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第12课时　指数运算与对数运算
[考试要求]　1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．2．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．3．掌握指数、对数运算在实际问题中的应用．
1．(人教A版必修第一册P105例1改编)下列各式正确的是 (　　)
A．a0＝1 B．＝－2
C． ＝a
2．(苏教版必修第一册P99本章测试T12(2)改编)计算式子lg 2－lg－e2ln 2的值为 (　　)
A．－3 B．－2
C．－1 D．－
3．(湘教版必修第一册P116例2改编)＝ (　　)
A．－5 B．
D．5
4．(人教B版必修第二册P53复习题B组T5改编)若实数m，n，t满足5m＝7n＝t且＝2，则t＝ (　　)
A．2
5．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)×log32＝___________．
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
(2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝_____．
当n为奇数时，＝_____；
当n为偶数时，
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于_____，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝__________________；(ar)s＝__________________；(ab)r＝___________(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________________，其中___________叫做对数的底数，___________叫做真数．
以___________为底的对数叫做常用对数，log10N记为___________．
以___________为底的对数叫做自然对数，logeN记为___________．
5．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝_____，logaa＝_____(a>0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质：
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝______________________；
②loga＝______________________；
③logaMn＝___________(n∈R)．
(3)对数恒等式：＝___________(a>0，且a≠1，N>0)．
(4)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
[二级结论]
(1)logab＝；
(2)lologab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad．
(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；d>0；m≠0)
1．指对互化：ax＝N x＝logaN(a>0，且a≠1)．
2．对数运算的技巧：统一底数、化简真数、利用对数恒等式、常值代换(如lg 2＋lg 5＝1)等．
考点一　指数运算
[典例1]　(1)(2025·河南新乡二模)＝ (　　)
A．16 B．8
(2)(2025·江苏扬州模拟)已知a>0，则化为 (　　)
A．
(3)(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数) (　　)
A．0.2)0－2-1＝0
B．
C．(2)＝1
D．若
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
[巩固迁移]
1．(2026·湖北荆州模拟)已知x<0，y>0，化简得 (　　)
A．－x2y
C．－3x2y D．3x2y
考点二　对数运算
[典例2]　(1)(2025·重庆模拟)已知 2x＝3y＝5z(x，y，z≠0)，且 ，则 a＝ (　　)
A．log23 B．log25
C．log35 D．log56
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且，则a＝___________．
(3)计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
[巩固迁移]
2．计算log3的值为 (　　)
A．－
3．(2025·八省联考)已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)，若f (ln 2)f (ln 4)＝8，则a＝___________．
考点三　指对运算的应用
[典例3]　德国心理学家赫尔曼·艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中的记忆率y随时间t(单位：h)的变化趋势可由函数y＝1－0.6t0.27近似描述，则记忆率由50%变为40%时需要经历的时间约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) (　　)
A．1 h B．0.5 h
C．0.8 h D．0.4 h
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：利用指数、对数运算解决实际问题时，要认清所给函数模型、变量、参数，同时结合运算表达式选择合适的公式(如取对数、指对互化等)运算．
[巩固迁移]
4．(2025·东城区期末)近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一．现有一台计算机平均每秒可进行1014次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要250次运算，则生成这个文案需要的时间约为(参考数据：lg 2≈0.30) (　　)
A．1秒 B．10秒
C．20秒 D．50秒
第12课时　指数运算与对数运算
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．B　2．A　3．D　4．D　5．
No2．储备知识要点
1．(3)a　a
2．0
3．ar+s　ars　arbr
4．x＝logaN　a　N　10　lg N　e　ln N
5．(1)0　1　(2)logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM　(3)N
精研考点·提升素养
考点一
典例1　(1)A　(2)B　(3)BD　[(1)原式＝＝24＝16．故选A．
(2)原式＝＝．故选B．
(3)对于A，0.2＋()0－2-1＝0.5＋1－＝1，A错误；
对于B，＋(0.008×＋(π－1)0＝＋1＝＋25×＋1＝＋2＝，B正确；
对于C，原式＝(2)(－6)÷(－3)＝[2×(－6)÷(－3)]·＝4ab0＝4a，C错误；
对于D，当)2＝x＋2＋x-1＝6，得x＋x-1＝4，由(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝16，得x2＋x-2＝14，所以，D正确．故选BD．]
巩固迁移
1．B　[x<0，y>0，化简＝x2y．故选B．]
考点二
典例2　(1)D　(2)64　(3)2　[(1)设2x＝3y＝5z＝k(k>0，且k≠1)，
则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
由＝logk2＋logk3＝logk6＝alogk5，
因此6＝5a，故a＝log56．
故选D．
(2)由题意log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
解得log2a＝－1或log2a＝6．又a>1，
所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64．
(3)原式＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 2＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2
＝1＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝1＋lg 5＋lg 2＝1＋lg 10＝2．]
巩固迁移
2．D　[原式＝log3－log33＋lg 52＋lg 22＋2＝log333－1＋2lg 5＋2lg 2＋2＝．]
3．e　[∵f (ln 2)f (ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2+ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，∴aln 2＝2，∴a＝e．]
考点三
典例3　B　[设经历时间t1记忆率变为50%，
则＝1－0.6，
两边取以10为底的对数，得到lg＝0.27lg t1，
所以lg t1＝≈－0.3≈－lg 2＝lg，所以t1≈0.5．
设经历时间t2记忆率变为40%，
则0.4＝1－0.6，整理得到1＝，解得t2＝1，
所以记忆率由50%变为40%时需要经历的时间约为t2－t1＝0.5 h．故选B．]
巩固迁移
4．B　[设生成文案所需时间为x秒，则1014x＝250，两边同时取常用对数可得，14＋lg x≈50×0.3，解得x≈10．故选B．]
5/5课后作业(十二)　指数运算与对数运算
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共83分
一、单项选择题
1．(2025·山东泰安期中)已知ax＝2，loga6＝y，a>0，且a≠1，则ax+y＝ (　　)
A．5 B．6
C．7 D．12
2．(2025·山东临沂二模)已知实数x，y满足log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，则x＋y＝ (　　)
A．11 B．12
C．16 D．17
3．等于 (　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
4．(2026·福建泉州模拟)若xlog23＝1，则3x＋3-x＝ (　　)
A．
5．(人教A版必修第一册P110习题4.1T8(1)改编)已知＝5，则x＋x-1的值为 (　　)
A．5 B．23
C．25 D．27
6．若3x＝4y＝6，则＝ (　　)
A．1 B．
C．2 D．3
7．(2025·山东滨州期末)计算＋lg 5＋log32×log23×lg 2的值为 (　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
8．(2025·北京校级开学考试)某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量M(单位：kg)随时间t(单位：年)的指数衰减规律是：M＝M0·2-0.008t(其中M0为3H的初始质量)．则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) (　　)
A．300年 B．255年
C．175年 D．125年
2025课标新变化：具有用函数分析事物的意识．
二、多项选择题
9．(人教A版必修第一册P127习题4.3T5改编)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则下列各式正确的是 (　　)
A．lg 6＝a＋b B．log34＝
C．log212＝a＋2b D．lg＝b－a
10．以下运算中正确的有 (　　)
A．若lg 3＝m，lg 2＝n，则log518＝
B．[(1－
C．－2ln(ln ee)＝7
D．log23·log94＝2
11．已知a＝log25，b＝log3，则 (　　)
A．ab>0
B．4a·9b＝1
C．
三、填空题
12．(2026·辽宁丹东模拟)已知实数a，b满足4a＝3，3b＝2，则2ab＝ ___________．
13．(2025·山东济南三模)已知函数f (x)＝，则f (log23)＋f (－log23)＝___________．
14．(2026·浙江慈溪模拟)计算：(log45＋log85)×log52－＝___________．
15．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x较大时，1＋的值为 (　　)
A．ln 30 B．ln 3
C．－ln 3 D．－ln 30
16．已知lob1＝lob2＝…＝lob10＝，则lo(b1b2…b10)＝______________．
课后作业(十二)
1．D　2．D　3．B
4．A　[∵x＝＝log32，
∴3x＋3-x＝＝2＋．故选A．]
5．B　[因为＝5，所以()2＝52，即x＋x-1＋2＝25，所以x＋x-1＝23．]
6．C　[若3x＝4y＝6，则x＝，y＝，
则＝2．故选C．]
7．C　[＋lg 5＋log32×log23×lg 2＝3×2＋lg 5＋×lg 2＝6＋lg 5＋lg 2＝6＋1＝7．故选C．]
8．A　[设经过t年，3H的质量衰减为最初的M0＝M0·2-0.008t，所以－0.008t＝log2－4≈－4＝－2.4，
所以t＝＝300．故选A．]
9．AD
10．AC　[对于A，log518＝，故A正确；
对于B，[(1－)2－(1＋)-1＋(1＋)0＝－1－＋1＝＋1－＝1，故B错误；
对于C，－2ln(ln ee)＝9－2ln e＝9－2＝7，故C正确；
对于D，log23·log94＝log23·＝log23·＝1，故D错误．]
11．BCD　[对于A，b＝log3log21＝0，所以ab<0，故A错误；
对于B，因为a＝log25，b＝log3，所以由对数的定义知，2a＝5，3b＝，
则4a·9b＝(2a)2·(3b)2＝52·＝1，故B正确；
对于C，由对数的运算性质知，
＝log52－lo3＝log52＋log53＝log56>1，故C正确；
对于D，由对数的运算性质知，
＝＝log612，故D正确．故选BCD．]
12．1　13．3　14．
15．B　[依题意可得1＋＋…＋≈ln 300＋γ，
1＋＋…＋≈ln 100＋γ，
两式相减可得＋…＋≈ln 300－ln 100＝ln 3．]
16．　[因为lob1＝lob2＝…
＝lob10＝，
则bi＝(i＝1，2，3，…，10)，
所以lo(b1b2…b10)＝＝．]
3/3

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