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2025--2026年学年八年级下册数学期末试卷01
八年级数学
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分；
2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号；
3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交；
4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应．
试题卷
选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．下列等式正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可.
3．如图， 在△ABC中， ∠C=90°， AB=6， AC=5， 将△ABC绕点 A逆时针旋转得到△AB' C' ， 使点 C的对应点 C' 恰好落在边 AB上， 则 BB' 的长为 (　　)
A．4 B． C． D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：在Rt中，根据勾股定理可得：BC=
∴B'C'=BC=，AC'=AC=5，∠B'C'A=90°，
∴BC'=AB-AC'=6-5=1，
∴BB'=
故答案为：C .
【分析】首先根据勾股定理得出BC的长度，进而根据旋转的性质得出B'C'=BC=，AC'=AC=5，∠B'C'A=90°，进一步得出BC'=AB-AC'=6-5=1，再根据勾股定理即可得出BB'=。
4．方程 的根的情况为(　　)
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵Δ=22-4×1=0
∴方程有两个相等的两个实数根
故答案为：B.
【分析】先确定一元二次方程的系数，再计算判别式的值，最后根据判别式判断根的情况.
5．如图，在矩形中，对角线、交于点．若，，则矩形的面积为
A．28 B．48 C．50 D．120
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行四边形的面积
6．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘最小值和上边缘最大值，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数。异常值是明显偏离样本的个别值。已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（　　）
A．一班成绩比二班成绩集中
B．一班成绩的上四分位数是80分
C．一班有同学的成绩超过140分
D．一班的平均分高于二班的平均分
【答案】C
【知识点】箱线图；四分位数
【解析】【解答】选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误；
选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（下四分位数），因此B错误；
选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确；
选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误．
故答案为：C.
【分析】对比两班箱线图的特征，逐项判断解答即可．
7．如图，□ABCD中，点E，F分别是AD，AB边上的中点，连接EF，CE，CF.若△CEF是等腰直角三角形，∠CEF=90°，AB=2，则CF的长是（　　）
A．3 B． C． D．3.5
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：延长FE和CD交于点G
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，CD=AB=2
∴∠G=∠AFE，∠EDG=∠A
∵E是AD的中点
∴DE=AE
∴△EDG≌△△EAF
∴EG=EF，DG=AF
∵∠CEF=90°
∴CE垂直平分FG
∴CF=CG
∵F是AB边上的中点
∴
∴CG=CD+DG=3
∴CF=3
故答案为：A
【分析】延长FE和CD交于点G，根据平行四边形性质可得AB∥CD，CD=AB=2，则∠G=∠AFE，∠EDG=∠A，根据线段中点可得DE=AE，再根据全等三角形判定定理可得△EDG≌△△EAF，则EG=EF，DG=AF，根据垂直平分线判定定理可得CE垂直平分FG，则CF=CG，根据线段中点可得AF，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道(如图)，这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道.已知汽车在避险车道上的速度 v随路程x的关系式为 并且避险车道坡比(斜坡竖直高度：水平宽度)为1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为100m，则刚进入避险车道时的速度是(　　)
A． B． C．20m/s D．
【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵避险车道坡比为1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为100m，
∴汽车在避险的斜坡竖直高度为20m，
由勾股定理得：汽车进入避险车道行驶的距离为：(m)，
则
解得：，
故答案为：A.
【分析】根据坡度的概念求出汽车在避险的斜坡竖直高度，根据勾股定理求出汽车进入避险车道行驶的距离，代入公式计算得到答案.
9． 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O， AC⊥BC.∠DBC=30°， OC=2，则AB的长是（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2×OC，
∵OC=2，
∴AC=2×2=4，
∵AC⊥BC，
∴△OBC是直角三角形，∠OCB=90 。
又∠DBC=30 ，OC=2。
tan30 =
∴BC==，
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90 。
∵AC=4，BC=，
∴AB==，
因此，AB的长是，
故答案为：C.
【分析】先利用平行四边形的性质求出对角线AC的长度；再在Rt△OBC中，直接用三角函数的定义tanθ=，结合已知的∠DBC=30 和对边OC=2，求出邻边BC的长度；最后在Rt△ABC中，用勾股定理求出斜边AB的长度。
10．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍，则称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程说法
①方程x2-3x+2=0是2倍方程； ②若(x-3)(mx+1)=0为3倍方程，则
③若p，q满足 pq=8，则关于x的方程 为2倍方程；
④若关于 x的方程 为n倍方程，则
正确的个数有(　　)个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由 得，
因为2=1×2，
所以该方程是2倍方程.
故①正确；
由(x-3)(mx+1)=0得，
因为该方程是3倍方程，
所以 或
解得m=-1或
故②错误；
令关于x的方程 的两根为m和2m，则
所以
则
整理得，pq=8，
所以 pq=8时关于x的方程 为2倍方程.
故③正确；
令关于x的方程 的两根为α和nα，则
所以
因为
所以
所以
化简得，
故④正确.
故选：C.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式及所给“n倍方程”的定义，对所给说法依次进行判断即可.
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的乘法
12．若一组数据x1，x2，x3与平均数的差分别为-1，2，3，则这组数据的离差平方和是　 　.
【答案】14
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：设这组数据的平均数为，
由题意得，，，，
∴这组数据的离差平方和是.
故答案为：14.
【分析】离差平方和是每个数据与平均数差值的平方的总和，已知每个数据与平均数的差值，只需将这些差值分别平方后相加即可得到离差平方和.
13．若x=1是方程 的一个解，那么代数式a+b的值是　 　.
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴12+a+b=0，
∴a+b=-1.
故答案为：-1.
【分析】将x=1代入到x2+ax+b=0中即可求得a+b的值.
14．如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∵将线段AE绕点A逆时针旋转得到AF，
∴AE=AF， ∠EAF=90°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴BE=DF， ∠ADF=∠ABE=45°，
∴∠EDF=90°，
∵MN⊥BD，
∴MN∥DF，
∵点M为EF中点，
∴EN=DN，
∴MN是△EDF的中位线，
∴BE=DF=2EF=2，
故答案为：
【分析】连接DF，根据正方形的性质得到 求得 根据旋转的性质得到 求得 根据全等三角形的性质得到 得到 根据三角形中位线定理得到BE=DF=2EF=2，于是得到结论.
15．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠AOD=135°，则 ABCD的面积为　 　.
【答案】2+2
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，
∴OA=AC=，BD=2OB，
过点A作AE⊥BD，如图：
∵∠AOD=135°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE为等腰直角三角形，
∴AE=OE=OA=1，
∵∠ABD=30°，
∴AB=2AE=2，
∴BE=AE=，
∴OB=OE+BE=1+，
∴BD=2OB=2+2，
∴ ABCD的面积=2S△ABD=2× BD AE=2+2．
故答案为：2+2．
【分析】 本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，过点A作AE⊥BD，易得△AOE为等腰直角三角形，△AEB为含30度角的直角三角形，进而求出OB，AE的长，得到BD的长，进而求出△ABD的面积，根据 ABCD的面积为△ABD的面积的2倍，即可得出结果．
16．已知m，n是方程的两个根．记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为　 　．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：由条件可得，mn=1，
对于任意正整数t有：
由于mn=1，则mtnt=(mn)t=1代入得：
∵，mn=1，
∴m>0，n>0，
∴2+mt+nt>0
∴恒成立，
因此S1+S2+…+St=t×1=t，
∵S1+S2+…+St=t2-90
∴t=t2-90.
整理得t2-t-90=0
解得t=10或t=-9(舍去)
故t=10
故答案为：10.
【分析】由根与系数的关系得，mn=1，计算，通分后恒等于1，故S1+S2+…+St=t，代入方程 t=t2-90求解即可.
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：

（2）解：
=2-3-5
=-6
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题以二次根式的混合运算为背景，考查了二次根式的化简、合并同类二次根式、平方差公式及二次根式的平方。
(1) 先将各二次根式化为最简形式，再合并同类项。
(2) 利用平方差公式计算前两项，再计算()2，最后求差。

18．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
，
（2）解：
或
解得，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用因式分解解一元二次方程即可求解；
(2)利用因式分解解一元二次方程即可求解.
19．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
（1）若，求线段的长．
（2）若的面积为2，求平行四边形的面积．
【答案】（1） 解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
可设，，
，
，
，
（2）解： 由（1）得，，
，
，
解得：，
，
解得：，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得，即可得到，然后根据对应边成比例得到，求出BD长即可；
（2）根据平行得到，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到，，解题即可.
20．2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）．
甲组成绩统计表
分数 7分 8分 9分 10分
人数 10 1 2
（1）求甲组成绩统计表中的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整；
（2）求甲组学生成绩的平均分和中位数；
（3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分．
【答案】（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为，
所以乙组人数为：，则8分人数为：
所以，甲组人数也为20，，
所以，的值为7；
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为；
（3）2
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为，
所以，这名学生至少增加2分．
【分析】
平均数，中位数等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念．
（1）观察扇形统计图和条形统计图，可“10分”的学生数及占比求出乙组总人数，再在甲且中用总人数分别减去成绩为“7、8、9分”的人数即可；
（2）利用加权平均数的公式即可求得平均数，由于甲组成绩已按照从小到大的顺序排列且总人数是20人，则中位数是第10名和第11名的平均值，即等于；
（3）先求出乙组的中位数，再根据甲的数据进行比较即可．
（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为，
所以乙组人数为：，则8分人数为：
所以，甲组人数也为20，，
所以，的值为7；
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为；
（3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为，
所以，这名学生至少增加2分．
21．如图，正方形的对角线相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）若平分，求的长．
【答案】（1）解：∵正方形，∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点E作，垂足为P，如下图所示，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）证明，即可得到；
（2）过点E作，垂足为P，根据角平分线定理得到，即可求得，在根据是等腰直角三角形即可求出的长．
22．如图；的两条对角线AC与BD交于点O，E，F是BD上的两点，且四边形AECF也是平行四边形.
（1）求证：BE=DF.
（2）若AB=2，BC=4，且AC⊥AB，求BD的长度.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形，
∴BO=DO，EO=OF，
∴BO-EO=DO-OF，即BE=DF；
（2），
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
由勾股定理得，
.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，利用线段的和差证明即可；
（2）先根据勾股定理求出AC长，即可得到AO长，再根据勾股定理求出BO长，利用平行四边形的性质解答即可．
23．综合与实践
新能源汽车停车场设计与收费问题
素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图.已知，阴影部分设计为停车位，面积为800m2，车位总数为60个，其余部分均为宽度为x米的道路.
素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.
素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值.方法如下：，由，得；∴代数式的最大值是7.
（1）求道路的宽是多少米
（2）设该停车场收到的月租金为y元，当每个车位的月租金上涨m（m是5的倍数）元时，试用含m的代数式表示停车场的月租金y.
（3）请求出该停车场月租金收入最高为多少元，此时每个车位月租金为多少元
【答案】（1）解：设道路的宽是x米，则由题意得：（52-2x）（32-2x）=800，
整理得：，
解得：（舍去），
答：道路的宽是6米.
（2）解：根据题意可得，
（3）解：，
，
，
∴当时，的最大值是，
此时每个车位月租金为（元）．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设道路的宽是x米，根据矩形的面积公式列方程，求出x的值取舍根解答即可；
（2）根据月租金=每个车位租金×租出车位的个数列函数关系式即可；
（3）仿照素材3的思路计算，然后根据偶次方的非负性解答即可．
24．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别在边BC，CD上。
（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积。
（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF。
【答案】（1）解： 在菱形ABCD中， AB = BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB=4，
∴等边△ABC底边BC上的高为
∴菱形ABCD的面积

（2）证明：如图，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AE'B， 则△AEE'为等边三角形，
∴∠AE'E = 60°，
∵∠AEF=60°，
-∠AEF =∠AEC-60°，
又∵∠BE'E =∠AE'B-∠AE'E =∠AE'B-60°，
∴∠BE'E =∠CEF，
∵∠B= 60°， 菱形的对边AB∥CD，
∴∠ECF=180°-60°=120°，
又∵∠E'BE =∠ABC+∠ABE'=∠ABC+∠ACB = 60°+60°= 120°，
∴∠E'BE=∠ECF，
在△EE'B和△FEC中，
∴△EE'B≌△FEC(ASA)，
∴BE=CF，
∴BC =CE+BE=CE+CF，
∵AB=BC，
∴AB=CE+CF.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)根据菱形的四条边都相等可得.AB=BC，然后求出 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出BC边上的高，再根据菱形的面积等于底边乘以高列式计算即可得解；
(2)将 绕点A顺时针旋转得到 易得 为等边三角形，然后利用“角边角”证明△EE'B和 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，从而得到BC=CE+CF，即可得证.
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2025--2026年学年八年级下册数学期末试卷01
八年级数学
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分；
2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号；
3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交；
4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应．
试题卷
选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
2．下列等式正确的是(　　)
A． B． C． D．
3．如图， 在△ABC中， ∠C=90°， AB=6， AC=5， 将△ABC绕点 A逆时针旋转得到△AB' C' ， 使点 C的对应点 C' 恰好落在边 AB上， 则 BB' 的长为 (　　)
A．4 B． C． D．5
4．方程 的根的情况为(　　)
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
5．如图，在矩形中，对角线、交于点．若，，则矩形的面积为
A．28 B．48 C．50 D．120
6．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘最小值和上边缘最大值，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数。异常值是明显偏离样本的个别值。已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（　　）
A．一班成绩比二班成绩集中
B．一班成绩的上四分位数是80分
C．一班有同学的成绩超过140分
D．一班的平均分高于二班的平均分
7．如图，□ABCD中，点E，F分别是AD，AB边上的中点，连接EF，CE，CF.若△CEF是等腰直角三角形，∠CEF=90°，AB=2，则CF的长是（　　）
A．3 B． C． D．3.5
8．五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道(如图)，这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道.已知汽车在避险车道上的速度 v随路程x的关系式为 并且避险车道坡比(斜坡竖直高度：水平宽度)为1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为100m，则刚进入避险车道时的速度是(　　)
A． B． C．20m/s D．
9． 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O， AC⊥BC.∠DBC=30°， OC=2，则AB的长是（　　）
A．4 B． C． D．
10．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍，则称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程说法
①方程x2-3x+2=0是2倍方程； ②若(x-3)(mx+1)=0为3倍方程，则
③若p，q满足 pq=8，则关于x的方程 为2倍方程；
④若关于 x的方程 为n倍方程，则
正确的个数有(　　)个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．计算的结果是　 　．
12．若一组数据x1，x2，x3与平均数的差分别为-1，2，3，则这组数据的离差平方和是　 　.
13．若x=1是方程 的一个解，那么代数式a+b的值是　 　.
14．如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则　 　．
15．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠AOD=135°，则 ABCD的面积为　 　.
16．已知m，n是方程的两个根．记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为　 　．
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
（1）
（2）
18．解下列方程：
（1）
（2）
19．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
（1）若，求线段的长．
（2）若的面积为2，求平行四边形的面积．
20．2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）．
甲组成绩统计表
分数 7分 8分 9分 10分
人数 10 1 2
（1）求甲组成绩统计表中的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整；
（2）求甲组学生成绩的平均分和中位数；
（3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分．
21．如图，正方形的对角线相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）若平分，求的长．
22．如图；的两条对角线AC与BD交于点O，E，F是BD上的两点，且四边形AECF也是平行四边形.
（1）求证：BE=DF.
（2）若AB=2，BC=4，且AC⊥AB，求BD的长度.
23．综合与实践
新能源汽车停车场设计与收费问题
素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图.已知，阴影部分设计为停车位，面积为800m2，车位总数为60个，其余部分均为宽度为x米的道路.
素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.
素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值.方法如下：，由，得；∴代数式的最大值是7.
（1）求道路的宽是多少米
（2）设该停车场收到的月租金为y元，当每个车位的月租金上涨m（m是5的倍数）元时，试用含m的代数式表示停车场的月租金y.
（3）请求出该停车场月租金收入最高为多少元，此时每个车位月租金为多少元
24．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别在边BC，CD上。
（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积。
（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF。
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