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湖南省岳阳楼区学院路中学2025年九年级下学期入学考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．若点（2，-3）在反比例函数的图象上，则该图象也过点（　　）
A．（2，3） B．（3，2） C．（-2，-3） D．（-3，2）
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点(2，-3)代入反比例函数得，
解得k=-6
∵2×3=6≠-6，3×2=6≠-6，-2×(-3)=6≠-6，-3×2=-6，
∴该图象也过点(-3，2).
故答案为：D.
【分析】把点(2，-3)代入反比例函数，解方程求解即可.
2．用配方法解一元二次方程x2-4x-1＝0时，配方得（　　）
A．（x-2）2＝1 B．（x-2）2＝5 C．（x-4）2＝1 D．（x-4）2＝5
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-4x-1=0，
∴x2-4x=1，
∴x2-4x+4=5
∴(x-2)2=5
故答案为：B.
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可.
3．如图，在△ABC中，点D是AC上一点，下列条件不能判定△ABD∽△ACB的是（　　）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、因为∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，所以△ABD~△ACB，故该选项不符合题意；
B、因为∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，所以△ABD~△ACB，故该选项不符合题意；
C、因为，且夹角都不是∠A，即夹角不相等，所以△ABD，△ACB不相似，故该选项符合题意；
D、因为，且∠A=∠A，即夹角相等两边成比例，所以△ABD~△ACB，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】两组对应角相等或者夹角相等，两边成比例的三角形是相似三角形，据此进行逐项分析，即可作答.
4．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2%左右，则鱼塘中估计有鱼（　　）条．
A．4000 B．5000 C．10000 D．2000
【答案】B
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：鱼塘中鱼的数量约为100÷2%=5000(条)，
故答案为：B.
【分析】用标记鱼的数量除以其频率的稳定值即可得出答案.
5．如图，市政府准备修建一座高AB为6m的过街天桥，已知∠ACB为天桥的坡面AC与地面BC的夹角，且，则坡面AC的长度为（　　）
A．6m B．8m C．10m D．12m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵AB=6m
∴
解得：AC=10，即坡面AC的长度为10m
故答案为：C.
【分析】直接利用锐角三角函数关系求出AC的长即可.
6．反比例函数的图象如图所示，AB∥y轴，若△ABC的面积为5，则k的值为（　　）
A．-5 B． C．-10 D．-15
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵AB//y轴，
∴S△ABO=S△ABC=5，
∵
∴
∵k<0，
∴k=-10，
故答案为：C.
【分析】连接OA，由AB//y轴可得S△ABO=S△ABC=5，结合得出，即可得解.
7．关于x的一元二次方程kx2+6x+3＝0有两个不相等的实数根，k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k＜3且k≠0 C．k≥3 D．k≤3且k≠0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+6x+3=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0，
且Δ=b2-4ac=62-4×3k>0
∴k<3且k≠0
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可.
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，1），以点O为位似中心，相似比为3，将△OAB放大，则点A的对应点A'的坐标为（　　）
A．（3，6） B．（9，3）
C．（3，6）或（-3，-6） D．（3，6）或（-6，-3）
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，以点O为位似中心，相似比为3，
∴点A'的坐标为(3，6)或(-3，-6)，
故答案为：C.
【分析】根据位似变换的性质解答即可.
9．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝9，线段CE的长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB//CD//EF，
∴BC：CE=AD：DF
∵AD：DF=3：2， BC=9，
∴9：CE=3：2，
解得CE=6
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到即可求解.
10．已知抛物线y＝a（x-3）2（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②点C在⊙D外；③直线CM与⊙D相切．其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线可知：抛物线的对称轴x=3，故①正确；
∵抛物线过点C(0，4)，
∴，解得：
∴抛物线的解析式为
令y=0，则，解得：x=8或x=-2
∴A(-2， 0)， B (8， 0)
∴AB=10，
∴AD=5，
∴OD=3
∵C(0，4)
∴，
∴CD=AD，
∴点C在圆上，故②错误；
由抛物线可知：
∵C(0，4)
∴直线CM为，直线CD为：
∴CM⊥CD，
∵CD=AD=5.
∴直线CM与⊙D相切，故③正确；
故答案为：C.
【分析】①根据抛物线的解析式即可判定；②求得AD、CD的长进行比较即可判定；③求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
设，则，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据比例的性质，设，则，代入计算即可求解．
12．某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD＝80cm，则AB约是　 　 cm（结果保留整数）．
【答案】49
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意得：
∵CD=80cm
∴AB≈0.618CD=0.618×80≈49(cm)，
∴AB约是49cm
故答案为：49.
【分析】根据题意，行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比，且黄金比约等于0.618，进而即可求解.
13．若点A（-1，a），B（1，b），C（2，c）在反比例函数图象上，则a，b，c的大小关系是　 　．（用＜符号表示）
【答案】a【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(-1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函数图象上
∴将A(-1，a)，B(1，b)，C(2，c)分别代入中，
即，，
∴a故答案为：a【分析】根据题意分别将点坐标中横坐标代入反比例函数解析式，求出a，b，c的值，继而得到本题答案.
14．某地农村居民人均可支配收入前年为2.0万元，预计今年为2.42万元，则这两年人均可支配收入的年平均增长的百分率为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两年人均可支配收入的年平均增长的百分率为x，由题意得：
解得：（不符合题意，舍去），
∴这两年人均可支配收入的年平均增长的百分率为；
故答案为．
【分析】
设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，再结合题目给出的条件，按照增长率问题的数量关系列出方程，即可求解.
15．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）和反比例函数（x＞0）的图象交于A，B两点，利用函数图象直接写出不等式的解集是 　 　．
【答案】1【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图象可知：A(1，4)，B(4，1)，
∴不等式的解集是：1故答案为：1【分析】根据图象得到A、B两点的坐标，再根据坐标得出不等式的解集即可.
16．已知、是的两个根，则的值为　 　
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵m，n是方程的两实数根，
∴、，
∴，
故答案为：．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数得x1+x2=，，据此结合题意求出由一元二次方程根与系数关系得m+n与mn的值，进而将待求式子通分计算后，整体代入计算可得答案.
17．如图，在平行四边形OABC中，点A，B，C在⊙O上，连接AC，若AC＝6，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OB，OB与AC交于点D，
∵点A、B、C在⊙O上，
∴OA=OC=OB
∵在平行四边形OABC中，OA= OC
∴四边形OABC为菱形
∵AC=6，
∴OC=BC=OB，，BO⊥AC
即△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°
同理∠AOB=60°
∴∠AOC = 120°
∵BO⊥AC，
∴∠CDO=90°
在Rt△CDO中，∠CDO=90°，
∴，CD=3
∴，，
∴
故答案为：.
【分析】根据圆及平行四边形的性质，可得四边形OABC为一组对角为60°的特殊的菱形，对角线互相垂直，即可得出圆的半径的长，阴影部分面积可由扇形面积减去三角形面积求得.
18．如图，点P1、P2、P3、……、Pn（n为自然数）在反比例函数图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、n，分别以P1P2、P2P3、P3P4、…、PnPn+1为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到n个直角三角形，则前2024个直角三角形的面积之和为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；探索数与式的规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设前2024个直角三角形的面积分别为S1、S2、S3.......、S2024，
点P1、P2、P3、.....Pn在图象上，且横坐标分别为1、2、3、......、n，
∴P1A1=y1-y2，A1P2=1，
P2A2=y2-y3，A2P3=1，
......，
，A2024P2025=1，
∴当x=1时，y1=4，
当x=2025时，
∴S1+S2+S3+...+S2024
故答案为：.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得P1A1=y1-y2，P2A2=y2-y3，，即可得出，，，进而可得，分别求出y1和y2025的值即可得答案.
三、解答题：本题共8小题，解答需写出必要的解答步骤或证明过程．
19． 计算：.
【答案】解：原式
=0
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可.
20．小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数表达式；
（2）点C坐标．
【答案】（1）解：根据图象信息，点A的坐标为（﹣3，2），
∵反比例函数图象上过点A，设反比例函数关系式为y＝，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）解：直线OA的解析式为，
由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线BC的解析式为，
联立方程组，
解得，（舍去），
∴C．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据图象信息可得A（﹣3，2），利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出直线OA的解析式为y＝﹣x，再求出直线BC的解析式为y＝﹣，再与反比例函数解析式联立方程组并解之，即得点C坐标.
21．某校近期打算组织八年级800名学生进行游学活动，为了提前了解学生最想去的地点，随机抽取部分学生进行调查，其中，可选地点共有四个：A地：中国大运河博物馆、B地：瘦西湖、C地：茱萸湾、D地：凤凰岛（每位同学只选一个地点），根据调查结果制作了如下统计图．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）所抽取的样本容量为　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，喜欢去D处的所对应的扇形圆心角的度数为　 　；
（4）请你根据抽样调查的结果，估计该校八年级最喜欢去茱萸湾的学生有多少人？
【答案】（1）80
（2）解：由(1)的样本容量算出B地的人数为：80-32-24-8=16(人).
∴补全条形图如下：
（3）36
（4）解：，
∴800×30%=240 (人)
∴该校八年级最喜欢去茱萸湾的学生约有240人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)A地的人数为32人，百分比为40%，
∴32÷40%=80 (人)
∴所抽取的样本容量为80
故答案为：80.
(3)D地的人数为8
∴所占百分比为，
∴去D处的所对应的扇形圆心角的度数为360°×10%=36°
故答案为：36°.
【分析】(1)根据A地的人数与所占百分比即可求解；
(2)由(1)的样本容量，可算出B地的人数，由此即可求解；
(3)先计算出D地的百分比，再根据圆心角度数的计算方法即可求解：；
(4)先计算出喜欢去C地茱萸湾的百分比，再根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解.
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：△CBD∽△ABC；
（2）若AD＝4，BD＝2，求BC的长．
【答案】（1）证明：在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠CDB
∵∠B=∠B
∴△CBD~△ABC
（2）解：由(1)可知：△CBD~△ABC，
∴
∴BC2=AB·BD
∵AD=4，BD=2
∴AB=6
∴BC2=6×2=12
解得：(负根舍去)
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由题意易得∠ACB=∠CDB=90°，进而问题可求证；
(2)根据(1)中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解.
23．如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，AT＝2，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接OT，
∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT
又∵∠TAC=∠BAT，
∴∠ATO=∠TAC.
∴OT//AC
∵AC⊥PQ
∴OT⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切线
（2）解：过点O作OM⊥AC于M，则AM=MD；
又∵∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴，
∴在Rt△AOM中，
，
∴AC=3
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定
【解析】【分析】(1)要证明PQ是⊙O的切线只要证明OT⊥PQ即可；
(2)由已知可求得OM的长，从而利用勾股定理求得AD的长.
24．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E沿AB滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）
【答案】（1）解：作DH⊥BE于H，
在Rt△BDH，∠DHB=90°， BD=5，∠ABC=37°
∴，
∴DH=5sin37°≈5×0.6=3 (cm)，BH=5cos37°=5×0.8=4 (cm)
∵AB=BC=15cm， AE=2cm，
∴EH=AB-AE-BH=15-2-4=9 (cm)，
∴(cm)
（2）解：作DH⊥AB的延长线于点H，
∵∠ABC=127°
∴∠DBH=53°，∠BDH=37°
在Rt△DBH中，
∴BH=3cm，
∴DH=4cm
在Rt△DEH中，EH2+DH2=DE2，
∴(EB+3)2+16=90，
∴ (cm)
∴点E滑动的距离为：(cm).
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中用三角函数算出DH和BH，再求出EH，在三角形DEH中用勾股定理即可求得DE；
(2)作DH⊥AB的延长线于点H，在Rt△DBH和Rt△DEH中，用三角函数分别求出BH，DH，EB的长，从而可求得点E滑动的距离.
25．如图，抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点F是第一象限抛物线上的一个动点，当点F运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时F点的坐标．
【答案】（1）解：将A(-1，0)，C(0，2)代入得
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形.
理由如下：
根据等腰三角形性质，分两种情况讨论，如图所示：
∵
∴对称轴为直线
∵C(0，2)，
∴
设
①当CD=CP时，，解得n=4或n=0(舍去)，
②当CD=DP时，，解得或
综上所述：P点坐标为或或
（3）解：当点E运动到(2，1)位置时，△CBF的面积最大.
理由如下：
令y=0，则，解得x=4或x=-1，
∴B(4，0)
设直线BC的解析式为y=kx+b，得
解得
∴直线BC的解析式为，
过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点F，如图所示：
设，则，
∴
∵，抛物线开又向下，EF有最大值，
∴当t=2时，EF最大为2，
∵
∴当t=2时，△CBF的面积最大，最大值为4，此时E(2，1).
答：△CBF的最大面积为4，此时E(2，1).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)根据A(-1，0)，C(0，2)，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
(2)可设出P点坐标，则可表示出PC、PD和CD的长，分PD=CD、PC=CD两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标；
(3)首先根据B、C的坐标求得直线BC的解析式，可设E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出EF的长，可表示出△CBF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标.
26．【问题呈现】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2， 和 都是等腰直角三角形，. 连接 BD，CE，则　 　．
（3）【拓展提升】如图3， 和 都是直角三角形，，且. 连接 BD，CE.
①求的值；
②延长 CE 交 BD 于点 F，交 AB 于点 G. 若，，求 FG 的长.
【答案】（1）解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE (SAS)
∴BD=CE
（2）
（3）解：①∵，∠ABC=∠ADE=90°，设AB=3a，
∴△ABC~△ADE，BC=4a，AC=5a
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠CAE=∠BAD
∴△CAE~△BAD
∴
②由①得：△CAE~△BAD，AB=6，
则AC=10，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：
，
∵
∴
在Rt△BCG中，CG2=BC2+BG2
∴，
∴
∴
∴
∵∠ACE=∠ABD，∠AGC=∠BGF，
∴△BGF~△CGA
∴
∴
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴，∠DAE=∠BAC=45°.
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE.
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD~△CAE.
∴
故答案为：.
【分析】(1)证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
(2)证明△BAD~△CAE，进而得出结果；
(3)①先证明△ABC~△ADE，再证得△CAE~△BAD，进而得出结果；
②根据题意求出AC=10，利用勾股定理求出BC=8，，，进而求出，在①的基础上得出∠ACE=∠ABD，进而∠BFC=∠BAC，证明△BGF~△CGA，推出，进一步得出结果.
1 / 1湖南省岳阳楼区学院路中学2025年九年级下学期入学考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．若点（2，-3）在反比例函数的图象上，则该图象也过点（　　）
A．（2，3） B．（3，2） C．（-2，-3） D．（-3，2）
2．用配方法解一元二次方程x2-4x-1＝0时，配方得（　　）
A．（x-2）2＝1 B．（x-2）2＝5 C．（x-4）2＝1 D．（x-4）2＝5
3．如图，在△ABC中，点D是AC上一点，下列条件不能判定△ABD∽△ACB的是（　　）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC
C． D．
4．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2%左右，则鱼塘中估计有鱼（　　）条．
A．4000 B．5000 C．10000 D．2000
5．如图，市政府准备修建一座高AB为6m的过街天桥，已知∠ACB为天桥的坡面AC与地面BC的夹角，且，则坡面AC的长度为（　　）
A．6m B．8m C．10m D．12m
6．反比例函数的图象如图所示，AB∥y轴，若△ABC的面积为5，则k的值为（　　）
A．-5 B． C．-10 D．-15
7．关于x的一元二次方程kx2+6x+3＝0有两个不相等的实数根，k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k＜3且k≠0 C．k≥3 D．k≤3且k≠0
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，1），以点O为位似中心，相似比为3，将△OAB放大，则点A的对应点A'的坐标为（　　）
A．（3，6） B．（9，3）
C．（3，6）或（-3，-6） D．（3，6）或（-6，-3）
9．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝9，线段CE的长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
10．已知抛物线y＝a（x-3）2（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②点C在⊙D外；③直线CM与⊙D相切．其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知，则的值为　 　．
12．某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD＝80cm，则AB约是　 　 cm（结果保留整数）．
13．若点A（-1，a），B（1，b），C（2，c）在反比例函数图象上，则a，b，c的大小关系是　 　．（用＜符号表示）
14．某地农村居民人均可支配收入前年为2.0万元，预计今年为2.42万元，则这两年人均可支配收入的年平均增长的百分率为　 　．
15．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）和反比例函数（x＞0）的图象交于A，B两点，利用函数图象直接写出不等式的解集是 　 　．
16．已知、是的两个根，则的值为　 　
17．如图，在平行四边形OABC中，点A，B，C在⊙O上，连接AC，若AC＝6，则图中阴影部分的面积为　 　.
18．如图，点P1、P2、P3、……、Pn（n为自然数）在反比例函数图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、n，分别以P1P2、P2P3、P3P4、…、PnPn+1为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到n个直角三角形，则前2024个直角三角形的面积之和为　 　．
三、解答题：本题共8小题，解答需写出必要的解答步骤或证明过程．
19． 计算：.
20．小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数表达式；
（2）点C坐标．
21．某校近期打算组织八年级800名学生进行游学活动，为了提前了解学生最想去的地点，随机抽取部分学生进行调查，其中，可选地点共有四个：A地：中国大运河博物馆、B地：瘦西湖、C地：茱萸湾、D地：凤凰岛（每位同学只选一个地点），根据调查结果制作了如下统计图．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）所抽取的样本容量为　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，喜欢去D处的所对应的扇形圆心角的度数为　 　；
（4）请你根据抽样调查的结果，估计该校八年级最喜欢去茱萸湾的学生有多少人？
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：△CBD∽△ABC；
（2）若AD＝4，BD＝2，求BC的长．
23．如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，AT＝2，求AC的长．
24．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E沿AB滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）
25．如图，抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点F是第一象限抛物线上的一个动点，当点F运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时F点的坐标．
26．【问题呈现】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2， 和 都是等腰直角三角形，. 连接 BD，CE，则　 　．
（3）【拓展提升】如图3， 和 都是直角三角形，，且. 连接 BD，CE.
①求的值；
②延长 CE 交 BD 于点 F，交 AB 于点 G. 若，，求 FG 的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点(2，-3)代入反比例函数得，
解得k=-6
∵2×3=6≠-6，3×2=6≠-6，-2×(-3)=6≠-6，-3×2=-6，
∴该图象也过点(-3，2).
故答案为：D.
【分析】把点(2，-3)代入反比例函数，解方程求解即可.
2．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-4x-1=0，
∴x2-4x=1，
∴x2-4x+4=5
∴(x-2)2=5
故答案为：B.
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、因为∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，所以△ABD~△ACB，故该选项不符合题意；
B、因为∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，所以△ABD~△ACB，故该选项不符合题意；
C、因为，且夹角都不是∠A，即夹角不相等，所以△ABD，△ACB不相似，故该选项符合题意；
D、因为，且∠A=∠A，即夹角相等两边成比例，所以△ABD~△ACB，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】两组对应角相等或者夹角相等，两边成比例的三角形是相似三角形，据此进行逐项分析，即可作答.
4．【答案】B
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：鱼塘中鱼的数量约为100÷2%=5000(条)，
故答案为：B.
【分析】用标记鱼的数量除以其频率的稳定值即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵AB=6m
∴
解得：AC=10，即坡面AC的长度为10m
故答案为：C.
【分析】直接利用锐角三角函数关系求出AC的长即可.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵AB//y轴，
∴S△ABO=S△ABC=5，
∵
∴
∵k<0，
∴k=-10，
故答案为：C.
【分析】连接OA，由AB//y轴可得S△ABO=S△ABC=5，结合得出，即可得解.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+6x+3=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0，
且Δ=b2-4ac=62-4×3k>0
∴k<3且k≠0
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，以点O为位似中心，相似比为3，
∴点A'的坐标为(3，6)或(-3，-6)，
故答案为：C.
【分析】根据位似变换的性质解答即可.
9．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB//CD//EF，
∴BC：CE=AD：DF
∵AD：DF=3：2， BC=9，
∴9：CE=3：2，
解得CE=6
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到即可求解.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线可知：抛物线的对称轴x=3，故①正确；
∵抛物线过点C(0，4)，
∴，解得：
∴抛物线的解析式为
令y=0，则，解得：x=8或x=-2
∴A(-2， 0)， B (8， 0)
∴AB=10，
∴AD=5，
∴OD=3
∵C(0，4)
∴，
∴CD=AD，
∴点C在圆上，故②错误；
由抛物线可知：
∵C(0，4)
∴直线CM为，直线CD为：
∴CM⊥CD，
∵CD=AD=5.
∴直线CM与⊙D相切，故③正确；
故答案为：C.
【分析】①根据抛物线的解析式即可判定；②求得AD、CD的长进行比较即可判定；③求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定.
11．【答案】
【知识点】比例的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
设，则，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据比例的性质，设，则，代入计算即可求解．
12．【答案】49
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意得：
∵CD=80cm
∴AB≈0.618CD=0.618×80≈49(cm)，
∴AB约是49cm
故答案为：49.
【分析】根据题意，行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比，且黄金比约等于0.618，进而即可求解.
13．【答案】a【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(-1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函数图象上
∴将A(-1，a)，B(1，b)，C(2，c)分别代入中，
即，，
∴a故答案为：a【分析】根据题意分别将点坐标中横坐标代入反比例函数解析式，求出a，b，c的值，继而得到本题答案.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两年人均可支配收入的年平均增长的百分率为x，由题意得：
解得：（不符合题意，舍去），
∴这两年人均可支配收入的年平均增长的百分率为；
故答案为．
【分析】
设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，再结合题目给出的条件，按照增长率问题的数量关系列出方程，即可求解.
15．【答案】1【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图象可知：A(1，4)，B(4，1)，
∴不等式的解集是：1故答案为：1【分析】根据图象得到A、B两点的坐标，再根据坐标得出不等式的解集即可.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵m，n是方程的两实数根，
∴、，
∴，
故答案为：．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数得x1+x2=，，据此结合题意求出由一元二次方程根与系数关系得m+n与mn的值，进而将待求式子通分计算后，整体代入计算可得答案.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OB，OB与AC交于点D，
∵点A、B、C在⊙O上，
∴OA=OC=OB
∵在平行四边形OABC中，OA= OC
∴四边形OABC为菱形
∵AC=6，
∴OC=BC=OB，，BO⊥AC
即△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°
同理∠AOB=60°
∴∠AOC = 120°
∵BO⊥AC，
∴∠CDO=90°
在Rt△CDO中，∠CDO=90°，
∴，CD=3
∴，，
∴
故答案为：.
【分析】根据圆及平行四边形的性质，可得四边形OABC为一组对角为60°的特殊的菱形，对角线互相垂直，即可得出圆的半径的长，阴影部分面积可由扇形面积减去三角形面积求得.
18．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；探索数与式的规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设前2024个直角三角形的面积分别为S1、S2、S3.......、S2024，
点P1、P2、P3、.....Pn在图象上，且横坐标分别为1、2、3、......、n，
∴P1A1=y1-y2，A1P2=1，
P2A2=y2-y3，A2P3=1，
......，
，A2024P2025=1，
∴当x=1时，y1=4，
当x=2025时，
∴S1+S2+S3+...+S2024
故答案为：.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得P1A1=y1-y2，P2A2=y2-y3，，即可得出，，，进而可得，分别求出y1和y2025的值即可得答案.
19．【答案】解：原式
=0
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可.
20．【答案】（1）解：根据图象信息，点A的坐标为（﹣3，2），
∵反比例函数图象上过点A，设反比例函数关系式为y＝，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）解：直线OA的解析式为，
由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线BC的解析式为，
联立方程组，
解得，（舍去），
∴C．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据图象信息可得A（﹣3，2），利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出直线OA的解析式为y＝﹣x，再求出直线BC的解析式为y＝﹣，再与反比例函数解析式联立方程组并解之，即得点C坐标.
21．【答案】（1）80
（2）解：由(1)的样本容量算出B地的人数为：80-32-24-8=16(人).
∴补全条形图如下：
（3）36
（4）解：，
∴800×30%=240 (人)
∴该校八年级最喜欢去茱萸湾的学生约有240人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)A地的人数为32人，百分比为40%，
∴32÷40%=80 (人)
∴所抽取的样本容量为80
故答案为：80.
(3)D地的人数为8
∴所占百分比为，
∴去D处的所对应的扇形圆心角的度数为360°×10%=36°
故答案为：36°.
【分析】(1)根据A地的人数与所占百分比即可求解；
(2)由(1)的样本容量，可算出B地的人数，由此即可求解；
(3)先计算出D地的百分比，再根据圆心角度数的计算方法即可求解：；
(4)先计算出喜欢去C地茱萸湾的百分比，再根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解.
22．【答案】（1）证明：在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠CDB
∵∠B=∠B
∴△CBD~△ABC
（2）解：由(1)可知：△CBD~△ABC，
∴
∴BC2=AB·BD
∵AD=4，BD=2
∴AB=6
∴BC2=6×2=12
解得：(负根舍去)
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由题意易得∠ACB=∠CDB=90°，进而问题可求证；
(2)根据(1)中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解.
23．【答案】（1）证明：连接OT，
∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT
又∵∠TAC=∠BAT，
∴∠ATO=∠TAC.
∴OT//AC
∵AC⊥PQ
∴OT⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切线
（2）解：过点O作OM⊥AC于M，则AM=MD；
又∵∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴，
∴在Rt△AOM中，
，
∴AC=3
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定
【解析】【分析】(1)要证明PQ是⊙O的切线只要证明OT⊥PQ即可；
(2)由已知可求得OM的长，从而利用勾股定理求得AD的长.
24．【答案】（1）解：作DH⊥BE于H，
在Rt△BDH，∠DHB=90°， BD=5，∠ABC=37°
∴，
∴DH=5sin37°≈5×0.6=3 (cm)，BH=5cos37°=5×0.8=4 (cm)
∵AB=BC=15cm， AE=2cm，
∴EH=AB-AE-BH=15-2-4=9 (cm)，
∴(cm)
（2）解：作DH⊥AB的延长线于点H，
∵∠ABC=127°
∴∠DBH=53°，∠BDH=37°
在Rt△DBH中，
∴BH=3cm，
∴DH=4cm
在Rt△DEH中，EH2+DH2=DE2，
∴(EB+3)2+16=90，
∴ (cm)
∴点E滑动的距离为：(cm).
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中用三角函数算出DH和BH，再求出EH，在三角形DEH中用勾股定理即可求得DE；
(2)作DH⊥AB的延长线于点H，在Rt△DBH和Rt△DEH中，用三角函数分别求出BH，DH，EB的长，从而可求得点E滑动的距离.
25．【答案】（1）解：将A(-1，0)，C(0，2)代入得
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形.
理由如下：
根据等腰三角形性质，分两种情况讨论，如图所示：
∵
∴对称轴为直线
∵C(0，2)，
∴
设
①当CD=CP时，，解得n=4或n=0(舍去)，
②当CD=DP时，，解得或
综上所述：P点坐标为或或
（3）解：当点E运动到(2，1)位置时，△CBF的面积最大.
理由如下：
令y=0，则，解得x=4或x=-1，
∴B(4，0)
设直线BC的解析式为y=kx+b，得
解得
∴直线BC的解析式为，
过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点F，如图所示：
设，则，
∴
∵，抛物线开又向下，EF有最大值，
∴当t=2时，EF最大为2，
∵
∴当t=2时，△CBF的面积最大，最大值为4，此时E(2，1).
答：△CBF的最大面积为4，此时E(2，1).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)根据A(-1，0)，C(0，2)，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
(2)可设出P点坐标，则可表示出PC、PD和CD的长，分PD=CD、PC=CD两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标；
(3)首先根据B、C的坐标求得直线BC的解析式，可设E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出EF的长，可表示出△CBF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标.
26．【答案】（1）解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE (SAS)
∴BD=CE
（2）
（3）解：①∵，∠ABC=∠ADE=90°，设AB=3a，
∴△ABC~△ADE，BC=4a，AC=5a
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠CAE=∠BAD
∴△CAE~△BAD
∴
②由①得：△CAE~△BAD，AB=6，
则AC=10，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：
，
∵
∴
在Rt△BCG中，CG2=BC2+BG2
∴，
∴
∴
∴
∵∠ACE=∠ABD，∠AGC=∠BGF，
∴△BGF~△CGA
∴
∴
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴，∠DAE=∠BAC=45°.
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE.
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD~△CAE.
∴
故答案为：.
【分析】(1)证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
(2)证明△BAD~△CAE，进而得出结果；
(3)①先证明△ABC~△ADE，再证得△CAE~△BAD，进而得出结果；
②根据题意求出AC=10，利用勾股定理求出BC=8，，，进而求出，在①的基础上得出∠ACE=∠ABD，进而∠BFC=∠BAC，证明△BGF~△CGA，推出，进一步得出结果.
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