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第二十三章《一次函数》 单元综合测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．有下列函数：①y＝x，②，③y＝﹣2x﹣3，④y＝kx+b，⑤y＝x2﹣1，其中是一次函数的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．关于一次函数y＝﹣2x+4的图象，下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．经过二、三、四象限
C．与x轴的交点坐标为（﹣2，0）
D．当x＜2时，y＞0
3．小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如表：
x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 …
y … 9 5 1 ﹣2 ﹣7 …
经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（　　）
A．9 B．5 C．1 D．﹣2
4．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程（a﹣1）x+b﹣5＝0的解（　　）
A．x＝10 B．x＝15 C．x＝20 D．x＝25
5．已知一次函数y＝ax+b（a，b是常数）的图象经过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（　　）
A．x＜﹣2 B．x＜2 C．x＞2 D．x＞﹣2
6．若A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝ax﹣x+2图象上不同的两点，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则a的取值范围为（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1
7．当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m+1最小值为6，则实数m的值为（　　）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
8．一次函数y1＝ax+b与一次函数y2＝bx﹣a（a，b均为常数，且ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣4上时，线段BC扫过的面积为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．甲、乙两人在一条400m长的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3s，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（m）与乙出发的时间x（s）之间的函数关系如图所示，有下列结论：①乙的速度为5m/s；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12m；③甲、乙两人之间的距离超过32m的时间范围是44＜x＜89；④乙到达终点时，甲距离终点还有68m．其中正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若关于x的函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为　 　 ．
12．若直线y＝（k+2）x+k+3（k是常数）的图象不经过第三象限，则k的取值范围为　 　 ．
13．一次函数y＝kx+b的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，则b的值是　 　 ．
14．已知一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2（k1，b1，k2，b2均为常数）的图象交于点（2，3），则关于x，y的方程组的解是 　 　 ．
15．小明发现：在一次函数y＝kx+b中，x每增加1，kx增加k，b不变，因此y也增加k．即横坐标差为1时，纵坐标差等于k．一次函数y＝kx+b经过点A（1，1），当自变量x增加2时，函数值y增加4，则该一次函数的解析式为　 　 ．
16．标有刻度的线香在古代主要用于计时，通常被称为“更香”或“计时香”，其原理是基于线香燃烧速度的相对稳定性，根据香燃烧的长度来估算时间．已知某型号线香燃烧过程中剩余长度h（cm）与燃烧时间t（分）满足一次函数h＝h0+kt，其中线香初始长度h0＝21cm．若燃烧30分钟时，线香剩余7cm，则k的值为　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）已知y与x+3成正比例，当x＝﹣2时，y＝4．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a的值．
18．（6分）已知一次函数y＝（m﹣2）x+3m﹣1．
（1）图象经过（﹣1，2），求m的值；
（2）y随x的增大而减小，求m的取值范围；
（3）函数图象不经过第三象限，求m的取值范围．
19．（6分）一个一次函数，当自变量x＝1时，函数值y＝﹣2；当x＝2时，函数值y＝0．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积；
（3）当﹣3＜y≤2时，自变量x的取值范围是　 　 ．
20．（8分）农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产．已知销售1盒普洱茶和2盒鲜花饼，共可获利50元；销售2盒普洱茶和3盒鲜花饼，共可获利85元．
（1）求每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润；
（2）若该直播间计划购进两种特产共1000盒，其中普洱茶的数量不少于200盒，且不超过鲜花饼数量的，该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润．
21．（8分）如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2．
（1）求一次函数y2的函数解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）问：在坐标轴上，是否存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）在学习了函数相关的知识后，小明同学想要借助函数图象求解不等式|x﹣1|﹣3≥0．
（1）他选择通过描点法画函数y＝|x﹣1|﹣3的图象．
自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 0 ﹣1 ﹣2 ﹣3 m ﹣1 0 …
其中，m＝　 　 ；
根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象；
根据函数图象，直接写出不等式|x﹣1|﹣3≥0的解集为　 　 ；
（2）若关于x的函数y＝|x﹣1|﹣3+b的图象上到x轴的距离等于1的点恰好有4个，则b的取值范围为　 　 ．
23．（10分）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的页数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费，两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）【基础设问】
①乙复印社要求客户每月支付的会员费是　 　 元，甲复印社每页收费是　 　 元．
②求出乙复印社的收费y乙（元）关于复印页数x的函数表达式，并说明一次项系数的实际意义．
③如果每月复印200页，应选择哪家复印社？请说明理由．
（2）【能力设问】
①顾客如何选择复印社更划算？请通过计算说明．
②已知市场上有两种纸可供复印社选择，每包A型纸和每包B型纸的售价分别是15元和20元．现在商家对复印纸张价格进行调整，其中A型纸的售价上涨20%，B型纸按原价出售．甲复印社准备购进这两种型号的纸共50包（要求两种型号的纸均购买），并且A型纸的数量不超过B型纸数量的2倍，求购买这50包复印纸的最少费用．
参考答案
一．选择题
1．解：根据一次函数定义逐项分析判断如下：
①y＝x是一次函数；
②中x在分母位置，不是一次函数；
③y＝﹣2x﹣3是一次函数；
④当k＝0时不是一次函数；
⑤y＝x2﹣1中x的次数不是1，不是一次函数；
综上可知，一次函数有2个，
故选：C．
2．解：A、∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
B、∵k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
∴函数图象经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意；
C、令y＝0，得﹣2x+4＝0，解得x＝2，
∴函数图象与x轴的交点坐标为（2，0），原说法错误，不符合题意；
D、∵y随x的增大而减小，当x＝2时，y＝0，
∴当x＜2时，y＞0，正确，符合题意．
故选：D．
3．解：由题知，
当x＝﹣6时，y＝9，当x＝﹣4时，y＝5，
则x增加2，y减少4．
当x＝0时，y＝﹣2，
不满足x增加2，y减少4的要求；
当x＝2时，y＝﹣7，
满足x增加2，y减少4的要求．
所以﹣2是计算错误的函数值．
故选：D．
4．解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴当x＝20时，x+5＝ax+b＝25，
∴方程（a﹣1）x+b﹣5＝0的解为x＝20．
故选：C．
5．解：由条件可知a＜0，函数值y随x的增大而减小，
∵一次函数图象与x轴交于点（2，0），
∴当y＝0时，x＝2，
不等式ax+b＞0，即y＞0，
结合函数增减性可得：x＜2．
故选：B．
6．解：∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
∴x1﹣x2与y1﹣y2异号，
∴当x1＞x2时，y1＜y2，当x1＜x2时，y1＞y2，
∵若A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝ax﹣x+2图象上不同的两点，
∴y随x增大而减小，
∵y＝ax﹣x+2＝（a﹣1）x+2，
∴a﹣1＜0，
解得a＜1，
故选：D．
7．解：当m+1＞0（m＞﹣1）时，此一次函数y的值随自变量x值的增大而增大，
∴当x＝2时，此一次函数有最小值，
∴2（m+1）+m+1＝6，
∴m＝1，满足m＞﹣1；
当m+1＜0（m＜﹣1）时，此一次函数y的值随自变量x值的增大而减小，
∴当x＝5时，此一次函数有最小值，
∴5（m+1）+m+1＝6，
∴m＝0，不满足m＜﹣1，
综上所述，m＝1．
故选：B．
8．解：A：函数y1＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，函数y2＝bx﹣a的图象经过第二、三、四象限，则a＞0，b＜0，故选项A符合题意；
B：函数y1＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，函数y2＝bx﹣a的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＜0，故选项B不符合题意；
C：函数y1＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，函数y2＝bx﹣a的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＜0，故选项C不符合题意；
D：函数y1＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0时，函数y2＝bx﹣a的图象经过第二、四象限，则a＝0，b＜0，故选项D不符合题意．
故选：A．
9．解：∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），
∴OA＝1，AB＝3，
∵∠CAB＝90°，BC＝5，
∴，
将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣4上时，如图，
根据平移的性质得：BC＝B′C′，CC′＝BB′，A′C′＝AC＝4，
∴四边形BB′C′C是平行四边形，
当y＝4时，2x﹣4＝4，
解得：x＝4，
∴OA′＝4，
∴AA′＝BB′＝OA′﹣OA＝4﹣1＝3，
∴平行四边形BB′C′C的面积＝BB′×A′C′＝3×4＝12．
即线段BC扫过的面积为12，
故选：C．
10．解：由图象可知，乙80秒到达终点，
∴400÷80＝5（米/秒），
∴乙的速度为5米/秒，
故①正确；
由图象可知，甲3秒行12米，
∴12÷3＝4（米/秒），
∴甲的速度是4米/秒，
甲、乙两人第一次相遇，则12+4x＝5x，
解得x＝12，
∴5×12＝60（米），
∴甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米，
故②错误；
当x＝12时，两人第一次相遇，即y＝0；
当x＝80时，乙行400米，甲行4×（3+80）＝332（米），
∴400﹣332＝68（米），
此时两人的距离是68米，
故④正确；
当x＝80时，y＝68，
设当12≤x≤80时，y＝kx+b，
则，
解得，
∴y＝x﹣12，
∴当y＝32时，x﹣12＝32，
解得x＝44；
当乙到达终点时，甲到达终点还需要68÷4＝17（秒），
设当80＜x≤97时，y＝mx+n，
则，
解得，
∴y＝﹣4x+388，
当y＝32时，﹣4x+388＝32，
解得x＝89，
∴甲、乙两人之间的距离超过32m的时间范围是44＜x＜89，
故③正确．
故选：B．
二．填空题
11．解：若关于x的函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，
则k2﹣1＝0且k+1≠0，
解得：k＝1，
故答案为：1．
12．解：∵直线y＝（k+2）x+k+3（k是常数）的图象不经过第三象限，
∴，
解得﹣3≤k≤﹣2．
故答案为：﹣3≤k≤﹣2．
13．解：一次函数y＝kx+b的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，则：
当x＝0时，y＝kx+b＝b，即一次函数图象与y轴交点为（0，b），
已知一次函数图象过点（2，0），即与x轴交点为（2，0），
根据三角形面积公式得：，
化简得|b|＝4，
解得b＝4或b＝﹣4．
故答案为：4或﹣4．
14．解：把一次函数y1＝k1x+b1的图象向右平移一个单位得到y＝k1（x﹣1）+b1，把一次函数y2＝k2x+b2的图象向右判一个单位得到y＝k2（x﹣1）+b2，
∵一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2（k1，b1，k2，b2均为常数）的图象交于点（2，3），
∴一次函数y＝k1（x﹣1）+b1与y2＝k2（x﹣1）+b2的图象交于点（3，3），
∴关于x，y的方程组的解为．
故答案为：．
15．解：由题意得，当自变量x增加2时，函数值y增加4，
∵图象过A（1，1），
∴y＝kx+b也过点（3，5），
∴，
∴，
∴该一次函数的解析式为y＝2x﹣1，
故答案为：y＝2x﹣1．
16．解：线香燃烧过程中剩余长度h（cm）与燃烧时间t（分）满足一次函数h＝h0+kt，
将h0＝21cm，t＝30，h＝7cm代入h＝h0+kt得：
7＝21+30k，
解得，
故答案为：．
三．解答题
17．解：（1）∵y与x+3成正比例，
∴设y＝k（x+3），
∵当x＝﹣2时，y＝4，
∴k（﹣2+3）＝4，
∴k＝4，
∴y＝4（x+3）＝4x+12，即y＝4x+12；
（2）∵点（a，﹣2）在这个函数的图象上，
∴4a+12＝﹣2，
解得．
18．解：（1）∵一次函数y＝（m﹣2）x+3m﹣1的图象经过（﹣1，2），
∴2＝﹣（m﹣2）+3m﹣1，
解得：m，
∴m的值为．
（2）∵y随x的增大而减小，
∴m﹣2＜0，
解得：m＜2，
∴m的取值范围为m＜2．
（3）∵一次函数y＝（m﹣2）x+3m﹣1的图象不经过第三象限，
∴，
解得：m＜2，
∴m的取值范围为m＜2．
19．解：（1）设一次函数解析式：y＝kx+b，
∵当自变量x＝1时，函数值y＝﹣2；当x＝2时，函数值y＝0，
∴，
∴k＝2，b＝﹣4．
∴所求解析式为y＝2x﹣4；
（2）由题意，结合（1）y＝2x﹣4，
∴令x＝0，y＝﹣4，故与y轴交点（0，﹣4）；
令y＝0，2x﹣4＝0，则x＝2，故与x轴交点（2，0），
∴图象与两条坐标轴围成的三角形面积；
（3）由题意，∵y＝2x﹣4，k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大．
又∵令y＝﹣3，即y＝2x﹣4＝﹣3，则x；令y＝2，即y＝2x﹣4＝2，则x＝3，
∴当﹣3＜y≤2时，．
故答案为：．
20．解：（1）设每盒普洱茶的利润为a元，每盒鲜花饼的利润为b元，
由题意得，
解得，
故每盒普洱茶的利润为20元，每盒鲜花饼的利润为15元．
（2）设购进普洱茶x盒，销售总利润为y元，
由题意得y＝20x+15（1000﹣x）＝5x+15000，
根据题意可知，
解得200≤x≤400，
∵5＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝400时，y取得最大值，最大值为5×400+15000＝17000，
此时，鲜花饼的数量为1000﹣400＝600（盒），
故购进普洱茶400盒，鲜花饼600盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为17000元．
21．解：（1）把x＝2代入y1＝2x﹣2得y＝2，
∴C（2，2），
设y2＝kx+b（k≠0），
把B（0，6），C（2，2）代入可得：
，
解得：，
∴y2＝﹣2x+6．
（2）∵一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，
∴A（0，﹣2），
∴；
（3）存在，理由如下：
∵S△ACP＝2S△ABC＝2×8＝16，
∴S△ACP＝16，
当P在y轴上时，，即，
∴|AP|＝16，
∵A（0，﹣2），
∴点P的坐标为（0，14）或（0，﹣18），
当P在x轴上时，设直线y1＝2x﹣2与x轴交于点D，
∴D（1，0），
∴，
∴，
∴|PD|＝8，
∵D（1，0），
∴点P的坐标为（﹣7，0）或（9，0），
综上，在坐标轴上，存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC，点P的坐标为（0，14）或（0，﹣18）或（﹣7，0）或（9，0）．
22．解：（1）当x＝2时，m＝y＝|2﹣1|﹣3＝﹣2，
∴m＝﹣2；
描点，画出函数图象如下：
观察函数图象可得，当x≤﹣2或x≥4时，|x﹣1|﹣3≥0，
∴x≤﹣2或x≥4．
故答案为：﹣2；x≤﹣2或x≥4．
（2）∵y＝|x﹣1|﹣3+b的图象上到x轴的距离等于1的点恰好有4个，
∴|x﹣1|﹣3+b＝1有2个解，|x﹣1|﹣3+b＝﹣1也有2个解，
即|x﹣1|﹣3＝1﹣b和|x﹣1|﹣3＝﹣1﹣b都有2个解，
由（1）中的函数图象可得，
∴b＜2．
故答案为：b＜2．
23．解：（1）①由图可知，乙复印社要求客户每月支付的会员费是18元；
甲复印社每页收费是10÷50＝0.2（元），
故答案为：18，0.2；
②设乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝kx+b，由题意可得：
，
解得：，
∴乙复印社收费情况为y＝0.08x+18；
一次项系数的实际意义为在每月支付会员费18元的基础上，每页收费0.08元
③应选择乙复印社．理由如下：
由①知，y甲＝0.2x（x≥0）．
当x＝200时，甲复印社的费用为：0.2×200＝40（元），乙复印社的费用为：0.08×200+18＝34（元），
∵40＞34，
∴每月复印200页，应选择乙复印社；
（2）①当y甲＞y乙时，0.2x＞0.08x+18，解得x＞150；
当y甲＝y乙时，0.2x＝0.08x+18，解得x＝150；
当y甲＜y乙时，0.2x＜0.08x+18，得0≤x＜150．
综上所述，当复印的页数大于150时，选择乙复印社更划算；
当复印的页数小于150时，选择甲复印社更划算；
当复印的页数等于150时，选择两家复印社都一样；
②设购买A型纸m包，购买50包复印纸的总费用为w元，
由题意，得w＝15×（1+20%）m+20（50﹣m）＝﹣2m+1000．
∵m≤2（50﹣m），0＜m＜50，
∴，且m为正整数．
∵﹣2＜0，
∴w的值随m的值的增大而减小，
∴当m＝33时，w的值最小，是934，
∴购买这50包复印纸的最少费用是934元．

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