺帽，根据1个螺栓要配2个螺帽，列出方程进行求解即可．
【解答】解：设应安排x名工人生产螺栓，则安排（22﹣x）名工人生产螺帽，由题意，得：
2×1200x＝2000（22﹣x），
解得x＝10，
∴22﹣x＝12；
答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺帽．
3．如图，10块完全相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据大长方形的宽为75厘米及长方形的对边相等，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵大长方形的宽为75厘米，
∴x+2y＝75；
∵大长方形的对边相等，
∴2x＝x+3y，即x＝3y，
∴根据题意可列出方程组．
故选：B．
4．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据大矩形的长及其内小长方形各边间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵大矩形的长为20，
∴x+2y＝20；
观察图形，可知：x＝3y，
∴根据题意可列方程组，
故选：C．
5．如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意及图中信息可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据大长方形的长及小长方形长与宽之间的关系，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵大长方形的长为20，
∴x+2y＝20；
∵小长方形的长是小长方形宽的3倍，
∴3y＝x，
∴根据题意可列出方程组．
故选：C．
6．古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据“甲得到乙的九只羊后，甲的羊就比乙多一倍；乙得到甲的九只羊后，两人的羊一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设甲有羊x只，乙有羊y只．
∵甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”
∴x+9＝2（y﹣9）；
∵乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．”
∴x﹣9＝y+9．
联立两方程组成方程组．
故选：C．
7．列方程（组）解应用题：
某超市用9600元购进甲、乙两种商品共200件，这两种商品的进价，标价如下表：
价格 类型 甲种 乙种
进价（元/件） 30 60
标价（元/件） 50 90
（1）求甲、乙两种商品各购进多少件？
（2）若甲种商品按标价下降a元出售，乙种商品按标价八折出售，那么这批商品全部售出后，超市共获利2640元，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合该超市用9600元购进甲、乙两种商品共200件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润＝每件甲商品的销售利润×购进数量+每件乙商品的销售利润×购进数量，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种商品购进80件，乙种商品购进120件；
（2）根据题意得：（50﹣a﹣30）×80+（90×0.8﹣60）×120＝2640，
解得：a＝5．
答：a的值为5．
8．某水果店销售苹果单价8元/千克，梨单价6元/千克．
（1）小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，求小明购买的苹果和梨的重量；
（2）水果店推出一种苹果与梨搭配销售方式，若搭配方式由苹果a千克，梨b千克组成，则苹果单价下降2m元/千克，梨单价上涨m元/千克．
①请用含a，b，m的代数式表示搭配销售方式水果平均单价　元/千克　 ．
②按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，求搭配销售方式中苹果的重量a的值．
【答案】（1）小明购买了4千克苹果，2千克梨；
（2）①元/千克；
②2.2．
【分析】（1）设小明购买了x千克苹果，y千克梨，根据“小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①利用配销售方式水果的平均单价＝配销售方式水果的总价÷配销售方式水果的总质量，即可用含a，b，m的代数式表示搭配销售方式水果的平均单价；
②根据“无论m为何值，支付的金额始终与小明相同（44元）”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设小明购买了x千克苹果，y千克梨，
根据题意得：，
解得：．
答：小明购买了4千克苹果，2千克梨；
（2）①根据题意得：搭配销售方式水果平均单价为元/千克．
故答案为：元/千克；
②根据题意得：（8﹣2m）a+（6+m）b＝44，
∴8a+6b+（b﹣2a）m＝44，
∵无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，
∴，
解得：．
答：搭配销售方式中苹果的重量a的值为2.2．
9．现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖50千克，其中各种糖的质量和单价如表．
品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖
质量/千克 x y 20
单价/（元/千克） 35 30 25
已知乙种糖的质量是甲种糖的质量的2倍，且商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总质量）作为混合糖的单价．
（1）求表中x，y的值．
（2）要使混合糖的单价每千克降低2元，需加入甲、乙、丙三种糖中的哪一种糖？加入多少千克？
【答案】（1）x的值为10，y的值为20；
（2）需加入丙种糖，加入50千克．
【分析】（1）根据“现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖50千克，且乙种糖的质量是甲种糖的质量的2倍”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）求出混合糖的单价，结果甲、乙、丙三种糖及混合糖单价间的关系，可得出需加入丙种糖，设需加入丙种糖m千克，根据加入丙种糖后混合糖的单价每千克降低2元，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：．
答：x的值为10，y的值为20；
（2）混合糖的单价为29（元/千克），
∵35＞30＞29＞25，
∴要使混合糖的单价每千克降低2元，需加入丙种糖．
设需加入丙种糖m千克，
根据题意得：29﹣2，
解得：m＝50．
答：需加入丙种糖，加入50千克．
10．根据表中的素材，完成下面的任务：
制作无盖长方体纸盒
素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．
素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒；3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒．
问题解决
任务 制作图3、图4规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，且恰好能够完成制作（纸板无剩余），则能做成图3、图4规格的纸盒各多少个？
【答案】能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个．
【分析】设需要图1长方形纸板x张，图2长方形纸板（21﹣x）张，则有小长方形纸板2x张，小正方形纸板3（21﹣x）张；再设可制作图3规格的纸盒m个，图4规格的纸盒n个，则需小长方形纸板（4m+3n）张，需小正方形纸板（m+2n）张，根据题意列式再分析代入数值即可得到本题答案．
【解答】解：设需要图1长方形纸板x张，图2长方形纸板（21﹣x）张，则有小长方形纸板2x张，小正方形纸板3（21﹣x）张；
再设可制作图3规格的纸盒m个，图4规格的纸盒n个，则需小长方形纸板（4m+3n）张，需小正方形纸板（m+2n）张，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵x为整数，
∴x＝15，16，17，18，
由①+②，得5（m+n）＝63﹣x，
∴，
由题意可得：x＝18，
∴m＝9，n＝0，
∴能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个．
答：能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个．
11．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．
（1）请问该车间有男生、女生各多少人？
（2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？
【答案】（1）该车间有男生31人，女生54人；
（2）应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮．
【分析】（1）设该车间有男生x人，有女生y人，根据该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮，根据2个大齿轮与3个小齿轮配套，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设该车间有男生x人，有女生y人，
根据题意得：，
解得：，
答：该车间有男生31人，女生54人；
（2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮，
根据题意得：3×16m＝2×10（85﹣m），
解得：m＝25，
∴85﹣m＝60，
答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮．
12．学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援．
（1）若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？
（2）若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？
【答案】（1）调往甲地34人，调往乙地6人；
（2）应调往甲地17人，乙地8人，丙地15人．
【分析】（1）设调往甲地x人，则调往乙地（40﹣x）人，根据要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设调往乙地m人，调往丙地n人，则调往甲地（40﹣m﹣n）人，根据调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）设调往甲地x人，则调往乙地（40﹣x）人，
由题意得：18+x＝4（7+40﹣x），
解得：x＝34，
∴40﹣x＝6，
答：调往甲地34人，调往乙地6人；
（2）设调往乙地m人，调往丙地n人，则调往甲地（40﹣m﹣n）人，
由题意得：，
解得：，
∴40﹣m﹣n＝40﹣8﹣15＝17，
答：应调往甲地17人，乙地8人，丙地15人．
13．
制作更多的罐头
素材一 原材料是边长为8分米的正方形铝皮
素材二 通过两种方式裁剪，制作如图所示的罐头（罐头封扣处损耗忽略不计）
任务一 （1）填空：现在有21张铝皮，若使用裁法一剪裁的有x张，裁法二剪裁的y张，请根据素材，完成表格； 圆形材料长方形材料裁法一4x　3x 裁法二　8y 2y合计　4x+8y 　3x+2y
任务二 （2）结合任务一，将裁剪出的圆形和长方形材料用于制作铝制罐头（上下盖均为圆形，侧面为长方形）且裁剪出的材料恰好用完，则最多可以做多少个罐头？
任务三 （3）若在2024年年终盘点库存时，发现库存中还剩长方形材料40张，在新的一年，对原材料购买时，至少应该买 　20　 张正方形铝皮，才能将库存一次性用完．（直接写出答案）
【答案】（1）3x；8y；4x+8y；3x+2y；
（2）56个；
（3）20．
【分析】（1）根据题意列出代数式，即可完成表格；
（2）根据题意，列出关于x，y的方程组，求出x，y的值，即可解答；
（3）由素材二可知，使用裁法二剪裁得到的圆形材料更多，长方形材料更少，设买m张正方形铝皮，根据题意列出方程，求出m的值，即可解答．
【解答】解：（1）根据素材，完成表格如下：
圆形材料 长方形材料
裁法一 4x 3x
裁法二 8y 2y
合计 4x+8y 3x+2y
（2）由题意列二元一次方程组得，，
解得，
则长方形材料有3x+2y＝3×14+2×7＝4+14＝56（张），
因为1个铝制罐头需要2张圆形材料和1张长方形材料，
所以最多可以做56个罐头；
（3）由素材二可知，使用裁法二剪裁得到的圆形材料更多，长方形材料更少，
设买m张正方形铝皮，则圆形材料有8m张，长方形材料有2m张，
由题意列一元一次方程得，8m＝2（2m+40），
整理得，4m＝80，
解得m＝20，
所以至少应该买20张正方形铝皮，才能将库存一次性用完．
故答案为：20．
14．如图所示的甲、乙、丙三种长方形木板可以用来制作无盖长方体木箱，其中甲木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成三块刚好能做箱底和两个短侧面，丙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面．设甲木板有x块，乙木板有y块．
（1）已知丙木板有12块．
①根据题意填写下表：
木板种类 长侧面 短侧面 箱底
甲 x / x
乙 / 　2y y
丙 12 12 /
合计 　12+x 　12+2y x+y
②将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，求x，y的值．
（2）已知三种木板共有m块（100＜m＜120），用它们去做无盖长方体木箱，要求材料无剩余，求能做多少个长方体木箱？
【答案】（1）①x，2y，12+x，12+2y；②x＝6，y＝3；
（2）能做45个或48个或51个长方体木箱．
【分析】（1）①根据题意分别列出代数式即可；
②根据将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设甲木板有x块，乙木板有y块，则丙木板有（m﹣x﹣y）块，此时长侧面有（m﹣y）块，短侧面有（m﹣x+y）块，箱底有（x+y）块，根据三种木板共有m块（100＜m＜120），用它们去做无盖长方体木箱，要求材料无剩余，列出二元一次方程组，求出正整数解，即可得出结论．
【解答】解：（1）①由题意可知，甲种长方形木板中的长侧面为x个，乙种长方形木板中的短侧面为2y个，合计长侧面为（12+x）个，合计短侧面为（12+2y）个，
故答案为：x，2y，12+x，12+2y；
②由题意得：，
解得：，
答：x＝6，y＝3；
（2）设甲木板有x块，乙木板有y块，则丙木板有（m﹣x﹣y）块，
此时长侧面有（m﹣y）块，短侧面有（m﹣x+y）块，箱底有（x+y）块，
根据题意得：，
由①得：x＝2y，
代入②得：m＝7y．
∵m、n均为正整数，且100＜m＜120，
∴或或，
∴x+y＝45或48或51，
答：能做45个或48个或51个长方体木箱．
15．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
【答案】见试题解答内容
【分析】方案1：把140吨蔬菜全部粗加工，每吨获利4500元；
方案2：15天精加工，每天加工6t，每吨获利7500；剩下的50t直接销售，每吨获利1000元；
方案3：等量关系为：精加工天数+粗加工天数＝15，精加工吨数+粗加工吨数＝140．
【解答】解：①方案一获利为：4500×140＝630000（元）．
②方案二获利为：7500×（6×15）+1000×（140﹣6×15）＝675000+50000＝725000（元）．
③设x天进行粗加工，y天进行精加工，
由题意，得
解得：
所以方案三获利为：7500×6×10+4500×16×5＝810000（元）．
由于810000＞725000＞630000，所以选择方案三获利最多．
答：选择方案三获利最多．
三．例题
16．综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（4x+3y）看成一个整体，把（6x﹣y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设4x+3y＝m，6x﹣y＝n，则原方程组可化为 　　 ，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得 　　 ；
探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：；
拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
（3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案．
【解答】解：（1）设4x+3y＝m，6x﹣y＝n，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得，
故答案为：，；
（2）设2x+y＝m，x﹣2y＝n，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得；
（3）方程组可化为，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，
∴．
四．变式练习
17．已知方程组的解是，则方程组的解是 　　 ．
【答案】．
【分析】根据二元一次方程组的解确定变形后方程组的解即可．
【解答】解：将是代入，
得，
方程组转化为：
则，
解得．
故答案为：．
18．我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组，它的解是 　　 ．
【答案】．
【分析】把2x+4，y+3看作整体，则，解方程组即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
19．已知方程组的解为，则方程组的解为　　 ．
【答案】．
【分析】根据题意可把新方程中的x+1，y﹣1看作整体，相当于方程组中的x和y，对应值是3和2，构造新方程组即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得：，
即方程组的解为，
故答案为：．
20．如表，表1，表2分别列举了关于x，y的方程ax+by＝p和方程mx+ny＝q的部分解：
表1
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 2 3 …
表2
x … 0 1 2 3 …
y … 3 2 1 0 …
则关于x，y的方程组的解为 　　 ．
【答案】．
【分析】由表格数据可得关于x，y的方程ax+by＝p和方程mx+ny＝q的公共解为，将关于x，y的方程组变形后得到关于x，y的方程，解方程即可．
【解答】解：由表格数据可得关于x，y的方程ax+by＝p和方程mx+ny＝q的公共解为，
已知关于x，y的方程组，
整理得：，
则2，1，
解得：x＝4，y＝2，
则关于x，y的方程组的解为，
故答案为：．
21．“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为　　 ．
【答案】．
【分析】先将原方程组变形为，令，，利用换元法求解即可．
【解答】解：将方程组中每一个方程两边同除以5，得，
令，，则，
由题意可得：，
∴，
解得，
故答案为：．
22．若方程组的解是，则方程组的解是 　　 ．
【答案】．
【分析】将所求方程组整理成，由方程组的解是，得到，据此求解即可．
【解答】解：∵，
∴，
整理得，
∵方程组的解是，
∴，
解得．
故答案为：．
23．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　　 ．
【答案】．
【分析】设x+2003＝m，y﹣2003＝n，则方程组可转化为，再根据已知条件得，进而得，由此解出即可得出答案．
【解答】解：设x+2003＝m，y﹣2003＝n，
∴方程组可转化为：，
∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴，
∴，
解得：．
∴关于x、y的方程组的解为：，
故答案为：．
24．若方程组的解是，则方程组的解是　　 ．
【答案】．
【分析】仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可．
【解答】解：∵方程组的解是，
∴方程组的解为：，
解得，
故答案为：．一题一课期末复习4--二元一次方程（组）的应用
一．例题
1．根据如表素材，完成表中的任务．
探究优惠购物问题
素材1 某校重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批篮球和跳绳，已知篮球的单价比跳绳的单价的5倍多10元，购买2个篮球与购买11条跳绳所花的钱一样多．
素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：篮球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个篮球送一条跳绳． 现学校要购买篮球30个，跳绳a（a＞30）根．
问题解决
任务1 求篮球的单价与跳绳的单价各是多少？
任务2 当a为何值时，使用方案①，方案②购买篮球和跳绳的总费用相同？
任务3 若两种优惠方案可同时使用，当a＝60时，请你通过计算给出更省钱的购买方案．
知识点： 解题思路：
二．变式练习
2．某车间有22名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓1200个或螺帽2000个，1个螺栓要配2个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？
3．如图，10块完全相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（　　）
A．B． C． D．
4．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A．B． C． D．
5．如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意及图中信息可列方程组为（　　）
A．B． C． D．
6．古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（　　）
A． B． C． D．
7．列方程（组）解应用题：
某超市用9600元购进甲、乙两种商品共200件，这两种商品的进价，标价如下表：
价格 类型 甲种 乙种
进价（元/件） 30 60
标价（元/件） 50 90
（1）求甲、乙两种商品各购进多少件？
（2）若甲种商品按标价下降a元出售，乙种商品按标价八折出售，那么这批商品全部售出后，超市共获利2640元，求a的值．
8．某水果店销售苹果单价8元/千克，梨单价6元/千克．
（1）小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，求小明购买的苹果和梨的重量；
（2）水果店推出一种苹果与梨搭配销售方式，若搭配方式由苹果a千克，梨b千克组成，则苹果单价下降2m元/千克，梨单价上涨m元/千克．
①请用含a，b，m的代数式表示搭配销售方式水果平均单价　 　 ．
②按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，求搭配销售方式中苹果的重量a的值．
9．现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖50千克，其中各种糖的质量和单价如表．
品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖
质量/千克 x y 20
单价/（元/千克） 35 30 25
已知乙种糖的质量是甲种糖的质量的2倍，且商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总质量）作为混合糖的单价．
（1）求表中x，y的值．
（2）要使混合糖的单价每千克降低2元，需加入甲、乙、丙三种糖中的哪一种糖？加入多少千克？
10．根据表中的素材，完成下面的任务：
制作无盖长方体纸盒
素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．
素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒；3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒．
问题解决
任务 制作图3、图4规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，且恰好能够完成制作（纸板无剩余），则能做成图3、图4规格的纸盒各多少个？
11．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．
（1）请问该车间有男生、女生各多少人？
（2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？
12．学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援．
（1）若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？
（2）若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？
13．
制作更多的罐头
素材一 原材料是边长为8分米的正方形铝皮
素材二 通过两种方式裁剪，制作如图所示的罐头（罐头封扣处损耗忽略不计）
任务一 （1）填空：现在有21张铝皮，若使用裁法一剪裁的有x张，裁法二剪裁的y张，请根据素材，完成表格； 圆形材料长方形材料裁法一4x　 　 裁法二　 　 2y合计　 　 　 　
任务二 （2）结合任务一，将裁剪出的圆形和长方形材料用于制作铝制罐头（上下盖均为圆形，侧面为长方形）且裁剪出的材料恰好用完，则最多可以做多少个罐头？
任务三 （3）若在2024年年终盘点库存时，发现库存中还剩长方形材料40张，在新的一年，对原材料购买时，至少应该买 　 　 张正方形铝皮，才能将库存一次性用完．（直接写出答案）
14．如图所示的甲、乙、丙三种长方形木板可以用来制作无盖长方体木箱，其中甲木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成三块刚好能做箱底和两个短侧面，丙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面．设甲木板有x块，乙木板有y块．
（1）已知丙木板有12块．
①根据题意填写下表：
木板种类 长侧面 短侧面 箱底
甲 　 　 / x
乙 / 　 　 y
丙 12 12 /
合计 　 　 　 　 x+y
②将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，求x，y的值．
（2）已知三种木板共有m块（100＜m＜120），用它们去做无盖长方体木箱，要求材料无剩余，求能做多少个长方体木箱？
15．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
三．例题
16．综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（4x+3y）看成一个整体，把（6x﹣y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设4x+3y＝m，6x﹣y＝n，则原方程组可化为 　 　 ，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得 　 　 ；
探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：；
拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
知识点： 解题思路：
四．变式练习
17．已知方程组的解是，则方程组的解是 　 　 ．
18．我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组，它的解是 　 　 ．
19．已知方程组的解为，则方程组的解为　 　 ．
20．如表，表1，表2分别列举了关于x，y的方程ax+by＝p和方程mx+ny＝q的部分解：
表1
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 2 3 …
表2
x … 0 1 2 3 …
y … 3 2 1 0 …
则关于x，y的方程组的解为 　 　 ．
21．“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为　 　 ．
22．若方程组的解是，则方程组的解是 　 　 ．
23．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　 　 ．
24．若方程组的解是，则方程组的解是　 　 ．

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