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2026学年七年级数学下学期期末测试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．）
1．如皋是一座拥有1600多年建县历史的历史文化名城，以长寿文化著称，被列为世界长寿之乡．“如皋”一词由“如”和“皋”组成，“如”为动词，意为“前往”或“到”，“皋”指“水边的高地”，整体意为“前往水边的高地”．下列是“皋”的几种不同的字体，其中可看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在国内投寄一封平信应付邮资如下表：
信件质量（克）
邮资（元/封）
某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（ ）
A．克 B．克 C．克 D．克
4．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
5．如图，四边形、均为正方形，其中，，，正方形与正方形重叠部分的面积为28，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．116 B．88 C．90 D．92
6．解方程组时，一学生把c看错而得到，而正确的解是，那么a，b，c的值是（ ）
A．不能确定 B．，， C．a、b不能确定， D．，，
7．已知实数 满足：，求代数式的值（ ）
A．6 B．2 C．-4 D．-8
8．若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为( )
A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．_______
10．用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是_____．
11．若代数式是一个完全平方式，则___________．
12．已知，用只含的代数式表示，则___________．
13．如图，将长方形纸片沿折叠后，点A、B分别落在、的位置，再沿边将折叠到处，已知，则的度数是_______．
14．关于的不等式组的解集中任意一个的值均不在的范围内，则的取值范围是_____．
15．如图，在 ABC中，，，∠B=90 ，将 ABC沿方向平移个单位得（其中，，的对应点分别是，，），设交于点，若的面积比的大7，则代数式的值为__________．
16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝_____．
三、解答题（本大题共11小题，满分82分．）
17．（5分）计算：
(1)； (2)．
18．（5分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）（1）解方程组； （2）解不等式组．
20．（6分）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程．
(1)条件： ，结论： ；（填序号）
(2)证明：
21．（6分）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中， ABC的三个顶点，，均在格点上.
(1)将 ABC向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出；
(2)画出 ABC关于点对称的；
(3)绕某点旋转可以得到，画出旋转中心的位置.
22．（8分）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”．
(1)求2，的“和方差数”；
(2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值；
(3)若，求，的“和方差数”．
23．（8分）（1）观察发现：材料：解方程组，将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组的解为__________；
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组；
（3）若，则的值为__________；
（4）拓展运用：若关于的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值__________．
24．（8分）请根据以下素材，完成任务．
学校消防演练效率问题
背景 某校新建了一栋教学楼，现有24个班级，每个班学生最多45人，教师共120人．该教学楼共有4道门可进出（1道正门，3道侧门，其中3道侧门的大小相同）．
素材1 安全检查中，对这4道门进行了测试：正常情况下，当同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟内可以平均通过260人；当同时开启一道正门和一道侧门时3分钟内可以平均通过540人．
素材2 在消防演练中发现，紧急情况下，因人群拥挤，出门的效率将比正常情况下降低．安全检查规定：在紧急情况下全大楼的师生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．
素材3 为了提高出门效率，学校安排值班教师在门口值班，此时每道门每分钟出门人数可以增加．
解决问题
任务1 正常情况下，平均一分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少人？
任务2 该大楼建设4道门是否符合安全检查规定？请说明理由．
任务3 学校拟新增a个班级，每个班学生最多45人．在有老师值班时，为保证紧急情况下全大楼的师生仍能通过这4道门安全撤离，求a的最大值．
25．（10分））阅读理解并解答：
我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
例如：①，
∵是非负数，即，∴，
则当时，代数式的最小值是2；
②，
∵是非负数，即，∴，
则当时，代数式存在最小值－7．
(1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______；
(2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值；
(3)知识拓展：若，求的最小值．
26．（10分）【操作拼图】在桌面上，把一副三角板摆成如图1的位置，其中两直角边和重合，边和相交于点，点和点重合，．
（1）在上述图形中， ．
【问题探究】在图1的基础上，让三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转．
（2）在旋转过程中，以下说法正确的是 ．（填对应序号）
①；②；③；④
【综合运用】将一副三角板按照图3摆好后，让三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，三角板也绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当三角板旋转角度达到时，两三角板停止旋转．
（3）设三角板的旋转时间为秒，在旋转过程中，当三角板中某一边与垂直时，求的值．
27．（10分）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”．
(1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程．
(2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和．
(3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
2．C
解：A. 不是同类项，不能合并，故原计算错误；
B. ，原计算错误；
C. ，计算正确；
D. ，原计算错误；
故选：C．
3．C
解：由表格可知，当信件质量满足时，邮资为元，
∴此平信的质量可能为克，
故选：．
4．B
解：当时，，而，
说明命题“如果，那么”是假命题，
故选：B．
5．B
解：设，
∵四边形、均为正方形，且，，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∵正方形与正方形重叠部分的面积为28，
∴，
∴正方形的面积为，
∴图中阴影部分的面积为．
故选：B．
6．B
把和分别代入，得，
得：，
将代入①解得：，
把代入得：，
∴，
故选：B．
7．B
解:
，
∴，
，
，
，
，
故选：B
8．B
不等式组整理得：，
由不等式组至少有1个整数解，得到，
解得：，
解方程组，得，
关于，的方程组的解为正整数，
或或，
解得或或，
所有满足条件的整数的值的和是．
故选：B．
二、填空题
9．
解：．
故答案为：．
10．0
解：当时，，而，
说明命题“如果，那么”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
11．或10
解：∵是一个完全平方式，
故将写成，
根据多项式对应项的系数相等，得到，
故答案为：或10．
12．
解：，
由①得：③，
把③代入②得：．
故答案为：．
13．
解：根据折叠的性质可得，，
设，则，
∴，
由可得：，
解得：，
即．
故答案为：．
14．/．
解：，
解不等式得：
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
∵关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围内，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
15．
解：∵，，∠B=90 ，将 ABC沿方向平移个单位得，
∴，，
的面积比的大7，即，
，
，
，
，
，
∴．
16．0或或．
解：由题意得：，
即，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
∵n为非负整数，即x非负数
，
，
为非负整数，
或或，
解得或或，
故答案为：0或或．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
；
18．解：
，
，
，
原式．
19．解：（1），
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴不等式组的解集为；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
20．（1）解：条件：①②，结论：③；（或条件：②③，结论：①；或条件：①③，结论：②）
（2）证明：选条件：①②，结论：③
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（平行于同一直线的两条直线平行）．
选条件：①③，结论：②
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∵，
∴（平行于同一直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
选条件：②③，结论：①
∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
∵，
∴（平行于同一直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
21．（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：如图所示，点即为所求．
22．（1）解：
（2）是，的“和方差数”
，即
，
（3）
23．解：（1）
由①得出，然后将整体代入②式得∶
，
解得：，
把代入，
解得：，
则方程组的解为：
（2）
由①得出，
把代入②得：
解得：，
把代入，
解得：，
则方程组的解为：
（3）∵，
则
（4）
由①②得：，
即，
∵
∴，
解得：，
则满足条件的的所有正整数值为1，2，3，4．
24．（1）解：设平均一分钟一道正门可通过x人，一道侧门可通过y人.
根据题意，得，
解得：
答：平均一分钟一道正门可通过100人，一道侧门可通过80人.
（2）解：根据题意，得（人），
故在紧急情况下全大楼的师生在5分钟内通过这4道门安全撤离，可以撤离1360人．
全校共有师生人数为：（人），
∵，
∴符合安全检查规定.
（3）解：新增a个班后，全校师生总人数为人，
紧急情况下，输出人数人，
由题意得，，
解得：.
∵是自然数，
∴的最大值是6.
25．（1）解：，
，
当，即时，代数式取得最小值，最小值为．
故答案为：3，3；
（2）解：
，
，；
当，即时，有最大值，最大值；
（3）解：由得；
则，
当时，取得最小值，最小值为．
26．解：（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
故答案为：；
（2）①∵，，
∴，故①正确；
②∵，，，，
∴即
∴，故②正确；
③∵，，
∴
，故③正确；
④∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④错误；
故答案为：①②③；
（3）情况1：如图，当时，
∵，，
∴，
∵旋转后角度差，
∴，
解得；
情况：如图，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵旋转后角度差，
∴，
解得，
情况：如图，当时，
∵，，
∴，
∴
∵旋转后角度差，
∴，
解得，
故的值为、、．
27．（1）解：解不等式组：，得，
其绝对距离为；
不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解，
不等式组B对于不等式组绝对包含；
（2）解：不等式组：有解，
，其绝对距离为；
解不等式组，得；
不等式组D对于不等式组绝对包含，
是的解，即，
由不等式①得，
解得：，
，
，此条件与不等式组C有解的条件一致，
由不等式②得；
又，且，
整数的取值为；
这些整数的和为；
（3）解：解不等式组：，得，
不等式组有解，
，解得，
其绝对距离为；
解不等式组：，不等式组有解，
，解得，该条件在时自动满足；
不等式组对于不等式组绝对包含，
是的解，即，解得，
结合，
的取值范围为.

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