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2026年广西壮族自治区梧州市苍梧县第二次学业水平考试数学卷
（全卷满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。
3．不能使用计算器。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分）
1．年，白银市计划粮食产量稳定在吨以上．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B．3 C． D．
3．若实数满足，化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
4．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．方程组有实数解，则的取值范围是（　　）
A．； B．； C．； D．．
6．如图，是的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，，则的长是（ ）
A．5 B． C． D．6
8．在一次科技作品制作比赛中，八年级八件作品的成绩（单位：分）分别是，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8.5 D．方差是1
9．如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（ ）
A． B．60 C． D．
10．在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图象与y轴交于点A，将该一次函数的图象向下平移2个单位长度后图象与y轴的交点为点B．若点A与点B关于原点对称，则b的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．当时，展开的广告画面面积比它后一秒少时，此时的值（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）
13．化简：_______．
14．某品牌手机厂商为测试一款新型手机的耗电情况，将手机持续亮屏．已知该款手机的电池容量为，持续亮屏平均每小时耗电，则手机剩余电量与亮屏时间之间的函数解析式为______．
15．在平面直角坐标系中，把直线上的点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．若点依然在直线上，则与的关系是_________．
16．如图，是等腰直角三角形，，D是射线上一点，以为斜边作等腰直角三角形（点E和点C在AB的同侧），连接．当，时，则______．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）。
17．（4分）计算：
(1)
(2)
18．（4分）先化简，再求值： ，其中x，y满足．
19．（10分）某中学数学学科节活动中，七年级某兴趣小组在一个不透明的袋子中装有3个红球和9个白球，每个球除颜色外都相同．
(1)从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？
(2)现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，求从袋中取走白球的个数．
20．（10分）为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元．
(1)求A、B两款服装的单价．
(2)学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？
21．（10分）如图，四边形ABCD是某小区的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，求在该空地上种植草皮共需多少元？
22．（10分）如图，在中，是的平分线，，交于点F．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，如果，求的长．
23．（12分）如图，是的直径，是的弦，连接，过点作的切线，交的延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)若的半径为，，求的长．
24．（12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中b、c是常数）经过点和，抛物线顶点为D．点P是抛物线上的一个动点，且点P在抛物线对称轴左侧．点P关于y轴的对称点为Q，点P关于x轴的对称点为M，以、为邻边构造矩形（如图①），设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求顶点D的坐标；
(3)如图②，当顶点D在矩形的边上时，求的长；
(4)当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．2026年广西壮族自治区梧州市苍梧县第二次学业水平考试数学卷（1）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D D D C C D A
题号 11 12
答案 A B
13．
解：原式
14．
解：由题意得， ，
又因为，且，
因此 ，
解得，
故函数解析式为 ．
15．
解：设点的坐标为，因为点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，根据坐标平移规律，横坐标右移加，纵坐标下移减，可得点的坐标为，
因为点依然在直线上，将代入得：，
去括号得：，
移项整理得：．
16．或
解：是等腰直角三角形，，，
∴，，
∴，
由题意，以为斜边作等腰直角三角形，
∴，，，
有两种情况：
当在右边时，过点作 交的延长线于，过点作 于，连接 ，
，
四边形是矩形
∵，，
，
在中，，，，
在等腰中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，四边形是矩形，
∵，
，
，，
四边形是正方形，
∴设，
，，
，，
，
解得，
在中，由勾股定理得；
同理，当在左边时，过点作于，过点作交的延长线于，连接，
，，
，
解得在中，由勾股定理得，
综上所述，或．
17．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
18．，
解：
∵
∴
∴
∴原式．
19．(1)
(2)5个
（1）解：不透明的袋子中一共有个球，其中红球有3个，故从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率；
（2）解：要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，则袋中红球应有个，
红球增加了个，
由题意可得，取走白球的个数为红球增加的个数，故从袋中取走了5个白球．
20．(1)A款服装单价为70元，B款服装单价为60元
(2)最多能采购A款服装150件
（1）解：设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元，
根据题意得，
解得
∴A款服装单价为70元，B款服装单价为60元；
（2）解：设采购A款服装a件，则采购B款服装件，
根据题意得，
解得
∴最多能采购A款服装150件．
21．元
解：∵，，，
∴，
由勾股定理得；
∵，
∴，
∴
，
元，
∴在该空地上种植草皮共需元．
22．(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
(2)
（1）证明：略；
（2）解：如图，过点C作交的延长线于点G，

∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
23．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
在中，，
故，
在中，，
∴，
∵的半径为，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得．
24．(1)抛物线的函数解析式为
(2)顶点的坐标为
(3)
(4)或
（1）解：把点和代入，
得，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：，
∴顶点的坐标为；
（3）解：设，
∵顶点D在矩形的边上，
∴点的纵坐标为，
∵点P关于y轴的对称点为Q，点P关于x轴的对称点为M，
∴，，
解得：，，
∵点P在抛物线对称轴左侧，
∴，
∴，
；
（4）解：设，
∵点P关于y轴的对称点为Q，点P关于x轴的对称点为M，
∴，，
当时，抛物线的纵坐标y随x的增大而增大，
∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，
∴抛物线在矩形内部的部分必须在的范围内，
分两种情况讨论，
当时，点落在抛物线上或与这部分的抛物线无交点，如图所示，
把代入抛物线，
得，
解得：，（舍去），
当点落在抛物线上或与这部分的抛物线无交点时，，
矩形要框一部分抛物线，点必须在第三象限，
当时，有，解得：，，
∵点在第三象限，
∴，
因此，
当时，如图所示，
此时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，
综上分析可得：m的取值范围是或．

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