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第9课时　函数的对称性
[考试要求]　1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．2．会利用对称公式解决问题．
1．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y＝的图象之间的关系是 (　　)
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
2．(人教B版必修第一册P117习题3－1CT3改编)函数f (x)＝的图象的对称中心的坐标为 (　　)
A．(0，0) B．(0，1)
C．(1，0) D．(1，1)
3．(湘教版必修第一册P86习题3.2T13改编)已知y＝f (x－1)是偶函数，则函数f (x)图象的对称轴方程是 (　　)
A．x＝1 B．x＝
C．x＝－1 D．x＝－
4．(人教B版必修第一册P115练习BT1改编)若函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f (x)＝2x－1，则f (1)＝___________．
5．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13(1)改编)函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．已知f (x)＝mx3＋nx＋1．
(1)若f (x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝___________；
(2)若m＝1，n＝－3，则函数f (x)图象的对称中心为点___________．
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数的图象关于___________对称，偶函数的图象关于___________对称．
(2)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线___________对称；若函数y＝f (x＋a)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象的对称中心为点___________．
2．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于___________对称；
(2)函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象关于___________对称；
(3)函数y＝f (x)与y＝－f (－x)的图象关于___________对称．
(4)函数y＝f (a－x)与y＝f (x－b)的图象关于直线x＝对称．
1．函数图象轴对称和中心对称结论
(1)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝f (b＋x)，则函数f (x)的图象关于直线x＝对称；
特别地，①若f (a－x)＝f (a＋x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称；
②若f (－x)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝0对称．
(2)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝－f (b＋x)，则函数f (x)的图象关于点中心对称；特别地，若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝－f (a＋x)，则函数y＝f (x)的图象关于点(a，0)对称．
(3)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＋f (a＋x)＝2b，则函数f (x)的图象的对称中心为点(a，b)．
2．核心原理：中点坐标公式及点的对称转移：
f (a－x)＝f (a＋x) f (2a－x)＝f (x)．
考点一　轴对称问题
[典例1]　(2023·全国乙卷节选)已知函数f (x)＝ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：证明函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称即证明f (x)＝f (2a－x)或f (a－x)＝f (a＋x)成立．
[巩固迁移]
1．已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (4－x)，若y＝|x－2|与y＝f (x)图象的交点为点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝ (　　)
A．－4 B．0
C．4 D．8
2．(2025·江西南昌三模)若函数f (x)＝a·2x＋b·2-x的图象关于直线x＝1对称，则＝___________．
考点二　中心对称问题
[典例2]　(1)已知函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)，若函数y＝与y＝f (x)图象的交点为点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，则(xi＋yi)＝___________．
(2)(2024·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f (x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3．证明：曲线y＝f (x)是中心对称图形．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称 f (a＋x)＋f (a－x)＝2b 2b－f (x)＝f (2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点对称．
[巩固迁移]
3．(2026·湖北襄阳模拟)已知函数f (x)＝(x＋2)(2x2＋ax＋b)的图象关于点(1，0)对称，则a＋2b＝___________．
4．(2025·山东日照一模)已知函数f (x)＝的图象关于点P对称，则点P的坐标为___________．
考点三　两函数图象间的对称问题
[典例3]　 若函数y＝f (1－x)的图象与函数y＝f (2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m＝ (　　)
A．3 B．
C．－1 D．－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称．
[巩固迁移]
5．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是 (　　)
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
第9课时　函数的对称性
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．B　2．B　3．C　4.5　5．(1)2　(2)(0，1)
No2．储备知识要点
1．(1)原点　y轴　(2)x＝a　(a，0)
2．(1)y轴　(2)x轴　(3)原点
精研考点·提升素养
考点一
典例1　解：法一：令g(x)＝f ＝(x＋a)·ln>0，解得x<－1或x>0，即函数g(x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，此定义域关于直线x＝－对称，
若曲线y＝f 关于直线x＝b对称，则b＝－，
此时g(－1－x)－g(x)
＝(－x－1＋a)ln－(x＋a)ln
＝(－x－1＋a)ln＋(x＋a)ln
＝(2a－1)ln，
而ln≠0，则当a＝时，g(－1－x)－g(x)＝0，
即g(－1－x)＝g(x)，
因此当a＝时，对任意x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，恒有g(－1－x)＝g(x)成立，
即函数g(x)＝ln的图象关于直线x＝－对称，所以存在a＝，b＝－，使得曲线y＝f 关于直线x＝－对称．
法二：假设存在a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b对称．
令g(x)＝f ＝(x＋a)ln＝(x＋a)ln，
因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，
所以g(x)＝g(2b－x)，
即(x＋a)ln＝(2b－x＋a)ln＝(x－2b－a)ln，
于是
当a＝，b＝－时，g(x)＝·ln，
g(－1－x)＝ln
＝lnln
＝ln＝g(x)，
所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意．
故存在a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－．
巩固迁移
1．D　[由f (x)＝f (4－x)可知y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8．]
2．4　[函数f (x)＝a·2x＋b·2-x的图象关于直线x＝1对称，由题意知，对任意x∈R，恒有f (x)＝f (2－x)成立，
即a·2x＋b·2-x＝a·22-x＋b·2x-2恒成立，化简得(4a－b)(2x-2－2-x)＝0，故4a－b＝0，则＝4．]
考点二
典例2　(1)10　[因为函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)，即满足＝1，所以y＝f (x)的图象关于点(0，1)对称．又函数y＝＝1＋的图象关于点(0，1)对称，所以函数y＝与y＝f (x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)也关于点(0，1)对称，故交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)成对出现，且每一对点都关于点(0，1)对称，故(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x10)＋(y1＋y2＋…＋y10)＝0＋×2＝10．]
(2)证明：法一：∵函数的定义域为(0，2)，且f (2－x)＋f (x)＝ln＋a(2－x)＋b(1－x)3＋ln＋ax＋b(x－1)3＝2a，
∴f (x)的图象关于点(1，a)中心对称．
法二：将f (x)的图象向左平移一个单位长度 f (x＋1)＝ln＋a(x＋1)＋bx3的图象关于点(0，a)中心对称，
∴f (x)的图象关于点(1，a)中心对称．
巩固迁移
3．6
4．　[根据题意，设P的坐标为(m，n)，
因为y＝－为反比例函数，其图象关于原点对称，
故函数y＝的图象关于点(9，0)对称．
令3x＝9可得x＝2，故f (x)＝图象的对称中心的横坐标为2，即m＝2，
则f (2＋x)＋f (2－x)＝2n，
则有2n＝，
解得n＝，故点P的坐标为．]
考点三
典例3　D　[设点P(x，y)在函数y＝f (1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点为Q(x'，y')，则
即则y'＝f (1－2m＋x')，即y＝f (1－2m＋x)与y＝f (1－x)的图象关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，解得m＝－．]
巩固迁移
5．B　[y＝ln x的图象上的点P(1，0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知B正确．故选B．]
4/4(共61张PPT)
第9课时　函数的对称性
第二章 函数的概念与性质
[考试要求]　
1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．
2．会利用对称公式解决问题．
以题引理·激活思维
1．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y＝的图象之间的关系是(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
√
B　[因为y＝＝3-x，所以函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称．故选B．]
2．(人教B版必修第一册P117习题3－1CT3改编)函数f (x)＝的图象的对称中心的坐标为(　　)
A．(0，0) B．(0，1)
C．(1，0) D．(1，1)
√
B　[因为f (x)＝，由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点(0，0)对称，
所以f (x)＝1＋的图象关于点(0，1)对称．]
3．(湘教版必修第一册P86习题3.2T13改编)已知y＝f (x－1)是偶函数，则函数f (x)图象的对称轴方程是(　　)
A．x＝1 B．x＝
C．x＝－1 D．x＝－
√
C　[因为y＝f (x－1)是偶函数，
则y＝f (x－1)图象的对称轴为直线x＝0，将函数y＝f (x－1)的图象向左平移一个单位长度可得y＝f (x)的图象，
所以函数f (x)图象的对称轴方程是x＝－1．故选C．]
4．(人教B版必修第一册P115练习BT1改编)若函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f (x)＝2x－1，则f (1)＝________．
5
5　[由f (x)的图象关于直线x＝2对称，可得f (1)＝f (3)＝2×3－1＝5．]
5．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13(1)改编)函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．已知f (x)＝mx3＋nx＋1．
(1)若f (x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________；
(2)若m＝1，n＝－3，则函数f (x)图象的对称中心为点________．
2
(0，1)
(1)2　(2)(0，1)　[(1)∵y＝mx3＋nx在R上为奇函数，∴在[－6，6]上，ymax＝－ymin，
∴M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2．
(2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx为奇函数，所以其图象的对称中心为点(0，0)，所以函数f (x)图象的对称中心为点(0，1)．
法二：∵g(x)＝f (x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b在R上为奇函数，
所以
∴函数f (x)图象的对称中心为点(0，1)．]
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于____对称．
(2)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线______对称；若函数y＝f (x＋a)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象的对称中心为点__________．
原点
y轴
x＝a
(a，0)
2．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于____对称；
(2)函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象关于____对称；
(3)函数y＝f (x)与y＝－f (－x)的图象关于____对称．
(4)函数y＝f (a－x)与y＝f (x－b)的图象关于直线x＝对称．
y轴
x轴
原点
1．函数图象轴对称和中心对称结论
(1)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝f (b＋x)，则函数f (x)的图象关于直线x＝对称；
特别地，①若f (a－x)＝f (a＋x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称；
②若f (－x)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝0对称．
(2)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝－f (b＋x)，则函数f (x)的图象关于点中心对称；特别地，若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝－f (a＋x)，则函数y＝f (x)的图象关于点(a，0)对称．
(3)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＋f (a＋x)＝2b，则函数f (x)的图象的对称中心为点(a，b)．
2．核心原理：中点坐标公式及点的对称转移：
f (a－x)＝f (a＋x) f (2a－x)＝f (x)．
考点一　轴对称问题
[典例1]　(2023·全国乙卷节选)已知函数f (x)＝关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由．
精研考点·提升素养
[解]　法一：令g(x)＝f ＝(x＋a)ln>0，解得x<－1或x>0，即函数g(x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，此定义域关于直线x＝－对称，
若曲线y＝f 关于直线x＝b对称，则b＝－，
此时g(－1－x)－g(x)＝(－x－1＋a)ln－(x＋a)ln
＝(－x－1＋a)ln＋(x＋a)ln＝(2a－1)ln，
而ln≠0，则当a＝时，g(－1－x)－g(x)＝0，
即g(－1－x)＝g(x)，
因此当a＝时，对任意x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，恒有g(－1－x)＝g(x)成立，
即函数g(x)＝的图象关于直线x＝－对称，所以存在a＝，b＝－，使得曲线y＝f 关于直线x＝－对称．
法二：假设存在a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b对称．
令g(x)＝f ＝(x＋a)ln＝(x＋a)·ln，
因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，所以g(x)＝g(2b－x)，
即(x＋a)ln＝(2b－x＋a)ln＝(x－2b－a)ln，
于是
当a＝，b＝－时，g(x)＝，
g(－1－x)＝
＝＝＝g(x)，
所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意．
故存在a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－．
名师点评：证明函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称即证明f (x)＝
f (2a－x)或f (a－x)＝f (a＋x)成立．
[巩固迁移]
1．已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (4－x)，若y＝|x－2|与y＝f (x)图象的交点为点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝(　　)
A．－4 B．0
C．4 D．8
√
D　[由f (x)＝f (4－x)可知y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8．]
2．(2025·江西南昌三模)若函数f (x)＝a·2x＋b·2-x的图象关于直线x＝1对称，则＝________．
4　[函数f (x)＝a·2x＋b·2-x的图象关于直线x＝1对称，由题意知，对任意x∈R，恒有f (x)＝f (2－x)成立，
即a·2x＋b·2-x＝a·22-x＋b·2x-2恒成立，化简得(4a－b)(2x-2－2-x)＝0，故4a－b＝0，则＝4．]
4
考点二　中心对称问题
[典例2]　(1)已知函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)，若函数y＝
(xi＋yi)＝________．
(2)(2024·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f (x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3．证明：曲线y＝f (x)是中心对称图形．
10
(1)10　[因为函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)，即满足＝1，所以y＝f (x)的图象关于点(0，1)对称．又函数y＝的图象关于点(0，1)对称，所以函数y＝与y＝f (x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)也关于点(0，1)对称，故交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)成对出现，且每一对点都关于点(0，1)对称，故(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x10)＋(y1＋y2＋…＋y10)＝0＋×2＝10．]
(2)证明：法一：∵函数的定义域为(0，2)，且f (2－x)＋f (x)＝ln＋a(2－x)＋b(1－x)3＋ln＋ax＋b(x－1)3＝2a，∴f (x)的图象关于点(1，a)中心对称．
法二：将f (x)的图象向左平移一个单位长度 f (x＋1)＝ln＋a(x＋1)＋bx3的图象关于点(0，a)中心对称，
∴f (x)的图象关于点(1，a)中心对称．
名师点评：函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称 f (a＋x)＋f (a－x)＝2b 2b－f (x)＝f (2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点对称．
[巩固迁移]
3．(2026·湖北襄阳模拟)已知函数f (x)＝(x＋2)·(2x2＋ax＋b)的图象关于点(1，0)对称，则a＋2b＝________．
6　[根据题意，函数f (x)＝(x＋2)(2x2＋ax＋b)的图象关于点(1，0)对称，所以f (x＋1)＋f (－x＋1)＝0，
所以(x＋3)(2x2＋ax＋4x＋2＋a＋b)＋(－x＋3)·(2x2－ax－4x＋2＋a＋b)＝0，
所以2(a＋4)x2＋12x2＋6(2＋a＋b)＝0，
则所以b＝8，a＝－10，所以a＋2b＝6．]
6
4．(2025·山东日照一模)已知函数f (x)＝的图象关于点P对称，则点P的坐标为____________．
　[根据题意，设P的坐标为(m，n)，
因为y＝－为反比例函数，其图象关于原点对称，
故函数y＝的图象关于点(9，0)对称．
令3x＝9可得x＝2，故f (x)＝图象的对称中心的横坐标为2，即m＝2，
则f (2＋x)＋f (2－x)＝2n，
则有2n＝，
解得n＝，故点P的坐标为．]
考点三　两函数图象间的对称问题
[典例3]　 若函数y＝f (1－x)的图象与函数y＝f (2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m＝(　　)
A．3 B．
√
D　[设点P(x，y)在函数y＝f (1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点为Q(x'，y')，则则y'＝f (1－2m＋x')，即y＝f (1－2m＋x)与y＝f (1－x)的图象关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，解得m＝－．]
名师点评：函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称．
[巩固迁移]
5．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是
(　　)
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
√
B　[y＝ln x的图象上的点P(1，0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知B正确．故选B．]
一、单项选择题
1．下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A．y＝tan x B．y＝x-1
C．y＝x3 D．y＝ln|x|
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课后作业(九)　函数的对称性
√
B　[正切函数y＝tan x的图象关于原点对称，但没有对称轴，不符合；y＝x-1的图象关于原点和y＝±x对称，符合；y＝x3的图象关于原点对称，但没有对称轴，不符合；由ln |－x|＝ln |x|，即y＝ln|x|的图象关于y轴对称，但没有对称中心，不符合．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知函数f (x)＝3|x-a|＋2，且满足f (5＋x)＝f (3－x)，则f (6)＝
(　　)
A．29 B．11
C．3 D．5
√
B　[因为f (5＋x)＝f (3－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝4对称，
而f (x)＝3|x-a|＋2的图象关于直线x＝a对称，
所以a＝4，f (6)＝3|6-4|＋2＝11．故选B．]
3．(2026·山东东营模拟)已知函数f (x)＝x3－x，则函数y＝f (x＋2)＋2的图象(　　)
A．关于点(－2，2)对称
B．关于点(2，－2)对称
C．关于直线x＝2对称
D．关于直线x＝－2对称
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
A　[因为f (－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f (x)，则f (x)为奇函数，所以函数y＝f (x)的图象关于点(0，0)对称．
又函数y＝f (x＋2)＋2的图象可由f (x)的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
所以函数y＝f (x＋2)＋2的图象关于点(－2，2)对称．
故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4．(2026·河南开封模拟)已知函数f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称图形，当x<1时，f (x)＝x(x＋1)，则当x>1时，f (x)＝(　　)
A．－(x－2)(x－3) B．(x－2)(x－3)
C．－x(x－1) D．x(x－1)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
A　[当x<1时，f (x)＝x(x＋1)，
则当x>1时，2－x<1，故f (2－x)＝(2－x)(3－x)，
又函数f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称图形，
则f (x)＝－f (2－x)＝－(x－2)(x－3)．即当x>1时，f (x)＝－(x－2)(x－3)．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
5．已知y＝f (x＋1)＋1为奇函数，则f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝(　　)
A．6 B．5
C．－6 D．－5
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
D　[由y＝f (x＋1)＋1为奇函数，可知f (x)的图象关于点(1，－1)对称，所以f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝[f (－1)＋f (3)]＋f (1)＋
[f (0)＋f (2)]＝－2－1－2＝－5．故选D．]
6．(2025·江苏苏州三模)已知函数f (x)＝
(xi＋yi)＝(　　)
A．0 B．4
C．8 D．12
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
D　[因为f (x)＝＋ex－e-x，
显然y＝＋ex－e-x为奇函数，图象关于原点对称，
故f (x)的图象关于点(0，3)对称，
因为g(x)＋g(－x)＝6，则g(x)的图象也关于点(0，3)对称，
则f (x)与g(x)的图象的交点也关于点(0，3)对称，
若函数y＝f (x)与y＝g(x)的图象有四个交点，分别为点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，
则(xi＋yi)＝x1＋x2＋x3＋x4＋(y1＋y2＋y3＋y4)＝0＋6＋6＝12．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
二、多项选择题
7．对于定义在R上的函数f (x)，下列结论正确的是(　　)
A．若f (x＋1)＝f (x－1)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称
B．若f (x)是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称
C．函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于直线x＝1对称
D．若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f (x)为偶函数
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
BD　[对于A，对任意x∈R，有f (x＋1)＝f (x－1)，
用x＋1替换x，得f (x＋2)＝f (x)，可得函数f (x)是周期为2的周期函数，
则y＝f (x)的图象的对称性不确定，故A错误；
对于B，∵f (x)是奇函数，∴f (x)的图象关于原点对称，而y＝f (x－1)的图象是将y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度得到，
∴y＝f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称，故B正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
对于C，函数y＝f (1＋x)是由y＝f (x)的图象向左平移1个单位长度得到；
函数y＝f (1－x)的图象是由y＝f (－x)的图象向右平移1个单位长度得到，
而y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴对称，
所以函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于y轴对称，故C错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
对于D，若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，
则将其向左平移1个单位长度得到f (x)的图象，则对称轴也向左平移1个单位长度，
则f (x)的图象关于y轴对称，即f (x)为偶函数，故D正确．故选BD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
8．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，且y＝f (2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是(　　)
A．函数f (x)的周期为2
B．函数f (x)的图象关于点(1，0)对称
C．函数f (x)为偶函数
D．函数f (x)的图象关于直线x＝3对称
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
BC　[因为f (x)的定义域为R，且f (x＋2)＋f (x)＝0，所以f (x＋2)＝
－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，函数f (x)的周期为4，A错误；
因为函数y＝f (2－x)是偶函数，所以f (2－x)＝f (2＋x)，函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，
且f (2－x)＝－f (x)，即f (2－x)＋f (x)＝0，函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，B正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (－x)＝f (4＋x)＝f (x)，则函数f (x)为偶函数，C正确；
由f (x＋2)＋f (x)＝0，得f (x＋3)＋f (1＋x)＝0，由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (3－x)＝f (1＋x)，
因此f (x＋3)＋f (3－x)＝0，函数f (x)的图象关于点(3，0)对称，D错误．故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
三、填空题
9．(2026·安徽马鞍山模拟)若函数f (x)＝ln＋x的图象关于点(2，2)对称，且a≠1，则实数a＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
－5
－5　[因为函数f (x)＝ln＋x的图象关于点(2，2)对称，所以其定义域关于x＝2对称，由>0得x<－1或x>－a，所以＝2，解得a＝－5，经检验a＝－5符合题意．]
10．已知所有的三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象都有对称中心＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
8 090
8 090　[∵f (x)＝－x3＋3x2，
则a＝－1，b＝3，∴－＝1，f (1)＝2，
即函数y＝f (x)的图象的对称中心为点(1，2)，
则f (x)＋f (2－x)＝4，故f ＋…＋
f ＋…＋＝4×2 022＋2＝8 090．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
11．(2026·广东深圳模拟)已知函数f (x)的定义域为R，满足f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，则(　　)
A．f (0)＝1 B．f (1)＝－1
C．f (2)＝0 D．f (3)＝0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
D　[根据题意，因为函数f (x＋1)为奇函数，
所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，
即f (1－x)＝－f (1＋x)， 所以f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称，所以f (1)＝0．
又因为f (x＋2)为偶函数，
所以f (x＋2)＝f (－x＋2)，
即f (2＋x)＝f (2－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (3)＝0．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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10
11
12
13
12．(多选)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x都有f (2＋x)＝f (2－x)，且f (－x)＝f (x)，则下列结论正确的是(　　)
A．f (x)的图象关于直线x＝2对称
B．f (x)的图象关于点(2，0)对称
C．f (x)的周期为4
D．y＝f (x＋4)为偶函数
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
√
ACD　[∵f (2＋x)＝f (2－x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f (－x)＝f (x＋4)，又f (－x)＝f (x)，
∴f (x＋4)＝f (x)，∴函数f (x)的周期为4，故C正确；
∵f (x)的周期为4且为偶函数，
∴y＝f (x＋4)为偶函数，故D正确．
故选ACD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
13．我们知道函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数．
(1)已知函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e-x+1)，求该函数图象的对称轴方程；
(2)若函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，g(x)＝x2－．
①求g(x)的解析式；
②求不等式g(x)>g(3x－1)的解集．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
[解]　(1)因为φ(x)＝(x－1)2－1＋a[ex-1＋e-(x-1)]，所以φ(1＋x)＝x2－1＋a(ex＋e-x)，
令h(x)＝φ(x＋1)，
则该函数的定义域为R，
h(－x)＝(－x)2－1＋a(e-x＋ex)＝x2－1＋a(e-x＋ex)＝h(x)，
所以函数h(x)＝φ(x＋1)为偶函数，
因此，函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e-x+1)图象的对称轴方程为x＝1．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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12
13
(2)①因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，g(x)＝x2－，
当x<1时，2－x>1，则g(x)＝g(2－x)＝(2－x)2－＝(x－2)2＋，
所以g(x)＝
题号
2
1
3
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13
②当x≥1时，g(x)＝x2－，因为函数y＝x2，y＝－在[1，＋∞)上单调递增，
所以函数g(x)＝x2－在[1，＋∞)上单调递增．
因为g(x)>g(3x－1)，则|x－1|>|3x－2|，
不等式两边平方可得(3x－2)2<(x－1)2，
即(2x－1)(4x－3)<0，解得，
因此，不等式g(x)>g(3x－1)的解集为．
题号
2
1
3
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13
谢 谢 ！课后作业(九)　函数的对称性
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共78分
一、单项选择题
1．下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　　)
A．y＝tan x B．y＝x-1
C．y＝x3 D．y＝ln|x|
2．已知函数f (x)＝3|x-a|＋2，且满足f (5＋x)＝f (3－x)，则f (6)＝ (　　)
A．29 B．11
C．3 D．5
3．(2026·山东东营模拟)已知函数f (x)＝x3－x，则函数y＝f (x＋2)＋2的图象 (　　)
A．关于点(－2，2)对称
B．关于点(2，－2)对称
C．关于直线x＝2对称
D．关于直线x＝－2对称
4．(2026·河南开封模拟)已知函数f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称图形，当x<1时，f (x)＝x(x＋1)，则当x>1时，f (x)＝ (　　)
A．－(x－2)(x－3) B．(x－2)(x－3)
C．－x(x－1) D．x(x－1)
5．已知y＝f (x＋1)＋1为奇函数，则f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝ (　　)
A．6 B．5
C．－6 D．－5
6．(2025·江苏苏州三模)已知函数f (x)＝
(xi＋yi)＝ (　　)
A．0 B．4
C．8 D．12
二、多项选择题
7．对于定义在R上的函数f (x)，下列结论正确的是 (　　)
A．若f (x＋1)＝f (x－1)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称
B．若f (x)是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称
C．函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于直线x＝1对称
D．若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f (x)为偶函数
8．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，且y＝f (2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是 (　　)
A．函数f (x)的周期为2
B．函数f (x)的图象关于点(1，0)对称
C．函数f (x)为偶函数
D．函数f (x)的图象关于直线x＝3对称
三、填空题
9．(2026·安徽马鞍山模拟)若函数f (x)＝ln＋x的图象关于点(2，2)对称，且a≠1，则实数a＝___________．
10．已知所有的三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象都有对称中心＝ 　．
11．(2026·广东深圳模拟)已知函数f (x)的定义域为R，满足f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，则 (　　)
A．f (0)＝1 B．f (1)＝－1
C．f (2)＝0 D．f (3)＝0
12．(多选)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x都有f (2＋x)＝f (2－x)，且f (－x)＝f (x)，则下列结论正确的是 (　　)
A．f (x)的图象关于直线x＝2对称
B．f (x)的图象关于点(2，0)对称
C．f (x)的周期为4
D．y＝f (x＋4)为偶函数
13．(15分)我们知道函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数．
(1)已知函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e-x+1)，求该函数图象的对称轴方程；
(2)若函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，g(x)＝x2－．
①求g(x)的解析式；
②求不等式g(x)>g(3x－1)的解集．
课后作业(九)
1．B　2．B
3．A　[因为f (－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f (x)，则f (x)为奇函数，所以函数y＝f (x)的图象关于点(0，0)对称．
又函数y＝f (x＋2)＋2的图象可由f (x)的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
所以函数y＝f (x＋2)＋2的图象关于点(－2，2)对称．故选A．]
4．A　[当x<1时，f (x)＝x(x＋1)，
则x>1时，2－x<1，
故f (2－x)＝(2－x)(3－x)，
又函数f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称图形，
则f (x)＝－f (2－x)＝－(x－2)(x－3)．即当x>1时，f (x)＝－(x－2)(x－3)．故选A．]
5．D　[由y＝f (x＋1)＋1为奇函数，可知f (x)的图象关于点(1，－1)对称，所以f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝[f (－1)＋f (3)]＋f (1)＋[f (0)＋f (2)]＝－2－1－2＝－5．故选D．]
6．D　[因为f (x)＝＋ex－e-x＝3＋＋ex－e-x，
显然y＝＋ex－e-x为奇函数，图象关于原点对称，
故f (x)的图象关于点(0，3)对称，
因为g(x)＋g(－x)＝6，则g(x)的图象也关于点(0，3)对称，
则f (x)与g(x)的图象的交点也关于点(0，3)对称，
若函数y＝f (x)与y＝g(x)的图象有四个交点，分别为点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，
则(xi＋yi)＝x1＋x2＋x3＋x4＋(y1＋y2＋y3＋y4)＝0＋6＋6＝12．
故选D．]
7．BD　[对于A，对任意x∈R，有f (x＋1)＝f (x－1)，
用x＋1替换x，得f (x＋2)＝f (x)，可得函数f (x)是周期为2的周期函数，
则y＝f (x)的图象的对称性不确定，故A错误；
对于B，∵f (x)是奇函数，∴f (x)的图象关于原点对称，而y＝f (x－1)的图象是将y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度得到，
∴y＝f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称，故B正确；
对于C，函数y＝f (1＋x)是由y＝f (x)的图象向左平移1个单位长度得到；
函数y＝f (1－x)的图象是由y＝f (－x)的图象向右平移1个单位长度得到，
而y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴对称，
所以函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于y轴对称，故C错误；
对于D，若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，
则将其向左平移1个单位长度得到f (x)的图象，则对称轴也向左平移1个单位长度，
则f (x)的图象关于y轴对称，即f (x)为偶函数，故D正确．故选BD．]
8．BC　[因为f (x)的定义域为R，且f (x＋2)＋f (x)＝0，所以f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，函数f (x)的周期为4，A错误；
因为函数y＝f (2－x)是偶函数，所以f (2－x)＝f (2＋x)，函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，
且f (2－x)＝－f (x)，即f (2－x)＋f (x)＝0，函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，B正确；
由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (－x)＝f (4＋x)＝f (x)，则函数f (x)为偶函数，C正确；
由f (x＋2)＋f (x)＝0，得f (x＋3)＋f (1＋x)＝0，由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (3－x)＝f (1＋x)，
因此f (x＋3)＋f (3－x)＝0，函数f (x)的图象关于点(3，0)对称，D错误．故选BC．]
9．－5　10.8 090
11．D　[根据题意，因为函数f (x＋1)为奇函数，
所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，
即f (1－x)＝－f (1＋x)， 所以f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称，所以f (1)＝0．
又因为f (x＋2)为偶函数，
所以f (x＋2)＝f (－x＋2)，
即f (2＋x)＝f (2－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (3)＝0．
故选D．]
12．ACD　[∵f (2＋x)＝f (2－x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f (－x)＝f (x＋4)，又f (－x)＝f (x)，
∴f (x＋4)＝f (x)，∴函数f (x)的周期为4，故C正确；
∵f (x)的周期为4且为偶函数，
∴y＝f (x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD．]
13．解：(1)因为φ(x)＝(x－1)2－1＋a[ex-1＋e-(x-1)]，所以φ(1＋x)＝x2－1＋a(ex＋e-x)，
令h(x)＝φ(x＋1)，则该函数的定义域为R，
h(－x)＝(－x)2－1＋a(e-x＋ex)＝x2－1＋a(e-x＋ex)＝h(x)，
所以函数h(x)＝φ(x＋1)为偶函数，
因此，函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e-x+1)图象的对称轴方程为x＝1．
(2)①因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，g(x)＝x2－，
当x<1时，2－x>1，则g(x)＝g(2－x)＝(2－x)2－＝(x－2)2＋，
所以g(x)＝
②当x≥1时，g(x)＝x2－，因为函数y＝x2，y＝－在[1，＋∞)上单调递增，
所以函数g(x)＝x2－在[1，＋∞)上单调递增．
因为g(x)>g(3x－1)，则|x－1|>|3x－2|，
不等式两边平方可得(3x－2)2<(x－1)2，即(2x－1)(4x－3)<0，解得因此，不等式g(x)>g(3x－1)的解集为．
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