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湖南省岳阳楼区学院路中学2024年2月九年级下学期入学考试数学试题
1．下列函数属于反比例函数的是（　　）
A． B． C．y＝x2-2x-1 D．y＝8x-4
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、该函数是正比例函数，故本选项错误；
B、该函数属于反比例函数，故本选项正确；
C、该函数属于二次函数，故本选项错误；
D、该函数属于一次函数，故本选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的定义(k为常数，k≠0)，依次判断各选项是否符合该形式.
2．一元二次方程x2-2x＝0的解是（　　）
A．0 B．0或-2 C．-2 D．0或2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-2x=0，
∴x(x-2)=0，
则x=0或x-2=0，
解得x1=0，x2=2，
故答案为：D .
【分析】利用因式分解即可求解.
3．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．4：1 B．2：1 C．1：2 D．1：4
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4
故答案为：D .
【分析】用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，将已知相似比平方即可得面积比.
4．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】A
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：(1)当k=0时，方程为一元一次方程，必有实数根；
(2)当k≠0时，方程为一元二次方程，当Δ≥0时，方程有实数根；
Δ=4-4k(-1)≥0，
解得k≥-1，
综上所述，k≥-1.
故答案为：A.
【分析】分两种情况讨论：(1)当k=0时，方程为一元一次方程，必有实数根；(2)当k≠0时，方程为一元二次方程，当Δ≥0时，必有实数根.
5．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：将6名同学的成绩按从小到大排列为：82，82，83，85，86，92，
A、由以上数据可知，众数为80，故A正确，不符合题意，
B、由以上数据可知，中位数==84，故B正确，不符合题意，
C、由以上数据可知，平均数=（82+82+83+85+86+92）÷6=85，方差==12，故C错误，符合题意，
D、由C可知，平均数是85，故D正确，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】将6名同学的成绩按从小到大排列，再根据众数、中位数、平均数和方差的概念进行分析判断即可.
6．把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式是y=3(x+2)2+1，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，即可求解.
7．如图，给出下列条件：①AC2＝AD AB；②∠ADC＝∠ACB； ③；④∠B＝∠ACD．其中能够单独判定△ABC相似于△ACD的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③，两边对应成比例，但夹角∠ACD和∠ABC不一定相等，不能判定△ABC相似于△ACD，不正确；
④∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
故答案为：C.
【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.
8．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；求余弦值；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD=BC=3，
∴AD==4，
∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠BDE+∠ADE=90°，∠BAD+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠BAD，
∴cos∠BDE=cos∠BAD=，
故选：A．
【分析】
连接辅助线AD，已知在△ABC里，AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到AD⊥BC；接下来借助勾股定理就可以计算出AD的长度，之后在Rt△ABD中，依据三角函数的定义即可求出cos∠BDE的值.
9．如图，的顶点A，C的坐标分别为，，，函数的图象经过点B，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是(0，3)、(3、0)
∴OA=OC=3
在Rt△AOC中，，
又∵AC=2BC，
∴
又∵∠ACB=90°
∴∠OAC=∠OCA=45°=∠BCD=∠CBD，
∴
∴
∴代入得：
故答案为：D.
【分析】根据A、C的坐标分别是(0，3)、(3、0)可知OA=OC=3，进而可求出AC，由AC=2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值.
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（3，0）与y轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②3a+c＝0；③a+b≤am2+bm；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
∴开口向下，即a<0，
∵与y轴交于点C，即c>0，
∴ac<0.
故①不正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1，0)，B (3， 0)
∴对称轴为x=1，
∴，即b=-2a，
∵当x=-1时，a-b+c=0，
∴3a+c=0.故②正确；
∵当x=1时，函数取得最大值，即y=a+b+c，当x=m时，即y=am2+bm+c，
∴通过函数图象判断，当m=1时，y=a+b+c=am2+bm+c，即a+b=am2+bm，
当m≠1时，a+b>am2+bm，
∴a+b≥am2+bm，
故③不正确；
∵当x<1时，y随x的增大而增大，
故④不正确；
故答案为：A.
【分析】根据题意分析a，c正负性判断①，利用对称轴公式及待定系数法判断②，利用待定系数法判断③，利用函数增减性判断④，即可选出正确个数.
11．已知，则　 　．
【答案】3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴可得，
∴，
故答案为：3．
【分析】
已知，据此可以推出，将这个关系代入原式计算，就可以得到最终结果.
12．将抛物线y＝x2－2x+3配成顶点式为　 　．
【答案】y=(x-1)2+2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2
故答案为：y=(x-1)2+2.
【分析】利用配方法求解即可.
13．如图测量某棵树的高度，小明用长为2米的竹竿作测量工具，移动竹竿使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时竹竿与这一点相距6米，与树相距15米，则树高为 　 　米．
【答案】7
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设CD=x米，易知AB//CD，
∴△AOB∽△COD，
∴
∴
∴x=7
经检验，x=7是分式方程的解，
∴CD=7米.
故答案为：7.
【分析】利用相似三角形的性质，即相似三角形对应边成比例来求解树的高度.
14．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】 一元二次方程的两根分别为，，
a+b=5，ab=-5，
故答案为：-1.
【分析】利用韦达定理求得a+b=5，ab=-5，再将 进行通分整体代入即可求解.
15．若点A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　．
【答案】y1>y3>y2
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例系数k=-6<0，
∴函数在第二象限和第四象限内的函数值随x的增大而增大，
∵-1<0<2<3
∴y1>y3>y2
故答案为：y1>y3>y2.
【分析】先由k=-6<0得到函数在第二象限和第四象限内的函数值随x的增大而增大，然后得到y1，y2，y3的大小关系.
16．如图，已知∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=2，则的边长为　 　．
【答案】22022
【知识点】等边三角形的性质；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°
∵∠MON=30°
∴∠OB1A1=60°-∠MON=30°，
∴∠OB1A1=∠MON，
∴A1B1=A1A2=OA1，
∵OA1=2，
∴△A1B1A2的边长： A1B1=OA1=2，
同理可得，△A2B2A3的边长：A2B2=OA2=2OA1=2×2=22
△A3B3A4的边长：A3B3=OA3=2OA2=22×2=23，
......，
可归纳得△AnBnAn+1的边长AnBn=OAn=2n，
∴△A2022B2022A2023的边长为22022
故答案为：22022.
【分析】利用等边三角形的性质得到∠B1A1A2=60°，结合∠MON=30°可得A1B1=OA1，即有A1B1=A1A2=OA1，利用同样的方法得到A2B2=OA2=2OA1，A3B3=OA3=2OA2A4B4=OA4=2OA3， 利用此规律得到AnBn=OAn=2n，即可求解.
17．计算：
【答案】解：原式
=-4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据去绝对值，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，实数的运算法则计算即可.
18．如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求证：△ADE∽△EFC．
【答案】解：∵ ED ∥ BC，EF ∥ AB，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C，∠EFC = ∠B，
∴ ∠ADE = ∠EFC，∠AED = ∠C，
∴ △ADE ∽ △EFC．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质，同位角相等：由 ED ∥ BC 可得 ∠ADE = ∠B 和 ∠AED = ∠C；由 EF ∥ AB 可得 ∠EFC = ∠B。
通过等量代换，得到 ∠ADE = ∠EFC，结合 ∠AED = ∠C，可判定 △ADE 与 △EFC 相似。
19．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（n，3），B（-3，-2）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥y轴，垂足为C，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵点B(-3，-2)在的图像上，
∴m=6
∴反比例函数的解析式为：
∴
∴A(2，3)
∵点A(2，3)、B(-3，-2)在y=kx+b的图像上，
∴，
解得：
∴一次函数的解析式为：y=x+1
（2）解：∵一次函数的解析式为：y=x+1
当x=0时，y=1
∴点D(0，1)，OD=1
∵AC⊥y轴，A(2，3)
∴C(0，3)，OC=3
∴CD=OC-OD=2
以CD为底，则CD边上的高为3+2=5
∴
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】(1)把B的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
(2)根据一次函数确定OD=1，OC=3，结合图形，计算三角形面积即可.
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个根分别为，且满足，求实数m的值
【答案】（1）解：∵方程x2-(2m+3)x+m2+2=0有实数根，
∴Δ=[-(2m+3)]2-4(m2+2)≥0，
整理得2m+1≥0，
解得
∴实数m的取值范围是
（2）解：由两根关系得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2
∵
∴(x1+x2)2-2x1·x2=3x1x2-14
整理得：m2-12m-13=0
解得：m=-1(不符合要求，舍去)或m=13，
∴m=13
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)由题意可得根的判别式Δ=b2-4ac≥0，据此得到不等式求解即可；
(2)由根与系数的关系可得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，然后代入求出m的值即可.
21．为增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展了疫情防控知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）抽取的样本人数是　 　，图①中的m的值为　 　；
（2）扇形统计图中96分所占圆心角度数是　 　度；
（3）若该校有360名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数．
【答案】（1）30；30
（2）144
（3）解：360×10%=36 (人)
即估计其中获得满分的学生有36人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)本次随机抽样抽取的学生人数为：3÷10%=30(人)
m%=9÷30×100%=30%
即m的值是30
故答案为：30，30.
(2)依题意，40%×360°=144°
∴扇形统计图中96分所占圆心角度数是144度，
故答案为：144.
【分析】(1)根据得分为84分人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数，然后即可计算出m的值；
(2)根据扇形统计图中的数据，运用96分所占的百分比与360相乘，即可作答；
(3)根据扇形统计图中的数据，可以计算出获得满分的学生人数.
22．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
由题意可知，将(2，100)和(5，100)代入y=kx+b中得，
解得：
∴y与x之间的函数关系式为y=20x+60(0（2）解：根据题意得(60-x-40)×(20x+00)=2400
整理得：x2-17x+60=0，
解得：x1=5，x2=12
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x=12
答：这种菠萝蜜每千克应降价12元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求出函数关系式；
(2)根据总利润=每千克的利润×销量，列一元二次方程，解方程即可.
23．如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度（结果精确到，参考数据：）
【答案】解：如图，∵，
∴，
在中，∵，
∴米，
在中，∵，
∴（米），
∴（米） ，
答：这条江的宽度AB约为732米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先求出 米， 再利用锐角三角函数求解即可。
24．
（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，，若，，则　 　；
（2）如图2，四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上且，连接DE，作，交AB于点F，则四边形ADEF的面积是多少？
（3）如图3，四边形ABCD中，，点C到AB的距离为10，，且．当四边形ABCD的面积是61时，求CD的长度是多少？
【答案】（1）4
（2）解：如图，过点D作DH⊥BC于H，
∴四边形ADHB是矩形，
∴DH=AB=8，BH=AD=10，
∵BE=6，
∴HE=4，
∵∠B=∠DEF=90°，
∴∠BFE=∠DEH，
又∵∠B=∠DHE=90°，
∴△BFE∽△HED，
∴，
∴，
∴BF=3，
∴
=8×10 -
=55；
（3）解：过点C作EFAB，过点D作EF的垂线交EF于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥EF于点F，
则FB=EH=10，
由（1）知△ECD∽△FBC，
∴，
∴EC=5，
设ED=x，则CF=2x，HD=(10-x)，HA=(2x+5-8)=(2x-3)，
∴
=10×(2x+5)-
==61
解得：，
∴ED=2，
∴CD=．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠DPA+∠CPB=90°，
∵∠DPA+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠CPB，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∵AP=2，PC=2DP，
∴，
∴BC=4；
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠ADP=∠CPB，证明△ADP∽△BPC，然后结合AP=2，PC=2DP以及相似三角形的性质进行计算；
（2）过点D作DH⊥BC于H，则四边形ADHB是矩形，DH=AB=8，BH=AD=10，由同角的余角相等可得∠BFE=∠DEH，证明△BFE∽△HED，根据相似三角形的性质可得BF，然后根据S四边形ADEF=S四边形ADHB-S△BFE-S△DHE进行计算；
（3）过点C作EF∥AB，过点D作EF的垂线交EF于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥EF于点F，则FB=EH=10，由（1）知△ECD∽△FBC，根据相似三角形的性质可得EC=5，设ED=x，则CF=2x，HD=10-x，HA=2x-3，然后根据S四边形ABCD=S矩形BFEH-S△BFC-S△CED-S△AHD=61结合矩形、三角形的面积公式可得x，再利用勾股定理进行计算.
25．如图，抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点F是第一象限抛物线上的一个动点，当点F运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时F点的坐标．
【答案】（1）解：将A(-1，0)，C(0，2)代入得
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形.
理由如下：
根据等腰三角形性质，分两种情况讨论，如图所示：
∵
∴对称轴为直线
∵C(0，2)，
∴
设
①当CD=CP时，，解得n=4或n=0(舍去)，
②当CD=DP时，，解得或
综上所述：P点坐标为或或
（3）解：当点E运动到(2，1)位置时，△CBF的面积最大.
理由如下：
令y=0，则，解得x=4或x=-1，
∴B(4，0)
设直线BC的解析式为y=kx+b，得
解得
∴直线BC的解析式为，
过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点F，如图所示：
设，则，
∴
∵，抛物线开又向下，EF有最大值，
∴当t=2时，EF最大为2，
∵
∴当t=2时，△CBF的面积最大，最大值为4，此时E(2，1).
答：△CBF的最大面积为4，此时E(2，1).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)根据A(-1，0)，C(0，2)，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
(2)可设出P点坐标，则可表示出PC、PD和CD的长，分PD=CD、PC=CD两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标；
(3)首先根据B、C的坐标求得直线BC的解析式，可设E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出EF的长，可表示出△CBF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标.
1 / 1湖南省岳阳楼区学院路中学2024年2月九年级下学期入学考试数学试题
1．下列函数属于反比例函数的是（　　）
A． B． C．y＝x2-2x-1 D．y＝8x-4
2．一元二次方程x2-2x＝0的解是（　　）
A．0 B．0或-2 C．-2 D．0或2
3．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．4：1 B．2：1 C．1：2 D．1：4
4．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
5．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85
6．把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，给出下列条件：①AC2＝AD AB；②∠ADC＝∠ACB； ③；④∠B＝∠ACD．其中能够单独判定△ABC相似于△ACD的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（　　）
A． B． C． D．
9．如图，的顶点A，C的坐标分别为，，，函数的图象经过点B，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（3，0）与y轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②3a+c＝0；③a+b≤am2+bm；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知，则　 　．
12．将抛物线y＝x2－2x+3配成顶点式为　 　．
13．如图测量某棵树的高度，小明用长为2米的竹竿作测量工具，移动竹竿使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时竹竿与这一点相距6米，与树相距15米，则树高为 　 　米．
14．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为　 　．
15．若点A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　．
16．如图，已知∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=2，则的边长为　 　．
17．计算：
18．如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求证：△ADE∽△EFC．
19．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（n，3），B（-3，-2）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥y轴，垂足为C，求△ABC的面积．
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个根分别为，且满足，求实数m的值
21．为增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展了疫情防控知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）抽取的样本人数是　 　，图①中的m的值为　 　；
（2）扇形统计图中96分所占圆心角度数是　 　度；
（3）若该校有360名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数．
22．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
23．如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度（结果精确到，参考数据：）
24．
（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，，若，，则　 　；
（2）如图2，四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上且，连接DE，作，交AB于点F，则四边形ADEF的面积是多少？
（3）如图3，四边形ABCD中，，点C到AB的距离为10，，且．当四边形ABCD的面积是61时，求CD的长度是多少？
25．如图，抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点F是第一象限抛物线上的一个动点，当点F运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时F点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、该函数是正比例函数，故本选项错误；
B、该函数属于反比例函数，故本选项正确；
C、该函数属于二次函数，故本选项错误；
D、该函数属于一次函数，故本选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的定义(k为常数，k≠0)，依次判断各选项是否符合该形式.
2．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-2x=0，
∴x(x-2)=0，
则x=0或x-2=0，
解得x1=0，x2=2，
故答案为：D .
【分析】利用因式分解即可求解.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4
故答案为：D .
【分析】用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，将已知相似比平方即可得面积比.
4．【答案】A
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：(1)当k=0时，方程为一元一次方程，必有实数根；
(2)当k≠0时，方程为一元二次方程，当Δ≥0时，方程有实数根；
Δ=4-4k(-1)≥0，
解得k≥-1，
综上所述，k≥-1.
故答案为：A.
【分析】分两种情况讨论：(1)当k=0时，方程为一元一次方程，必有实数根；(2)当k≠0时，方程为一元二次方程，当Δ≥0时，必有实数根.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：将6名同学的成绩按从小到大排列为：82，82，83，85，86，92，
A、由以上数据可知，众数为80，故A正确，不符合题意，
B、由以上数据可知，中位数==84，故B正确，不符合题意，
C、由以上数据可知，平均数=（82+82+83+85+86+92）÷6=85，方差==12，故C错误，符合题意，
D、由C可知，平均数是85，故D正确，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】将6名同学的成绩按从小到大排列，再根据众数、中位数、平均数和方差的概念进行分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式是y=3(x+2)2+1，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③，两边对应成比例，但夹角∠ACD和∠ABC不一定相等，不能判定△ABC相似于△ACD，不正确；
④∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
故答案为：C.
【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；求余弦值；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD=BC=3，
∴AD==4，
∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠BDE+∠ADE=90°，∠BAD+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠BAD，
∴cos∠BDE=cos∠BAD=，
故选：A．
【分析】
连接辅助线AD，已知在△ABC里，AB=AC=5，BC=6，点D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到AD⊥BC；接下来借助勾股定理就可以计算出AD的长度，之后在Rt△ABD中，依据三角函数的定义即可求出cos∠BDE的值.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是(0，3)、(3、0)
∴OA=OC=3
在Rt△AOC中，，
又∵AC=2BC，
∴
又∵∠ACB=90°
∴∠OAC=∠OCA=45°=∠BCD=∠CBD，
∴
∴
∴代入得：
故答案为：D.
【分析】根据A、C的坐标分别是(0，3)、(3、0)可知OA=OC=3，进而可求出AC，由AC=2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
∴开口向下，即a<0，
∵与y轴交于点C，即c>0，
∴ac<0.
故①不正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1，0)，B (3， 0)
∴对称轴为x=1，
∴，即b=-2a，
∵当x=-1时，a-b+c=0，
∴3a+c=0.故②正确；
∵当x=1时，函数取得最大值，即y=a+b+c，当x=m时，即y=am2+bm+c，
∴通过函数图象判断，当m=1时，y=a+b+c=am2+bm+c，即a+b=am2+bm，
当m≠1时，a+b>am2+bm，
∴a+b≥am2+bm，
故③不正确；
∵当x<1时，y随x的增大而增大，
故④不正确；
故答案为：A.
【分析】根据题意分析a，c正负性判断①，利用对称轴公式及待定系数法判断②，利用待定系数法判断③，利用函数增减性判断④，即可选出正确个数.
11．【答案】3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴可得，
∴，
故答案为：3．
【分析】
已知，据此可以推出，将这个关系代入原式计算，就可以得到最终结果.
12．【答案】y=(x-1)2+2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2
故答案为：y=(x-1)2+2.
【分析】利用配方法求解即可.
13．【答案】7
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设CD=x米，易知AB//CD，
∴△AOB∽△COD，
∴
∴
∴x=7
经检验，x=7是分式方程的解，
∴CD=7米.
故答案为：7.
【分析】利用相似三角形的性质，即相似三角形对应边成比例来求解树的高度.
14．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】 一元二次方程的两根分别为，，
a+b=5，ab=-5，
故答案为：-1.
【分析】利用韦达定理求得a+b=5，ab=-5，再将 进行通分整体代入即可求解.
15．【答案】y1>y3>y2
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例系数k=-6<0，
∴函数在第二象限和第四象限内的函数值随x的增大而增大，
∵-1<0<2<3
∴y1>y3>y2
故答案为：y1>y3>y2.
【分析】先由k=-6<0得到函数在第二象限和第四象限内的函数值随x的增大而增大，然后得到y1，y2，y3的大小关系.
16．【答案】22022
【知识点】等边三角形的性质；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°
∵∠MON=30°
∴∠OB1A1=60°-∠MON=30°，
∴∠OB1A1=∠MON，
∴A1B1=A1A2=OA1，
∵OA1=2，
∴△A1B1A2的边长： A1B1=OA1=2，
同理可得，△A2B2A3的边长：A2B2=OA2=2OA1=2×2=22
△A3B3A4的边长：A3B3=OA3=2OA2=22×2=23，
......，
可归纳得△AnBnAn+1的边长AnBn=OAn=2n，
∴△A2022B2022A2023的边长为22022
故答案为：22022.
【分析】利用等边三角形的性质得到∠B1A1A2=60°，结合∠MON=30°可得A1B1=OA1，即有A1B1=A1A2=OA1，利用同样的方法得到A2B2=OA2=2OA1，A3B3=OA3=2OA2A4B4=OA4=2OA3， 利用此规律得到AnBn=OAn=2n，即可求解.
17．【答案】解：原式
=-4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据去绝对值，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，实数的运算法则计算即可.
18．【答案】解：∵ ED ∥ BC，EF ∥ AB，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C，∠EFC = ∠B，
∴ ∠ADE = ∠EFC，∠AED = ∠C，
∴ △ADE ∽ △EFC．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质，同位角相等：由 ED ∥ BC 可得 ∠ADE = ∠B 和 ∠AED = ∠C；由 EF ∥ AB 可得 ∠EFC = ∠B。
通过等量代换，得到 ∠ADE = ∠EFC，结合 ∠AED = ∠C，可判定 △ADE 与 △EFC 相似。
19．【答案】（1）解：∵点B(-3，-2)在的图像上，
∴m=6
∴反比例函数的解析式为：
∴
∴A(2，3)
∵点A(2，3)、B(-3，-2)在y=kx+b的图像上，
∴，
解得：
∴一次函数的解析式为：y=x+1
（2）解：∵一次函数的解析式为：y=x+1
当x=0时，y=1
∴点D(0，1)，OD=1
∵AC⊥y轴，A(2，3)
∴C(0，3)，OC=3
∴CD=OC-OD=2
以CD为底，则CD边上的高为3+2=5
∴
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】(1)把B的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
(2)根据一次函数确定OD=1，OC=3，结合图形，计算三角形面积即可.
20．【答案】（1）解：∵方程x2-(2m+3)x+m2+2=0有实数根，
∴Δ=[-(2m+3)]2-4(m2+2)≥0，
整理得2m+1≥0，
解得
∴实数m的取值范围是
（2）解：由两根关系得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2
∵
∴(x1+x2)2-2x1·x2=3x1x2-14
整理得：m2-12m-13=0
解得：m=-1(不符合要求，舍去)或m=13，
∴m=13
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)由题意可得根的判别式Δ=b2-4ac≥0，据此得到不等式求解即可；
(2)由根与系数的关系可得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，然后代入求出m的值即可.
21．【答案】（1）30；30
（2）144
（3）解：360×10%=36 (人)
即估计其中获得满分的学生有36人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)本次随机抽样抽取的学生人数为：3÷10%=30(人)
m%=9÷30×100%=30%
即m的值是30
故答案为：30，30.
(2)依题意，40%×360°=144°
∴扇形统计图中96分所占圆心角度数是144度，
故答案为：144.
【分析】(1)根据得分为84分人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数，然后即可计算出m的值；
(2)根据扇形统计图中的数据，运用96分所占的百分比与360相乘，即可作答；
(3)根据扇形统计图中的数据，可以计算出获得满分的学生人数.
22．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
由题意可知，将(2，100)和(5，100)代入y=kx+b中得，
解得：
∴y与x之间的函数关系式为y=20x+60(0（2）解：根据题意得(60-x-40)×(20x+00)=2400
整理得：x2-17x+60=0，
解得：x1=5，x2=12
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x=12
答：这种菠萝蜜每千克应降价12元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求出函数关系式；
(2)根据总利润=每千克的利润×销量，列一元二次方程，解方程即可.
23．【答案】解：如图，∵，
∴，
在中，∵，
∴米，
在中，∵，
∴（米），
∴（米） ，
答：这条江的宽度AB约为732米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先求出 米， 再利用锐角三角函数求解即可。
24．【答案】（1）4
（2）解：如图，过点D作DH⊥BC于H，
∴四边形ADHB是矩形，
∴DH=AB=8，BH=AD=10，
∵BE=6，
∴HE=4，
∵∠B=∠DEF=90°，
∴∠BFE=∠DEH，
又∵∠B=∠DHE=90°，
∴△BFE∽△HED，
∴，
∴，
∴BF=3，
∴
=8×10 -
=55；
（3）解：过点C作EFAB，过点D作EF的垂线交EF于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥EF于点F，
则FB=EH=10，
由（1）知△ECD∽△FBC，
∴，
∴EC=5，
设ED=x，则CF=2x，HD=(10-x)，HA=(2x+5-8)=(2x-3)，
∴
=10×(2x+5)-
==61
解得：，
∴ED=2，
∴CD=．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠DPA+∠CPB=90°，
∵∠DPA+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠CPB，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∵AP=2，PC=2DP，
∴，
∴BC=4；
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠ADP=∠CPB，证明△ADP∽△BPC，然后结合AP=2，PC=2DP以及相似三角形的性质进行计算；
（2）过点D作DH⊥BC于H，则四边形ADHB是矩形，DH=AB=8，BH=AD=10，由同角的余角相等可得∠BFE=∠DEH，证明△BFE∽△HED，根据相似三角形的性质可得BF，然后根据S四边形ADEF=S四边形ADHB-S△BFE-S△DHE进行计算；
（3）过点C作EF∥AB，过点D作EF的垂线交EF于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥EF于点F，则FB=EH=10，由（1）知△ECD∽△FBC，根据相似三角形的性质可得EC=5，设ED=x，则CF=2x，HD=10-x，HA=2x-3，然后根据S四边形ABCD=S矩形BFEH-S△BFC-S△CED-S△AHD=61结合矩形、三角形的面积公式可得x，再利用勾股定理进行计算.
25．【答案】（1）解：将A(-1，0)，C(0，2)代入得
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形.
理由如下：
根据等腰三角形性质，分两种情况讨论，如图所示：
∵
∴对称轴为直线
∵C(0，2)，
∴
设
①当CD=CP时，，解得n=4或n=0(舍去)，
②当CD=DP时，，解得或
综上所述：P点坐标为或或
（3）解：当点E运动到(2，1)位置时，△CBF的面积最大.
理由如下：
令y=0，则，解得x=4或x=-1，
∴B(4，0)
设直线BC的解析式为y=kx+b，得
解得
∴直线BC的解析式为，
过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点F，如图所示：
设，则，
∴
∵，抛物线开又向下，EF有最大值，
∴当t=2时，EF最大为2，
∵
∴当t=2时，△CBF的面积最大，最大值为4，此时E(2，1).
答：△CBF的最大面积为4，此时E(2，1).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)根据A(-1，0)，C(0，2)，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
(2)可设出P点坐标，则可表示出PC、PD和CD的长，分PD=CD、PC=CD两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标；
(3)首先根据B、C的坐标求得直线BC的解析式，可设E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出EF的长，可表示出△CBF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标.
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