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专题二十 带电粒子在叠加场中的运动
题型一 带电粒子在叠加场中的运动
题型二 叠加场中的摆线类问题
题型三 叠加场中的螺旋线类问题
备用习题
◆
◆
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作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
题型一 带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存.
2.常见的几种运动形式
运动性质 受力特点
匀速直线 运动 粒子所受的合力为0
匀速圆周 运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零，
运动性质 受力特点
类平抛 运动 电场分解为互相垂直方向的两个分量，一个方向满足
，粒子一运动为匀速直线运动，同时另一运动为
初速度为零的匀加速直线运动，其合运动即为类平抛运动
一般的曲 线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化,且与初速度方向不
在同一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子的运
动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线
续表
考向一 带电粒子在叠加场中的直线运动
例1 [2025·湖南常德模拟] 如图所示，竖直平面内，匀强电场的电场强度
方向水平向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里.一个带电粒子以某速度垂
直磁场斜向右上方射入复合场中，恰好做直线运动，则下列关于粒子的受
力及运动情况的说法正确的是( )
A.粒子可能只受电场力和洛伦兹力
B.直线运动过程粒子的电势能可能增加
C.粒子一定做匀速直线运动
D.粒子可能做匀减速直线运动
√
[解析] 带电粒子在电场中受到电场力 ，垂直于磁场方向运动故受
到洛伦兹力 ，若仅此二力，对正电荷受力分析，如图甲所示，
因电场力有沿速度方向的分力，正电荷加速运动，则垂直于速度方向的合
力不可能维持为零，不能维持直线运动，对负电荷受力分析，如图乙所示，
同样因电场力沿速度反方向的分力的存在使其减速，则垂直于速度方向的
合力不可能维持为零，不能维持直线运动，故A错误；
由上述分析可知，存在重力，对正电荷受力分析如图丙所示，若
，则 可永远成立，对负
电荷受力分析如图丁所示，因重力和电场力沿速度反方向的分力使其减速，
则 不可能永远成立，不能维持直线运动，基
于以上分析，粒子带正电荷，一定做匀速直线运动，并且电场力做正功，
粒子电势能减少，故C正确，B、D错误.
考向二 带电粒子在叠加场中的圆周运动
例2 [2025·辽宁本溪模拟] 如图所示，在某空间同时存在着互相正交的匀强
电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下.一带电体带负电，电荷量为 ，恰
能静止于此空间的点，另一带电体也带负电，电荷量为，正在过 点的
竖直平面内做半径为的匀速圆周运动，结果、在 处碰撞并粘合在一起，
关于、 粘合一起后的运动性质，下列说法正确的是( )
A.向左做匀速直线运动
B.顺时针继续做匀速圆周运动，半径为
C.顺时针继续做匀速圆周运动，半径为
D.以上说法都不对
√
[解析] 设、的质量分别为和，的速度为，因为带电体 处于静
止状态，则有，带电体 在竖直平面内做匀速圆周运动，则重
力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，有， ，
和 碰撞粘合在一起时，满足动量守恒，则有
，和 粘合在一起，总电荷量为，总
质量为 ，仍满足电场力与重力平衡，即
，洛伦兹力仍提供向心力，带电体继续
沿顺时针方向做匀速圆周运动，设轨迹半径为，则有
，联立以上各式可得 ，故选B.
考向三 带电粒子在叠加场中的类平抛运动
例3 [2025·重庆名校联考] 在某空间建立如图所示直角坐标系，并在该空
间加上沿轴负方向、磁感应强度大小为 的匀强磁场，和沿某个方向的
匀强电场.一质量为、带电荷量为的粒子从坐标原点 以初速
度沿 轴正方向射入该空间，粒子恰好能做匀速
直线运动，不计粒子重力的影响.
(1) 求所加电场强度 的大小和方向.
[答案] ，方向沿 轴正方向
[解析] 由左手定则可知，带电粒子所受洛伦兹力沿 轴负方向，则由平衡
条件可知，电场力沿轴正方向，即电场强度沿 轴正方向，且有
解得
例3 [2025·重庆名校联考] 在某空间建立如图所示直角坐标系，并在该空
间加上沿轴负方向、磁感应强度大小为 的匀强磁场，和沿某个方向的
匀强电场.一质量为、带电荷量为的粒子从坐标原点 以初速
(2) 若撤去电场，并改变磁感应强度的大小，使得
粒子恰好能够经过坐标为 的点，则改变
后的磁感应强度 为多大？
[答案]
度沿 轴正方向射入该空间，粒子恰好能做匀速
直线运动，不计粒子重力的影响.
[解析] 作出粒子运动的轨迹，如图所示
根据几何关系有
解得粒子运动的半径为
由牛顿第二定律有
解得
例3 [2025·重庆名校联考] 在某空间建立如图所示直角坐标系，并在该空
间加上沿轴负方向、磁感应强度大小为 的匀强磁场，和沿某个方向的
匀强电场.一质量为、带电荷量为的粒子从坐标原点 以初速
(3) 若保持磁感应强度 不变，将电场强度大小调
整为，方向调整为平行于平面且与 轴正方
向成某个夹角 ，使得粒子能够在 平面内做匀
变速曲线运动，并经过坐标为的点，则
和 各为多少？
度沿 轴正方向射入该空间，粒子恰好能做匀速
直线运动，不计粒子重力的影响.
[答案]
[解析] 由题意，电场力的一个分力沿 轴正方向平衡洛伦兹力，另一个分
力沿轴正方向提供类平抛运动加速度 ，如图所示
则由平衡条件，有
由曲线运动规律有， 其中
解得，
则有 ，
题型二 叠加场中的摆线类问题
带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场(或重力场)中运动，若所受的洛伦
兹力与电场力(或重力)不平衡而做曲线运动，则情境就会变得比较复杂，
问题的焦点是洛伦兹力的大小和方向会不断地发生变化，粒子做的是较复
杂的非匀变速曲线运动，这类问题的定量计算一般需要用到“配速法”.
常见情况 处理方法
初速度为0，有重力 ______________________________________________ 把初速度分解为一个向左的速度 和一个向右的
速度，和大小相等，且满足 ，
则粒子的运动可看作以做匀速直线运动和以
做匀速圆周运动的合运动
_______________________________________________________
常见情况 处理方法
初速度为 ，有重力 _____________________________________________ 把初速度分解为和，且满足 ，
则粒子的运动可看作以做匀速直线运动和以
做匀速圆周运动的合运动
________________________________________________________________________
续表
常见情况 处理方法
初速度为0，不计重力 _______________________________________________ 把初速度分解为一个向左的速度 和一个向右的
速度，和大小相等，且满足 ，
则粒子的运动可看作以做匀速直线运动和以
做匀速圆周运动的合运动
续表
常见情况 处理方法
初速度为0，有重力 ___________________________________________ 把初速度分解为一个斜向右上的速度 和一个斜
向左下的速度，和 大小相等，且满足
与重力及电场力的合力平衡，则粒子的运
动可看作以做匀速直线运动和以 做匀速圆周
运动的合运动
_________________________________________________________________________
续表
例4 [2025·江西赣州二模] 在竖直平面内有坐标系，空间存在垂直
平面向里的匀强磁场和竖直向下匀强电场，磁感应强度为 ，电场强度为
，一电荷量为的带正电粒子(重力忽略不计)从坐标原点以速度 沿
轴正方向开始运动，其轨迹可能为下列图像中的( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 开始时，粒子所受的合力大小 ，方向竖直向
下，则最初粒子的运动轨迹向下弯曲，取，解得 ，
则粒子实际的运动可看作以向右的匀速直线运动和从 点出发的以
的逆时针方向运动的匀速圆周运动的合运动，由运动的
合成和周期性知，粒子运动轨迹为周期性的摆线形
状，故A正确，B、C、D错误.
题型三 叠加场中的螺旋线类问题
1.模型建立
如图甲所示，带正电粒子的初速度大小为，方向与匀强磁场方向间的夹
角为 .
分析：以磁场的方向为轴正方向建立如图乙所示的三维直角坐标系，可
以将初速度分解为 和 .粒子因有分速度而受
到平面内的洛伦兹力，在轴方向上不受力.粒子在轴方向上以速度
做匀速直线运动，在平面内以速度做匀速圆周运动，这两个分运动
是相互垂直的，其合运动的轨迹类似于弹簧(如图丙所示)，这种运动称为
等距螺旋线运动.
2.模型拓展
如图丁所示，在上述模型中加入与匀强磁场相同的匀强电场，则粒子在
轴方向上不受洛伦兹力，只受静电力.粒子在轴方向上做初速度为、加
速度为的匀加速直线运动；在 平面内仍做匀速圆周运动.其合运动的
轨迹为不等距螺旋线.
例5 [2025·辽宁沈阳二模] 如图所示，空间直角坐标系中有一与
面平行的界面将足够大的空间分为Ⅰ、Ⅱ两个区域，界面与 轴交点坐
标为且界面上有一足够大的接收屏(未画出).在 点存在一粒子源，
仅在平面内沿各个方向均匀发射速率为、电荷量为 、质
量为的粒子区域存在沿 轴正方向、磁感应强
度大小的匀强磁场，Ⅱ区域存在沿 轴正方
向、磁感应强度大小 的匀强磁场和电场强度
方向沿轴正方向、大小为 的匀强电场，不
计粒子重力及粒子间的相互作用，不考虑相对论效应.
(1) 求粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动的半径和周期 ；
[答案]
[解析] 粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
解得
根据周期公式得
解得
(2) 若在Ⅰ区域再加一个沿轴正方向、场强大小 的匀强电场
(未画出)，求粒子打到接收屏上的点的 坐标最大和最小时，点在坐标系
[答案]
中的坐标；
[解析] 粒子沿轴方向做初速度为零、加速度为 的匀加速运动，根据牛
顿第二定律可得
解得
粒子在垂直轴的平面上做半径为 的匀速圆周运动，沿
轴负方向看如图所示
初速度方向沿 轴负方向的粒子打在接收屏前运动的时
间最长，即
对应坐标有最大值，有
由几何知识可得该点坐标为，其对应的坐标为
初速度方向沿轴正方向偏向轴负方向 角的粒子打在接收屏前运动的
时间最短，为
对应坐标有最小值，为
由几何知识可得该点 坐标为0，其对应的坐标为
(3) 若点发射源只沿轴负方向发射该种粒子，Ⅰ区域仍存在沿 轴正方向、
场强 的匀强电场(未画出)，撤去接收屏，求粒子进入Ⅱ区域后能
够达到的最大速率和速率最大时的 坐标.
[答案]
[解析] 沿轴负方向发射的粒子通过界面时，垂直 轴方向的速度分量沿
轴正方向，大小为
通过界面前的运动时间为
通过界面时的坐标为
粒子沿轴方向的速度
将粒子刚进入Ⅱ区域的速度分解为沿 轴正方向
的分速度，和另一分速度，令 所对应的洛
伦兹力与电场力平衡，由平衡条件可得
解得
由平行四边形定则可得粒子的另一分速度沿轴正方向，大小
粒子的运动可看作以速度沿 轴正方向做匀速直线运动和以速度
沿 轴负方向观察做顺时针匀速圆周运动的合运动.
粒子的坐标最大时，与 方向相同，对应的合
速度最大，即
粒子刚进入Ⅱ区域至达到最大速度时，在 方向上
通过的距离等于粒子以 做匀速圆周运动的半径
，则
解得
所以粒子达到最大速度时的 坐标为
带电粒子在叠加场中的运动
1.(多选)质量为、电荷量为的微粒以速度与水平方向成 角从 点进
入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在
电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到 ，重力加速
度为 ，下列说法中正确的是( )
A.该微粒一定带负电荷
B.该微粒从到 的运动可能是匀变速直线运动
C.该磁场的磁感应强度大小为
D.该电场的场强大小为
√
√
[解析] 假设该微粒做匀变速直线运动，则该微粒的速度大小变化，洛伦
兹力大小变化，垂直于速度方向的合力变化，微粒将做曲线运动，所以假
设不成立，微粒只能做匀速直线运动，受到的合力为零，因微粒带正电荷
时受到竖直向下的重力、水平向左的电场力 和斜向右下方的洛伦兹
力 ，
合力不可能为零，微粒不能做直线运动，所以微粒应带负电荷，它受到竖
直向下的重力、水平向右的电场力和斜向左上方的洛伦兹力 ，
合力可以为零，选项A正确，B错误；由平衡条件有 ，
，解得磁场的磁感应强度大小为
，电场的场强大小为 ，选项
C正确，D错误.
2.(多选)在科学技术方面，人们常利用复合场控制
带电小球的运动，如图所示，某空间中同时存在范
围足够大的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小
为 、方向垂直纸面向外，电场强度方向竖直向上.
在复合场中点，一质量为、电荷量为 的带正电
小球以一水平初速度进入复合场，小球经过 点右
下方(未画出)点时速度方向与水平方向的夹角为 ，重力加速度大小
为 ，已知电场强度大小
.、两点间的高度差为 ，不计阻力，
,，则该带电小球从点到 点的过程中( )
A.经过点时速度大小可能为 B.经过点时速度大小可能为
C.运动时间不可能为 D.运动时间可能为
√
√
[解析] 由题意可得，带电小球在复合场中受重力、电场力和洛伦兹力，
电场力 ,电场力与重力平衡，在洛伦兹力的作用下做匀速圆
周运动，由于 点位置不确定，故运动轨迹可能有两种，即可能位于轨迹
的上半圆和轨迹的下半圆，如图所示，可得轨迹半
径满足,解得 , 根据
，联立解得,轨迹半径 满足
,解得 ,根据
，联立解得 ,故A正确，B错误；
根据 可得带电小球两种情况的周期相等，两种情况下小球运
动的圆心角分别为、 ，对应时间分别为
， ，
,1，2,3,取不同值可得运动时间不可能为 和 ，故C正确，
D错误.
3.(多选)如图所示，以棱长为的正方体顶点 为原点建
立三维坐标系，其中正方体的顶点落在 轴上，
顶点落在轴上.一质量为、电荷量为 的带电粒子
(重力不计)由点沿轴正方向以初速度 射入正方体，
第一次只加沿轴负方向、磁感应强度大小为 的匀强磁场，该粒子恰好
能通过的中点；第二次只加沿轴负方向、电场强度大小为 的匀强电
场，该粒子恰好能通过 的中点；第三次同时加上与前两次等大的磁场
和电场，其中磁场方向不变，将电场方向调整为与平面平行，与 轴
正方向成 角、与轴正方向成 角.则( )
A.第一次和第二次该粒子在正方体内运动的时间相等
B.电场强度和磁感应强度的大小满足
C.第三次该粒子的运动为匀变速曲线运动
D.第三次该粒子离开正方体时的位置坐标为,,
√
√
[解析] 第一次粒子在磁场中运动，半径为，可知 ，
运动时间,第二次粒子在电场中运动，运动时间 ，故
，A错误；第二次运动中，粒子在 方向上做匀变速直线运动，
，解得，故有 ，B
错误；第三次运动过程中，带电粒子所受电场力
，洛伦兹力，在 平面内，
如图所示，沿轴方向有 ，
电场力沿轴的分量为 ,让粒子在 轴正向加速，故粒子的运动为从
点以速度沿轴正向做匀速直线运动以及沿 轴正向做匀加速直线运动
的合运动，即匀变速曲线运动，C正确；粒子在方向上有 ，
解得，方向上有， 方向
上的坐标为，故出射点坐标为 ，D正确.
叠加场中的摆线类问题
4.[2024·山东卷] 如图所示，在坐标系中，， 区域内充满垂
直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场.磁场中放置一长度为 的挡
板，其两端分别位于、轴上、两点， ，挡板上有一小
孔位于中点. 之外的第一象限区域存在恒定匀强电场. 位于
轴左侧的粒子发生器在 的范围内可
以产生质量为、电荷量为 的无初速度的粒
子.
粒子发生器与 轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，
粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小
孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力.
(1) 求使粒子垂直挡板射入小孔的加速电压 ；
[答案]
[解析] 根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔 的运动轨迹如图甲所示
根据几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
在 区域，根据洛伦兹力提供向心力有
在匀强加速电场中，由动能定理有
联立解得
(2) 调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔 射出后恰好做匀速直线
运动，求第一象限中电场强度的大小和方向；
[答案] 方向沿 轴正方向
[解析] 根据题意，作出粒子以最小的速度从小孔 射出的运动轨迹如图乙
所示
根据几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
在 区域，根据洛伦兹力提供向心力有
解得
粒子从小孔 射出后恰好做匀速直线运动，粒子带
正电，由左手定则可知，粒子经过小孔后受到的洛伦兹力沿 轴负方向，
则粒子经过小孔后受到的电场力沿轴正方向，故 之外第一象限
区域的电场强度沿 轴正方向.
电场力与洛伦兹力大小相等，即
联立解得
(3) 当加速电压为时，求粒子从小孔射出后，运动过程中距离 轴最
近位置的坐标.
[答案] ,其中,1,2,
[解析] 在匀强加速电场中，由动能定理有
其中
解得
在 区域，根据洛伦兹力提供向心力有
作出从小孔 射出的粒子的运动轨迹如图丙所示
粒子从小孔 射出时，由几何关系有
解得粒子在区域运动的轨迹半径
解得
利用配速法将粒子从小孔射出时的速度分解出沿轴方向的分量为 ，
根据第(2)问可知，粒子的一个分运动是以速度平行于 轴做匀速直线运
动，则粒子将以 的另一个分量为线速度做匀速圆周运动.
由于 ，所以分解出的两个分速度恰
好是沿轴正方向和沿 轴正方向，分别为
粒子做匀速圆周运动的半径为
周期为
粒子从小孔射出后转动个圆周时离 轴最近，运动时间
，其中,1,2,
此时粒子所在位置的横坐标为
纵坐标为
联立解得,,其中 ,
1,2,
即粒子在运动过程中距离 轴最近位置的坐标为
，其中,1,2,
叠加场中的螺旋线类问题
5.(多选)如图所示，截面半径为 的圆柱
形空腔位于三维坐标系 中，分为
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域. 的Ⅰ区域
内有沿轴正方向的匀强磁场；的Ⅱ区域内有沿 轴正方
向的匀强电场；Ⅲ区域内同时存在沿 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，
电场强度与Ⅱ区域相等.
现有一带电粒子从点 ，以大小为
的速度垂直磁场进入Ⅰ区域，经点
沿着 轴进入Ⅱ区域，然后经
过点,, 进入Ⅲ区域，粒子恰好未从圆柱腔的侧面射出，最终
从右边界上点 离开区域Ⅲ.已知粒子的质量为，电荷量为 ，
不计粒子重力，则 ( )
A.Ⅰ区域磁感应强度的大小
B.Ⅱ区域电场强度的大小
C.进入Ⅲ区域后粒子在 平面内分运动
是圆周运动，其周期
D.进入Ⅲ区域后做螺旋线运动，螺距
(相邻两螺旋线上对应点的距离)不相等
√
√
[解析] 粒子在Ⅰ区域 平面内做圆周运动，轨迹如图甲所示，根据几何
关系可知，根据洛伦兹力提供向心力有 ，可得Ⅰ区域磁
感应强度的大小，故A错误；粒子在Ⅱ区域 平面做类平抛运
动，轴方向有，轴方向有，加速度为 ，解得Ⅱ
区域电场强度的大小 ，故B错误；
甲
粒子在点沿轴方向的分速度为 ，粒子进入Ⅲ区域后在
平面做圆周运动，轨迹如图乙所示，由几何关系可知
，解得，其周期为 ，故C正确；
粒子进入Ⅲ区域后在平面做圆周运动，沿 轴做匀加速直线运动，故
粒子做螺旋线运动，螺距为 ，可得
，故D正确.
乙
作业手册
(限时40分钟)
1.(多选)[2025·四川成都模拟] 为竖直面内的
直角坐标系， 轴下方有垂直于坐标面向里的匀
强磁场，第Ⅲ象限还有平行于 轴的匀强电场，
如图所示.现有一质量为的带电油滴从 轴上方
的点以初速度 竖直向下抛出，运动
至点进入磁场区域，点到点的距离为.油滴恰好从点垂直于 轴进入
第Ⅲ象限，经过圆周从点垂直于轴进入第Ⅱ象限，点与点相距 ，
重力加速度为 ，依据上述数据，下列说法正确的是( )
A.油滴带负电
B.油滴在点的动能大小为
C.油滴做圆周运动时受到的洛伦兹力大小为
D.其他条件不变，增大油滴的初速度大小，油滴
在第Ⅲ象限仍然会做匀速圆周运动
√
√
√
[解析] 油滴从 点进入磁场后向左偏转，说明油滴受到向左的洛伦兹力，
根据左手定则可判断四指方向与油滴运动的方向相反，油滴带负电荷，故
A正确；从点到 点带电油滴做圆周运动，则电场力等于重力大小，由洛
伦兹力提供向心力，油滴在点的动能等于在点的动能，从点到 点，
由动能定理可得 ，解得油
滴在点的动能大小为 ，故B正确；
由洛伦兹力提供向心力得，油滴做圆周运动时受到的洛伦兹力大小
，故C错误；其他条件不变，增大油滴的初速度
大小，油滴在第三象限受到的电场力和重力大小仍然相等，油滴进入第三
象限还是与磁场垂直，油滴在第三象限仍然会做匀速圆周运动，故D正确.
2.(多选)[2025·湖北襄阳二模] 如图所示，在 坐标系内存在匀强磁场
和匀强电场，电场方向沿轴负方向，磁场方向沿 轴正方向.一电子从点
处沿轴正方向入射，其轨迹与轴的第1个交点的坐标为 . 已
知电子的比荷为，入射速度大小为 ，不计电子所受的重力，则 ( )
A.匀强磁场的磁感应强度大小
B.匀强电场的电场强度大小
C.电子轨迹与轴连续相邻交点的 坐标之比为
D.电子轨迹与轴连续相邻交点的 坐标之比为
√
√
[解析] 电子在电场力作用下，沿 轴正方向做初速度为0的匀加速直线运
动，在洛伦兹力的作用下，在 平面内做匀速圆周运动，由几何关系可
知，电子做圆周运动的半径为 ，由洛伦兹力提供电子做圆周运动的
向心力，有，解得 ，故A错误；
电子从入射到与轴的第1次相交过程经历的时间为，沿 轴方向
有，解得，故B正确；电子轨迹与 轴第1次相交后，
每隔时间再与轴相交，则第次与轴相交时，在
轴上有 ，故电
子轨迹与 轴连续相邻交点的坐标之比为
，故C正确，D错误.
3.(多选)[2024·安徽卷] 空间中存在竖直向下的
匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场
强度大小为，磁感应强度大小为.一质量为
的带电油滴，在纸面内做半径为 的圆周运动，
轨迹如图所示.当运动到最低点 时，瞬间分成
两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电荷量、质量均相同
在点时与的速度方向相同，并做半径为 的圆周运动，轨迹如图所
示的轨迹未画出. 已知重力加速度大小为 ，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、
Ⅱ分开后的相互作用，则( )
A.油滴带负电，所带电荷量的大小为
B.油滴做圆周运动的速度大小为
C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为 ，周期
为
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
√
√
√
[解析] 油滴 做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有
，解得 ，故A正确；根据洛伦兹力提供向心力有
，得，解得油滴 做圆周运动
的速度大小为 ，故B正确；设小油滴Ⅰ的
速度大小为，得 ，解得
，周期为 ，故
C错误；
带电油滴分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为，取油滴 分
离前瞬间的速度方向为正方向，得，解得 ，
由于分离后的小油滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速
度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ
沿顺时针方向做圆周运动，故D正确.
4.(多选)[2025·福建卷] 如图，真空中存在一水平向右的匀强电场，同时存在一
水平且垂直纸面向里的匀强磁场.一质量为、电荷量为 的带电微粒从
点以初速度入射，沿做直线运动.微粒到 点时撤去磁场，一段时间后微
粒运动到点.已知、、三点处于同一竖直平面内， 与电场方向夹角为
，点与点等高，重力加速度大小为 ，则 ( )
A.电场强度大小为
B.磁感应强度大小为
C.、两点间的电势差为
D.从点运动到点的过程中，微粒到直线
的最大距离为
√
√
[解析] 如图所示，带电微粒在点受重力、电场力和洛伦兹力
三个力作用，三个力平衡时微粒才能沿 做直线运动，根据力的平衡条
件可得,，，则、 ，故选项A错误，
选项B正确.
到点时撤去磁场，微粒在竖直方向上做竖直上抛运动，从点到 点的
运动时间为 ；水平方向上微粒做匀加速直线运动，
加速度为，水平位移 ，所以
，故选项C正确.当微粒竖直方向
的分速度为零时，到直线的距离最大，为 ，故选项D错误.
5.(多选)[2025·湖南长沙二模] 霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的
模型. 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，
电场强度大小为，磁感应强度大小为.质量为、电荷量为的电子从
点沿 轴正方向水平入射.改变速度大小，得到了如图甲、乙所示的两种轨
迹，则下列说法正确的是( )
A.若入射速度 ，电子的轨迹一定如图乙中虚线所示
B.只要入射速度，电子距离轴的最远距离都为
C.若入射速度 ，电子的轨迹一定如图甲中虚线所示，且当电子速度
为时，电子的纵坐标为
D.无论是图甲还是图乙，电子在运动过程中所受的合力大小均不变
√
√
[解析] 若入射速度为，则有 ，可知电场力和洛伦兹力平
衡，则电子将沿轴做匀速直线运动，若入射速度，将 分解为
和，电子的运动可以分解为沿 轴的匀速直线运动和速度为
的匀速圆周运动，图乙中最低点速度沿 轴负方向，则
，即 ，故A错误；
乙
只要入射速度，电子的运动均可以分解为沿 轴的匀速直线运动和
匀速圆周运动，距离轴的最远距离都为，入射速度 ，根据
可得 ，故B错误；电子运动过程中洛伦兹力不做功，
只有电场力做功，当电子入射速度为，运动到速度为 的过
程中，由动能定理得，解得 ，故C正
确；
无论是图甲还是图乙，电子的运动均可以分解为匀速直线运动和匀速圆周
运动，故电子所受的合外力大小均为电子做匀速圆周运动的向心力大小，
故D正确.
甲
乙
6.[2025·江西上饶二模] 如图所示，在真空坐标系第一、二象限区域Ⅰ中存
在一圆心坐标为、半径为 的圆形边界，其内部(不含其边界)存
在一磁感应强度大小为 、方向垂直于纸面向外的匀强磁场.第四象限
区域Ⅱ中存在着宽度为 垂直纸面向里磁感应强
度大小为的匀强磁场和沿 轴负方向电场强度
大小 的匀强电场.
在区域Ⅰ磁场边界最低点 点处有一个粒子源，该粒子源同一时刻向磁场区
域Ⅰ沿各个方向均匀发射大量速度大小、质量均为 、电荷量均
为 的同种带正电粒子，然后立即停止发射，这些粒子射出区域Ⅰ磁场时的
位置均分布在点右侧圆弧上点未标出 .不
计粒子的重力及粒子间的相互作用，并忽略磁场
的边界效应和运动时的电磁辐射.已知
， .求：
(1) 粒子在区域Ⅰ磁场中运动的半径与周期；
[答案]
[解析] 由牛顿第二定律可得
解得
又由
解得
(2) 点的坐标：
[答案]
[解析] 如图甲所示，由几何关系知
解得
粒子出区域Ⅰ时水平向右运动的距离为
A点距离轴的距离为
则点坐标为 .
(3) 从点射出的粒子在区域Ⅱ下边界飞出时横坐标的大小.(取 ，
结果中表达式的系数保留一位小数)
[答案]
[解析] 从点射出的粒子进入区域Ⅱ时速度方向与轴正方向的夹角为 ，
从点到区域Ⅱ水平向右运动的距离
进入区域Ⅱ后，先给粒子配一个水平向右的速度，要求满足
则
粒子的第一个分运动是以速度 水平向右匀速运动，
粒子配速后的速度如图乙所示
粒子的第二个分运动的速度由水平向左的 和初速
度 合成，所以粒子第二个分运动的速度大小为
即
设与轴负方向的夹角为 ，满足
解得
即粒子的第二个分运动是速率为 的匀速圆周运
动，洛伦兹力提供向心力有
解得
因为
则该圆周运动的圆心 恰好落在磁场区域Ⅱ下方边界
上
丙
因此，可以作出第二个分运动的示意图，如图丙所示
粒子第二个分运动结束时，离开磁场区域的速度恰好垂直于 轴，速度方
向偏转的角度恰好为
点相对点向左移动
粒子在磁场区域Ⅱ内圆周运动的时间
粒子第一个分运动在这段时间内向右运动的位移
所以，粒子从磁场区域Ⅱ下边界飞出时横坐标的大小
例1.C
例2.B
例3.(1)，方向沿轴正方向 (2) (3)

例4.A
例5.(1) (2) (3)
基础巩固练
1.ABD 2.BC 3.ABD 4.BC
综合提升练
5.CD 6.(1) (2) (3)专题二十　带电粒子在叠加场中的运动
例1　C　[解析] 带电粒子在电场中受到电场力F=qE,垂直于磁场方向运动故受到洛伦兹力F洛=qvB,若仅此二力,对正电荷受力分析,如图甲所示,因电场力有沿速度方向的分力,正电荷加速运动,则垂直于速度方向的合力不可能维持为零,不能维持直线运动,对负电荷受力分析,如图乙所示,同样因电场力沿速度反方向的分力的存在使其减速,则垂直于速度方向的合力不可能维持为零,不能维持直线运动,故A错误;由上述分析可知,存在重力,对正电荷受力分析如图丙所示,若qE cos α=mg sin α,则qvB=qE sin α+mg cos α可永远成立,对负电荷受力分析如图丁所示,因重力和电场力沿速度反方向的分力使其减速,则qvB+mg cos α=qE sin α不可能永远成立,不能维持直线运动,基于以上分析,粒子带正电荷,一定做匀速直线运动,并且电场力做正功,粒子电势能减少,故C正确,B、D错误.
例2　B　[解析] 设a、b的质量分别为m1和m2,b的速度为v0,因为带电体a处于静止状态,则有q1E=m1g,带电体b在竖直平面内做匀速圆周运动,则重力和电场力平衡,洛伦兹力提供向心力,有q2E=m2g,q2v0B=m2,a和b碰撞粘合在一起时,满足动量守恒,则有m2v0=(m1+m2)v共,a和b粘合在一起,总电荷量为q总=q1+q2,总质量为m总=m1+m2,仍满足电场力与重力平衡,即(q1+q2)E=(m1+m2)g,洛伦兹力仍提供向心力,带电体继续沿顺时针方向做匀速圆周运动,设轨迹半径为r',则有(q1+q2)v共B=(m1+m2),联立以上各式可得r'=r,故选B.
例3　(1)vB,方向沿z轴正方向　(2)　
(3)　
[解析] (1)由左手定则可知,带电粒子所受洛伦兹力沿z轴负方向,则由平衡条件可知,电场力沿z轴正方向,即电场强度沿z轴正方向,且有qE-qvB=0
解得E=vB
(2)作出粒子运动的轨迹,如图所示
根据几何关系有r2=(r-a)2+(2a)2
解得粒子运动的半径为r=a
由牛顿第二定律有qvB'=m
解得B'=
(3)由题意,电场力的一个分力沿z轴正方向平衡洛伦兹力,另一个分力沿y轴正方向提供类平抛运动加速度a0,如图所示
则由平衡条件,有qE1-qvB=0
由曲线运动规律有2a=vt,a=a0t2
其中a0=
解得E1=vB,E2=
则有E'==,tan θ==
例4　A　[解析] 开始时,粒子所受的合力大小F合=qE-qv0B=,方向竖直向下,则最初粒子的运动轨迹向下弯曲,取qE=qv1B,解得v1=>v0,则粒子实际的运动可看作以v1=向右的匀速直线运动和从O点出发的以v2=v1-v0=的逆时针方向运动的匀速圆周运动的合运动,由运动的合成和周期性知,粒子运动轨迹为周期性的摆线形状,故A正确,B、C、D错误.
例5　(1)l　　(2)　　
(3)2v0　
[解析] (1)粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律有qv0B1=m
解得r=l
根据周期公式得T=
解得T=
(2)粒子沿z轴方向做初速度为零、加速度为a的匀加速运动,根据牛顿第二定律可得qE1=ma
解得a=
粒子在垂直z轴的平面上做半径为l的匀速圆周运动,沿z轴负方向看如图所示
初速度方向沿y轴负方向的粒子打在接收屏前运动的时间最长,即tmax=T=
对应z坐标有最大值,有zmax=a=
由几何知识可得该点x坐标为-l,其对应的坐标为
初速度方向沿y轴正方向偏向x轴负方向30°角的粒子打在接收屏前运动的时间最短,为tmin==
对应z坐标有最小值,为zmin=a=
由几何知识可得该点x坐标为0,其对应的坐标为
(3)沿x轴负方向发射的粒子通过界面M时,垂直z轴方向的速度分量沿y轴正方向,大小为vy=v0
通过界面M前的运动时间为t==
通过界面M时的z坐标为z0=at2=
粒子沿z轴方向的速度vz=at=v0
将粒子刚进入Ⅱ区域的速度v分解为沿y轴正方向的分速度v1,和另一分速度v2,令v1所对应的洛伦兹力与电场力平衡,由平衡条件可得qv1B2=qE2
解得v1=v0
由平行四边形定则可得粒子的另一分速度v0沿z轴正方向,大小v2=v0
粒子的运动可看作以速度v1=v0沿y轴正方向做匀速直线运动和以速度v2=v0沿x轴负方向观察做顺时针匀速圆周运动的合运动.
粒子的z坐标最大时,v2与v1方向相同,对应的合速度最大,即vmax=2v0
粒子刚进入Ⅱ区域至达到最大速度时,在z方向上通过的距离等于粒子以v2做匀速圆周运动的半径r',则qv2B2=m
解得r'=l
所以粒子达到最大速度时的z坐标为z=+r'=专题二十　带电粒子在叠加场中的运动
1.ABD　[解析] 油滴从P点进入磁场后向左偏转,说明油滴受到向左的洛伦兹力,根据左手定则可判断四指方向与油滴运动的方向相反,油滴带负电荷,故A正确;从Q点到D点带电油滴做圆周运动,则电场力等于重力大小,由洛伦兹力提供向心力,油滴在D点的动能等于在Q点的动能,从A点到Q点,由动能定理可得Ek-m=mg·3d,解得油滴在D点的动能大小为Ek=4mgd,故B正确;由洛伦兹力提供向心力得,油滴做圆周运动时受到的洛伦兹力大小 F洛=qvB=m=4mg,故C错误;其他条件不变,增大油滴的初速度大小,油滴在第三象限受到的电场力和重力大小仍然相等,油滴进入第三象限还是与磁场垂直,油滴在第三象限仍然会做匀速圆周运动,故D正确.
2.BC　[解析] 电子在电场力作用下,沿z轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动,在洛伦兹力的作用下,在xOy平面内做匀速圆周运动,由几何关系可知,电子做圆周运动的半径为r=,由洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力,有ev0B=,解得B=,故A错误;电子从入射到与z轴的第1次相交过程经历的时间为t=×,沿z轴方向有L=×t2,解得E=,故B正确;电子轨迹与z轴第1次相交后,每隔2t时间再与z轴相交,则第n次与z轴相交时,在z轴上有Lz=×(n=1,2,3,…),故电子轨迹与z轴连续相邻交点的坐标之比为1∶32∶52∶72∶…,故C正确,D错误.
3.ABD　[解析] 油滴a做圆周运动,故重力与电场力平衡,可知带负电,有mg=Eq,解得q=,故A正确;根据洛伦兹力提供向心力有Bqv=m,得R=,解得油滴a做圆周运动的速度大小为v=,故B正确;设小油滴Ⅰ的速度大小为v1,得3R=,解得v1==,周期为T==,故C错误;带电油滴a分离前后动量守恒,设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2,取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向,得mv=v1+v2,解得v2=-,由于分离后的小油滴受到的电场力和重力仍然平衡,分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反,根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动,故D正确.
4.BC　[解析] 如图所示,带电微粒在M点受重力mg、电场力qE和洛伦兹力qvB三个力作用,三个力平衡时微粒才能沿MN做直线运动,根据力的平衡条件可得,qE=mg,qvB=mg,则E=、B=,故选项A错误,选项B正确.到N点时撤去磁场,微粒在竖直方向上做竖直上抛运动,从N点到P点的运动时间为t=2==;水平方向上微粒做匀加速直线运动,加速度为ax==g,水平位移dNP=vxt+axt2=,所以UNP=EdNP=,故选项C正确.当微粒竖直方向
的分速度为零时,到直线NP的距离最大,为ym==,故选项D错误.
5.CD　[解析] 若入射速度为v0=,则有ev0B=eE,可知电场力和洛伦兹力平衡,则电子将沿x轴做匀速直线运动,若入射速度v1>,将v1分解为v0=和v1-v0,电子的运动可以分解为沿x轴的匀速直线运动和速度为v1-v0的匀速圆周运动,图乙中最低点速度沿x轴负方向,则v1-v0>v0,即v1>,故A错误;只要入射速度v2≠,电子的运动均可以分解为沿x轴的匀速直线运动和匀速圆周运动,距离x轴的最远距离都为d=2r,入射速度v2≠,根据ev2B≠可得d≠,故B错误;电子运动过程中洛伦兹力不做功,只有电场力做功,当电子入射速度为v3=,运动到速度为v4=的过程中,由动能定理得eEy=m()2-m()2,解得y=,故C正确;无论是图甲还是图乙,电子的运动均可以分解为匀速直线运动和匀速圆周运动,故电子所受的合外力大小均为电子做匀速圆周运动的向心力大小,故D正确.
6.(1)1.5d　　(2)(2.4d,2.3d)　(3)7.0d
[解析] (1)由牛顿第二定律可得qv·B0=m
解得R=1.5d
又由T=
解得T=
(2)如图甲所示,由几何关系知sin α=
解得α=37°
粒子出区域Ⅰ时水平向右运动的距离为
Δx1=2Rcos α=2.4d
A点距离x轴的距离为Δy=2Rsin a+0.5d=2.3d
则A点坐标为(2.4d,2.3d).
甲
乙
(3)从A点射出的粒子进入区域Ⅱ时速度方向与x轴正方向的夹角为53°,从A点到区域Ⅱ水平向右运动的距离Δx2=Δytan 37°=1.725d
进入区域Ⅱ后,先给粒子配一个水平向右的速度v0,要求满足qv0B0=qE
则v0==
粒子的第一个分运动是以速度v0水平向右匀速运动,粒子配速后的速度如图乙所示
粒子的第二个分运动的速度由水平向左的v0和初速度v合成,所以粒子第二个分运动的速度大小为v1=
即v1=
设v1与x轴负方向的夹角为β,满足tan β=
解得β=53°
即粒子的第二个分运动是速率为的匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力有qv1B0=m
解得r=5d
因为rsin 37°=3d
则该圆周运动的圆心O2恰好落在磁场区域Ⅱ下方边界上
因此,可以作出第二个分运动的示意图,如图丙所示
丙
粒子第二个分运动结束时,离开磁场区域的速度恰好垂直于x轴,速度方向偏转的角度恰好为θ=37°
F点相对D点向左移动Δx3=r=d
粒子在磁场区域Ⅱ内圆周运动的时间Δt=·=
粒子第一个分运动在这段时间内向右运动的位移Δx4=v0Δt=×≈3.87d
所以,粒子从磁场区域Ⅱ下边界飞出时横坐标的大小x=Δx1+Δx2-Δx3+Δx4≈7.0d专题二十　带电粒子在叠加场中的运动
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存.
2.常见的几种运动形式
运动性质 受力特点
匀速直线运动 粒子所受的合力为0
匀速圆周运动 除洛伦兹力外,另外两力的合力为零,qE=mg
类平抛运动 电场分解为互相垂直方向的两个分量,一个方向满足qvB=qE1,粒子一运动为匀速直线运动,同时另一运动为初速度为零的匀加速直线运动,其合运动即为类平抛运动
一般的曲线 运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子的运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线
考向一　带电粒子在叠加场中的直线运动
例1　[2025·湖南常德模拟] 如图所示,竖直平面内,匀强电场的电场强度方向水平向右,匀强磁场方向垂直于纸面向里.一个带电粒子以某速度垂直磁场斜向右上方射入复合场中,恰好做直线运动,则下列关于粒子的受力及运动情况的说法正确的是 (　)
A.粒子可能只受电场力和洛伦兹力
B.直线运动过程粒子的电势能可能增加
C.粒子一定做匀速直线运动
D.粒子可能做匀减速直线运动
考向二　带电粒子在叠加场中的圆周运动
例2　[2025·辽宁本溪模拟] 如图所示,在某空间同时存在着互相正交的匀强电场和匀强磁场,电场的方向竖直向下.一带电体a带负电,电荷量为q1,恰能静止于此空间的c点,另一带电体b也带负电,电荷量为q2,正在过c点的竖直平面内做半径为r的匀速圆周运动,结果a、b在c处碰撞并粘合在一起,关于a、b粘合一起后的运动性质,下列说法正确的是 (　)
A.向左做匀速直线运动
B.顺时针继续做匀速圆周运动,半径为r'=r
C.顺时针继续做匀速圆周运动,半径为r'=r
D.以上说法都不对
考向三　带电粒子在叠加场中的类平抛运动
例3　[2025·重庆名校联考] 在某空间建立如图所示直角坐标系,并在该空间加上沿y轴负方向、磁感应强度大小为B的匀强磁场,和沿某个方向的匀强电场.一质量为m、带电荷量为+q(q>0)的粒子从坐标原点O以初速度v沿x轴正方向射入该空间,粒子恰好能做匀速直线运动,不计粒子重力的影响.
(1)求所加电场强度E的大小和方向.
(2)若撤去电场,并改变磁感应强度的大小,使得粒子恰好能够经过坐标为(2a,0,-a)的点,则改变后的磁感应强度B'为多大
(3)若保持磁感应强度B不变,将电场强度大小调整为E',方向调整为平行于yOz平面且与y轴正方向成某个夹角θ,使得粒子能够在xOy平面内做匀变速曲线运动,并经过坐标为(2a,a,0)的点,则E'和tan θ各为多少
※　叠加场中的摆线类问题
带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场(或重力场)中运动,若所受的洛伦兹力与电场力(或重力)不平衡而做曲线运动,则情境就会变得比较复杂,问题的焦点是洛伦兹力的大小和方向会不断地发生变化,粒子做的是较复杂的非匀变速曲线运动,这类问题的定量计算一般需要用到“配速法”.
常见情况 处理方法
初速度为0,有重力 把初速度分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v2,v1和v2大小相等,且满足qv2B=mg,则粒子的运动可看作以v2做匀速直线运动和以v1做匀速圆周运动的合运动
初速度为v0,有重力 把初速度v0分解为v1和v2,且满足qv1B=mg,则粒子的运动可看作以v1做匀速直线运动和以v2做匀速圆周运动的合运动
初速度为0,不计重力 把初速度分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v2,v1和v2大小相等,且满足qv2B=qE,则粒子的运动可看作以v2做匀速直线运动和以v1做匀速圆周运动的合运动
初速度为0,有重力 把初速度分解为一个斜向右上的速度v1和一个斜向左下的速度v2,v1和v2大小相等,且满足qv1B与重力及电场力的合力平衡,则粒子的运动可看作以v1做匀速直线运动和以v2做匀速圆周运动的合运动
例4　[2025·江西赣州二模] 在竖直平面内有xOy坐标系,空间存在垂直xOy平面向里的匀强磁场和竖直向下匀强电场,磁感应强度为B,电场强度为E,一电荷量为q的带正电粒子(重力忽略不计)从坐标原点以速度v0=沿x轴正方向开始运动,其轨迹可能为下列图像中的 (　)
A
B
C
D
[反思感悟] 　


※　叠加场中的螺旋线类问题
1.模型建立
如图甲所示,带正电粒子的初速度大小为v0,方向与匀强磁场方向间的夹角为θ.
分析:以磁场的方向为x轴正方向建立如图乙所示的三维直角坐标系,可以将初速度v0分解为vx=v0cos θ和vy=v0sin θ.粒子因有分速度vy而受到xOz平面内的洛伦兹力,在x轴方向上不受力.粒子在x轴方向上以速度vx做匀速直线运动,在yOz平面内以速度vy做匀速圆周运动,这两个分运动是相互垂直的,其合运动的轨迹类似于弹簧(如图丙所示),这种运动称为等距螺旋线运动.
2.模型拓展
如图丁所示,在上述模型中加入与匀强磁场相同的匀强电场,则粒子在x轴方向上不受洛伦兹力,只受静电力.粒子在x轴方向上做初速度为vx、加速度为的匀加速直线
运动;在yOz平面内仍做匀速圆周运动.其合运动的轨迹为不等距螺旋线.
例5　[2025·辽宁沈阳二模] 如图所示,空间直角坐标系Oxyz中有一与xOz面平行的界面M将足够大的空间分为Ⅰ、Ⅱ两个区域,界面M与y轴交点坐标为(0,l,0)且界面M上有一足够大的接收屏(未画出).在O点存在一粒子源,仅在xOy平面内沿各个方向均匀发射速率为v0、电荷量为+q(q>0)、质量为m的粒子.Ⅰ区域存在沿z轴正方向、磁感应强度大小B1=的匀强磁场,Ⅱ区域存在沿x轴正方向、磁感应强度大小B2=B1的匀强磁场和电场强度方向沿z轴正方向、大小为E2=的匀强电场,不计粒子重力及粒子间的相互作用,不考虑相对论效应.
(1)求粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动的半径r和周期T;
(2)若在Ⅰ区域再加一个沿z轴正方向、场强大小E1=的匀强电场(未画出),求粒子打到接收屏上的点的z坐标最大和最小时,点在坐标系Oxyz中的坐标;
(3)若O点发射源只沿x轴负方向发射该种粒子,Ⅰ区域仍存在沿z轴正方向、场强E1=的匀强电场(未画出),撤去接收屏,求粒子进入Ⅱ区域后能够达到的最大速率和速率最大时的z坐标.专题二十　带电粒子在叠加场中的运动 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(多选)[2025·四川成都模拟] xOy为竖直面内的直角坐标系,x轴下方有垂直于坐标面向里的匀强磁场,第Ⅲ象限还有平行于y轴的匀强电场,如图所示.现有一质量为m的带电油滴从x轴上方的A点以初速度v0=竖直向下抛出,运动至P点进入磁场区域,A点到P点的距离为d.油滴恰好从Q点垂直于y轴进入第Ⅲ象限,经过圆周从D点垂直于x轴进入第Ⅱ象限,D点与O点相距2d,重力加速度为g,依据上述数据,下列说法正确的是 (　)
A.油滴带负电
B.油滴在D点的动能大小为4mgd
C.油滴做圆周运动时受到的洛伦兹力大小为3mg
D.其他条件不变,增大油滴的初速度大小,油滴在第Ⅲ象限仍然会做匀速圆周运动
2.(多选)[2025·湖北襄阳二模] 如图所示,在O xyz坐标系内存在匀强磁场和匀强电场,电场方向沿z轴负方向,磁场方向沿z轴正方向.一电子从点(L,0,0)处沿y轴正方向入射,其轨迹与z轴的第1个交点的坐标为(0,0,L).已知电子的比荷为k,入射速度大小为v0,不计电子所受的重力,则 (　)
A.匀强磁场的磁感应强度大小B=
B.匀强电场的电场强度大小E=
C.电子轨迹与z轴连续相邻交点的z坐标之比为1∶32∶52∶72∶…
D.电子轨迹与z轴连续相邻交点的z坐标之比为1∶22∶32∶42∶…
3.(多选)[2024·安徽卷] 空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B.一质量为m的带电油滴a,在纸面内做半径为R的圆周运动,轨迹如图所示.当a运动到最低点P时,瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ,二者带电荷量、质量均相同.Ⅰ在P点时与a的速度方向相同,并做半径为3R的圆周运动,轨迹如图所示.Ⅱ的轨迹未画出.已知重力加速度大小为g,不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用,则 (　)
A.油滴a带负电,所带电荷量的大小为
B.油滴a做圆周运动的速度大小为
C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为,周期为
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
4.(多选)[2025·福建卷] 如图,真空中存在一水平向右的匀强电场,同时存在一水平且垂直纸面向里的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电微粒从M点以初速度v入射,沿MN做直线运动.微粒到N点时撤去磁场,一段时间后微粒运动到P点.已知M、N、P三点处于同一竖直平面内,MN与电场方向夹角为45°,N点与P点等高,重力加速度大小为g,则 (　)
A.电场强度大小为
B.磁感应强度大小为
C.N、P两点间的电势差为
D.从N点运动到P点的过程中,微粒到直线NP的最大距离为
5.(多选)[2025·湖南长沙二模] 霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型.xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B.质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射.改变速度大小,得到了如图甲、乙所示的两种轨迹,则下列说法正确的是 (　)
A.若入射速度v1>,电子的轨迹一定如图乙中虚线所示
B.只要入射速度v2≠,电子距离x轴的最远距离都为d=
C.若入射速度v3=,电子的轨迹一定如图甲中虚线所示,且当电子速度为v4=时,电子的纵坐标为y=
D.无论是图甲还是图乙,电子在运动过程中所受的合力大小均不变
6.[2025·江西上饶二模] 如图所示,在真空坐标系第一、二象限区域Ⅰ中存在一圆心坐标为(0,3d)、半径为2.5d的圆形边界,其内部(不含其边界)存在一磁感应强度大小为B0、方向垂直于纸面向外的匀强磁场.第四象限区域Ⅱ中存在着宽度为3d垂直纸面向里磁感应强度大小为B0的匀强磁场和沿y轴负方向电场强度大小E=的匀强电场.在区域Ⅰ磁场边界最低点P点处有一个粒子源,该粒子源同一时刻向磁场区域Ⅰ沿各个方向均匀发射大量速度大小v=、质量均为m、电荷量均为q的同种带正电粒子,然后立即停止发射,这些粒子射出区域Ⅰ磁场时的位置均分布在P点右侧PA圆弧上(A点未标出).不计粒子的重力及粒子间的相互作用,并忽略磁场的边界效应和运动时的电磁辐射.已知sin 53°=0.8,cos 53°=0.6.求:
(1)粒子在区域Ⅰ磁场中运动的半径与周期;
(2)A点的坐标:
(3)从A点射出的粒子在区域Ⅱ下边界飞出时横坐标的大小.(取π=3.14,结果中表达式的系数保留一位小数)

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