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2026年初中毕业班（九年级）摸底监测二
数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1-5 CDBCD 6-10 BACBA 11-12 BC
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．-1 14．3，4，5，6中的任意一个 15．2 16．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：（1）
2分
． 3分
（2）解法一：由①得③
将③代入②，得 5分
解得
将代入③，得
则方程组的解为 7分
解法二：①×2，得③ 4分
③+②得
解得 5分
将代入①，得
解得 6分
则方程组的解为 7分
18．解：（1）
2分
4分
5分
（2）由题知，即 6分
7分
8分
19．证明：（1），
，
即， 2分
在和中，
． 5分
（2）由（1）可知，，
，
，
是等腰三角形． 8分
20．解：（1）①， 2分
②，且，
∴该选手可以进入决赛． 5分
（2），
，
，，
∴甲选手最终胜出． 8分
21．解：（1）设“启动与加速阶段”关于的函数解析式为，
将，代入，得，
解得，
∴“启动与加速阶段”关于的函数解析式为． 3分
（2）将代入，得 4分
将，代入，得
，解得，
∴“恒速作业阶段”关于的函数解析式为． 6分
（3）由（2）可知，原“恒速作业阶段”的解析式为，
改进后，新能耗系数，
新模型的解析式为， 7分
根据题意，原模型与新模型的总能耗差值为，
可列方程：， 8分
，
解得，
该机器人的工作时长为． 9分
22．解：（1）4 2分
【解析】为半圆的直径，
，
在中，，，
．
（2）①选择嘉嘉的说法
如图所示，连接，
∵点与点关于直线对称，
，，
，
，
，，
，
，
． 6分
②选择淇淇的说法
如图所示，连接，，
，
，
，
，
为的中点，
，，
，
，
为等边三角形，
，，
在中，，，
，
由对称性可知平分，
，
，即，
又是半圆的半径，
直线与半圆相切． 6分
（3）设，半径
由弧长公式：，解得，即，
，，
．
当点在上时，，
当点在上时，，
综上，的度数为75°或165°． 9分
23．【操作】如下图所示
2分
【探究】①证明：∵四边形是矩形，
，
是直径，
，
，
，
，
． 6分
②解：，
，即，
， 9分
【拓展】 11分
【解析】∵在梯形中，，，，，
，
，
，即，
是线段的中点，
，
如图所示，取，作矩形，则，，连接，
，
，
，
又，
，
，
，
∴点在为直径的圆上，
∴当的面积最小时，点为的垂直平分线与圆的交点，
则此时是等腰直角三角形，
，，
．
24．解：（1），， 3分
【解析】令，则，
解得，，
故，，
，
故，
（2）：，顶点的坐标为，
设，，消去得，
∴该直线的解析式为． 6分
（3）当时，抛物线：，直线过点，
，
，
∴直线：，
令，即，
由题意得，，
，
故，
为线段的中点，
，
，
代入抛物线，得，整理，得，解得． 9分
（4）四边形是平行四边形． 10分
理由：令，得，
由韦达定理知，
，
故中点坐标为，
而，，中点坐标为，即，
故与中点重合，即与互相平分，
∴四边形是平行四边形． 12分2026年初中毕业班（九年级）摸底监测二
数学
注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置．
3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
4．答题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）
1．下表是河北省四个城市某天中午12时的气温，其中气温最低的城市是（ ）
廊坊 张家口 承德 石家庄
0℃ -1℃ -2℃ 3℃
A．廊坊 B．张家口 C．承德 D．石家庄
2．我国科学家为建造月球基地，模拟月壤成分烧制出一种具有互锁结构的“月壤砖”（如图1-1），图1-2是“月壤砖”的示意图，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图2，直线，一个含30°角的直角三角板的直角顶点在直线上，将三角板绕点转动，且点在，之间．若减少5°，则（ ）
A．减少5° B．增加5° C．度数不变 D．度数变化不确定
4．若，则整数的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．某校开展“古代四大发明”主题研学活动，要求每名同学从造纸术、印刷术、指南针、火药四个主题中，随机选取两个进行探究．嘉琪同学恰好选中“造纸术”和“火药”两个主题的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图3，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度2，8和10．点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．汉代某里甲组织的里民共同出资购买耕牛以备春耕．商议出资数额时出现了两种情况：
若每名里民出500钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数多400钱（盈四百）；
若每名里民出400钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数少600钱（不足六百）．
设参与买牛的里民共有人，则下列说法正确的是（ ）
A．依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人
B．依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人
C．依题意可列方程，解得牛价为5400钱
D．依题意可列方程，解得牛价为4600钱
8．河北省非物质文化遗产“邢窑白瓷”是唐代名瓷，科研团队测得传统邢窑白瓷釉层厚度约为米，新型复刻邢窑白瓷的釉层厚度比传统薄米．则新型复刻邢窑白瓷的釉层厚度用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．当时，随的增大而减小
C．图象经过点
D．若点，都在图象上，且，则
10．如图4，点是中边上的一点（不与点，重合），连接．用尺规作，交于点．
嘉嘉：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则．
淇淇：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则．
对两人的做法，下列判断正确的是（ ）
A．仅嘉嘉正确 B．仅淇淇正确 C．都正确 D．都错误
11．如图5，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图6，在矩形中，，点，，则矩形的内部（不含边界）整点的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．当时，代数式的值为__________．
14．在平面直角坐标系中，点在第一象限，则整数可以是__________．（写出一个即可）
15．图7是一款创意灯饰的几何纹样，整体轮廓为正八边形，图案由中心对称分布的四个全等菱形与四个全等筝形无缝拼接而成．已知该正八边形的边长为2，则筝形的面积为__________．
16．如图8，在四边形中，，，分别是，的中点，连接．若，，，，则的长为__________．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分7分）
（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．（本小题满分8分）
若，．
（1）化简；
（2）若，求的取值范围．
19．（本小题满分8分）
如图9，点，，，在直线上，，相交于点，，，．求证：
（1）；
（2）是等腰三角形．
20．（本小题满分8分）
某市为选拔主持人参加省级比赛，开展了全市的主持人大赛，赛事分为初赛和决赛两个阶段．
（1）初赛由5名专业评委和40名观众评委给每位选手打分（百分制）．对某位选手的打分信息如下：
a．专业评委打分：88，90，90，92，95；
b．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
专业评委 91 m
观众评委 89 90 91
根据以上信息，回答下列问题：
①直接写出表中，的值；
②比赛规定初赛按专业评委平均分占60%，观众评委平均分占40%计算选手总分，若选手成绩超过90分，则可直接进入决赛，请通过计算说明该选手能否进入决赛；
（2）决赛由5位专业评委打分（百分制），评分规则为：先比较两位选手的平均得分，平均分高者胜出；若平均分相同，则方差小者胜出（方差越小，评委评价越一致）．已知5名评委给甲选手的打分为：91，92，92，93，92．甲选手的平均分和方差运算过程如下：
第一步，计算甲选手的平均分：；
第二步，计算甲选手的方差：．
已知5名评委给乙选手的打分为：90，93，92，93，92请通过计算判断甲、乙两位选手谁能最终胜出．
21．（本小题满分9分）
在某自动化智能工厂中，工业机器人在执行任务时会产生能耗．为优化能源管理，工厂建立了机器人单次连续工作时长与总能耗的动态模型，模型满足：
当时，机器人处于“启动与加速阶段”，是的正比例函数；
当时，机器人进入“恒速作业阶段”，能耗增长趋于平稳．与满足一次函数关系，且该函数在处与“启动与加速阶段”的函数连续（即时，两个阶段的总能耗相等）．
（1）若时，，求“启动与加速阶段”W关于的函数解析式；
（2）若时，总能耗为，求“恒速作业阶段”关于的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，工厂对机器人进行了技术改进．改进后，“恒速作业阶段”的新能耗系数比原能耗系数降低了25%，常数项保持不变．若改进后某次连续工作中，原模型与新模型的总能耗差值为，求该机器人的工作时长．
22．（本小题满分9分）
如图10，为半圆的直径，点在半圆上，连接，，且，．点在直径上（不与点，重合），点与点关于直线对称，连接，过点作，交的延长线于点．
（1）直接写出线段的长；
（2）嘉嘉说：在点移动过程中，始终有；淇淇说：当时，直线与半圆相切．请选择其中一人的说法进行说理；
（3）当线段与半圆有第二个交点时，交点为，若的长为，求的度数．
23．（本小题满分11分）
【模型】在矩形中，，．
【操作】在图11-1中，用直尺和圆规在的上方作出以为直径的半圆（保留作图痕迹，不写作法）．
【探究】如图11-2，点在半圆上，连接，，过点作，交所在直线于点，连接．
①求证：；
②随着点的位置变化，的面积始终保持不变，请求出的面积．
【拓展】如图11-3，在梯形中，，，，，是线段的中点，是线段上一点，连接，过点在上方作，使．当的面积最小时，直接写出的值．
24．（本小题满分12分）
如图12，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为；抛物线：（其中为常数），顶点为．
（1）直接写出点，的坐标及顶点的坐标；
（2）无论为何值，点始终在某条直线上运动，求该直线的解析式；
（3）当时，直线：经过点，与抛物线交于另一点，为线段的中点，若点恰好落在抛物线上，求的值；
（4）设抛物线与交于，两点，判断四边形是否为平行四边形，并说明理由．

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