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2026年广西壮族自治区梧州市藤县二模数学试卷
（全卷满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。
3．不能使用计算器。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分）
1．以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙鸢齐都蹴鞠”、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列实数中，是的绝对值的是（ ）
A．2026 B． C． D．
3．如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高（ ）
A． B． C． D．
4．二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线经过点和，其中，则k的值可能为（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．某校学生体育素质总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比组成，若小王平时得90分，期中得80分，他想期末总评不低于85分，则小王期末成绩不低于（ ）
A．87分 B．86分 C．85分 D．84分
7．如图，在中，，在同一直线上，，且沿折叠后与重合．连接，．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．古语有“君子无故，玉不去身”，玉在中国的文明史上有着特殊的地位，其具有仁、智、义、礼、乐、忠、信、天、地、德、道等君子的品节．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其雕刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则废料（即图2中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．
10．辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．将分别标有汉字“天”“辽”“地”“宁”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．生物学中，植物生长所需水分与生长时间存在一定关联．某研究小组观察某种幼苗，发现其在天内吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系．部分实验数据如下表所示，则下列说法正确的是（ ）
生长时间天 10 15 20 30
吸收水分毫升 2.5 3.75 5.0 7.5
A．该一次函数的表达式为
B．当生长时间为38天时，吸收水分为9.5毫升
C．吸收的水分随生长时间的增加而减少
D．当生长时间为50天时，吸收水分为12.5毫升
12．如图，二次函数 的图象与x轴交于点，，与直线 交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）
13．若的展开式中不含项，则______．
14．已知 ，则_______．
15．某山区城市所辖的，两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在，两城间建造一座特大型跨江大桥．如图，观测点与小城在江的同一侧，从小城释放的一架无人机以千米/分钟的速度径直飞往观测点，分钟后到达点，同时测得，．则，两座小城相距_____千米．
16．如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）。
17．（本小题满分8分）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．（本小题满分10分）如图，在中，交于点，为的中点，连结，，．
(1)作，垂足为，求的长；
(2)求的值．
19．（本小题满分10分）我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下：
运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元）
汽车 10 80 2 1000
火车 8 100 4 2000
假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时．
(1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？
(2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？
20．（本小题满分10分）月季作为我市的市花，被广泛种植，形成独特的月季文化景观．某校为了美化校园，用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下：
a．两批月季花树高度的频数：
121 125 126 130 134 138 139
第一批 1 3 1 0 4 3 0
第二批 0 1 3 2 5 0 1
b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
第一批 131 134
第二批 131 m 134
(1)写出表中，的值；
(2)在这两批花树中，高度的整齐度更好的是__________（填“第一批”或“第二批”）；
(3)根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是多少？
21．（本小题满分10分）如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
22．（本小题满分12分）为推进国产大飞机的研发与应用，某技术中心进行某型号飞机机翼的模拟设计．工程师需要根据设计图纸计算关键支撑结构的长度，以确保其空气动力学性能．机翼（如图①所示）的简化设计图（横截面如图②）中，和是两条垂直于水平线的垂线段，点B在上，点C在上，米，米．线段与水平线成角，线段与水平线成角．请求出图中、和这三段支撑构件的长度（结果取整数）．参考数据：，．
23．（本小题满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，）在第一象限的图像经过点、．
(1)求a、k的值；
(2)如图2，C为反比例函数在第二象限图像上的一点，连接、、，若，求的值；
(3)如图3，将反比例函数在第一象限的图像，绕坐标原点O逆时针旋转后得到的图形记作曲线l，过、的直线，与曲线l相交于点M、N，求的面积．2026年广西壮族自治区梧州市藤县二模数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C B B A B C C
题号 11 12
答案 B C
13．
解：
∵展开式中不含项，
∴
解得．
14．
解： ，，且
，
解得，
．
15．
解：如图，过点作交延长线于点，
，
，
，
，
设，则，，
，，
，
，即，
解得：，
，
在中，千米．
16．
解：∵点为矩形内一个动点，且，
∴点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），如图，
设的中点为O，则O是圆心，半径，连接
∵M、N分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
因此，要求的最小值，即求的最小值，
当三点共线时，的值最小，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即的最小值为．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
18．(1)
(2)
（1）解：如图，作，垂足为，
∵交于点，
∴，
为的中点，，
．
又∵在直角三角形中，，
．
又，
∵，
；
（2）解：过点作，交于，
，
又，
，
∴，
．
又，，
．
又，
．
在直角三角形中，，
，，
．
19．(1)选用汽车运输比较好
(2)550千米
（1）解：汽车：（元）
火车：（元）
因为6120元元，所以选汽车．
（2）解：设运输路程为千米，由题意得，
解得
即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同．
20．(1)，
(2)第二批
(3)和
（1）解：∵为第二批月季花高度的中位数，
第二批有12个数据，
∴中位数是数据按大小顺序排列是第6、7个数据的平均数，
从表格中可得：第6个数据为130，第7个数据为134，
∴，
∵为第一批月季花高度的众数，即频数最多的数据，
∴．
（2）解：第一批的方差为，
第二批的方差为，
，
∴第二批的高度的整齐度更好．
（3）解：由表格可知，两批花原本的平均数是相等的，
∴在各去掉两棵花后，还要平均数尽可能接近，就是要去掉的花的高度和尽可能接近，
∵，
在第一批花树中，仅有
第一批去掉的两棵花树的高度为和．
21．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：设，则，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
22．、和这三段支撑构件的长度分别约为7米，1米，6米
解：过点C作于点G，过点B作于点H，如图：
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
由题意得米，米，，，
在中，∵，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴米，
在中，∵，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴米，
∴米，
故、和这三段支撑构件的长度分别约为7米，1米，6米．
23．(1)，
(2)
(3)
（1）解：∵反比例函数（）的图象经过点和点，
∴．
∴．
∴点．
把点代入（）得，
∴．
（2）∵点C为反比例函数的图象上第二象限的点，
∴设．过C作轴于M，过A作轴于N．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴（正值舍去）．
∴，
∵
设，，则
．
∴．
（3）解：过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
．
过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
．
，
．
由勾股定理得
，
．
，以、为两个互相垂直方向，设平面内一点沿着方向对应的线段长为，沿着方向对应的线段长为，
则点可看作，点可看作．
设直线对应的关系式为，
把，代入得
，
解得，
直线对应的关系式为．
∵反比例函数的图象关于象限角平分线对称，绕原点逆时针旋转后，图象上点满足的乘积定值几何性质不变，因此曲线上任意一点在互相垂直的方向上对应的线段长度乘积仍为6．
可得关系式．
联立，
将代入中，
得，
整理得，
解得，．
当时，，当时，．
，
∴沿方向的线段长度就是点到直线的垂直距离，即点、到直线的距离分别为和，
．

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