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山西太原新希望双语学校、第四中学校等校2025-2026学年高二下学期5月份过程性素质评价数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．某同学记录了当地月最后天每天的最低气温（单位：），分别为、、、、、、、，则该组数据的第百分位数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知x1，x2∈R，则“且”是“且”的
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．以下结论错误的是（ ）
A．命题：“，”的否定为“，”
B．设随机变量服从正态分布，若，则
C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
D．回归直线一定过样本中心
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（ ）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
7．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知服从正态分布，记函数，，则正确的是（注：若，则，（ ）
A． B．
C． D．的图象关于对称
二、多选题
9．设，为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．若事件，互斥，则
B．若事件，互斥，则
C．若事件，相互独立，则
D．若，则
10．已知实数a，b满足，，，则（ ）
A．ab的最大值为1 B．的最小值为
C．的最小值为2 D．的最大值为2
11．已知定义在上的函数满足，，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．为奇函数
C．的最小正周期为4 D．
三、填空题
12．求值：______________.
13．展开式中的系数为______．（用数字作答）
14．如图，用个元件组成一个电路系统，每个单元由2个元件组成，当且仅当从到的电路为通路的状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则______.
四、解答题
15．某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．

(1)求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数；
(2)若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？
属于“优等生” 不属于“优等生” 合计
男生
女生
合计
附：．
16．已知集合，集合，其中．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
(3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围．
17．如图，平行四边形 中， 中点为 ，现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置.
(1)若 中点为 ，证明：平面 ；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
18．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数.
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
19．某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响．
(1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率；
(2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值；
(3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求．
参考答案
1．C
【详解】由题意得，集合，则．
则的真子集个数为．
2．D
【详解】将这个数据由小到大依次排序为：、、、、、、、，
因为，故该组数据的第百分位数为.
3．A
【详解】由“且”，则“且”，故充分性满足；
反之，若“且”，取，显然成立，
但并不满足“且”，故不满足必要性.
故选：A
4．C
【详解】对于A，命题：“，”的否定是“，”，故A正确；
对于B，根据正态分布的性质可知，，则,那么
，所以，，故B正确；
对于C，用决定系数来刻画回归效果，越大拟合效果越好，故C错误；
对于D，样本中心点一定在回归直线上，故D正确.
5．D
【详解】由题意可知，.
则，所以.
则，所以.
所以.
故选：D.
6．C
【详解】因为4个人分配到3个不同的岗位，且每个岗位至少1名，
所以必有一个岗位2人，另2个岗位各一人，共有种方法.
若安排甲、乙在同一个岗位，为2人组，而丙、丁各为一人一组，
3个小组全排列到3个不同的岗位，共有种方法，
所以安排甲、乙不在同一个岗位有种方法.
故选：C
7．A
【详解】当时，函数在上单调递增，函数值集合为，
由函数的值域为R，得函数在上的值域包含，
当时，函数，求导得，而，
当时，，函数在上单调递增，函数值集合为，
而恒成立，则；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
函数值集合为，于是，解得，则，
所以a的取值范围是.
故选：A
8．D
【详解】因为，所以均值，标准差，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，因为，
则，，
因为，而区间与不关于直线对称，
所以，故C错误；
对于D，因为，所以，，
所以，又，
所以，即，
所以，即的图象关于对称，故D正确.
9．ACD
【详解】选项A：若事件，互斥，则，A正确；
选项B：，.
若事件，互斥，事件，不一定互斥，因此.
实际（事件，互斥，），B错误；
选项C：若事件相互独立，则，C正确；
选项D：由得，，
所以，D正确.
10．BC
【详解】A，,，解得，
当且仅当时等号成立，因此最小值为，无最大值.
B，因为，则，
所以，
当且仅当时等号成立.
C，，则，整理得，
因此，
因为，所以，当且仅当时等号成立.
D，根据题设及A分析知，显然的最大值为2说法有误.
11．ABD
【详解】由，可知，所以的图象关于直线对称，A正确；
由，可知，所以为奇函数，B正确；
因为，所以，
所以函数的一个周期为2，C错误；
因为为奇函数，所以，
因为的图象关于直线对称，所以，D正确；
12．2
【详解】易知.
故答案为：2
13．
【详解】的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以的展开式通项为，
由可得，
故展开式中的系数为.
14．
【详解】每个单元由2个元件组成，各单元之间相互独立，
设事件：某单元正常工作，：某单元中有损坏元件，
则，，
由条件概率公式得，
所以，.
15．(1)，人
(2)表格如下：
属于“优等生” 不属于“优等生” 合计
男生
女生
合计
不能认为这次成绩是否优秀与性别有关．
【详解】（1）由各组频率之和为，得，解得，
则属于“优等生”的有 人.
（2）由题意，样本中男生有人，则女生有人．
属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人.
不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人．
所以得到列联表如下：
属于“优等生” 不属于“优等生” 合计
男生
女生
合计
零假设：这次成绩是否优秀与性别无关．
根据表中数据，计算得．
根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关．
16．(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解不等式，得．
当时，，故．
因此．
（2）“”是“”的必要不充分条件．
由题意得：，列不等式组：，解得，
所以实数m的取值范围为．
（3）由，解得或，
命题p为真或，
即或得：或．
17．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）取中点，连接，因为分别为中点，所以，且，
又四边形是平行四边形，且为中点，所以，且，
所以，且，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）在中，，
所以，所以，
因为，所以.
在中，，
所以，即，解得.
因为，所以，又，平面，
所以平面ABCD.
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的法向量为，则，即，令，则，
所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值是.
18．(1) (2) (3)
【详解】（1）∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，∴，
即，
整理得到：恒成立，解得或（舍）.
（2）
当时，，
∴.
（3）由（1）知，，即，即即在上有解，
在上单调递减，的值域为，
∴.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为；
（2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次；
或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为
；
故当时，的最小值为
（3）乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1
则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故，
记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为，
则，，
事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为，
则，
且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故
由全概率公式，
所以

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