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2025-2026学年度第二次质量监测
九年级数学参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D C A B B D B D C
二、填空题（每小题3分，共18分）
11． 12． 13． 14． 15．甲 16．-3
17．（8分）【详解】解：原式 3分
6分
． 8分
18．（8分）【详解】证明：在菱形中，，，
，
，， 3分
在和中， 6分
，． 8分
19．（8分）【小问1详解】
解：设，，，，
，，是直角三角形， 1分
，， 2分
，，， 3分
中，，即，解得，树的高度为12米；4分
【小问2详解】
解：延长交延长线于点，则，
由（1）知，，
， 5分
，且，， 6分
，
食堂的高度为米． 8分
20．（8分）解：将九年级（1）班视力数据排列为4.6，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，4.9，4.9，5.0，5.1
中位数为，即，落在部分； 2分
【小问2详解】
解：根据九年级（2）班数据，可知4.65~4.85中的频数为4，补全频数直方图如图所示，
4分
【小问3详解】
解：由九年级（2）班视力数据可知，众数为4.8，即； 6分
【小问4详解】
解：由九年级（2）班视力数据可知，10人中有3人视力在4.85~5.05，故50人中视力在4.85~5.05的人数为：（人） 8分
21．（9分）解：如图，连接，
是的切线，，， 1分
，，，， 2分
，
，， 3分
； 4分
【小问2详解】
解：如图，连接，
是的直径，，
，，， 5分
在中，，， 6分
，
，， 7分
，，即，
，，，
又，， 8分
，，，的长是． 9分
22．（9分）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；
，，，，，， 2分
，解得：，； 4分
【小问2详解】
解：设直线交轴于点，
，当时，，时，，，，
， 6分
设，， 8分
，，，
或，点的坐标为或； 9分
23．（10分）解：将点，分别代入得：，
解得：，抛物线解析式为； 3分
【小问2详解】
解：①由抛物线解析式得，当时，，，
，，
，，， 4分
过点作轴交抛物线于点，
，
，，， 5分
过点作于点，设点，
在中，，
，，（舍去），
； 7分
②如图，点是直线下方的抛物线上一动点，，，
点横坐标为，轴，
，，
， 9分
时，的长度随的增大而减小，
当时，的长度随的增大而减小． 10分
24．（12分）①证明：四边形是正方形，，
将绕点按逆时针方向旋转至，
，，，，
，，
点在的延长线上，
，，，
在和中，
，，
，，成立； 2分
②解：，，，，
，，
正方形的周长为． 4分
【小问2详解】
解：，理由如下：
将绕点逆时针旋转得，连接，如图：
由旋转性质可得：，
，，，，
，
，
，，
，，，
， 6分
，，
四边形是平行四边形，，，
，，即，
，． 8分
【小问3详解】
解：过作于，连接，设交于，如图：
四边形是正方形，，，，
，为中点，是等腰直角三角形，，
为的中点，是的中位线，，，
，，是等腰直角三角形， 10分
将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至，
是等腰直角三角形，，，
，，，
，，即，
，，，
，即，，
，即的值为． 12分2025-2026学年度第二次质量监测
九年级数学试题
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置）
1．-2026的相反数的倒数是（ ）
A．2026 B． C．-2026 D．
2．斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形．如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．2025年春节期间，北京天安门广场观看升旗仪式预约系统开放1分钟涌入2870000请求，90后占比达61%．文旅部专家分析：“Z世代正用数字时代的仪式感，重构对国家的理解．”其中2870000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，现将一块含有角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，且，将先绕顺时针旋转，再向左平移2个单位，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，弦，相交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解______．
12．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近．则估计口袋中白球有______个．
13．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是______．
14．计算：______．
15．某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
甲 12.0 12.0 12.2 11.8 12.1 11.9
乙 12.3 12.1 11.8 12.0 11.7 12.1
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______．
16．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为______．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）计算：
18．（8分）如图，在菱形中，点、分别在、边上，，求证：．
19．（8分）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走6米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且、、三点在同一直线上．
（1）求树的高度；
（2）求食堂的高度．
20．（8分）“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级（1）班和九年级（2）班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
九年级（1）班学生视力数据统计如下：4.9，4.8，4.9，4.6，4.8，4.9，4.9，5.0，4.9，5.1．
九年级（2）班学生视力数据统计如下：4.8，5.1，4.7，5.0，4.9，4.8，5.0，4.6，4.8，5.1．
【整理数据】
（1）九年级（1）班学生视力的扇形统计图；（2）九年级（2）班学生视力的频数分布直方图；
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
九年级（1）班 4.88 4.9 0.0156
九年级（2）班 4.88 4.85 0.0256
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）九年级（1）班视力中位数落在扇形统计图的______部分（填、、）；
（2）请补全九年级（2）班视力的频数分布直方图；
（3）表中______；
（4）若九年级（2）班共50名学生，视力在4.85~5.05之间的大约有______人；
21．（9分）如图，是的直径，点，在上，连接，，，过点作的切线交的延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（9分）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上．且满足．求点的坐标；
23．（10分）如图，抛物线与轴相交于，两点．抛物线与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线下方的抛物线上一动点．
①连接，，当时．求点的坐标；
②设点横坐标为2 m，过点作轴的垂线，交直线于点．当线段的长度随的增大而减小时，求的取值范围．
24．（12分）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究．
（1）【知识技能】
如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、，且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上．
①证明．并判断是否成立；
②若，，请计算正方形的周长．
（2）【教学理解】
如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展研究】
如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、．求的值．

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