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第8课时　函数的奇偶性、周期性
[考试要求]　1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．2．会依据函数的性质进行简单的应用．
1．(多选)(北师大版必修第一册P67例2改编)给出下列函数，其中是奇函数的有 (　　)
A．f (x)＝x4 B．f (x)＝x5
C．f (x)＝x＋ D．f (x)＝
2．(苏教版必修第一册P134本章测试T8改编)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，若f (x)在区间(－∞，0)上单调递增，则下列关系式中成立的是 (　　)
A．f (－1)C．f (－1)f (3)
3．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)若f (x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f (x)＝2-x，则f (2 027)＝___________．
4．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f (x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)<0的解集为___________．
5．(湘教版必修第一册P86习题3.2T6改编)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝2x＋a，则a＝___________；当x<0时，f (x)＝___________．
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且___________，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于___________对称
奇函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且___________，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于______ 对称
[二级结论]
(1)如果函数f (x)是奇函数且在x＝0处有意义，则一定有f (0)＝0．如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|)．
(2)奇函数在两个关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在两个关于原点对称的区间上单调性相反．
(3)常见奇、偶函数的类型
①f (x)＝ax＋a-x(a>0，且a≠1)为偶函数．
②f (x)＝ax－a-x(a>0，且a≠1)为奇函数．
③f (x)＝(a>0，且a≠1)为奇函数．
④f (x)＝loga(a>0，且a≠1，b≠0)为奇函数．
⑤f (x)＝loga(±x)(a>0且a≠1)为奇函数．
⑥f (x)＝|ax＋b|＋|ax－b|为偶函数．
⑦f (x)＝|ax＋b|－|ax－b|为奇函数．
2．周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且___________，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个___________的正数，那么这个___________就叫做f (x)的最小正周期．
[二级结论]　函数周期性的常用结论
对f (x)定义域内任一自变量的值x(其中常数a≠0)：
(1)若f (x＋a)＝－f (x)，则2|a|是f (x)的一个周期；
(2)若f (x＋a)＝，则2|a|是f (x)的一个周期；
(3)若f (x＋a)＝－，则2|a|是f (x)的一个周期．
1．判断函数的奇偶性的方法：定义法、图象法和性质法(在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇)．
2．复合函数y＝f (g(x))的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．
考点一　函数奇偶性的判断
[典例1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝；
(2)f (x)＝(1＋x)；
(3)f (x)＝
(4)f (x)＝log2(x＋)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：判断函数奇偶性的步骤
(1)判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数也不是偶函数；
(2)验证f (－x)是否等于±f (x)，或验证其等价形式f (x)±f (－x)＝0或＝±1(f (x)≠0)是否成立．
[巩固迁移]
1．(多选)函数f (x)＝，g(x)＝ln(－3x)，那么 (　　)
A．f (x)＋g(x)是偶函数
B．f (x)·g(x)是奇函数
C．是奇函数
D．g(f (x))是奇函数
2．已知函数f (x)对任意x，y∈R，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2，则函数f (x)＋2为___________．(填“奇函数”“偶函数”或“既不是奇函数又不是偶函数”)
考点二　函数奇偶性的应用
　利用奇偶性求值(解析式)
[典例2]　(1)(2026·河南省考前模拟B卷)已知函数f (x)＝x2的图象关于原点对称，则a＝ (　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
(2)(2025·浙江杭州二模)设函数y＝f (x)－x2是奇函数．若函数g(x)＝f (x)＋5，f (4)＝9，则g(－4)＝ (　　)
A．27 B．28
C．29 D．30
(3)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x3＋x＋1，则f (x)在R上的解析式为___________．
　利用奇偶性解不等式
[典例3]　(1)已知函数f (x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定义在[－2c－1，c＋3]上的奇函数，则不等式f (2x＋1)＋f (a＋b＋c)>0的解集为 (　　)
A．(－2，4] B．(－3，5]
C． D．(－2，2]
(2)若定义在R上的奇函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是 (　　)
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：(1)选择、填空题中，已知奇偶性求参数值，可采用特值法，如f (－1)＝－f (1)，f (－1)＝f (1)．
(2)已知f (x)＝奇函数＋M，x∈[－a，a]，则①f (－x)＋f (x)＝2M；②f (x)max＋f (x)min＝2M．
(3)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f (g(x))>f (h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式(组)．
[巩固迁移]
3．(2025·广东广州二模)若函数f (x)＝loga|x－m|(a>0，且a≠1)是偶函数，且f (－2)＝2，则a＝___________．
4．(2025·广西河池二模)设函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f (a－1)>f (2)，则a的取值范围是___________．
5．若函数f (x)＝在区间[－2 026，2 026]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝___________．
考点三　函数的周期性
[典例4]　(1)(2026·浙江温州模拟)已知函数f (x)满足： x∈R，f (x)·f (x＋4)＝2，且f (1)＝2，则f (29)＝ (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2026·福建福州模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数， x∈R，恒有f (x)＋f (x＋2)＝0，且当x∈(0，1]时，f (x)＝1＋2x，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＝___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
[巩固迁移]
6．设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝－f (x)．当x∈[0，2]时，f (x)＝2x－x2．
(1)f (x)的最小正周期是___________；
(2)当x∈[2，4]时，f (x)＝___________；
(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 026)＝___________．
第8课时　函数的奇偶性、周期性
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．BC　2．D　3．　4．(－2，0)∪(2，5] 　5．－1　－2-x＋1
No2．储备知识要点
1．f (－x)＝f (x)　y轴　f (－x)＝－f (x)　原点
2．(1)f (x＋T)＝f (x)　(2)最小　最小正数
精研考点·提升素养
考点一
典例1　解：(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f (x)的定义域为{－}，
从而f (x)＝＝0．
因此f (－x)＝－f (x)且f (－x)＝f (x)，
所以函数f (x)既是奇函数又是偶函数．
(2)函数f (x)＝(1＋x)≥0，则 －1由于定义域不关于原点对称，故f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x<0时，－x>0，
则f (－x)＝(－x)2＋x＝x2＋x＝f (x)；
当x>0时，－x<0，
则f (－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f (x)．
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f (－x)＝f (x)成立，所以函数f (x)为偶函数．
(4)显然函数f (x)的定义域为R，
f (－x)＝log2[－x＋]
＝log2(－x)＝log2(＋x)-1＝－log2(＋x)＝－f (x)，
故f (x)为奇函数．
巩固迁移
1．BC　[因为f (－x)＝＝f (x)，
所以f (x)＝为偶函数，
因为g(－x)＋g(x)＝ln(＋3x)＋ln(－3x)
＝ln[(＋3x)(－3x)]
＝ln 1＝0，
即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)＝ln(－3x)为奇函数，所以f (x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
f (－x)·g(－x)＝－[f (x)·g(x)]，
所以f (x)·g(x)为奇函数，B正确；
＝－是奇函数，C正确；
令H(x)＝g(f (x))，H(－x)＝g(f (－x))＝g(f (x))＝H(x)，H(x)为偶函数，D错误．故选BC．]
2．奇函数　[由题意得函数f (x)的定义域为R，定义域关于原点对称，
令x＝y＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)＋2，故f (0)＝－2．
令y＝－x，则f (0)＝f (x)＋f (－x)＋2，故f (x)＋2＝－f (－x)－2＝－[f (－x)＋2]．
故f (x)＋2为奇函数．]
考点二
考向1　典例2　(1)D　(2)B　(3)f (x)＝[(1)法一(定义法)：易知f (x)的定义域为R，且f (x)是奇函数，
则f (－x)＋f (x)＝(－x)2＋x2＝0对任意x均成立，
∴＝0，
即2a－＝0，2a＝2，解得a＝1．故选D．
法二(性质法)：因为函数f (x)＝x2的图象关于原点对称，且定义域为R，所以f (x)是奇函数．又h(x)＝x2是偶函数，故g(x)＝a－为奇函数，由g(0)＝a－＝0，得a＝1．故选D．
(2)由函数y＝f (x)－x2是奇函数可知f (x)－x2＋f (－x)－(－x)2＝0，
因此可得f (x)＋f (－x)＝2x2．
又g(x)＝f (x)＋5，所以g(4)＝f (4)＋5，
g(－4)＝f (－4)＋5，
两式相加可得g(4)＋g(－4)＝f (4)＋5＋f (－4)＋5＝2×42＋10＝42，
又g(4)＝f (4)＋5＝14，因此g(－4)＝42－14＝28．
故选B．
(3)因为函数f (x)是定义在R上的奇函数，则f (0)＝0．
当x<0时，－x>0，可得f (x)＝－f (－x)＝－[(－x)3＋(－x)＋1]＝x3＋x－1，
所以f (x)＝]
考向2　典例3　(1)C　(2)D　[(1)因为函数f (x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定义在[－2c－1，c＋3]上的奇函数，
所以－2c－1＋c＋3＝0，
解得c＝2，又f (－x)＝－f (x)，
即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，
所以2(a－2)x2＋2b＝0，
所以所以f (x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]．
因为y＝x3与y＝2x在[－5，5]上均单调递增，所以f (x)＝x3＋2x在定义域[－5，5]上单调递增，
则不等式f (2x＋1)＋f (a＋b＋c)>0，
即f (2x＋1)＋f (4)>0，等价于f (2x＋1)>f (－4)，
所以解得－即不等式的解集为．故选C．
(2)因为函数f (x)为定义在R上的奇函数，则f (0)＝0．
又f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，
画出函数f (x)的大致图象如图1所示，
则函数f (x－1)的大致图象如图2所示．
当x≤0时，要满足xf (x－1)≥0，
则f (x－1)≤0，得－1≤x≤0．
当x>0时，要满足xf (x－1)≥0，
则f (x－1)≥0，得1≤x≤3．
故满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．故选D．]
巩固迁移
3．
4．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 　[由于f (x)是偶函数，则f (－x)＝f (x)．
因此，不等式f (a－1)>f (2)可以转化为f (|a－1|)>f (2)．
函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，
所以|a－1|>2，解得a<－1或a>3．则a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．]
5．4　[因为f (x)＝＋2，
令g(x)＝，x∈[－2 026，2 026]，
则f (x)＝g(x)＋2，
又因为g(－x)＝＝－g(x)，
所以函数g(x)为奇函数，
所以g(x)max＋g(x)min＝0，
所以M＋m＝g(x)max＋2＋g(x)min＋2＝4．]
考点三
典例4　(1)A　(2)3　[(1)因为对任意x∈R，都有f (x)·f (x＋4)＝2，
所以f (x＋4)·f (x＋8)＝2，从而f (x＋8)＝f (x)，
即f (x)的周期为8，
所以f (29)＝f (8×3＋5)＝f (5)＝＝1．故选A．
(2)因为f (x)＋f (x＋2)＝0，则f (x＋2)＋f (x＋4)＝0，
可得f (x)＝f (x＋4)，可知4为函数f (x)的周期，
且f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (3)＋f (2)＋f (4)＝0，
又因为当x∈(0，1]时，f (x)＝1＋2x，
则f (1)＝3，
因为f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (0)＝0．
又f (x)＋f (x＋2)＝0，令x＝0，
则f (2)＝－f (0)＝0，
所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＝0×506＋f (1)＋f (2)＝3．]
巩固迁移
6．(1)4　(2)x2－6x＋8　(3)1　[(1)∵f (x＋2)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)．
∴f (x)是周期为4的周期函数，且f (x)的最小正周期是4．
(2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得
f (－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．
又f (x)是奇函数，
∴f (－x)＝－f (x)＝－2x－x2．
∴f (x)＝x2＋2x．
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，
∴f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f (x)是周期为4的周期函数，∴f (x)＝f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．
即当x∈[2，4]时，f (x)＝x2－6x＋8．
(3)∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，
且f (x)是周期为4的周期函数，
∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)＝0．
∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 026)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＝1．]
6/6(共85张PPT)
第8课时　函数的奇偶性、周期性
第二章 函数的概念与性质
[考试要求]　
1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．
2．会依据函数的性质进行简单的应用．
1．(多选)(北师大版必修第一册P67例2改编)给出下列函数，其中是奇函数的有(　　)
A．f (x)＝x4 B．f (x)＝x5
C．f (x)＝x＋
以题引理·激活思维
√
√
BC　[对于f (x)＝x4，f (x)的定义域为R，
由f (－x)＝(－x)4＝x4＝f (x)，
可知f (x)＝x4是偶函数，
同理可知f (x)＝x5，f (x)＝x＋是奇函数，f (x)＝是偶函数．]
2．(苏教版必修第一册P134本章测试T8改编)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，若f (x)在区间(－∞，0)上单调递增，则下列关系式中成立的是(　　)
A．f (－1)C．f (－1)f (3)
√
D　[因为函数f (x)是定义在R上的偶函数，所以f (x)的图象关于y轴对称．
又f (x)在区间(－∞，0)上单调递增，
所以f (x)在区间(0，＋∞)上单调递减，即f (x)在对称轴处取最大值．所以自变量的值离对称轴越近，其函数值越大，因为|－1|＝|1|<|－3|＝|3|，所以f (－1)＝f (1)>f (3)＝f (－3)．故选D．]
3．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)若f (x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f (x)＝2-x，则f (2 027)＝________．
　[∵f (x)的周期为2，∴f (2 027)＝f (1)＝2-1＝．]
4．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f (x)的定义域为
[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)<0的解集为___________________．
(－2，0)∪(2，5]
(－2，0)∪(2，5]　[由题图可知，当00；当20．
综上，f (x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]．]
5．(湘教版必修第一册P86习题3.2T6改编)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝2x＋a，则a＝________；当x<0时，f (x)＝____________．
－1　－2-x＋1　[∵f (x)是定义在R上的奇函数，∴f (0)＝0，即20＋a＝0，
解得a＝－1，故f (x)＝2x－1(x≥0)．
设x<0，则－x>0，∴f (－x)＝2-x－1，
又f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，
∴－f (x)＝2-x－1，∴f (x)＝－2-x＋1．]
－1
－2-x＋1
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于____对称
f (－x)＝f (x)
y轴
奇偶性 定义 图象特点
奇函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且________________，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于____对称
f (－x)＝－f (x)
原点
[二级结论]
(1)如果函数f (x)是奇函数且在x＝0处有意义，则一定有f (0)＝0．如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|)．
(2)奇函数在两个关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在两个关于原点对称的区间上单调性相反．
(3)常见奇、偶函数的类型
①f (x)＝ax＋a-x(a>0，且a≠1)为偶函数．
②f (x)＝ax－a-x(a>0，且a≠1)为奇函数．
③f (x)＝(a>0，且a≠1)为奇函数．
④f (x)＝loga(a>0，且a≠1，b≠0)为奇函数．
⑤f (x)＝loga(±x)(a>0，且a≠1)为奇函数．
⑥f (x)＝|ax＋b|＋|ax－b|为偶函数．
⑦f (x)＝|ax＋b|－|ax－b|为奇函数．
2．周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且________________，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个________就叫做f (x)的最小正周期．
f (x＋T)＝f (x)
最小
最小正数
[二级结论]　函数周期性的常用结论
对f (x)定义域内任一自变量的值x(其中常数a≠0)：
(1)若f (x＋a)＝－f (x)，则2|a|是f (x)的一个周期；
(2)若f (x＋a)＝，则2|a|是f (x)的一个周期；
(3)若f (x＋a)＝－，则2|a|是f (x)的一个周期．
1．判断函数的奇偶性的方法：定义法、图象法和性质法(在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇)．
2．复合函数y＝f (g(x))的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．
考点一　函数奇偶性的判断
[典例1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝；
(2)f (x)＝(1＋x)；
(3)f (x)＝
(4)f (x)＝log2(x＋)．
精研考点·提升素养
[解]　(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f (x)的定义域为{－}，
从而f (x)＝＝0．
因此f (－x)＝－f (x)且f (－x)＝f (x)，
所以函数f (x)既是奇函数又是偶函数．
(2)函数f (x)＝(1＋x)≥0，
则 －1由于定义域不关于原点对称，故f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x<0时，－x>0，
则f (－x)＝(－x)2＋x＝x2＋x＝f (x)；
当x>0时，－x<0，
则f (－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f (x)．
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f (－x)＝f (x)成立，所以函数f (x)为偶函数．
(4)显然函数f (x)的定义域为R，
f (－x)＝log2[－x＋]＝log2(－x)＝log2(＋x)-1＝－log2(＋x)＝－f (x)，故f (x)为奇函数．
名师点评：判断函数奇偶性的步骤
(1)判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数也不是偶函数；
(2)验证f (－x)是否等于±f (x)，或验证其等价形式f (x)±f (－x)＝0或＝±1(f (x)≠0)是否成立．
[巩固迁移]
1．(多选)函数f (x)＝－3x)，那么(　　)
A．f (x)＋g(x)是偶函数
B．f (x)·g(x)是奇函数
C．是奇函数
D．g(f (x))是奇函数
√
√
BC　[因为f (－x)＝＝f (x)，所以f (x)＝为偶函数，因为g(－x)＋g(x)＝ln(＋3x)＋ln(－3x)
＝ln[(＋3x)(－3x)]＝ln 1＝0，
即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)＝ln(－3x)为奇函数，所以f (x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
f (－x)·g(－x)＝－[f (x)·g(x)]，
所以f (x)·g(x)为奇函数，B正确；
是奇函数，C正确；
令H(x)＝g(f (x))，H(－x)＝g(f (－x))＝g(f (x))＝H(x)，H(x)为偶函数，D错误．故选BC．]
2．已知函数f (x)对任意x，y∈R，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2，则函数f (x)＋2为________．(填“奇函数”“偶函数”或“既不是奇函数又不是偶函数”)
奇函数　[由题意得函数f (x)的定义域为R，定义域关于原点对称，
令x＝y＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)＋2，故f (0)＝－2．
令y＝－x，则f (0)＝f (x)＋f (－x)＋2，故f (x)＋2＝－f (－x)－2＝
－[f (－x)＋2]．故f (x)＋2为奇函数．]
奇函数
【教用·备选题】
1．函数f (x)＝lg的图象关于(　　)
A．直线y＝x对称　　 B．原点对称
C．x轴对称 D．y轴对称
√
B　[f (x)＝lg>0，得－12．(多选)设函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．|f (x)|是偶函数
B．－f (x)是奇函数
C．f (x)|f (x)|是奇函数
D．f (|x|)f (x)是偶函数
√
√
√
ABC　[对于A，B，C，用定义验证正确；因为f (x)＝，
则f (－x)＝＝－f (x)，
所以f (x)是奇函数．
因为f (|－x|)＝f (|x|)，所以f (|x|)是偶函数，所以f (|x|)f (x)是奇函数，所以D错误．]
考点二　函数奇偶性的应用
考向1　利用奇偶性求值(解析式)
[典例2]　(1)(2026·河南省考前模拟B卷)已知函数f (x)＝x2的图象关于原点对称，则a＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
√
(2)(2025·浙江杭州二模)设函数y＝f (x)－x2是奇函数．若函数g(x)＝f (x)＋5，f (4)＝9，则g(－4)＝(　　)
A．27 B．28
C．29 D．30
(3)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x3＋x＋
1，则f (x)在R上的解析式为_____________________________．
√
f (x)＝
(1)D　(2)B　(3)f (x)＝
[(1)法一(定义法)：易知f (x)的定义域为R，且f (x)是奇函数，
则f (－x)＋f (x)＝(－x)2＋x2＝0对任意x均成立，
∴＝0，
即2a－＝0，2a＝2，解得a＝1．故选D．
法二(性质法)：因为函数f (x)＝x2的图象关于原点对称，且定义域为R，所以f (x)是奇函数．又h(x)＝x2是偶函数，故g(x)＝a－为奇函数，由g(0)＝a－＝0，得a＝1．
故选D．
(2)由函数y＝f (x)－x2是奇函数可知f (x)－x2＋f (－x)－(－x)2＝0，
因此可得f (x)＋f (－x)＝2x2．
又g(x)＝f (x)＋5，所以g(4)＝f (4)＋5，g(－4)＝f (－4)＋5，
两式相加可得g(4)＋g(－4)＝f (4)＋5＋f (－4)＋5＝2×42＋10＝42，
又g(4)＝f (4)＋5＝14，
因此g(－4)＝42－14＝28．
故选B．
(3)因为函数f (x)是定义在R上的奇函数，则f (0)＝0．
当x<0时，－x>0，可得f (x)＝－f (－x)＝－[(－x)3＋(－x)＋1]＝x3＋x－1，
所以f (x)＝]
考向2　利用奇偶性解不等式
[典例3]　(1)已知函数f (x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定义在[－2c－1，c＋3]上的奇函数，则不等式f (2x＋1)＋f (a＋b＋c)>0的解集为(　　)
A．(－2，4] B．(－3，5]
C． D．(－2，2]
√
(2)若定义在R上的奇函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
√
(1)C　(2)D　[(1)因为函数f (x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定义在[－2c－1，c＋3]上的奇函数，
所以－2c－1＋c＋3＝0，
解得c＝2，又f (－x)＝－f (x)，
即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，
所以2(a－2)x2＋2b＝0，所以
所以f (x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]．
因为y＝x3与y＝2x在[－5，5]上均单调递增，所以f (x)＝x3＋2x在定义域[－5，5]上单调递增，
则不等式f (2x＋1)＋f (a＋b＋c)>0，即f (2x＋1)＋f (4)>0，等价于f (2x＋1)>f (－4)，
所以解得－即不等式的解集为．故选C．
(2)因为函数f (x)为定义在R上的奇函数，
则f (0)＝0．
又f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，
画出函数f (x)的大致图象如图1所示，
则函数f (x－1)的大致图象如图2所示．
当x≤0时，要满足xf (x－1)≥0，
则f (x－1)≤0，得－1≤x≤0．
当x>0时，要满足xf (x－1)≥0，则f (x－1)≥0，得1≤x≤3．
故满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．
故选D．]
名师点评：(1)选择、填空题中，已知奇偶性求参数值，可采用特值法，如f (－1)＝－f (1)，f (－1)＝f (1)．
(2)已知f (x)＝奇函数＋M，x∈[－a，a]，则①f (－x)＋f (x)＝2M；②f (x)max＋f (x)min＝2M．
(3)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f (g(x))>f (h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式(组)．
[巩固迁移]
3．(2025·广东广州二模)若函数f (x)＝loga|x－m|(a>0，且a≠1)是偶函数，且f (－2)＝2，则a＝________．
　[因为f (x)是偶函数，则f (－x)＝f (x)，可得loga|－x－m|＝loga|x－m|，
所以|－x－m|＝|x－m|，所以－x－m＝x－m或－x－m＋x－m＝0，
则2x＝0(舍去)或m＝0，所以f (x)＝loga|x|，
又f (－2)＝2，所以2＝loga|－2|，所以a2＝2，又a>0，
解得a＝．]
4．(2025·广西河池二模)设函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f (a－1)>f (2)，则a的取值范围是______________________．
(－∞，－1)∪(3，＋∞) 　[由于f (x)是偶函数，则f (－x)＝f (x)．
因此，不等式f (a－1)>f (2)可以转化为f (|a－1|)>f (2)．
函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，
所以|a－1|>2，解得a<－1或a>3．
则a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．]
(－∞，－1)∪(3，＋∞)
5．若函数f (x)＝在区间[－2 026，2 026]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
4　[因为f (x)＝＋2，
令g(x)＝，x∈[－2 026，2 026]，则f (x)＝g(x)＋2，
又因为g(－x)＝＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，
所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋m＝g(x)max＋2＋g(x)min＋2＝4．]
4
【教用·备选题】
已知函数f (x)＝sin x＋x3＋＋3，若f (a)＝1，则f (－a)＝________．
5　[根据题意，f (a)＝sin a＋a3＋＋3＝1，
即sin a＋a3＋＝－2，
所以f (－a)＝sin(－a)＋(－a)3＋＋3
＝－＋3＝2＋3＝5．]
5
考点三　函数的周期性
[典例4]　(1)(2026·浙江温州模拟)已知函数f (x)满足： x∈R，
f (x)·f (x＋4)＝2，且f (1)＝2，则f (29)＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2026·福建福州模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数， x∈R，恒有f (x)＋f (x＋2)＝0，且当x∈(0，1]时，f (x)＝1＋2x，则f (1)＋
f (2)＋…＋f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＝________．
√
3
(1)A　(2)3　[(1)因为对任意x∈R，都有f (x)·f (x＋4)＝2，
所以f (x＋4)·f (x＋8)＝2，
从而f (x＋8)＝f (x)，
即f (x)的周期为8，
所以f (29)＝f (8×3＋5)＝f (5)＝＝1．
故选A．
(2)因为f (x)＋f (x＋2)＝0，则f (x＋2)＋f (x＋4)＝0，
可得f (x)＝f (x＋4)，可知4为函数f (x)的周期，
且f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (3)＋f (2)＋f (4)＝0，
又因为当x∈(0，1]时，f (x)＝1＋2x，则f (1)＝3，
因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0．
又f (x)＋f (x＋2)＝0，令x＝0，则f (2)＝－f (0)＝0，
所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＝0×506＋f (1)＋f (2)＝3．]
名师点评：利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
[巩固迁移]
6．设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝
－f (x)．当x∈[0，2]时，f (x)＝2x－x2．
(1)f (x)的最小正周期是________；
(2)当x∈[2，4]时，f (x)＝________________；
(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 026)＝________．
(1)4　(2)x2－6x＋8　(3)1　[(1)∵f (x＋2)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)．
∴f (x)是周期为4的周期函数，且f (x)的最小正周期是4．
4
x2－6x＋8
1
(2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得
f (－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．
又f (x)是奇函数，
∴f (－x)＝－f (x)＝－2x－x2．
∴f (x)＝x2＋2x．
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，
∴f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f (x)是周期为4的周期函数，∴f (x)＝f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．
即当x∈[2，4]时，f (x)＝x2－6x＋8．
(3)∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，
且f (x)是周期为4的周期函数，
∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…
＝f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)＝0．
∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 026)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＝1．]
【教用·备选题】
1．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，都有f (x－2)＝f (x＋2)，当x∈(0，2)时，f (x)＝x2，则f ＝(　　)
A．－
√
A　[由f (x－2)＝f (x＋2)，
知y＝f (x)的周期T＝4，
又f (x)是定义在R上的奇函数，
∴f ＝－f ．]
2．定义在R上的函数f －2，则下列函数中是周期函数的是(　　)
A．y＝f ＋x
C．y＝f ＋2x
D　[依题意，定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x)－2，所以f (x＋1)＋2(x＋1)＝f (x)＋2x，所以y＝f (x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D．]
√
3．已知定义在R上的函数f (x)满足f (－x)＝－f (x)，f (3－x)＝f (x)，则f (2 025)＝________．
0　[用－x替代x，得到f (x＋3)＝f (－x)＝－f (x)，所以T＝6，
所以f (2 025)＝f (337×6＋3)＝f (3)．
因为f (3－x)＝f (x)，
所以f (3)＝f (0)＝0．
所以f (2 025)＝0．]
0
一、单项选择题
1．已知函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f (1)＝2，
则f (27)＝(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．－4
C　[因为函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f (x)为奇函数，所以f (27)＝f (7×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－2．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课后作业(八)　函数的奇偶性、周期性
√
16
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．(2025·吉林长春二模)已知函数f (x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，则a的值是(　　)
A．3 B．1或3
C．2 D．1或2
√
16
C　[因为f (x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，
所以f (0)＝(a－2)(a－1)＝0，解得a＝1或a＝2．
当a＝1时，f (x)＝x2(x－1)，
f (－x)＝x2(－x－1)≠－f (x)，故a＝1不合题意，舍去；
当a＝2时，f (x)＝x(x2＋1)，
f (－x)＝－x(x2＋1)＝－f (x)，故a＝2符合题意．
故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
3．已知函数f (x)满足对于任意的实数x，都有f (x＋3)＝，则f (2 025)＝(　　)
A．－
C．－1 D．1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
B　[由f (x＋3)＝，得f (x)的周期T＝6，f (2 025)＝f (337×6＋3)＝f (3)＝．故选B．]
16
4．设函数f (x)＝，则下列函数为奇函数的是(　　)
A．f (x－1)－1 B．f (x－1)＋1
C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
B　[法一(定义法)：对于A，f (x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f (x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f (x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f (x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
16
法二(图象法)：由题意可得f (x)＝．其图象关于点
(－1，－1)对称，故只需将f (x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度即可得到一个奇函数图象，故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
5．已知函数f (x)＝－x2＋bx＋c，且f (x＋1)是偶函数，则f (－1)，
f (1)，f (2)的大小关系是(　　)
A．f (－1)B．f (1)C．f (2)D．f (－1)题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
D　[因为f (x＋1)是偶函数，所以其图象的对称轴为直线x＝0，
所以f (x)图象的对称轴为直线x＝1．
又二次函数f (x)＝－x2＋bx＋c图象的开口向下，
根据自变量与对称轴的距离可得f (－1)故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
6．(2025·广东广州三模)已知奇函数f (x)和偶函数g(x)的定义域均为R，且满足g(x)＝f (x)＋e-x，则[f (x)]2＋[g(x)]2＝(　　)
A．1 B．－1
C．f (2x) D．g(2x)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
D　[∵g(x)＝f (x)＋，∴g(－x)＝f (－x)＋ex．
∵f (x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，
∴g(－x)＝g(x)，f (－x)＝－f (x)，
∴f (x)＋＝f (－x)＋ex＝－f (x)＋ex，
∴f (x)＝，g(x)＝f (x)＋e-x＝．
∴[f (x)]2＋[g(x)]2＝
＝＝＝g(2x)．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
7．已知f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意x，y，都有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)＋a，则a＝(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[令y＝－x，则f (x)＋f (－x)＝f (0)＋a，
因为f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (x)＋f (－x)＝0，f (0)＝0，则a＝0．故选C．]
16
8．(2025·河南郑州三模)已知f (x)为定义在(－4，4)上的奇函数，若f (x)在[0，4)上单调递减，则满足不等式f (a＋1)＋f (1－a2)>0的实数a的取值范围是(　　)
A．(－ ，2)
C．(－ )
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
C　[因为f (x)是奇函数，则f (a＋1)＋f (1－a2)>0可化为f (a＋1)>
－f (1－a2)＝f (a2－1)．
又f (x)在[0，4)上单调递减且f (x)是定义在(－4，4)上的奇函数，
所以f (x)在(－4，4)上单调递减．
则
解得－即实数a的取值范围是(－，－1)∪(2，)．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
二、多项选择题
9．(2025·青海海东三模)定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝
－f (x)，f (1)＝π，则(　　)
A．f (11)＝π
B．f (8)＝π
C．f (99)＋f (88)＝0
D．2为f (x)的一个周期
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
√
ACD　[对于D，由f (x＋1)＝－f (x)，得f (x＋2)＝－f (x＋1)＝f (x)，则2为f (x)的一个周期，D正确；
对于A，f (11)＝f (1)＝π，A正确；
对于B，f (8)＝f (0)＝－f (1)＝－π，B错误；
对于C，f (99)＋f (88)＝f (1)＋f (0)＝0，C正确．
故选ACD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
10．若函数f (x)，g(x)，h(x)的定义域都为R，且f (x)为奇函数，g(x)为偶函数，则(　　)
A．f (x2)是偶函数
B．是偶函数
C．g(f (x))是奇函数
D．f (x)h()是奇函数
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
√
ABD　[函数f (x)，g(x)，h(x)的定义域都为R，
对于A，因为f ((－x)2)＝f (x2)，所以f (x2)是偶函数，故A正确；
对于B，因为f (x)为奇函数，
所以|f (－x)|＝|－f (x)|＝|f (x)|，则|f (x)|是偶函数，故B正确；
对于C，因为g(x)为偶函数，所以g(f (－x))＝g(－f (x))＝g(f (x))，即g(f (x))是偶函数，故C错误；
对于D，因为h(|－x|)＝h(|x|)，所以h(|x|)为偶函数，又因为f (x)为奇函数，则f (x)h(|x|)是奇函数，故D正确．故选ABD．]
题号
2
1
3
4
5
6
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7
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16
11．(2025·全国二卷)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　)
A．f (0)＝0
B．当x<0时，f (x)＝－(x2－3)e-x－2
C．f (x)≥2，当且仅当x≥
D．x＝－1是f (x)的极大值点
题号
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13
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√
16
√
√
ABD　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，故A正确；当x<0时，－x>0，因此f (－x)＝[(－x)2－3]e-x＋2＝－f (x)，因此f (x)＝－(x2－3)e-x－2，故B正确；当x>0时，f (x)＝(x2－3)·ex＋2，f '(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x＋3)(x－1)ex，令f '(x)>0，得x>1，令f '(x)<0，得00时，f (x)≥2，即(x2－3)ex≥0，解得x≥，当x<0时，f (x)在x＝－1处取得极大值，f (－1)＝－(1－3)e－2＝2e－2>2，因此在(－∞，0)上也存在满足f (x)≥2的区间，故C错误．故选ABD．]
题号
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三、填空题
12．(2025·苏锡常镇一模)同时满足以下三个条件的函数f (x)＝____________________．
①f (－x)＋f (x)＝0，②f (x＋π)＝f (x)，③f (x)不是常数函数．
题号
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tan x(答案不唯一)
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tan x(答案不唯一)　[条件①f (－x)＋f (x)＝0，函数f (x)为奇函数；
条件②f (x＋π)＝f (x)，函数f (x)的周期为π，
可考虑三角函数，函数解析式可以为f (x)＝tan x(答案不唯一)．]
13．(2026·浙江台州模拟)已知函数f (x)＝为奇函数，则a＋b＝________．
题号
2
1
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15
16
－3　[因为函数f (x)＝为奇函数，
所以当x<0时，－x>0，f (－x)＝e-x－a＝－f (x)＝－be-x＋2，
所以a＝－2，b＝－1，所以a＋b＝－3．]
－3
14．(2025·黑龙江大庆三模)已知定义域为R的函数f (x)满足f (x＋1)＋f (x－1)＝3，且f (1)＝－1，则f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＝________．
题号
2
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2
2　[由f (x＋1)＋f (x－1)＝3，
用x＋1代替x，得f (x＋2)＝3－f (x)，
则f (x＋4)＝3－f (x＋2)＝f (x)，
所以f (2 025)＝f (1＋506×4)＝f (1)＝－1．
由f (x＋1)＋f (x－1)＝3，
令x＝2 025，则f (2 026)＋f (2 024)＝3，
所以f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＝2．]
题号
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15．(多选)已知定义域为R的函数f (x)满足： x，y∈R，f (x＋y)＋
f (x－y)＝f (x)f (y)，且f (1)＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．f (0)＝2 B．f (x)为偶函数
C．f (x)为奇函数 D．f (2)＝－1
题号
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15
16
√
√
√
ABD　[因为 x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，
取x＝1，y＝0可得f (1)＋f (1)＝f (1)f (0)，
又f (1)＝1，所以f (0)＝2，A正确；
取x＝0，y＝x可得f (x)＋f (－x)＝f (0)f (x)，
因为f (0)＝2，所以f (－x)＝f (x)，
所以f (x)为偶函数，B正确，C错误；
取x＝1，y＝1可得f (2)＋f (0)＝f (1)f (1)，
又f (1)＝1，f (0)＝2，所以f (2)＝－1，D正确．故选ABD．]
题号
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16．已知函数f (x)＝ln(＋x)＋x，若f (2x－1)＋f (2－x)>0，则x的取值范围是________________．
题号
2
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16
(－1，＋∞)　[因为函数f (x)＝ln(＋x)＋x的定义域为R，
且f (－x)＋f (x)＝ln(－x)－x＋ln(＋x)＋x
＝ln[(－x)(＋x)]＝ln(x2＋1－x2)＝ln 1＝0，
所以f (－x)＝－f (x)，即f (x)为奇函数，
(－1，＋∞)
当x>0时，y＝＋x，y＝ln x，y＝x均单调递增，所以f (x)＝ln(＋x)＋x在(0，＋∞)上单调递增，则f (x)在(－∞，0)上单调递增，
所以f (x)是奇函数且在R上单调递增，
由f (2x－1)＋f (2－x)>0，得f (2x－1)>f (x－2)，
所以2x－1>x－2，
解得x>－1，
即x的取值范围为(－1，＋∞)．]
题号
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谢 谢 ！课后作业(八)　函数的奇偶性、周期性
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共84分
一、单项选择题
1．已知函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f (1)＝2，则f (27)＝ (　　)
A．2 B．0
C．－2 D．－4
2．(2025·吉林长春二模)已知函数f (x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，则a的值是 (　　)
A．3 B．1或3
C．2 D．1或2
3．已知函数f (x)满足对于任意的实数x，都有f (x＋3)＝，则f (2 025)＝ (　　)
A．－
C．－1 D．1
4．设函数f (x)＝，则下列函数为奇函数的是 (　　)
A．f (x－1)－1 B．f (x－1)＋1
C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1
5．已知函数f (x)＝－x2＋bx＋c，且f (x＋1)是偶函数，则f (－1)，f (1)，f (2)的大小关系是 (　　)
A．f (－1)B．f (1)C．f (2)D．f (－1)6．(2025·广东广州三模)已知奇函数f (x)和偶函数g(x)的定义域均为R，且满足g(x)＝f (x)＋e-x，则[f (x)]2＋[g(x)]2＝ (　　)
A．1 B．－1
C．f (2x) D．g(2x)
7．已知f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意x，y，都有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)＋a，则a＝ (　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
8．(2025·河南郑州三模)已知f (x)为定义在(－4，4)上的奇函数，若f (x)在[0，4)上单调递减，则满足不等式f (a＋1)＋f (1－a2)>0的实数a的取值范围是 (　　)
A．(－，＋∞)
B．(－，2)
C．(－)
D．(－)
二、多项选择题
9．(2025·青海海东三模)定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝－f (x)，f (1)＝π，则 (　　)
A．f (11)＝π
B．f (8)＝π
C．f (99)＋f (88)＝0
D．2为f (x)的一个周期
10．若函数f (x)，g(x)，h(x)的定义域都为R，且f (x)为奇函数，g(x)为偶函数，则 (　　)
A．f (x2)是偶函数
B．是偶函数
C．g(f (x))是奇函数
D．f (x)h()是奇函数
11．(2025·全国二卷)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝(x2－3)ex＋2，则 (　　)
A．f (0)＝0
B．当x<0时，f (x)＝－(x2－3)e-x－2
C．f (x)≥2，当且仅当x≥
D．x＝－1是f (x)的极大值点
三、填空题
12．(2025·苏锡常镇一模)同时满足以下三个条件的函数f (x)＝___________．
①f (－x)＋f (x)＝0，②f (x＋π)＝f (x)，③f (x)不是常数函数．
13．(2026·浙江台州模拟)已知函数f (x)＝为奇函数，则a＋b＝___________．
14．(2025·黑龙江大庆三模)已知定义域为R的函数f (x)满足f (x＋1)＋f (x－1)＝3，且f (1)＝－1，则f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＝___________．
15．(多选)已知定义域为R的函数f (x)满足： x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，且f (1)＝1，则下列结论正确的是 (　　)
A．f (0)＝2 B．f (x)为偶函数
C．f (x)为奇函数 D．f (2)＝－1
16．已知函数f (x)＝ln(＋x)＋x，若f (2x－1)＋f (2－x)>0，则x的取值范围是___________．
课后作业(八)
1．C　2．C
3．B　[由f (x＋3)＝，得f (x)的周期T＝6，f (2 025)＝f (337×6＋3)＝f (3)＝．故选B．]
4．B
5．D　[因为f (x＋1)是偶函数，所以其图象的对称轴为直线x＝0，
所以f (x)图象的对称轴为直线x＝1．
又二次函数f (x)＝－x2＋bx＋c图象的开口向下，
根据自变量与对称轴的距离可得f (－1)6．D　[∵g(x)＝f (x)＋e-x，
∴g(－x)＝f (－x)＋ex．
∵f (x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，
∴g(－x)＝g(x)，f (－x)＝－f (x)，
∴f (x)＋e-x＝f (－x)＋ex＝－f (x)＋ex，
∴f (x)＝，g(x)＝f (x)＋e-x＝＋e-x＝．
∴[f (x)]2＋[g(x)]2＝
＝＝g(2x)．故选D．]
7．C　[令y＝－x，则f (x)＋f (－x)＝f (0)＋a，
因为f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (x)＋f (－x)＝0，f (0)＝0，则a＝0．
故选C．]
8．C　[因为f (x)是奇函数，则f (a＋1)＋f (1－a2)>0可化为f (a＋1)>－f (1－a2)＝f (a2－1)．
又f (x)在[0，4)上单调递减且f (x)是定义在(－4，4)上的奇函数，
所以f (x)在(－4，4)上单调递减．
则
解得－即实数a的取值范围是(－，－1)∪(2，)．故选C．]
9．ACD　[对于D，由f (x＋1)＝－f (x)，
得f (x＋2)＝－f (x＋1)＝f (x)，则2为f (x)的一个周期，D正确；
对于A，f (11)＝f (1)＝π，A正确；
对于B，f (8)＝f (0)＝－f (1)＝－π，B错误；
对于C，f (99)＋f (88)＝f (1)＋f (0)＝0，C正确．故选ACD．]
10．ABD　[函数f (x)，g(x)，h(x)的定义域都为R，
对于A，因为f ((－x)2)＝f (x2)，
所以f (x2)是偶函数，故A正确；
对于B，因为f (x)为奇函数，所以|f (－x)|＝|－f (x)|＝|f (x)|，
则|f (x)|是偶函数，故B正确；
对于C，因为g(x)为偶函数，所以g(f (－x))＝g(－f (x))＝g(f (x))，
即g(f (x))是偶函数，故C错误；
对于D，因为h(|－x|)＝h(|x|)，所以h(|x|)为偶函数，又因为f (x)为奇函数，则f (x)h(|x|)是奇函数，故D正确．
故选ABD．]
11．ABD　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，故A正确；当x<0时，－x>0，因此f (－x)＝[(－x)2－3]e-x＋2＝－f (x)，因此f (x)＝－(x2－3)e-x－2，故B正确；当x>0时，f (x)＝(x2－3)·ex＋2，f '(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x＋3)·(x－1)ex，令f '(x)>0，得x>1，令f '(x)<0，得00时，f (x)≥2，即(x2－3)ex≥0，解得x≥，当x<0时，f (x)在x＝－1处取得极大值，f (－1)＝－(1－3)e－2＝2e－2>2，因此在(－∞，0)上也存在满足f (x)≥2的区间，故C错误．故选ABD．]
12．tan x(答案不唯一)
13．－3　[因为函数f (x)＝为奇函数，
所以当x<0时，－x>0，f (－x)＝e-x－a＝－f (x)＝－be-x＋2，
所以a＝－2，b＝－1，所以a＋b＝－3．]
14．2　[由f (x＋1)＋f (x－1)＝3，
用x＋1代替x，得f (x＋2)＝3－f (x)，
则f (x＋4)＝3－f (x＋2)＝f (x)，
所以f (2 025)＝f (1＋506×4)＝f (1)＝－1．
由f (x＋1)＋f (x－1)＝3，
令x＝2 025，则f (2 026)＋f (2 024)＝3，
所以f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＝2．]
15．ABD　[因为 x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，
取x＝1，y＝0可得f (1)＋f (1)＝f (1)f (0)，
又f (1)＝1，所以f (0)＝2，A正确；
取x＝0，y＝x可得f (x)＋f (－x)＝f (0)f (x)，
因为f (0)＝2，所以f (－x)＝f (x)，
所以f (x)为偶函数，B正确，C错误；
取x＝1，y＝1可得f (2)＋f (0)＝f (1)f (1)，
又f (1)＝1，f (0)＝2，所以f (2)＝－1，D正确．故选ABD．]
16．(－1，＋∞)　[因为函数f (x)＝ln(＋x)＋x的定义域为R，且f (－x)＋f (x)＝ln(－x)－x＋ln(＋x)＋x
＝ln[(－x)(＋x)]
＝ln(x2＋1－x2)＝ln 1＝0，
所以f (－x)＝－f (x)，即f (x)为奇函数，
当x>0时，y＝＋x，y＝ln x，y＝x均单调递增，所以f (x)＝ln(＋x)＋x在(0，＋∞)上单调递增，则f (x)在(－∞，0)上单调递增，
所以f (x)是奇函数且在R上单调递增，
由f (2x－1)＋f (2－x)>0，得f (2x－1)>f (x－2)，
所以2x－1>x－2，解得x>－1，
即x的取值范围为(－1，＋∞)．]
3/3

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