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重庆育才中学教共体初2026届初三（下）第十次自主作业
数学试卷
（ 全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟 ）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．2026的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
2．一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
3．下列调查中，最适合全面调查（普查）的是（ ）
A．调查重庆市2026年第一季度空气质量情况
B．调查全国中学生对人工智能的了解
C．“神舟二十号”载人飞船发射前，对其零部件质量情况的调查
D．对长江流域重庆段水质情况的调查
4．如图，是的直径，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4题图 5题图 6题图
5．如图，蜂窝结构在工程学中有广泛应用，图①由4个房孔组成，图②由7个房孔组成，图③由10个房孔组成……，按照这样的规律，第⑨个图形中房孔的个数是（ ）
A．27 B．31 C．36 D．28
6．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（ ）
A．10 B． C． D．
7．下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
8．俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练蹬眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，求每天“遗忘”的百分比（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形中，，点E在边上，连接，将线段绕点A逆时针旋转交延长线于点F，连接，连接分别交，于点M，N．若，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．已知整式，其中n为自然数，，，…，均为绝对值小于2的整数，且，满足．下列结论：
①不存在任何一个n，使得满足条件的整式有且只有6个；
②满足条件的二次二项式有且只有8个； 9题图
③满足条件的整式M中只有8个单项式；
④满足条件的整式一共有22个．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上.
11．在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的6个球，其中有4个红球和2个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是_________．
12．如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______．
13．如果，a，b为两个连续的正整数，则___________．
14．若实数m，n同时满足，，则的值为________． 12题图
15．如图，是的外接圆，过点A作的切线与的延长线交于点D，E在上且，连接，，已知，，则__________；若点F在的延长线上，与交于点G且，则__________．
15题图
16．我们规定，一个四位正整数（各个数位上的数字互不相等），若满足，则称这个四位数为“倍半数”，例如：四位数，因为，所以是“倍半数”．按照这个规定，最大的“倍半数”是______．一个“倍半数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若被除余，且能被整除，则满足条件的“倍半数”为______．
三、解答题（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17． 计算：求不等式组的解集.
解不等式得________，
解不等式得________，
将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示：
所以，原不等式组的解集为________________，
18.如图，在中，，于点．
(1)用尺规完成以下基本作图：在线段上截取，作线段交射线于点，作，交于点；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）
证明：∵，
∴_____①______
∵在和中，
∵，
∴（HL）
∴_____③______
∴在和中，
∵，
∴（ASA）
∴．
19．为弘扬航天精神，科学普及航天知识，每年4月24日为“中国航天日”．我校4月“缤纷科技节”活动中开展了航天知识竞赛，现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析（所有学生的成绩均高于60分，成绩得分用x表示，共分成四组A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩为：
62，63，64，68，73，74，76，76，76，79，81，86，86，89，91，93，95，95，96，97．
八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据为：82，83， 83， 82， 85．
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级七年级八年级平均数8181中位数80众数78
八年级所抽学生的竞赛成绩统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上诉图表中：_________，_________，_________；
(2)根据以上数据分析，你认为我校七、八年级中哪个年级学生的航天知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
我校七年级有1100名学生、八年级有800名学生参加了此次航天知识竞赛，估计我校七、八年级参加航天知识竞赛成绩优秀（）的学生人数共有多少人？
20．先化简，再求值：，其中．
21．跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高．
(1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？
(2)甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？
22.如图1，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3. 动点P从点A出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿折线ACB方向运动，到达点B时停止．同时，点Q从点A出发以每秒 0.5 个单位长度的速度，沿线段AB方向运动，其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动. 设点 P、Q 的运动时间为x秒()，△ABP的面积为，△ABC的面积与△ACQ的面积比值为．
22题图1 22题图2
（1）请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围. (近似值保留一位小数，误差不超过0.2).
23．如图，四边形是彩云湖公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的南偏东方向，且、两地相距900米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，）
(1)求两地的距离（结果保留根号）；
(2)小育从点出发沿慢跑到终点，同时小才从点出发，沿步行到终点，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点的距离之比为，求此时小才与点的距离（结果保留一位小数）．
24.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，A（-1,0），对称轴为直线，连接BC，过点O作OG∥BC交抛物线于点G，点K为y轴上的动点，连接DK、BK.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是直线BC下方抛物线上的一动点，过点D作DE∥y轴交OG于点E，再过点E作EF⊥BC于F，连接DF，当△DEF的面积最大时，求出此时点D的坐标及DK+BK的最小值；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接AC，将该抛物线沿射线CA方向平移个单位得新抛物线，点P为新抛物线上的一个动点，连接 DP，DP与线段BC交于点Q，点I在y轴上且在点C下方，满足∠CQD=∠ACO+∠DCI时，请求出符合条件的点P的坐标，并写出简要的求解过程.
24题图1 24题图2
25.在等边三角形中，为边一点，连接为上一点，连接．
（1）如图1，，连接，若恰好平分，求的度数；
（2）如图2，为中点，将绕旋转至，在延长线上有一点，连接交于点，若，试探究、、之间的数量关系；
（3）如图3，若为直线上一点，为中点，连接，将沿着翻折至原平面内的，点在线段上且满足，连接、，当最小时，请直接写出的值．

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