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模拟押题练 2026年内蒙古通辽市初中数学中考复习备考
一、单选题
1．刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为，由此可推算图2中计算所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．米斗是古代粮仓必备的粮食量器．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度），如图2所示，则其主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
4．下面是嘉嘉同学的数学作业，请问嘉嘉作对题目的个数为（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图是某通道的部分通行路线示意图，若从入口驾车进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则从口驶出的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将任意，沿所在直线翻折，使点A落到点D处，若使四边形为菱形，则需补充的条件为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，取两根木条，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型．转动木条，当增大时，则下列说法正确的是（ ）
A．减小 B．减小 C．增大 D．与的和不变
8．已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，，．甲、乙两人想在外部取一点，使得与全等，其作法如下：
甲：①作的角平分线．
②以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求．
乙：①过作平行的直线．
②过作平行的直线，交于点，则即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
10．如图，不完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
11．如图，把等边纸片沿折叠，若，则是（ ）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系中，已知点，，抛物线，当L与线段有公共点时，t的取值范围是（ ）
A． B．或
C．， D．
二、填空题
13．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点，，，，都在格点（小正方形的顶点）上，和所在圆的圆心均为点，则阴影部分的面积为______．
15．将一块含角的三角板按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点在轴上．反比例函数的图象恰好经过点，且，若，则的值为_____．
16．如图是的中位线，E是的中点，，则的值为______．
三、解答题
17．求不等式组的解集．
解：解不等式①，得：__________________．
解不等式②，得：__________________．
在同一数轴上表示不等式①②的解集：
∴原不等式组的解集为__________________．
18．如图，在四边形中，，点在对角线上．
(1)尺规作图：在边上截取，连接、，在上方作交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）所作的图形中，求证四边形是平行四边形．
证明：∵，
①_________，
在与中
，
，
，，
，
即③_________，
又④_________，
四边形是平行四边形．
19．5月25日是全国心理健康日（谐音“我爱我”），某校开展了心理健康知识测评活动，现从七、八年级中各随机抽取15名学生的测评得分（得分越高表明该学生目前心理健康状况越好，分数为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（单位：分，所有分数均不低于70，用表示，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级15名学生的测评得分：73，74，80，80，81，83，84，85，88，88，88，91，92，93，95
八年级15名学生的测评得分在C组中的数据：86，86，87，88，88，89，89，89
七、八年级所抽取学生测评得分统计表
年级 七年级 八年级
平均数 85 85
中位数 85
众数 89
八年级所抽学生测评得分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中_________，_________，_________．
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的心理健康状况较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
(3)该校七年级有学生450人，八年级有学生600人，请估计该校七、八年级参加此次心理测评活动得分不低于85分的学生人数共有多少？
20．先化简，再求值：，其中．
21．列方程解应用题：随着夏日露营火爆，某工厂推出一种便携露营套装，每个套装包含5个折叠水杯和12个一次性餐盒．该工厂有28名工人进行生产制作，每名工人每小时可制作15个折叠水杯或20个一次性餐盒．
(1)若该工厂每小时生产的折叠水杯、一次性餐盒恰好全部配成露营套装，应分别安排多少名工人制作折叠水杯、一次性餐盒？
(2)露营套装包装成套后，工厂需核实每个套装的成本，从而制定其售价，定价人员发现，用144元制作一次性餐盒的数量与用216元制作折叠水杯的数量相等，已知每个一次性餐盒的成本比每个折叠水杯成本少0.6元，每个套装的包装成本为0.6元，求每套露营套装的成本价格．
22．如图1，在矩形中，，，对角线，相交于点，动点以每秒个单位长度的速度从出发，沿方向运动，动点以每秒1个单位长度的速度从出发，沿方向运动，点、同时出发，当点到达点时，点、均停止运动，过点作交于点，垂足为点，连接，设动点的运动时间为秒，点与点的距离为，的面积为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)在图2的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
23．如图，在某海域有，，，四个小岛，在的正东方向，在的北偏东方向，在正北方向，在的北偏西方向距离海里处，且在的西北方向．（参考数据：，）
(1)求，两岛之间的距离．（结果保留根号）
(2)渔船甲从处出发沿着方向航行且行至处停止，渔船乙从处出发沿着方向航行，甲、乙两船同时出发且速度之比为，在两船行驶过程中，当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，甲船距离处多少海里？（结果保留一位小数）
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线与轴交于点，．
(1)求抛物线解析式；
(2)已知点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，点是直线上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点是点的对应点，点是新抛物线上的一点，若，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
25．在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接．
(1)如图1，点、分别在线段、上，连接，，满足，若，求的度数（用的代数式表示）；
(2)如图2，在（1）的条件下，点在射线上，连接并延长至点，使，连接．满足，，请用等式表示，，之间的数量关系并证明；
(3)如图3，，点为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得到，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A C A A A D D
题号 11 12
答案 A B
1．C
【分析】根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案．
本题主要考查了有理数的加法，正数和负数，掌握有理数的加法运算法则是关键．
【详解】解：由题意得：，
故选：C．
2．D
【详解】解： 从正面看，只能看到其前侧面， 前侧面是一个上底长、下底短的梯形 ，
其主视图是一个上底长、下底短的梯形，
观察各选项，只有D选项符合题意．
3．C
【分析】计算各选项结果即可判断出正确答案．
【详解】解：选项A：，
A错误；
选项B： ，
B错误；
选项C：，
C正确；
选项D：，
D错误．
4．A
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出结果．
【详解】解：①与不是同类二次根式，不能合并，故①不正确；
②，故②不正确；
③，故③正确；
④，故④不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式，熟练运用二次根式的运算法则是解题的关键．
5．C
【分析】根据概率所求情况数与总情况数之比求解即可．
【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，赛车最终驶出的点共有、、、四个，
所以，最终从点H驶出的概率为．
6．A
【分析】根据轴对称与菱形的判定逐一分析即可．
【详解】解：由翻折可得：，，
添加，
∴，
∴四边形是菱形，故A符合题意；
补充，是重复条件，得不到四边相等，
补充得不到四边相等，
故B，C，D不符合题意．
7．A
【分析】本题考查对顶角和邻补角，根据对顶角得到，，邻补角得到，根据增大，结合角的关系，进行判断即可．
【详解】解：由图可知：，，，
∴当增大时，增大，减小，与的和减小，
故正确的只有选项A．
故选A．
8．A
【分析】根据方程有两个异号的实数根结合二次项系数非0，即可得出，，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合二次项系数非0得出关于k的不等式是解题的关键．
【详解】由题意得，，
解得：．
由条件可知，
解得．
的取值范围为．
故选：A．
9．D
【分析】根据题意，画出图形，逐一进行判断即可．
【详解】解：甲：如解图①，
∵，
∴，
∴，由甲的作法可知，，
故和不可能全等，
故甲的作法错误；
乙：如解图②，
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴乙的作法是正确的．
10．D
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据数轴得出，解不等式求出的取值范围，即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
【详解】解：由数轴可知，
解得：
的值可以是
故选：D．
11．A
【分析】根据折叠的性质可得，结合平角的定义和图形中角的关系求出的度数，再利用三角形的外角性质或内角和定理求出的度数．
【详解】解：由折叠的性质可知，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是的外角，
，
，
．
故选：A．
12．B
【分析】线段上所有点横坐标均为，纵坐标满足，由抛物线与线段有公共点结合图象求解即可．
【详解】解：∵ 点，，
∴ 线段上所有点横坐标为，且．
∵ 抛物线与线段有公共点，如图，

当抛物线过时，
∴，
解得：或，
当抛物线过时，如图，

∴，
解得：或，
∵抛物线，L与线段有公共点，
∴或．
13．0
【分析】把代入一元二次方程可以得到关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．
【详解】解：把代入一元二次方程，
得：，
解得，
故答案是：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解，为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟悉相关性质是解题的关键．
14．
【分析】由图形可知，借助网格求出扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求出结果．
【详解】解：由图可知，
，，，
在和中，，
∴，
，
．
15．/
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含特殊角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点A作轴于点E， 过点D作轴于点F，证明，，可得，，即，，继而求出，则，根据，即可解答．
【详解】解：过点A作轴于点E， 过点D作轴于点F，如图，
∵，，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
故答案为
16．
【分析】先结合中位线的性质得，，，再根据中点的性质以及线段和差关系得，再证明，整理，得出，然后过点E作于点K，运用，证明为等腰直角三角形，再运用勾股定理列式计算得，，最后把数值代入计算，即可作答．
【详解】解：设，
∵是的中位线，
∴，，，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
如图，过点E作于点K，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
17．，，，
【详解】略．
18．(1)根据题意画出图形如下：
(2)，，，
【分析】（1）以点为圆心，线段长为半径画弧交于点，连接、，以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，交于点，以点为圆心，相同的半径画弧交于点，以点为圆心，线段为半径画弧交于点，连接并延长交于点，连接；
（2）由平行线的性质可得，再证明得出，，从而得出，进而得出，再结合平行四边形的判定定理即可得证．
【详解】（1）略
（2）证明：∵，
①，
在与中
，
，
，，
，
即③，
又④，
四边形是平行四边形．
19．(1)87，88，48
(2)八年级学生的心理健康状况较好；理由是：
从中位数的角度看，八年级成绩的中位数87分大于七年级成绩的中位数85分；
或从众数的角度八年级成绩的众数89分大于七年级成绩的众数88分；
(3)640人
【分析】（1）先确定八年级学生在A组的人数，进而可求出B、D两组的总人数，即可求出m，再根据中位数和众数的定义求出a、b；
（2）在平均数相同的情况下，从中位数或众数的角度分析；
（3）利用样本估计总体的思想求解即可．
【详解】（1）解：八年级学生在A组的人数为，
则八年级学生在B、D两组的人数共有（人），
又因为B、D两组在扇形统计图中的圆心角相等，
所以B、D两组各有2人，
∴；
∵，
∴八年级测评得分的中位数在C组，且为87，即；
七年级学生的测评得分中，88出现的次数最多，为3次，
∴七年级得分的众数是88，即；
（2）解：八年级学生的心理健康状况较好；理由略；
（3）解：七年级抽取的15人中成绩不低于85分的有8人，八年级抽取的15人中成绩不低于85分的有10人，
，
答：估计该校七、八年级参加此次心理测评活动得分不低于85分的学生人数共有640人．
20．，
【分析】先根据整式的混合运算法则和分式的混合运算法则进行化简，再根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质求出的值，代入化简后的式子计算即可得出结果．
【详解】解：
，
，
原式．
21．(1)应安排10名工人制作折叠水杯，18名工人制作一次性餐盒
(2)每套露营套装的成本为24元
【分析】（1）设安排名工人制作折叠水杯，则安排名工人制作一次性餐盒，根据“该工厂每小时生产的折叠水杯、一次性餐盒恰好全部配成露营套装”列出一元一次方程，解方程即可得出结果；
（2）设每个一次性餐盒的成本为元，则每个折叠水杯的成本为元，根据“用144元制作一次性餐盒的数量与用216元制作折叠水杯的数量相等”列出分式方程，解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：设安排名工人制作折叠水杯，则安排名工人制作一次性餐盒，
由题意可得，
解得，
则（人），
∴应安排10名工人制作折叠水杯，18名工人制作一次性餐盒；
（2）解：设每个一次性餐盒的成本为元，则每个折叠水杯的成本为元，
由题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴（元），
（元），
故每套露营套装的成本为24元．
22．(1)；
(2)函数图象如图：
函数的一条性质为：函数的图象关于直线对称（答案不唯一）
(3)当时，的取值范围为或
【分析】（1）求得，，，，根据三角形的面积公式即可求得；分两种情况讨论可求得；
（2）列表、描点，连线即可画出函数图象；
（3）结合函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
当时，；
当时，；
综上，；
（2）解：列表：
0 2 4 6 8
5 0 5
0 4.5 6 4.5 0
画图略；
函数的一条性质为：函数的图象关于直线对称（答案不唯一）；
（3）解：观察图象得，当时，的取值范围为或．
23．(1)，两岛之间的距离为海里．
(2)当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，甲船距离处海里
【分析】（1）过点作，交延长线于，根据方向角的定义，利用三角函数求出，，利用线段的和差关系即可求出；
（2）过点作于，得出四边形是正方形，，利用三角函数求出，，根据平行线的性质得出，得出当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，乙船在上，再根据速度比得出路程比为，设，则，，过点作于，利用三角函数求出，，即可得出，利用勾股定理列方程求出的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于，
由题意可知，，，，海里，
∴（海里），（海里），
∴（海里），
∴（海里），
答：，两岛之间的距离为海里．
（2）解：如图，过点作于，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴（海里），
由题意得，，
∴，，
∴（海里），（海里），
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，乙船在上，
分别用点、表示甲船、乙船，
∵甲、乙两船同时出发且速度之比为，
∴两船的路程之比为，
∴设，则，，
过点作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
当时，（舍去），
当时，（海里），即（海里），
∴当两船之间的距离与乙船行驶的路程相等时，甲船距离处海里．
24．(1)
(2)，的最小值为
(3)解：点的坐标为或，求解过程如下：
如图，将射线上的点沿射线方向平移个单位长度得到点，过点作轴，过点作于点，
则，，
∴，
∴，，
∴在中，，，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，可以看作是将抛物线先向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，即，
∵平移后，点是点的对应点，
∴，即，
∴是一个钝角；且轴，，
如图，过点作，交延长线于点，过点作轴于点，
∴，，
∴在中，，
∵，
∴，即，
∴，
由题意，设点的坐标为，
∴，，
在中，，即，
∴或，
解得或（舍去）或或（舍去），
当时，，则此时点的坐标为；
当时，，则此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式，再延长，交轴于点，过点作轴于点，连接，分别求出，利用二次函数的性质求最小值，进而可得点的坐标，然后求出，利用两点之间线段最短、垂线段最短求解即可；
（3）先求出新抛物线的解析式和点的坐标，进而可得是一个钝角，再根据正切的定义建立方程，解方程即可．
【详解】（1）解：将，代入抛物线的解析式得：，
解得，
所以抛物线的解析式为．
（2）解：将代入函数得：，
∴，
∵，
∴直线与轴交于点，，
∴，，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
由题意，设点的坐标为，则点的坐标为，
则，
如图，延长，交轴于点，过点作轴于点，连接，
∵轴，轴轴，
∴轴，
∴，
在中，，
∴，，
又∵，轴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，
此时，
∴点的坐标为．
在中，，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为．
（3）解：略．
【点睛】本题综合性较强，涉及到胡不归模型、二次函数图象的平移问题．
25．(1)
(2)，，之间的数量关系为，
证明：延长、交于点，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即为的中点，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点逆时针旋转到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
(3)
【分析】（1）先求出，再结合三角形内角和定理可得，由求出，最后再由平角的定义计算即可得出结果；
（2）延长、交于点，过点作交于点，导角得出，由等腰对等角并结合题意得出，证明，得出，即为的中点，由直角三角形的性质求出，再证明，得出，，，最后再证明，得出，即可得证；
（3）求出，，，由旋转的性质可得，，从而可得点在直线上运动，且，由折叠的性质可得，，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，由轴对称的性质可得，，，求出，，，作交的延长线于，则，，，由勾股定理可得，连接，交直线于，交于点，当点、、在同一直线上时，的值最小，为，连接，作于点，则，证明，求出，最后由三角形的面积公式计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，，之间的数量关系为，
证明略；
（3）解：∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，，
∵点为直线上一动点，且，
∴当点在的中点时，如图中的，由（2）可得此时点在的延长线上，且，作直线，
∴垂直平分，
∴，，
当点与点重合时，如图中的点，此时，，
∴，
∴，
∴，
∴，即点为的中点，
∴点在直线上，即点在直线上运动，且，
∵将沿所在直线翻折到所在平面内，得到，
∴，，
∵点为直线上一动点，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
由轴对称的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，，
作交的延长线于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴连接，交直线于，交于点，当点、、在同一直线上时，的值最小，为，
连接，作于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【点睛】全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；相似三角形的对应边成比例；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
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