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2026年惠安县初中学业模拟试卷（二）
数 学 试 题
（试卷满分:150分；考试时间:120分钟）
友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效.
学校 姓名 考生号____________________
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．实数的绝对值是
A．2026 B． C． D．
2．右图是我们日常生活中常见的“空心卷纸”，从正面看，它的主视图为
A. B. C. D.
3．满足不等式组的解是
A． B． C．1 D．5
4．小红、小明都学会了运用“豆包”与“DeepSeek”人工智能软件辅助学习.若两人要选用其中一种软件修订《入团申请书》，假设两人选择每个软件的可能性相同，则两人运用不同软件的概率为
A．1 B． C． D．
5．下列计算正确的是
A．x2+x2=x4 B．x3·x9=x27 C．x6÷x2=x3 D．(2x2)3=8x6
6．人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长AB，AC都为2m，∠ABC=θ，
人字梯顶端A离地面BC的高度是
A．2m cosθ B．m cosθ
C．2m sinθ D．m sinθ
7．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD中，若点E是CD边的中点，连接BE交对角线AC于
点F．已知，则CF的长为
A． B．2 C． D．3
9．设抛物线y=x2 2mx+m2 1的顶点为P，与x轴分别交于A、B两点，判定△PAB的形状是
A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
10．如图1是以AB为直径的半圆形纸片，半径，AB=4a. 若沿半径OC剪开，并将扇形OAC沿着OB向右平移至扇形O′A′C′位置（如图2所示），设O′C′与的交点D，∠OCD=60 ，则线段A′O的长为
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．的立方根是　 　．
12．近年来，我国以风电、太阳能发电为主的新能源发电装机规模达到14.5亿千瓦，超过火电装机规模．用科学记数法，将数据1450000000表示为_______________．
13．如图所示，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光
线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的
焦点．若∠1=22°，∠2=32°，则∠3=　 　．
14．生活中的有些密码，可以用数学的“因式分解”来生成.例如，把多项式，因式分解为，当x=10时，求得各因式的值分别为20、11、11，将这三个数值按从小到大排列，生成六位数密码“111120”．用上述方法，把多项式进行因式分解，当x=12时，可以生成的密码是_______________．
15．节约用水已成为每位公民的自觉行动.某市规定，居民生活用水按三档分段计价.第一段：每户每月用水不超过Am3，水价为2.91元/m3；第二段：每户每月用水超过Am3但不超过Bm3，超过部分水价按3.71元/m3计算；第三段：每户每月用水超过Bm3，超过部分按6.11元/m3计算.已知小明家上月用水20m3并没有超过Bm3，缴纳水费59.80元．问第一段用水量A的值为 m3．
16．如图，在 ABCD中，AB=4a，AD=5a．以点A为圆心，AB长为半径画弧，
交AD于点P，再分别以点B，P为圆心，大于的长为半径画弧，两
弧交于点Q，作射线AQ，交BC于点H，则的值是　 　．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：．
18．（8分）先化简，再求值：，其中．
19．（8分）如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F.
求证：BF=2AD．
20．（8分）为贯彻落实《健康中国行动（2019～2030）》规划，引导青少年养成健康的生活方式.某中学初三年级开展了为期4周的“科学减重”干预计划行动，并对参与学生进行数据追踪.
信息一：从参与学生中随机抽取了20名，统计了他们干预前的体重情况，如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各人的实际体重数据，绘制了如下频数分布表：
体重（kg） 60 ≤ x < 65 65 ≤ x < 70 70 ≤ x < 75 75 ≤ x < 80
人数（人） 4 8 6 2
信息二：若男生甲和男生乙干预前的体重均为上表中数据的平均值．在4周干预期内，如实记录了
这两人每周的减重量（单位：kg），具体数据如下：
男生甲：1.0，1.5，1.5，2.0； 男生乙：0.5，1.0，2.0，2.5．
根据相关信息，解答下列问题：
（1）求这20名学生干预前的平均体重；
（2）根据医学建议，该年龄段男生干预后的健康体重标准为64 kg.试判断甲、乙两位男生是否达到了
健康体重标准？
（3）从健康科学的角度出发，若欲从甲、乙两人中推荐一名作为该校“科学减重标杆”，你认为推荐
谁较为合适？请说明理由．
21．（8分）某村合作社为振兴乡村经济，承包荒山种植百亩特色蜜柚．由于果树生长特性，项目初期需要投入大量的人力物力进行养护与培植，直至果树成熟与创收，所以经历了从亏损到盈利的发展过程．如图是该项目年利润 y（万元）与种植时间 x（年）之间关系的二次函数图象（部分）．
（1）求年利润y（万元）与种植时间x（年）之间的函数关系式，并说明从哪一年开始，该合作社
扭亏为盈；
（2）问该合作社第8年利润比上一年增加了多少万元？
22．（10分）如图所示的方格图中的小正方形边长均为1，点P，A均是格点．直线PA与△ABC的外接圆相切于点A，交射线BC于点M，已知AB=BC.
（1）用无刻度的直尺，按要求在方格图中作图：
①画出△ABC的外接圆的圆心O；
②画出⊙O的切线CN，交射线BA于点N．
（2）在（1）的条件下，连结MN．
试证明：△AMN是等腰三角形．
23．（10分）问题探究
定义：对于一个函数，若存在自变量x0，对应的函数值也等于x0，则称点(x0，x0)为该函数图象上的一个“不动点”．例如：对于一次函数y=-3x+2，当时，，则点为该函数图象上的一个“不动点”．请你尝试探究下面问题．
（1）对于反比例函数，求当满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？
（2）已知二次函数（m为常数）．
①求证：无论m取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”；
②若点和点是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段PQ的长是否与m
的取值有关？
24．（13分）依据下面的素材，完成表格中的任务．
提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？
调研项目 调查1：“柑橘完好率”调查 采购的总质量m（kg）50100200400500完好柑橘的质量n（kg）44.590.1180.5360.8450.5柑橘完好的频率0.890.9010.9030.9020.901
调查2：①柑橘在生产地的采购价为9元/kg；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价x（元/kg）与采购的总质量m（kg）之间的关系满足m+100x=3000（0＜m≤2000）．
任务一 （分析） （1）可以估计柑橘完好的概率约为　 　（精确到0.1）； （2）在（1）的条件下，用1800元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？ （注：损坏的柑橘不得销售）
任务二 （决策） （3）若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得9000元的总利润，则应采购多少kg 的柑橘？售价应定为多少元/kg？
25．（13分）如图，已知 ABCD中，AB=6，AD=8，∠BAD=60°，点P，Q分别是边AB，AD上的动点，且满足AQ=2BP．
（1）求当BP=　 　时，△APQ是等边三角形；
（2）若点H为PQ的中点，连接BH，CH．
①当△BCH的面积等于12时，试求线段BP的长；
②探究线段BH+CH之和的最小值．
2026年惠安县初中毕业班质量监测
数学试题 参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．A 2．C 3．C 4．C 5．D 6．C 7．D 8．B 9．B 10．C
二、填空题（每小题4分，共24分）
11． 12．1.45×109 13．54 14．111213 15．18 16．
三、解答题（共86分）
17．（8分）计算：．
解：原式=
=
18．（8分）先化简，再求值：，其中．
解：原式=
=
=
当时，
19．（8分）
证明：在平行四边形ABCD中
AD=BC，AD∥BC
即AD∥CF
∴∠F=∠2，∠D=∠1
又点E是边CD的中点
∴CE=DE
在△ECF与△EDA中
∴△ECF≌△EDA
则CF=AD
∴CF=BC
又BF=BC+CF=2BC
∴BF=2AD
（注：其他证明方法可参照以上的评分标准）
20．（8分）
解：（1）
=
=69（kg）
答：这20名学生干预前的平均体重是69kg
（2）甲干预后的体重为：=63＜64
乙干预后的体重为：=63＜64
答：甲、乙两位男生均未达到健康体重标准
（3）推荐男生甲；理由：体重要稳步平缓减重，对身体健康较好；而快速断崖式减重，身体负担重，不利于健康，因此选男生甲
21．（8分）
解：（1）设二次函数解析式为
由图象知：，，是对应抛物线上的三点
∴，解得
即利润 y与种植时间 x之间的函数关系式为
令y=0，即
解得，
∴到第四年末盈利为0元
结合图象知，从第五年开始合作社开始扭亏为盈
（2）由（1）知抛物线解析式为
当x=6时，
当x=7时，
当x=8时，
∴第7年时，该合作社的单月利润是万元
第8年时，该合作社的单月利润是万元
则第8年利润比上一年增加万元
22．（10分）
（1）①如图所示点O为所作的圆心 ②如图所示CN为所作的⊙O的切线
（2）如图，由等腰△ABC、⊙O、切线AM与切线CF的轴对称性质
可得BN=BM、BD⊥MN
则∠BNM=∠BMN，∠BDM=90
∵PA是⊙O的切线
∴∠OAF=90
又∠AFO=∠DFM
∴180 -∠OAF-∠AFO=180 -∠BDM-∠DFM
即∠AOF=∠DMF
∵∠AOF=∠OBA+∠OAB
且∠OBA=∠OAB，∠OBA=∠OBC
∴∠AOF=∠OBA+∠OBC=∠ABC
∴∠ABC=∠DMF，即∠MBN=∠AMN
又∠MNB=∠ANM
∴△MNB∽△ANM
即∠MAN=∠BMN
∴∠MAN=∠BNM，即∠MAN=∠MNA
∴△AMN是等腰三角形
（注：其他解法可参照以上的评分标准）
23．（10分）
解：（1）设反比例函数图象上存在“不动点”
则，即
∴当k满足为正数时，该函数图象上存在“不动点”
（2）①若是二次函数图象上的点
则
即
∵
∴以上方程有两个不等实根
即该二次函数的图象上总有两个“不动点”
②由①得方程的两根，满足
∴
=
=
=
即线段PQ的长是否与m的取值有关
24．（13分）
（1）0.9
解：（2）依题意得1800元采购的柑橘的总质量m=1800÷9=200（kg）
∴200+100x=3000，即售价x=28（元）
又实际销售柑橘质量为200×0.9=180（kg）
∴可获得的利润是180×28-1800=3240元
（3）∵m+100x=3000
∴m=3000﹣100x
根据题意得 (0.9m)x﹣9m=9000
将m=3000﹣100x代入上式得：
0.9(3000﹣100x)x﹣9(3000﹣100x)=9000
即x2﹣40x+400=0
解得x1=x2=20
把x=20代入m=3000﹣100x
m=3000﹣2000=1000
∵1000在0＜m≤2000范围内
∴符合题意
∴要获得9000元的利润，应采购1000kg的柑橘，售价应定为20元/kg
25．（13分）解：（1）2
（2）如图，过点H作EF⊥AD，分别交BC、AD于点E、F
过点P作PG⊥AD，交AD于点G
则FH∥GP
又QH=PH
∴
即GP=2FH
又，且，BC=8
∴HE=3
∵EF=AB·sin60 =
∴
∴
则
∴
（3）方法一：探究动点轨迹、化斜为直
设BP=x，则AQ=2x
过点H作HE⊥AB，交AB于点E
过点Q作QF⊥AB，交AB于点F
连接AH
则HE∥QF
∴
又PH=QH
∴PE=EF
∵
∴AF+EF=PE+BP，即AE=BE
∴AH=BH
∴CH+BH=CH+AH
当C、H、A三点共线时，即CH+BH最小为线段AC长
过点C作CO⊥AB，交AB延长线于点O
∵BC∥AD
∴∠CBO=∠BAD=60
∴，
则
∴
即BH+CH的最小值是
方法二：倍长中线、化斜为直
延长BH至E，使得EH=BH
连接EQ、EA、AH
∵QH=PH，∠QHE=∠PHB
∴△QHE≌△PHB
则EQ=BP，EH=BH，∠QEH=∠PBH
∴EQ∥BP
则∠1=∠BAD=60
又AQ=2BP
∴AQ=2EQ
则∠AEQ=90
又∠AEQ+∠BAE=180
∴∠BAE=90
则
∴CH+BH=CH+AH
当C、H、A三点共线时，即CH+BH最小为线段AC长
过点C作CO⊥AB，交AB延长线于点O
∵BC∥AD
∴∠CBO=∠BAD=60
∴，
则
∴
即BH+CH的最小值是

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