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第10课时　函数性质的综合应用
考点一　函数的奇偶性与单调性
[典例1]　(多选)已知f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f (x)，g(x)在(－∞，0]上均单调递减，则 (　　)
A．f (f (1))B．f (g(1))C．g(f (1))D．g(g(1))　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：解答函数的奇偶性与单调性知识融合的题目应把握两点：奇偶性的作用在于转换变量所在的区间，单调性的作用是在同一区间内比较大小(函数值或自变量)或解不等式．
[巩固迁移]
1．(2025·山东济南一模)已知函数f (x)＝ 则f (2x)＋f (x－3)>0的解集是 (　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞)
考点二　函数的奇偶性与周期性
[典例2]　(1)函数y＝f (x)和y＝f (x－2)均为定义在R上的奇函数，若f (1)＝2，则f (2 025)＝ (　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋2)是偶函数，f (2x＋1)是奇函数，则 (　　)
A．f ＝0 B．f (－1)＝0
C．f (2)＝0 D．f (4)＝0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．
[巩固迁移]
2．(多选)(2025·河北石家庄三模)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，f (x＋1)是定义在R上的奇函数，则 (　　)
A．f (x)的图象关于点(1，0)中心对称
B．f (x)是周期为2的函数
C．f (2 027)＝0
D．f (i)＝0
考点三　函数的奇偶性与对称性
[典例3]　(1)(2025·山西晋中三模)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (2－x)＝f (x)，且当0≤x≤1时，f (x)＝sinx，则f ＝ (　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)(多选)已知f (x＋1)是奇函数，f (x)的图象关于直线x＝－1对称，则下列结论正确的是 (　　)
A．f (x)是周期为4的周期函数
B．f (x－5)为偶函数
C．f (x)的图象关于点(－3，0)对称
D．f (5)＝0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
[巩固迁移]
3．(多选)已知函数f (x)，g(x)的定义域为R，且f (x)＋g(1－x)＝a(a≠0)，g(1＋x)＝g(1－x)，若f (x＋2)为奇函数，则 (　　)
A．g(x)的图象关于直线x＝1对称
B．g(x)为奇函数
C．f (2)＝0
D．f (x)为偶函数
考点四　函数的对称性与周期性
[典例4]　已知定义在R上的函数f (x)，满足f (－x)＋f (x)＝2，f (1－x)＝f (1＋x)，若f ，则f (2)＋f ＝ (　　)
A．2 B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：函数的周期性与对称性的关系
(1)如果f (x)的图象关于点(a，0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，则函数f (x)的周期T＝4|a－b|．(类比y＝sin x的图象)
(2)如果f (x)的图象关于点(a，0)对称，且关于点(b，0)(a≠b)对称，则函数f (x)的周期T＝2|a－b|．(类比y＝sin x的图象)
(3)若函数f (x)的图象关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|．(类比y＝sin x的图象)
[巩固迁移]
4．已知函数y＝f (x)满足f (－x)＝f (2＋x)，其图象关于点(2，0)对称，f (2)＝0，则f (18)＝______________．
第10课时　函数性质的综合应用
精研考点·提升素养
考点一
典例1　BD　[因为f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上均单调递减，所以f (x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f (1)g(1)>g(2)，
所以f (g(1))g(f (2))，
g(g(1))若|f (1)|>|f (2)|，则f (f (1))>f (f (2))，A错误．故选BD．]
巩固迁移
1．A　[当x>0时，f (x)＝1－ex，－x<0，
f (－x)＝e-(-x)－1＝ex－1＝－f (x)；
当x<0时，f (x)＝e-x－1，－x>0，
f (－x)＝1－e-x＝－f (x)，
且当x＝0时，f (x)＝0，所以f (x)为奇函数，易知f (x)为R上的减函数，
则f (2x)＋f (x－3)>0 f (2x)>－f (x－3)＝f (3－x) 2x<3－x x<1，
所以原不等式的解集为(－∞，1)．故选A．]
考点二
典例2　(1)D　(2)B　[(1)因为y＝f (x－2)为定义在R上的奇函数，所以y＝f (x)的图象关于点(－2，0)对称，即f (－x)＋f (x－4)＝0，
又y＝f (x)的图象关于原点对称，则f (－x)＝－f (x)，有f (x)＝f (x－4) f (x＋4)＝f (x)，
所以y＝f (x)的周期为4，故f (2 025)＝f (1＋4×506)＝f (1)＝2．
故选D．
(2)∵f (x＋2)是偶函数，则f (－x＋2)＝f (x＋2)，
∵f (2x＋1)是奇函数，则f (－2x＋1)＝－f (2x＋1)，
且由F(x)＝f (2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f (1)＝0，
∴f (－1)＝－f (3)＝－f (1)＝0，且易知函数f (x)的周期为4，其余选项不一定为0，故选B．]
巩固迁移
2．AC　[对于A，因为y＝f (x＋1)是R上的奇函数，其图象关于原点对称，又y＝f (x＋1)的图象可看成是函数y＝f (x)的图象向左平移1个单位长度得到的，所以f (x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；
对于B，由y＝f (x＋1)是R上的奇函数，可得f (－x＋1)＝－f (x＋1)，即 f (－x)＝－f (x＋2)，
又f (－x)＝f (x)，则f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，故f (x)是周期为4的函数，故B错误；
对于C，由f (－x)＝－f (x＋2)，
令x＝－1，得f (1)＝－f (1)，则f (1)＝0，
∴f (2 027)＝f (506×4＋3)＝f (3)＝f (－1)＝f (1)＝0，故C正确；
对于D，由f (x＋2)＋f (x)＝0，则f (2)＋f (4)＝0，
又f (1)＝f (3)＝0，f (x)是周期为4的函数，
则f (i)＝4[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (2)，
而f (2)的值无法确定，故D错误．
故选AC．]
考点三
典例3　(1)C　(2)BCD　[(1)定义在R上的奇函数f (x)满足f (2－x)＝f (x)，
则f (x)＝－f (x－2)，于是f (x)＝－f (x－2)＝－[－f (x－4)]＝f (x－4)，
即f (x)的周期为4，则f ＝f
＝－f ＝－sin＝－．故选C．
(2)对于A，法一：由题知f (x＋1)为奇函数，
所以f (x)的图象关于点(1，0)对称，
则f (－x)＋f (2＋x)＝0，①
因为f (x)的图象关于直线x＝－1对称，
所以f (－x)＝f (－2＋x)，②
将②代入①可得f (－2＋x)＋f (2＋x)＝0，
将x换为2＋x代入上式有f (x)＋f (x＋4)＝0，③
再将x换为x＋4代入③式有f (x＋4)＋f (x＋8)＝0，即f (x)＝f (x＋8)，
所以f (x)是周期为8的周期函数．
法二：由f (x)的图象关于点(1，0)对称，且关于直线x＝－1对称，则f (x)的周期T＝4|－1－1|＝8，故选项A错误；
对于B，因为f (x)的图象关于直线x＝－1对称且周期为8，
所以f (－x－5)＝f (3＋x)＝f (x－5)，
所以f (x－5)为偶函数，故选项B正确；
对于C，由f (－x＋1)＝－f (x＋1)及f (x)的周期为8，可知f (－x－3)＝－f (x＋5)＝－f (x－3)，
所以f (x)的图象关于点(－3，0)对称，故选项C正确；
对于D，因为f (x＋1)＋f (－x＋1)＝0，取x＝0可得f (1)＝0，
所以f (5)＝f (－3)＝f (1)＝0，故选项D正确．]
巩固迁移
3．ACD　[因为g(x)的定义域为R，且g(1＋x)＝g(1－x)，所以g(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；
但不能确定g(x)为奇函数，故B错误；
根据题意，y＝f (x＋2)是定义域为R的奇函数，所以f (x＋2)＝－f (－x＋2)，令x＝0，得f (2)＝0，故C正确；
因为f (x)＋g(1－x)＝a，则f (－x)＋g(1＋x)＝a，结合g(1＋x)＝g(1－x)，则f (－x)＋g(1－x)＝a，所以f (x)＝f (－x)，即f (x)为偶函数，故D正确．
故选ACD．]
考点四
典例4　D　[由f (－x)＋f (x)＝2，知函数f (x)的图象关于点(0，1)对称，由f (1－x)＝f (1＋x)，知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f (x)的周期为4×|1－0|＝4．
又f ，所以f ＝f
＝f ＝f ，
所以f ＝f ＝f
＝2－f ，
又f (0)＝1，所以f (2)＝f (1－(－1))
＝f (1＋(－1))＝f (0)＝1，
所以f (2)＋f ＝1＋．
故选D．]
巩固迁移
4．0　[因为函数y＝f (x)的图象关于点(2，0)对称，
所以f (－x)＝－f (4＋x)．
又f (－x)＝f (2＋x)，
所以f (x＋2)＋f (x＋4)＝0，
所以f (x)－f (x＋4)＝0，
即f (x)＝f (x＋4)，
所以函数f (x)的一个周期为4，
所以f (18)＝f (2)＝0．]
4/4(共97张PPT)
第10课时　函数性质的综合应用
第二章 函数的概念与性质
考点一　函数的奇偶性与单调性
[典例1]　(多选)已知f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f (x)，g(x)在(－∞，0]上均单调递减，则(　　)
A．f (f (1))C．g(f (1))精研考点·提升素养
√
√
BD　[因为f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上均单调递减，所以f (x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f (1)<
f (2)，g(0)＝0>g(1)>g(2)，
所以f (g(1))g(f (2))，
g(g(1))若|f (1)|>|f (2)|，则f (f (1))>f (f (2))，A错误．故选BD．]
名师点评：解答函数的奇偶性与单调性知识融合的题目应把握两点：奇偶性的作用在于转换变量所在的区间，单调性的作用是在同一区间内比较大小(函数值或自变量)或解不等式．
[巩固迁移]
1．(2025·山东济南一模)已知函数f (x)＝ 则f (2x)＋f (x－3)>0的解集是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞)
√
A　[当x>0时，f (x)＝1－ex，－x<0，f (－x)＝e-(-x)－1＝ex－1＝
－f (x)；
当x<0时，f (x)＝e-x－1，－x>0，f (－x)＝1－e-x＝－f (x)，
且当x＝0时，f (x)＝0，所以f (x)为奇函数，易知f (x)为R上的减函数，
则f (2x)＋f (x－3)>0 f (2x)>－f (x－3)＝f (3－x) 2x<3－x x<1，
所以原不等式的解集为(－∞，1)．故选A．]
【教用·备选题】
(1)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式(2x－5)f (x－1)<0的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪　 B．(4，＋∞)
C．∪(4，＋∞) D．(－∞，－2)
√
(2)(多选)(2026·江苏淮安模拟)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)是奇函数，g(x)＝(1－x)f (x)，函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增，则下列命题为真命题的是(　　)
A．f (－x－1)＝－f (x＋1)
B．函数g(x)在(－∞，1]上单调递减
C．若a<2－b<1，则g(1)D．若g(a)>g(a＋1)，则a<
√
√
√
(1)C　(2)BCD　[(1)依题意，函数的大致图象如图．
因为f (x)是定义在R上的偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，
所以f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f (－3)＝0，
则当x>3或x<－3时，f (x)<0；当－30，
不等式(2x－5)f (x－1)<0化为
所以或
解得x>4或x∈ 或－2即－24，
即原不等式的解集为∪(4，＋∞)．
故选C．
(2)对于A，因为f (x＋1)是奇函数，
所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，故A错误；
对于B，因为f (x＋1)是奇函数，
所以y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称，
即有f (x)＝－f (2－x)，
所以g(2－x)＝[1－(2－x)]f (2－x)＝(x－1)f (2－x)＝(1－x)f (x)＝g(x)，
所以y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，
函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)在(－∞，1]上单调递减，故B正确；
对于C，因为a<2－b<1且g(x)在(－∞，1]上单调递减，
所以g(1)即g(1)对于D，因为g(a)>g(a＋1)，且a由函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，得<1，解得a<，故D正确．
故选BCD．]
考点二　函数的奇偶性与周期性
[典例2]　(1)函数y＝f (x)和y＝f (x－2)均为定义在R上的奇函数，若
f (1)＝2，则f (2 025)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋2)是偶函数，f (2x＋1)是奇函数，则(　　)
A．f ＝0 B．f (－1)＝0
C．f (2)＝0 D．f (4)＝0
√
√
(1)D　(2)B　[(1)因为y＝f (x－2)为定义在R上的奇函数，
所以y＝f (x)的图象关于点(－2，0)对称，即f (－x)＋f (x－4)＝0，
又y＝f (x)的图象关于原点对称，则f (－x)＝－f (x)，有f (x)＝f (x－4) f (x＋4)＝f (x)，
所以y＝f (x)的周期为4，故f (2 025)＝f (1＋4×506)＝f (1)＝2．
故选D．
(2)∵f (x＋2)是偶函数，则f (－x＋2)＝f (x＋2)，
∵f (2x＋1)是奇函数，则f (－2x＋1)＝－f (2x＋1)，
且由F(x)＝f (2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f (1)＝0，
∴f (－1)＝－f (3)＝－f (1)＝0，且易知函数f (x)的周期为4，其余选项不一定为0，故选B．]
名师点评：周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．
[巩固迁移]
2．(多选)(2025·河北石家庄三模)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，f (x＋1)是定义在R上的奇函数，则(　　)
A．f (x)的图象关于点(1，0)中心对称
B．f (x)是周期为2的函数
C．f (2 027)＝0
D．f (i)＝0
√
√
AC　[对于A，因为y＝f (x＋1)是R上的奇函数，其图象关于原点对称，又y＝f (x＋1)的图象可看成是函数y＝f (x)的图象向左平移1个单位长度得到的，所以f (x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；
对于B，由y＝f (x＋1)是R上的奇函数，可得f (－x＋1)＝－f (x＋1)，即 f (－x)＝－f (x＋2)，
又f (－x)＝f (x)，则f (x＋2)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，故f (x)是周期为4的函数，
故B错误；
对于C，由f (－x)＝－f (x＋2)，
令x＝－1，得f (1)＝－f (1)，则f (1)＝0，
∴f (2 027)＝f (506×4＋3)＝f (3)＝f (－1)＝f (1)＝0，故C正确；
对于D，由f (x＋2)＋f (x)＝0，
则f (2)＋f (4)＝0，
又f (1)＝f (3)＝0，f (x)是周期为4的函数，
则f (i)＝4[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (2)，
而f (2)的值无法确定，故D错误．故选AC．]
【教用·备选题】
1．已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋2)－2为奇函数，f (3x＋1)为偶函数，f (1)＝0，则f (k)＝(　　)
A．4 036 B．4 040
C．4 044 D．4 050
√
D　[根据题意，若f (x＋2)－2为奇函数，则有f (－x＋2)＋f (x＋2)＝4，
故f (x)的图象关于点(2，2)对称，故f (2)＝2，
又由f (3x＋1)为偶函数，则f (－3x＋1)＝f (3x＋1)，
变形可得f (－x)＝f (x＋2)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称，
又由f (－x＋2)＋f (x＋2)＝4，得f (－x)＋f (－x＋2)＝4，变形可得f (x)＋f (x＋2)＝4，①
由此可得f (x＋2)＋f (x＋4)＝4，②
联立①②可得f (x＋4)＝f (x)，则f (x)是周期为4的周期函数，
由于f (x)＋f (x＋2)＝4，则f (1)＋f (3)＝4，f (2)＋f (4)＝4，
故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8，
故f (k)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 026)＝506×[f (1)＋
f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝506×8＋0＋2＝4 050．故选D．]
2．(多选)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为偶函数，f (3x＋2)为奇函数，则(　　)
A．f (x)的图象关于直线x＝1对称
B．f (x)的图象关于点(1，0)对称
C．f (x＋4)＝f (x)
D．f (i)＝1
√
√
AC　[∵f (x＋1)为偶函数，∴f (x＋1)的图象关于直线x＝0对称，∴根据图象变换知f (x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；
∵f (3x＋2)为奇函数，∴f (3x＋2)的图象关于点(0，0)对称，
∴根据图象变换知f (x)的图象关于点(2，0)对称，故B错误；
由以上分析得f (x)的周期为4×(2－1)＝4，即f (x＋4)＝f (x)，故C正确；
∵f (x)的图象关于点(2，0)对称，∴f (2)＝0，f (1)＋f (3)＝0，∵f (x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f (0)＝f (2)＝0，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝0，∵f (x)是周期为4的函数，
∴f (i)＝0＋0＋0＋0＋0＋f (20)．
∵f (20)＝f (0)＝0，∴f (i)＝0，故D错误．故选AC．]
考点三　函数的奇偶性与对称性
[典例3]　(1)(2025·山西晋中三模)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (2－x)＝f (x)，且当0≤x≤1时，f (x)＝sin＝(　　)
A．－
√
(2)(多选)已知f (x＋1)是奇函数，f (x)的图象关于直线x＝－1对称，则下列结论正确的是(　　)
A．f (x)是周期为4的周期函数
B．f (x－5)为偶函数
C．f (x)的图象关于点(－3，0)对称
D．f (5)＝0
√
√
√
(1)C　(2)BCD　[(1)定义在R上的奇函数f (x)满足f (2－x)＝f (x)，
则f (x)＝－f (x－2)，于是f (x)＝－f (x－2)＝－[－f (x－4)]＝f (x－4)，
即f (x)的周期为4，则f ．
故选C．
(2)对于A，法一：由题知f (x＋1)为奇函数，
所以f (x)的图象关于点(1，0)对称，
则f (－x)＋f (2＋x)＝0，①
因为f (x)的图象关于直线x＝－1对称，
所以f (－x)＝f (－2＋x)，②
将②代入①可得f (－2＋x)＋f (2＋x)＝0，
将x换为2＋x代入上式有f (x)＋f (x＋4)＝0，③
再将x换为x＋4代入③式有f (x＋4)＋f (x＋8)＝0，即f (x)＝f (x＋8)，
所以f (x)是周期为8的周期函数．
法二：由f (x)的图象关于点(1，0)对称，且关于直线x＝－1对称，
则f (x)的周期T＝4|－1－1|＝8，故选项A错误；
对于B，因为f (x)的图象关于直线x＝－1对称且周期为8，
所以f (－x－5)＝f (3＋x)＝f (x－5)，
所以f (x－5)为偶函数，故选项B正确；
对于C，由f (－x＋1)＝－f (x＋1)及f (x)的周期为8，可知f (－x－3)＝－f (x＋5)＝－f (x－3)，
所以f (x)的图象关于点(－3，0)对称，故选项C正确；
对于D，因为f (x＋1)＋f (－x＋1)＝0，取x＝0可得f (1)＝0，
所以f (5)＝f (－3)＝f (1)＝0，故选项D正确．]
名师点评：由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
[巩固迁移]
3．(多选)已知函数f (x)，g(x)的定义域为R，且f (x)＋g(1－x)＝a(a≠0)，g(1＋x)＝g(1－x)，若f (x＋2)为奇函数，则(　　)
A．g(x)的图象关于直线x＝1对称
B．g(x)为奇函数
C．f (2)＝0
D．f (x)为偶函数
√
√
√
ACD　[因为g(x)的定义域为R，且g(1＋x)＝g(1－x)，所以g(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；
但不能确定g(x)为奇函数，故B错误；
根据题意，y＝f (x＋2)是定义域为R的奇函数，
所以f (x＋2)＝－f (－x＋2)，令x＝0，得f (2)＝0，故C正确；
因为f (x)＋g(1－x)＝a，则f (－x)＋g(1＋x)＝a，结合g(1＋x)＝g(1－x)，则f (－x)＋g(1－x)＝a，所以f (x)＝f (－x)，即f (x)为偶函数，故D正确．
故选ACD．]
考点四　函数的对称性与周期性
[典例4]　已知定义在R上的函数f (x)，满足f (－x)＋f (x)＝2，f (1－x)＝f (1＋x)，若f ＝(　　)
A．2 B．
√
D　[由f (－x)＋f (x)＝2，知函数f (x)的图象关于点(0，1)对称，由f (1－x)＝f (1＋x)，知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f (x)的周期为4×|1－0|＝4．
又f ，所以f ，
所以f ，
又f (0)＝1，所以f (2)＝f (1－(－1))＝f (1＋(－1))＝f (0)＝1，
所以f (2)＋f ．
故选D．]
名师点评：函数的周期性与对称性的关系
(1)如果f (x)的图象关于点(a，0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，则函数f (x)的周期T＝4|a－b|．(类比y＝sin x的图象)
(2)如果f (x)的图象关于点(a，0)对称，且关于点(b，0)(a≠b)对称，则函数f (x)的周期T＝2|a－b|．(类比y＝sin x的图象)
(3)若函数f (x)的图象关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|．(类比y＝sin x的图象)
[巩固迁移]
4．已知函数y＝f (x)满足f (－x)＝f (2＋x)，其图象关于点(2，0)对称，f (2)＝0，则f (18)＝__________．
0　[因为函数y＝f (x)的图象关于点(2，0)对称，
所以f (－x)＝－f (4＋x)．
又f (－x)＝f (2＋x)，所以f (x＋2)＋f (x＋4)＝0，
所以f (x)－f (x＋4)＝0，
即f (x)＝f (x＋4)，所以函数f (x)的一个周期为4，
所以f (18)＝f (2)＝0．]
0
【教用·备选题】
已知f (x)是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f (x＋2)＝f (2－x)＋4f (2)，若函数y＝f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，则f (2 026)＝(　　)
A．6 B．3
C．0　　 D．－3
√
C　[令x＝0，得f (2)＝f (2)＋4f (2)，
即f (2)＝0，f (x＋2)＝f (2－x)，
因为函数y＝f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，
所以函数y＝f (x)的图象关于点(0，0)对称，
即f (－x)＝－f (x)，
所以f (x＋2)＝f (2－x)＝－f (x－2)，
即f (x＋4)＝－f (x)，f (x＋8)＝f (x)，
故f (x)是周期为8的周期函数，
所以f (2 026)＝f (253×8＋2)＝f (2)＝0．
故选C．]
一、单项选择题
1．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x＋1)＝f (－x＋1)，当0A．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
课后作业(十)　函数性质的综合应用
√
C　[由题意，函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x＋1)＝f (－x＋1)，
可得f (x＋1)＝－f (x－1)，所以f (x)＝f (x＋4)，
所以函数f (x)是周期为4的周期函数．
又由当0则f ．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
2．(2025·湖北十堰三模)已知定义在R上的奇函数f (x)满足
f ，则f (7)＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
√
B　[因为f (x)为定义在R上的奇函数，
则f (0)＝0，
又因为f ，
则f (x＋1)＝f (－x)＝－f (x)，
可得f (x＋2)＝－f (x＋1)＝f (x)，可知2为f (x)的一个周期，所以f (7)＝f (1)＝－f (0)＝0．
故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
3．定义在R上的奇函数f (x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f (x)在[0，2)上单调递增，则(　　)
A．f (11)B．f (21)C．f (11)D．f (21)题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
√
A　[∵函数f (x)的图象关于点(－2，0)对称，
∴f (x－4)＝－f (－x)．
又f (x)为定义在R上的奇函数，
∴－f (－x)＝f (x)，∴f (x－4)＝f (x)，即函数f (x)是周期函数且周期是4，则f (11)＝f (－1)，f (12)＝f (0)，f (21)＝f (1)，
∵f (x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，
则f (x)在(－2，2)内单调递增，∴f (－1)即f (11)题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
4．(2026·广东珠海模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且f (1－2x)是偶函数，当x∈(0，1]时，f (x)＝－x2，则f (7)＝(　　)
A．－49 B．－1
C．0 D．1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
√
D　[因为f (1－2x)是偶函数，所以f (1－2x)＝f (1＋2x)，
则f (1＋x)＝f (1－x)，从而f (x＋2)＝f (－x)．
又f (x)是奇函数，则f (－x)＝－f (x)，
所以f (x＋2)＝－f (x)，f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
所以f (x)是周期为4的周期函数．
又当x∈(0，1]时，f (x)＝－x2，则f (1)＝－1，
所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝1．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
5．(2026·福建莆田模拟)已知函数f (x)的定义域为R，值域为(0，
＋∞)，若f (x＋1)f (x－1)＝4，函数f (x－2)为偶函数，则f (2 025)＝
(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
√
B　[因为f (x)的值域为(0，＋∞)，
所以可由f (x＋1)f (x－1)＝4得
f (x＋1)＝ f (x＋2)＝，
则有f (x＋4)＝＝f (x)，
所以函数f (x)是一个以4为周期的周期函数，则有f (2 025)＝f (1)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
又因为函数f (x－2)为偶函数，所以f (－x－2)＝f (x－2)，
则函数f (x)的图象关于直线x＝－2对称，
即f (－3)＝f (－1)．
又f (－3)＝f (1)，所以f (1)＝f (－1)，
又由f (x＋1)f (x－1)＝4，可得f (1)f (－1)＝4，
所以[f (1)]2＝4．
因为f (x)的值域为(0，＋∞)，所以f (1)＝2，
即f (2 025)＝f (1)＝2．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
6．设函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f (x)＝ax2＋b．若f (0)＋f (3)＝6，则f ＝(　　)
A．－
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
√
D　[由于f (x＋1)为奇函数，所以函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，
即有f (x)＋f (2－x)＝0，所以f (1)＋f (2－1)＝0，得f (1)＝0，
即a＋b＝0．　①
由于f (x＋2)为偶函数，所以函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，即有f (x)－f (4－x)＝0，所以f (0)＋f (3)＝－f (2)＋f (1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6．　②
根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f (x)＝－2x2＋2．
根据函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数
f (x)的周期为4，所以f ．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
二、多项选择题
7．已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，且对任意的x1，x2∈(1，2)，x1≠x2，都有>0，则(　　)
A．f (x)是奇函数
B．f (2 025)＝0
C．f (x)的图象关于点(1，0)对称
D．f (π)>f (e)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
√
√
BC　[因为f (x＋1)为奇函数，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，即函数
f (x)的图象关于点(1，0)对称，C正确；
由函数f (x)的图象关于点(1，0)对称可知f (－x)＝－f (2＋x)，
又因为f (x＋2)为偶函数，所以f (－x＋2)＝f (x＋2)，即函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，则f (－x)＝f (x＋4)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)，
即f (x＋2)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期为4的周期函数，所以f (2 025)＝f (4×506＋1)＝f (1)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
又f (1)＝0，所以f (2 025)＝0，B正确；
f (－x)＝－f (2＋x)＝f (x)，故f (x)是偶函数，A错误；
对任意的x1，x2∈(1，2)，且x1≠x2，都有>0，不妨设x1>x2，
则f (x1)－f (x2)>0，由单调性的定义可得函数f (x)在(1，2)内单调递增，
又由函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，
所以f (x)在(0，2)内单调递增．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
又f (π)＝f (π－4)＝f (4－π)，f (e)＝f (e－4)＝f (4－e)，0<4－π<4－e<2，
所以f (4－π)故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
8．定义在R上的奇函数f (x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是
(　　)
A．f (b)－f (－a)B．f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)
C．f (a)＋f (－b)D．f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
√
√
AC　[函数f (x)为R上的奇函数，且在R上单调递减，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，
由a>b>0，得f (a)对于A，f (b)－f (－a)＝2f (b)<0(f (a)＝g(a)在a>0时成立)，所以A正确；
对于B，f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b) f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)
＝2f (b)>0，这与f (b)<0矛盾，所以B错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
对于C，f (a)＋f (－b)对于D，f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a) f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]>0，这与f (a)题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
三、填空题
9．定义在R上的函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，且f (x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f (2x＋3)≤f (1)的解集为___________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
[－1，0]
[－1，0]　[因为函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，则f (x)的图象关于直线x＝2对称．
又因为f (x)在(－∞，2]上单调递减，则f (x)在[2，＋∞)上单调递增，
则由f (2x＋3)≤f (1)得|2x＋3－2|≤|1－2|，
即|2x＋1|≤1，解得－1≤x≤0，则该不等式的解集为[－1，0]．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
10．(2026·湖南长沙模拟)定义域为R的函数f (x)的图象关于点(1，1)对称，函数g(x)＝f (x)－2x的图象关于直线x＝2对称．若f (0)＝0，则f (1)＋f (2)＋…＋f (50)＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
2 499
2 499　[因为f (x)的图象关于点(1，1)对称，所以f (－x)＋f (x＋2)＝2，
则f (－x)－2(－x)＋f (x＋2)－2(x＋2)＝－2，
即g(－x)＋g(x＋2)＝－2，
又g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(x＋4)＝g(－x)，
所以g(x＋4)＋g(x＋2)＝－2，
即g(x＋2)＋g(x)＝－2，
可得g(x＋4)＝g(x)，则g(x)是以4为周期的周期函数．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
因为g(0)＝f (0)－2×0＝0，
由f (－x)＋f (x＋2)＝2，令x＝－1，
得f (1)＝1，
所以g(1)＝f (1)－2＝－1，g(2)＝－2－g(0)＝－2，g(3)＝g(1)＝－1，
所以f (1)＋f (2)＋…＋f (50)＝g(1)＋g(2)＋…＋g(50)＋2(1＋2＋…＋50)
＝－4×12－1－2＋2 550＝2 499．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
一、单项选择题
1．(2025·湖南永州期中)函数f (x)＝log2(x2－1)＋的定义域是
(　　)
A．(－∞，－2)∪(－2，1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(1，＋∞)
C．[－2，－1)∪(1，＋∞)
D．(－2，－1)∪(1，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
阶段评估(二)　(第6课时~第10课时)
√
B　[∵函数f (x)＝log2(x2－1)＋，
∴
∴x∈(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(1，＋∞)．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．(2025·广东大湾区三模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2-|x|
√
B　[对于A，函数y＝x3是奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，A不是；
对于B，函数y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，B是；
对于C，函数y＝－x2＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，C不是；
对于D，函数y＝2-|x|是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，D不是．
故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3．(2026·山东济南模拟)已知函数f (x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x－1)A．
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[由题意可知解不等式得x∈．故选D．]
4．(2026·辽宁朝阳模拟)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A．
C．(1，2] D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A　[由题意可得
解得≤a≤2，
所以实数a的取值范围为．
故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．定义max{a，b}＝设函数f (x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，记函数F(x)＝max{f (x)，g(x)}，且函数F(x)在区间[m，n]内的值域为[0，1]，则n－m的最大值为(　　)
A．1 B．
D．2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[令f (x)≥g(x)，即x＋1≥(x＋1)2，
解得－1≤x≤0；
令f (x)0，
所以F(x)＝max{f (x)，g(x)}＝
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
作出F(x)的图象如图所示，
又F(0)＝F(－2)＝1，F(－1)＝0，
要使函数F(x)在区间[m，n]内的值域为[0，1]，
当n＝0时，－2≤m≤－1；
当m＝－2时，－1≤n≤0，
则当n＝0，m＝－2时，n－m取得最大值2．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6．(2026·山东淄博模拟)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (1－x)＝f (1＋x)．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)＝(　　)
A．0 B．2 025
C．2 024 D．2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[因为f (1－x)＝f (1＋x)，且函数f (x)是定义在R上的奇函数，
则f (1＋x)＝f (1－x)＝－f (x－1)，即f (x＋2)＋f (x)＝0．
令x＝1，可得f (3)＋f (1)＝0；
令x＝2，可得f (4)＋f (2)＝0；
可得f (x＋4)＋f (x＋2)＝0，则f (x＋4)＝f (x)，
可知4为f (x)的一个周期，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)＝f (1)＋506×0＝2．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
二、多项选择题
7．设函数f (x)的定义域为D，若 x∈D， y∈D，使得f (y)＝－f (x)成立，则称f (x)为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝ln(2x＋3) D．y＝2x＋3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
BCD　[∵若 x∈D， y∈D，使得f (y)＝－f (x)成立，
∴f (x)的值域关于原点对称．
对于A，函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称；
对于B，函数y＝的值域为{y|y≠0}，关于原点对称；
对于C，函数y＝ln(2x＋3)的值域为R，关于原点对称；
对于D，函数y＝2x＋3的值域为R，关于原点对称．
∴其中是“美丽函数”的是BCD．故选BCD．]
题号
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8．已知函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (2＋x)＝f (2－x)，则下列说法正确的是(　　)
A．f (2 024)＝0
B．y＝f (x－2)是奇函数
C．f (4－x)＝－f (4＋x)
D．y＝f (x)是周期为4的周期函数
题号
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√
√
AC　[由函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，得f (－x)＝－f (x)且
f (0)＝0．
由f (2＋x)＝f (2－x)，得f (4＋x)＝f (－x)＝－f (x)，
即f (8＋x)＝f (x)，于是函数y＝f (x)是以8为周期的周期函数．
对于A，f (2 024)＝f (8×253)＝f (0)＝0，故A正确；
对于B，因为f (－x－2)＝－f (x＋2)＝－f (2－x)＝f (x－2)，f (x－2)的定义域是全体实数，
所以y＝f (x－2)是偶函数，故B错误；
题号
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对于C，f (4－x)＝－f (x－4)＝－f ((x＋4)－8)＝－f (x＋4)，故C正确；
对于D，y＝f (x)是周期为8的周期函数，故D错误．
故选AC．]
题号
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三、填空题
9．(2026·山东烟台期末)若函数f (x)同时满足以下三个条件，则其中一个解析式可以为f (x)＝___________________．
①在其定义域内有f (－x)＝f (x)；② x1，x2∈(0，＋∞)，有[f (x1)－
f (x2)](x1－x2)<0；③f (x1)f (x2)＝f (x1x2)．
题号
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x-2(答案不唯一)
x-2(答案不唯一)　[f (x)＝x-2，可知f (x)是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，符合①②两个条件，
又f (x1)f (x2)＝＝(x1x2)-2＝f (x1x2)，所以符合条件③．
．]
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10．(2026·海南省直辖县级单位开学考试)已知定义在R上的奇函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0，则满足<0的x的取值范围是______________________．
题号
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(－∞，－2)∪(2，＋∞)
(－∞，－2)∪(2，＋∞)　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)在(0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0，作出大致图象如图所示，
由图象可知满足不等式<0的x的取值范围是(－∞，－2)∪(2，
＋∞)．]
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四、解答题
11．(2025·浙江温州期末)已知函数f (x)＝ln．
(1)求f (－2)＋f (1)的值；
(2)求函数f (x)的定义域；
(3)证明：曲线y＝f (x)是中心对称图形．
题号
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[解]　(1)f (－2)＋f (1)＝ln＋ln 2＝ln 1＝0．
(2)令1＋>0，则>0，即x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，所以函数f (x)的定义域是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．
(3)证明：由函数f (x)的定义域，结合第(1)问f (－2)＋f (1)＝0知，若曲线y＝f (x)是中心对称图形，对称中心一定是．
又f (x)＋f (－1－x)＝ln＝ln 1＝0，
故曲线y＝f (x)关于点中心对称．
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12．(2025·上海黄浦区三模)已知函数f (x)是定义在[－3，3]上的奇函数，当0(1)求函数f (x)的解析式．
(2)若f (a＋1)＋f (2a－1)>0，求实数a的取值范围．
题号
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[解]　(1)因为f (x)为奇函数，所以f (0)＝0，
设－3≤x<0，则0<－x≤3，
则f (－x)＝(－x)2＋(－x)＋1＝x2－x＋1，
因为f (x)为奇函数，则f (x)＝－f (－x)＝－x2＋x－1，
则f (x)＝
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(2)当0由f (x)为奇函数可知f (x)是定义在[－3，3]上的增函数，
又∵f (a＋1)＋f (2a－1)>0，
∴f (a＋1)>－f (2a－1)＝f (1－2a)，
故有解得0所以实数a的取值范围是(0，2]．
题号
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13．已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R．
(1)若函数f (x)的最小值为f (－1)＝0，求f (x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f (x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围．
题号
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[解]　(1)由题意知
解得所以f (x)＝x2＋2x＋1，
由f (x)＝(x＋1)2知，
函数f (x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．
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(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，
即k令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
由g(x)＝，知g(x)在区间[－3，－1]上单调递减，
则g(x)min＝g(－1)＝1，
所以k<1，
即k的取值范围是(－∞，1)．
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14．函数f (x)的定义域为(0，＋∞)， x，y∈(0，＋∞)，f (xy)＝f (x)＋f (y)，且当x>1时，f (x)<0．
(1)证明：f (x)为减函数；
(2)若f ＝2，求不等式f (x)＋f (x－1)＋2>0的解集．
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[解]　(1)证明：设 x1，x2∈(0，＋∞)，且x11，
f <0，
因为f (x2)－f (x1)＝f －f (x1)＝f <0，
所以f (x2)即f (x)为减函数．
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(2)因为f ＝2，所以f (x)＋f (x－1)＋2＝f (x)＋f (x－1)＋f >0，
令x＝y＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，即f (1)＝0，所以f >f (1)，
又因为f (x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以解得1题号
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谢 谢 ！课后作业(十)　函数性质的综合应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共52分
一、单项选择题
1．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x＋1)＝f (－x＋1)，当0A．－
2．(2025·湖北十堰三模)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f ，则f (7)＝ (　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
3．定义在R上的奇函数f (x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f (x)在[0，2)上单调递增，则 (　　)
A．f (11)B．f (21)C．f (11)D．f (21)4．(2026·广东珠海模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且f (1－2x)是偶函数，当x∈(0，1]时，f (x)＝－x2，则f (7)＝ (　　)
A．－49 B．－1
C．0 D．1
5．(2026·福建莆田模拟)已知函数f (x)的定义域为R，值域为(0，＋∞)，若f (x＋1)f (x－1)＝4，函数f (x－2)为偶函数，则f (2 025)＝ (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．设函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f (x)＝ax2＋b．若f (0)＋f (3)＝6，则f ＝ (　　)
A．－
二、多项选择题
7．已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋1)为奇函数，f (x＋2)为偶函数，且对任意的x1，x2∈(1，2)，x1≠x2，都有>0，则 (　　)
A．f (x)是奇函数
B．f (2 025)＝0
C．f (x)的图象关于点(1，0)对称
D．f (π)>f (e)
8．定义在R上的奇函数f (x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是 (　　)
A．f (b)－f (－a)B．f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)
C．f (a)＋f (－b)D．f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a)
三、填空题
9．定义在R上的函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，且f (x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f (2x＋3)≤f (1)的解集为___________．
10．(2026·湖南长沙模拟)定义域为R的函数f (x)的图象关于点(1，1)对称，函数g(x)＝f (x)－2x的图象关于直线x＝2对称．若f (0)＝0，则f (1)＋f (2)＋…＋f (50)＝______．
课后作业(十)
1．C
2．B　[因为f (x)为定义在R上的奇函数，则f (0)＝0，
又因为f ＝f ，则f (x＋1)＝f (－x)＝－f (x)，
可得f (x＋2)＝－f (x＋1)＝f (x)，可知2为f (x)的一个周期，所以f (7)＝f (1)＝－f (0)＝0．故选B．]
3．A
4．D　[因为f (1－2x)是偶函数，
所以f (1－2x)＝f (1＋2x)，
则f (1＋x)＝f (1－x)，从而f (x＋2)＝f (－x)．
又f (x)是奇函数，则f (－x)＝－f (x)，
所以f (x＋2)＝－f (x)，f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
所以f (x)是周期为4的周期函数．
又当x∈(0，1]时，f (x)＝－x2，
则f (1)＝－1，
所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝1．故选D．]
5．B　[因为f (x)的值域为(0，＋∞)，
所以可由f (x＋1)f (x－1)＝4得
f (x＋1)＝ f (x＋2)＝，
则有f (x＋4)＝＝f (x)，
所以函数f (x)是一个以4为周期的周期函数，则有f (2 025)＝f (1)．
又因为函数f (x－2)为偶函数，
所以f (－x－2)＝f (x－2)，
则函数f (x)的图象关于直线x＝－2对称，即f (－3)＝f (－1)．
又f (－3)＝f (1)，所以f (1)＝f (－1)，
又由f (x＋1)f (x－1)＝4，
可得f (1)f (－1)＝4，
所以[f (1)]2＝4．
因为f (x)的值域为(0，＋∞)，
所以f (1)＝2，
即f (2 025)＝f (1)＝2．故选B．]
6．D　[由于f (x＋1)为奇函数，所以函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，即有f (x)＋f (2－x)＝0，所以f (1)＋f (2－1)＝0，得f (1)＝0，
即a＋b＝0．　①
由于f (x＋2)为偶函数，所以函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，即有f (x)－f (4－x)＝0，所以f (0)＋f (3)＝－f (2)＋f (1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6．　②
根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f (x)＝－2x2＋2．
根据函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f (x)的周期为4，所以f ＝f ＝－f ＝2×－2＝．]
7．BC　[因为f (x＋1)为奇函数，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，即函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，C正确；
由函数f (x)的图象关于点(1，0)对称可知f (－x)＝－f (2＋x)，
又因为f (x＋2)为偶函数，所以f (－x＋2)＝f (x＋2)，即函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，则f (－x)＝f (x＋4)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)，即f (x＋2)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期为4的周期函数，
所以f (2 025)＝f (4×506＋1)＝f (1)．
又f (1)＝0，所以f (2 025)＝0，B正确；
f (－x)＝－f (2＋x)＝f (x)，故f (x)是偶函数，A错误；
对任意的x1，x2∈(1，2)，且x1≠x2，都有>0，不妨设x1>x2，
则f (x1)－f (x2)>0，由单调性的定义可得函数f (x)在(1，2)内单调递增，
又由函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，所以f (x)在(0，2)内单调递增．
又f (π)＝f (π－4)＝f (4－π)，f (e)＝f (e－4)＝f (4－e)，0<4－π<4－e<2，
所以f (4－π)8．AC　[函数f (x)为R上的奇函数，且在R上单调递减，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，
由a>b>0，得f (a)f (b)＝g(b)．
对于A，f (b)－f (－a)0时成立)，所以A正确；
对于B，f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b) f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)>0，这与f (b)<0矛盾，所以B错误；
对于C，f (a)＋f (－b)对于D，f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a) f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]>0，这与f (a)9．[－1，0]　[因为函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，则f (x)的图象关于直线x＝2对称．
又因为f (x)在(－∞，2]上单调递减，则f (x)在[2，＋∞)上单调递增，
则由f (2x＋3)≤f (1)得|2x＋3－2|≤|1－2|，
即|2x＋1|≤1，解得－1≤x≤0，则该不等式的解集为[－1，0]．]
10．2 499　[因为f (x)的图象关于点(1，1)对称，所以f (－x)＋f (x＋2)＝2，
则f (－x)－2(－x)＋f (x＋2)－2(x＋2)＝－2，
即g(－x)＋g(x＋2)＝－2，
又g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(x＋4)＝g(－x)，
所以g(x＋4)＋g(x＋2)＝－2，即g(x＋2)＋g(x)＝－2，
可得g(x＋4)＝g(x)，则g(x)是以4为周期的周期函数．
因为g(0)＝f (0)－2×0＝0，
由f (－x)＋f (x＋2)＝2，令x＝－1，
得f (1)＝1，
所以g(1)＝f (1)－2＝－1，g(2)＝－2－g(0)＝－2，g(3)＝g(1)＝－1，
所以f (1)＋f (2)＋…＋f (50)＝g(1)＋g(2)＋…＋g(50)＋2(1＋2＋…＋50)
＝－4×12－1－2＋2 550＝2 499．]
2/2

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