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第13课时　指数函数
[考试要求]　1．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．2．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
1．(人教B版必修第二册P13练习AT1改编)若指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f (－1)＝ (　　)
A．1 B．2
C． D．3
2．(人教A版必修第一册P159复习参考题4T1(2)改编)如图，①②③④中不属于函数y＝3x，y＝2x，y＝的一个是 (　　)
A．① B．②
C．③ D．④
3．(多选)(北师大版必修第一册P89练习T1改编)下列各式比较大小正确的是 (　　)
A．1.72.5>1.73 B．
C．1.70.3>0.93.1 D．
4．(苏教版必修第一册P165本章测试T5改编)若函数y＝ax(a>0，a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差为，则实数a的值为___________．
5．(人教A版必修第一册P115练习T2改编)已知函数f (x)的定义域为R，f (0)＝1，＝3(n∈N*)．写出满足上述条件的一个函数：______________．
指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中___________是自变量，定义域是R，___________是底数．
(2)形如y＝kax，y＝ax+k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
(3)指数函数的图象与性质
项目 a>1 0图象
定义域 R
值域 ______
性质 过定点___________，即x＝0时，y＝_____
当x>0时，___________； 当x<0时，_____ 当x<0时，______； 当x>0时，_____
在(－∞，＋∞)上是_____函数 在(－∞，＋∞)上是_____函数
1．掌握指数函数图象的三个特点
(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．
(3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中02．研究指数函数的单调性及值域问题时，当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0考点一　指数函数的图象及应用
[典例1]　(1)函数y＝图象的大致形状是 (　　)
A　　　B　　　　C　　　D
(2)(2025·广东广州一模)已知实数a，b满足3a＝4b，则下列不等式可能成立的是 (　　)
A．bC．0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)掌握函数y＝f (|x|)，y＝f (x)，y＝|f (x)|的图象之间的变换与联系．
(3)定点与渐近线是作图的关键．
[巩固迁移]
1．函数f (x)＝ax-b的图象如图所示，其中a，b(a>0，且a≠1)为常数，则下列结论正确的是 (　　)
A．a>1，b<0　 B．a>1，b>0
C．00 D．02．(多选)已知函数f (x)＝|ax－1|(a>0，且a≠1)，则下列结论正确的是 (　　)
A．函数f (x)的图象恒过定点(0，1)
B．函数f (x)的值域为[0，＋∞)
C．函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增
D．若直线y＝2a与函数f (x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是
考点二　指数函数的单调性及应用
[典例2]　(1)(2025·辽宁大连二模)已知a＝20.3，b＝0.20.3，c＝0.20.6，则 (　　)
A．b>a>c B．a>c>b
C．b>c>a D．a>b>c
(2)若，则函数y＝2x的值域是 (　　)
A．
C． D．[2，＋∞)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
[巩固迁移]
3．(2025·上海卷)设a>0，s∈R，下列各项中，能推出as>a的一项是 (　　)
A．a>1，且s>0
B．a>1，且s<0
C．00
D．04．若2x＋5y≤2-y＋5-x，则有 (　　)
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
考点三　指数函数性质的综合应用
[典例3]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x-a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
(2)(2023·全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝ (　　)
A．－2　　　 B．－1
C．1　　　 D．2
(3)不等式4x－2x+1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：求解与指数函数有关的复合函数问题时，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
[巩固迁移]
5．(1)(多选)(2026·山东济南模拟)已知 f (x)＝是奇函数，则正确的是 (　　)
A．a＝1
B．f (x)在(－∞，0)上单调递增
C．f (x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．f (3x)>f (
(2)若函数f (x)＝，则f (x)的单调递增区间是___________．
第13课时　指数函数
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．C　2．B　3．BCD　4．　5．f (x)＝3x(答案不唯一)
No2．储备知识要点
(1)指数x　a　(3)(0，＋∞)　(0，1)　1　y>1　01　0精研考点·提升素养
考点一
典例1　(1)C　(2)B　[(1)∵y＝
∴根据指数函数图象即可判断选项C符合．
(2)
设函数f (x)＝3x，g(x)＝4x，
h(x)＝2x，
作出函数f (x)＝3x，g(x)＝4x的图象如图，
设3a＝4b＝t，对于A，当0由函数图象可知，a对于C，当t>1时，直线y＝t与函数f (x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标分别为a，b，
由函数图象可知，0因为3a＝4b，所以3a＝22b，设3a＝22b＝t，
作出函数f (x)＝3x，h(x)＝2x的图象如下，
对于B，当0由函数图象可知，2b对于D，当t>1时，直线y＝t与函数f (x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标分别为a，2b，由函数图象可知，0巩固迁移
1．D　[由题中f (x)＝ax-b的图象可以观察出，函数f (x)＝ax-b为减函数，所以02．BCD　[f (x)＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．分a>1和01时，如图①，直线y＝2a与f (x)的图象只有一个交点，不合题意；当0]
考点二
典例2　(1)D　(2)B　[(1)因为y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增，所以a＝20.3>20＝1，
又因为y＝0.2x在(－∞，＋∞)上单调递减，所以1＝0.20>0.20.3>0.20.6，
所以1>b>c，即a>b>c．故选D．
(2)因为，
所以＝24-2x．由指数函数的单调性可得x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2-3≤2x≤21，故函数y＝2x的值域是．]
巩固迁移
3．D　[当a>1时，as>a s>1；当0a s<1．结合选项可知只有D选项能推出as>a．]
4．B　[2x＋5y≤2-y＋5-x，即2x－5-x≤2-y－5y，设函数f (x)＝2x－5-x，易知f (x)为增函数．
又f (－y)＝2-y－5y，由已知得f (x)≤f (－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0．故选B．]
考点三
典例3　(1)D　(2)D　(3)(1，＋∞)　[(1)法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)内单调递减，所以≥1，解得a≥2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝在(0，1)内单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)内单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C．故选D．
(2)法一：f (x)的定义域为{x|x≠0}，因为f (x)是偶函数，所以f (x)＝f (－x)，即，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e-x，即e(1-a)x＋e(a-1)x＝ex＋e-x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2．
故选D．
法二：f (x)＝，f (x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a-1)x－e-x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2．故选D．
(3)原不等式可化为a>－4x＋2x+1对任意x∈R恒成立，
令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x+1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，当t＝1，即x＝0时，ymax＝1，∴a>1．]
巩固迁移
5．(1)ACD　(2)(－∞，－1]　[(1)对于A，由2x－1≠0，得x≠0，即函数f (x)的定义域为{x|x≠0}，
由f (x)为奇函数，得f (x)＋f (－x)＝0，
即＝0，整理得(a－1)(2x＋2-x－2)＝0，
又2x＋2-x－2≠0，所以a－1＝0，解得a＝1，故A正确；
对于B，由选项A知f (x)＝＝1＋，
当x<0时，2x－1<0．
又函数y＝2x－1在(－∞，0)上单调递增，
所以f (x)在(－∞，0)上单调递减，故B错误；
对于C，令y＝，得2x＝>0，解得y<－1或y>1，
所以f (x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故C正确；
对于D，因为f (x)在(－∞，0)上单调递减，且为奇函数，
所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减，且3x>0，
由f (3x)>f ()，得0<3x<，解得x<，
即原不等式的解集为，故D正确．故选ACD．
(2)∵y＝是减函数，且f (x)的值域是，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，
则a>0且＝2，解得a＝1，
因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，
故f (x)的单调递增区间是(－∞，－1]．]
5/5(共81张PPT)
第13课时　指数函数
第二章 函数的概念与性质
[考试要求]
1．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．
2．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
以题引理·激活思维
1．(人教B版必修第二册P13练习AT1改编)若指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f (－1)＝(　　)
A．1 B．2
C． D．3
√
C　[依题意可知a2＝，解得a＝，
所以f (x)＝，所以f (－1)＝．]
2．(人教A版必修第一册P159复习参考题4T1(2)改编)如图，①②③④中不属于函数y＝3x，y＝2x，y＝的一个是(　　)
A．①
B．②
C．③
D．④
√
B　[由指数函数的性质可知，
①是y＝的部分图象；③是y＝2x的部分图象；④是y＝3x的部分图象；所以只有②不是指数函数的图象．故选B．]
3．(多选)(北师大版必修第一册P89练习T1改编)下列各式比较大小正确的是(　　)
A．1.72.5>1.73 B．
C．1.70.3>0.93.1 D．
√
√
√
BCD　[因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5<1.73，故A错误；因为，y＝，故B正确；因为1.70.3>1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3>0.93.1，故C正确；因为y＝，又y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以，故D正确．]
4．(苏教版必修第一册P165本章测试T5改编)若函数y＝ax(a>0，a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差为，则实数a的值为________．
　[当a>1时，y＝ax在[0，1]上单调递增，此时f (1)－f (0)＝a－a0＝a－1＝，解得a＝；当0此时f (0)－f (1)＝a0－a＝1－a＝，解得a＝．所以实数a的值为．]
5．(人教A版必修第一册P115练习T2改编)已知函数f (x)的定义域为R，f (0)＝1，＝3(n∈N*)．写出满足上述条件的一个函数：___________________．
f (x)＝3x(答案不唯一)　[例如f (x)＝3x，则f (0)＝1，且＝3，所以f (x)＝3x符合题意．]
f (x)＝3x(答案不唯一)
指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中______是自变量，定义域是R，__是底数．
(2)形如y＝kax，y＝ax+k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
指数x
a
(3)指数函数的图象与性质
项目 a>1 0图象
定义域 R 值域 ____________ (0，＋∞)
性质 过定点__________，即x＝0时，y＝__ 当x>0时，______； 当x<0时，__________ 当x<0时，______；
当x>0时，__________
在(－∞，＋∞)上是__函数 在(－∞，＋∞)上是__函数
(0，1)
1
y>1
0y>1
0增
减
1．掌握指数函数图象的三个特点
(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．
(3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中02．研究指数函数的单调性及值域问题时，当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0考点一　指数函数的图象及应用
[典例1]　(1)函数y＝图象的大致形状是(　　)
精研考点·提升素养
√
(2)(2025·广东广州一模)已知实数a，b满足3a＝4b，则下列不等式可能成立的是(　　)
A．bC．0√
(1)C　(2)B　[(1)∵y＝
∴根据指数函数图象即可判断选项C符合．
(2)设函数f (x)＝3x，g(x)＝4x，h(x)＝2x，
作出函数f (x)＝3x，g(x)＝4x的图象如下，
设3a＝4b＝t，对于A，当0由函数图象可知，a对于C，当t>1时，直线y＝t与函数f (x)＝3x，
g(x)＝4x的图象交点的横坐标分别为a，b，
由函数图象可知，0因为3a＝4b，所以3a＝22b，
设3a＝22b＝t，
作出函数f (x)＝3x，h(x)＝2x的图象如下，
对于B，当0h(x)＝2x的图象交点的横坐标分别为a，2b，
由函数图象可知，2b对于D，当t>1时，直线y＝t与函数f (x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标分别为a，2b，由函数图象可知，0名师点评：(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)掌握函数y＝f (|x|)，y＝f (x)，y＝|f (x)|的图象之间的变换与联系．
(3)定点与渐近线是作图的关键．
[巩固迁移]
1．函数f (x)＝ax-b的图象如图所示，其中a，b(a>0，且a≠1)为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0√
D　[由题中f (x)＝ax-b的图象可以观察出，函数f (x)＝ax-b为减函数，所以02．(多选)已知函数f (x)＝|ax－1|(a>0，且a≠1)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)的图象恒过定点(0，1)
B．函数f (x)的值域为[0，＋∞)
C．函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增
D．若直线y＝2a与函数f (x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是
√
√
√
BCD　[f (x)＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．分a>1和01时，如图①，直线y＝2a与f (x)的图象只有一个交点，不合题意；当0【教用·备选题】
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点的横坐标的取值范围是(　　)
A．
C．
√
A　[由题干图象知函数为减函数，则0二次函数y＝ax2＋x图象的顶点的横坐标为x＝－，
∵0即顶点的横坐标的取值范围是．故选A．]
2．(多选)在同一平面直角坐标系中，函数y＝x2＋ax＋a－1与y＝ax的图象可能是(　　)
√
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
AC　[当a>1时，对应的图象可能为选项A；当0√
3．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________．
[－1，1]　[作出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．]
[－1，1]
考点二　指数函数的单调性及应用
[典例2]　(1)(2025·辽宁大连二模)已知a＝20.3，b＝0.20.3，c＝0.20.6，则(　　)
A．b>a>c B．a>c>b
C．b>c>a D．a>b>c
(2)若，则函数y＝2x的值域是 (　　)
A．
C． D．[2，＋∞)
√
√
(1)D　(2)B　[(1)因为y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增，所以a＝20.3>20＝1，
又因为y＝0.2x在(－∞，＋∞)上单调递减，所以1＝0.20>0.20.3>0.20.6，
所以1>b>c，即a>b>c．故选D．
(2)因为
＝24-2x．由指数函数的单调性可得x2＋1≤4－2x，
解得－3≤x≤1，所以2-3≤2x≤21，故函数y＝2x的值域是．]
名师点评：利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
[巩固迁移]
3．(2025·上海卷)设a>0，s∈R，下列各项中，能推出as>a的一项是(　　)
A．a>1，且s>0 B．a>1，且s<0
C．00 D．0√
D　[当a>1时，as>a s>1；当0a s<1．结合选项可知只有D选项能推出as>a．]
4．若2x＋5y≤2-y＋5-x，则有(　　)
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
√
B　[2x＋5y≤2-y＋5-x，即2x－5-x≤2-y－5y，设函数f (x)＝2x－5-x，易知f (x)为增函数．
又f (－y)＝2-y－5y，由已知得f (x)≤f (－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0．故选B．]
【教用·备选题】
1．已知函数f (x)＝2x－3-x，则不等式f (x2)A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
√
A　[函数f (x)的定义域为R，函数y＝2x，y＝3-x分别是R上的增函数和减函数，因此函数f (x)＝2x－3-x是R上的增函数，由f (x2)2．已知函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (1＋x)＝f (1－x)，且f (0)＝3，
则f (bx)与f (cx)的大小关系为(　　)
A．f (cx)≥f (bx)　 B．f (cx)≤f (bx)
C．f (cx)>f (bx) D．f (cx)＝f (bx)
√
A　[根据题意，函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (1＋x)＝f (1－x)，则有＝1，即b＝2．
又由f (0)＝3，得c＝3，所以bx＝2x，cx＝3x．
若x<0，则cx此时有f (bx)若x＝0，则cx＝bx＝1，此时有f (bx)＝f (cx)；
若x>0，则有1此时有f (bx)考点三　指数函数性质的综合应用
[典例3]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x-a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
√
(2)(2023·全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(3)不等式4x－2x+1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是____________．
√
(1，＋∞)
(1)D　(2)D　(3)(1，＋∞)　[(1)法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)内单调递减，所以≥1，解得a≥2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝在(0，1)内单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)内单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C．故选D．
(2)法一：f (x)的定义域为{x|x≠0}，因为f (x)是偶函数，所以f (x)＝
f (－x)，即，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e-x，即e(1-a)x＋
e(a-1)x＝ex＋e-x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2．故选D．
法二：f (x)＝，f (x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a-1)x－e-x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2．故选D．
(3)原不等式可化为a>－4x＋2x+1对任意x∈R恒成立，
令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x+1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，当t＝1，即x＝0时，ymax＝1，
∴a>1．]
名师点评：求解与指数函数有关的复合函数问题时，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
[巩固迁移]
5．(1)(多选)(2026·山东济南模拟)已知 f (x)＝是奇函数，则正确的是(　　)
A．a＝1
B．f (x)在(－∞，0)上单调递增
C．f (x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．f (3x)>f (
√
√
√
(2)若函数f (x)＝，则f (x)的单调递增区间是_____________．
(1)ACD　(2)(－∞，－1]　[(1)对于A，由2x－1≠0，得x≠0，即函数f (x)的定义域为{x|x≠0}，
由f (x)为奇函数，得f (x)＋f (－x)＝0，
即＝0，整理得(a－1)(2x＋2-x－2)＝0，
又2x＋2-x－2≠0，所以a－1＝0，解得a＝1，故A正确；
(－∞，－1]
对于B，由选项A知f (x)＝，
当x<0时，2x－1<0．
又函数y＝2x－1在(－∞，0)上单调递增，
所以f (x)在(－∞，0)上单调递减，故B错误；
对于C，令y＝，得2x＝>0，解得y<－1或y>1，
所以f (x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故C正确；
对于D，因为f (x)在(－∞，0)上单调递减，且为奇函数，
所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减，且3x>0，
由f (3x)>f ()，得0<3x<，解得x<，
即原不等式的解集为，故D正确．故选ACD．
(2)∵y＝是减函数，且f (x)的值域是，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，
则a>0且＝2，解得a＝1，
因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，
故f (x)的单调递增区间是(－∞，－1]．]
【教用·备选题】
已知函数f (x)＝x3(a·2x－2-x)是偶函数，则a＝________．
1　[法一(定义法)：因为f (x)＝x3(a·2x－2-x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f (－x)＝f (x)对任意的x∈R恒成立，
所以(－x)3(a·2-x－2x)＝x3(a·2x－2-x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2-x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1．
1
法二(取特殊值检验法)：因为f (x)＝x3(a·2x－2-x)的定义域为R，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－，解得a＝1，经检验，f (x)＝x3(2x－2-x)为偶函数，所以a＝1．
法三(转化法)：由题意知f (x)＝x3(a·2x－2-x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2-x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2-x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2-0＝0，解得a＝1，经检验，f (x)＝x3(2x－2-x)为偶函数，所以a＝1．]
一、单项选择题
1．已知指数函数f (x)＝(a－1)bx的图象经过点＝
(　　)
A．
C．2 D．4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课后作业(十三)　指数函数
√
A　[由指数函数f (x)＝(a－1)bx的图象经过点
解得a＝b＝2，
所以．
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．(2026·河北保定模拟)已知不等式成立，则x的取值范围为(　　)
A．[－2，－1] B．[－2，1]
C．
√
D　[∵，
∴≤2-3x+4，
即2x2＋2≤－3x＋4，即2x2＋3x－2≤0，
∴－2≤x≤．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
3．(2025·湖南岳阳一模)若函数f (x)＝k＋为奇函数，则k＝
(　　)
A．－
C．－e D．e
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
B　[令ex－1≠0，可得x≠0，即函数f (x)的定义域为{x|x≠0}，若函数f (x)为奇函数，则f (x)＋f (－x)＝0，
可得f (x)＋f (－x)＝k＋＝2k－e＝0，
所以k＝．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4．(2026·广东佛山模拟)已知ln a2－ln a＝1，则函数f (x)＝的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
D　[由ln a2－ln a＝1，得ln a＝1，解得a＝e，函数f (x)＝的定义域为R，
函数u＝x2－2x在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
而函数y＝eu在R上单调递增，所以函数f (x)的单调递增区间为[1，
＋∞)．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
5．设<1，那么(　　)
A．aaC．ab题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
C　[∵<1且y＝在R上是减函数，
∴0当0∴ab当0∴aa题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
6．(2026·甘肃兰州模拟)已知函数 f (x)＝|2x－1|，关于x的方程f (x)＝k有两个不等实数根，则实数k的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[0，1] D．(0，1)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
D　[作出函数f (x)＝|2x－1|的图象，如图所示，
若关于x的方程f (x)＝k有两个不等实根，
则函数y＝f (x)的图象与直线y＝k有两个交点，由图知，k∈(0，1)．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
二、多项选择题
7．已知函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下结论正确的是(　　)
A．ab>1
B．ln(a＋b)>0
C．2b-a<1
D．ba>1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
√
ABC　[根据题图中函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象，
知函数y＝ax－b是增函数，所以a>1．
又当x＝0时，y＝1－b，所以0<1－b<1，解得0所以y＝ax是增函数，ab>a0＝1，A正确；
由a＋b>1，得ln(a＋b)>0，B正确；
由b－a<0，得2b-a<20＝1，C正确；
由y＝bx是减函数，得ba故选ABC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
8．已知函数f (x)＝，则(　　)
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(0，2]
C．函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递增
D．函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
√
ABD　[令u＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，则u∈[－1，＋∞)，f (x)的定义域与u＝x2＋4x＋3的定义域相同，均为R，故A正确；因为y＝，u∈[－1，＋∞)的值域为(0，2]，所以函数f (x)的值域为(0，2]，故B正确；因为u＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数
f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，故C不正确，D正确．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
三、填空题
9．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f (x)＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则
f (－2)＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
　[因为f (x)的图象过原点，所以f (0)＝a＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f (x)的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f (x)＝－＋1，所以f (－2)＝－．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
10．已知函数f (x)＝对称，则a＝_______，
f (x)的值域为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1　(0，1)　[函数f (x)＝对称，
则f (x)＋f (－x)＝1，则＝1，
整理得(a－1)[4x＋(a－1)·2x＋1]＝0，所以a－1＝0，则a＝1．
因此f (x)＝，由于1＋2x>1，则0<<1，∴0故f (x)的值域为(0，1)．]
1
(0，1)
四、解答题
11．已知函数f (x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若不等式－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)因为f (x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，b≠0，
所以
所以a2＝4．
又a>0，所以a＝2，b＝3．
所以f (x)＝3·2x．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，－m≥0恒成立，
即m≤在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝与y＝在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝，所以m≤，即m的取值范围是．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
12．已知定义域为R的函数f (x)＝ax－(k－1)·a-x(a>0且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f (1)<0，判断函数f (x)的单调性，若f (m2－2)＋f (m)>0，求实数m的取值范围．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)因为f (x)是定义域为R的奇函数，
所以f (0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
所以k＝2，
经检验k＝2符合题意，所以k＝2．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(2)由(1)知，f (x)＝ax－a-x(a>0且a≠1)，
因为f (1)<0，即a－<0，
又a>0，且a≠1，所以0而y＝ax在R上单调递减，y＝－a-x在R上单调递减，
所以f (x)＝ax－a-x在R上单调递减，
不等式f (m2－2)＋f (m)>0可化为f (m2－2)>f (－m)，
所以m2－2<－m，即m2＋m－2<0，
解得－2所以实数m的取值范围是(－2，1)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
13．(2025·河北唐山期末)已知函数f (x)＝9x－m·3x－1．
(1)若f (2)＝－1，求m的值；
(2)若m＝1，求f (x)在区间[－2，1]上的最小值；
(3)设函数g(x)＝2|x|+1，若对任意的x1∈[－2，1]，总存在x2∈R，使得f (x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)由f (2)＝－1，得92－m×32－1＝－1，
即81－9m－1＝－1，解得m＝9．
(2)当m＝1时，f (x)＝9x－3x－1，
令t＝3x，因为x∈[－2，1]，所以t＝3x∈，
所以h(t)＝t2－t－1＝，
当t＝，即x＝log3时，h(t)取最小值－，所以f (x)在区间[－2，1]上的最小值为－．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(3)若对任意的x1∈[－2，1]，总存在x2∈R，使得f (x1)≥g(x2)，
可得f (x1)min≥g(x2)min．
又因为g(x2)min＝g(0)＝2，所以对任意的x1∈[－2，1]，f (x1)≥2，
则9x－m·3x－1≥2对任意的x∈[－2，1]恒成立，
即m≤3x－，即m≤t－，令φ(t)＝t－，t＝3x∈．
因为φ(t)在区间上单调递增，
所以φ(t)min＝φ，
所以实数m的取值范围是．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
谢 谢 ！课后作业(十三)　指数函数
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．已知指数函数f (x)＝(a－1)bx的图象经过点＝ (　　)
A．
C．2 D．4
2．(2026·河北保定模拟)已知不等式成立，则x的取值范围为 (　　)
A．[－2，－1] B．[－2，1]
C．
3．(2025·湖南岳阳一模)若函数f (x)＝k＋为奇函数，则k＝ (　　)
A．－
C．－e D．e
4．(2026·广东佛山模拟)已知ln a2－ln a＝1，则函数f (x)＝的单调递增区间为 (　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
5．设<1，那么 (　　)
A．aaC．ab6．(2026·甘肃兰州模拟)已知函数 f (x)＝|2x－1|，关于x的方程f (x)＝k有两个不等实数根，则实数k的取值范围是 (　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[0，1] D．(0，1)
二、多项选择题
7．已知函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下结论正确的是 (　　)
A．ab>1 B．ln(a＋b)>0
C．2b-a<1 D．ba>1
8．已知函数f (x)＝，则 (　　)
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(0，2]
C．函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递增
D．函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减
三、填空题
9．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f (x)＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f (－2)＝___________．
10．已知函数f (x)＝对称，则a＝___________，f (x)的值域为___________．
四、解答题
11．(13分)已知函数f (x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若不等式－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
12．(13分)已知定义域为R的函数f (x)＝ax－(k－1)·a-x(a>0且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f (1)<0，判断函数f (x)的单调性，若f (m2－2)＋f (m)>0，求实数m的取值范围．
13．(15分)(2025·河北唐山期末)已知函数f (x)＝9x－m·3x－1．
(1)若f (2)＝－1，求m的值；
(2)若m＝1，求f (x)在区间[－2，1]上的最小值；
(3)设函数g(x)＝2|x|+1，若对任意的x1∈[－2，1]，总存在x2∈R，使得f (x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．
课后作业(十三)
1．A　2．D
3．B　[令ex－1≠0，可得x≠0，即函数f (x)的定义域为{x|x≠0}，若函数f (x)为奇函数，则f (x)＋f (－x)＝0，
可得f (x)＋f (－x)＝k＋＋k＋＝2k＋＝2k－e＝0，
所以k＝．故选B．]
4．D　[由ln a2－ln a＝1，得ln a＝1，解得a＝e，函数f (x)＝的定义域为R，
函数u＝x2－2x在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
而函数y＝eu在R上单调递增，所以函数f (x)的单调递增区间为[1，＋∞)．故选D．]
5．C　[∵<<<1且y＝在R上是减函数，
∴0当0∴ab当0∴aa6．D　[作出函数f (x)＝|2x－1|的图象，如图所示，
若关于x的方程f (x)＝k有两个不等实根，
则函数y＝f (x)的图象与直线y＝k有两个交点，由图知，k∈(0，1)．
故选D．]
7．ABC　[根据题图中函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象，
知函数y＝ax－b是增函数，所以a>1．
又当x＝0时，y＝1－b，所以0<1－b<1，解得0所以y＝ax是增函数，ab>a0＝1，A正确；
由a＋b>1，得ln(a＋b)>0，B正确；
由b－a<0，得2b-a<20＝1，C正确；
由y＝bx是减函数，得ba故选ABC．]
8．ABD　[令u＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，则u∈[－1，＋∞)，f (x)的定义域与u＝x2＋4x＋3的定义域相同，均为R，故A正确；因为y＝，u∈[－1，＋∞)的值域为(0，2]，所以函数f (x)的值域为(0，2]，故B正确；因为u＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，故C不正确，D正确．]
9．　[因为f (x)的图象过原点，所以f (0)＝a＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f (x)的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f (x)＝＋1，
所以f (－2)＝－＋1＝．]
10．1　(0，1)　[函数f (x)＝对称，则f (x)＋f (－x)＝1，
则＝1，
整理得(a－1)[4x＋(a－1)·2x＋1]＝0，所以a－1＝0，则a＝1．
因此f (x)＝＝1－，由于1＋2x>1，则0<<1，∴0故f (x)的值域为(0，1)．]
11．解：(1)因为f (x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，b≠0，
所以所以a2＝4．
又a>0，所以a＝2，b＝3．
所以f (x)＝3·2x．
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，－m≥0恒成立，
即m≤在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝与y＝在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝，所以m≤，即m的取值范围是．
12．解：(1)因为f (x)是定义域为R的奇函数，
所以f (0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，所以k＝2，
经检验k＝2符合题意，所以k＝2．
(2)由(1)知，f (x)＝ax－a-x(a>0且a≠1)，
因为f (1)<0，即a－<0，
又a>0，且a≠1，所以0而y＝ax在R上单调递减，y＝－a-x在R上单调递减，
所以f (x)＝ax－a-x在R上单调递减，
不等式f (m2－2)＋f (m)>0可化为f (m2－2)>f (－m)，
所以m2－2<－m，即m2＋m－2<0，解得－2所以实数m的取值范围是(－2，1)．
13．解：(1)由f (2)＝－1，得92－m×32－1＝－1，
即81－9m－1＝－1，解得m＝9．
(2)当m＝1时，f (x)＝9x－3x－1，
令t＝3x，因为x∈[－2，1]，所以t＝3x∈，
所以h(t)＝t2－t－1＝，
当t＝，即x＝log3时，h(t)取最小值－，所以f (x)在区间[－2，1]上的最小值为－．
(3)若对任意的x1∈[－2，1]，总存在x2∈R，使得f (x1)≥g(x2)，
可得f (x1)min≥g(x2)min．
又因为g(x2)min＝g(0)＝2，所以对任意的x1∈[－2，1]，f (x1)≥2，
则9x－m·3x－1≥2对任意的x∈[－2，1]恒成立，
即m≤3x－，即m≤t－，令φ(t)＝t－，t＝3x∈．
因为φ(t)在区间上单调递增，
所以φ(t)min＝φ－27＝－，
所以实数m的取值范围是．
3/3

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