资源简介

第14课时　对数函数
[考试要求]　1．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点等性质，并能简单应用．2．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
1．(湘教版必修第一册P126习题4.3T17(1)改编)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝eln x的定义域和值域相同的是 (　　)
A．y＝x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝
2．(人教B版必修第二册P29习题4－2AT7改编)函数y＝的定义域是 (　　)
A．(0，1) B．
C． ∪(1，＋∞)
3．(人教A版必修第一册P135练习T2改编)已知a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则 (　　)
A．aC．c4．(苏教版必修第一册P158习题6.3T8)设a与b为实数，a>0，a≠1．已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则a与b的值分别为______________．
5．(人教A版必修第一册P141习题4.4T12改编)若loga<1，则实数a的取值范围是___________．
1．对数函数
(1)一般地，函数___________(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是___________．
(2)对数函数的图象与性质
项目 a>1 0图象
定义域 ______
值域 R
性质 过定点___________，即x＝1时，y＝0
当x>1时，___________； 当01时，___________； 当0在(0，＋∞)上是_____函数 在(0，＋∞)上是_____函数
2．反函数
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线___________对称．
1．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故02．研究与对数函数有关的复合函数的单调性、值域问题，必须弄清三个问题：
一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．同时关注其真数与底数的取值范围．
考点一　对数函数的图象及应用
[典例1]　(1)函数f (x)＝ax与g(x)＝lox(a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是 (　　)
A　　　　 B　　　　　C　　　　　D
(2)已知实数m>0且m≠1，函数y＝logm(x＋n)的大致图象如图所示，则m，n的取值范围可能为 (　　)
A．m>1，n>1 B．m>1，0C．01 D．0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[巩固迁移]
1．(多选)(2026·广东广州模拟)函数f (x)＝loga的图象可以为 (　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
2．已知函数f (x)＝|ln x|，若0考点二　对数函数的单调性及应用
[典例2]　(1)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝lo，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
(2)若loga(a＋1)0，且a≠1)，则实数a的取值范围是___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：(1)比较对数函数值大小的方法：单调性法、中间量法、图象法等．
(2)解对数不等式的类型及方法
①形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0②形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解．
[巩固迁移]
3．(2025·浙江金华二模)已知a＝log32，b＝log54，c＝log98，则 (　　)
A．cC．b4．已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f (log2a)＋f (loa)≤2f (1)，则a的取值范围是 (　　)
A．[1，2] B．
C． D．(0，2]
考点三　对数函数性质的综合应用
[典例3]　(1)(多选)已知函数f (x)＝lg(x2＋ax－a－1)，给出下列论述，其中正确的是 (　　)
A．当a＝0时，f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f (x)一定有最小值
C．当a＝0时，f (x)的值域为R
D．若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4}
(2)(多选)关于函数f (x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是 (　　)
A．f (x)的最大值为1
B．f (x)在区间(0，2)内单调递增
C．f (x)的图象关于直线x＝2对称
D．f (x)的图象关于点(2，0)对称
(3)已知函数f －x是偶函数，则实数a的值为___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
[巩固迁移]
5．(2026·广东广州模拟)函数f (x)＝log2(2x)·log2(4x)，x∈[1，16]的值域为 (　　)
A．[2，30] B．
C． D．[2，16]
6．(多选)关于函数f (x)＝log3，下列结论正确的是 (　　)
A．定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．f (x)是偶函数
C．f (x)的图象关于点(1，0)对称
D．f (x)在(3，＋∞)上单调递增
第14课时　对数函数
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．D　2．B　3．B　4．，3　5．∪(1，＋∞)
No2．储备知识要点
1．(1)y＝logax　(0，＋∞)　(2)(0，＋∞)　(1，0)　y>0　y<0　y<0　y>0　增　减
2．y＝x
精研考点·提升素养
考点一
典例1　(1)C　(2)C　[(1)对于A，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，由指数函数的图象，可得01，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；对于C，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故C正确；对于D，因为g(x)＝lox的定义域为(0，＋∞)，显然D中g(x)的定义域不符合，故D错误．故选C．
(2)由y＝logm(x＋n)的图象可得0又当x＝0时，logmn<0，故n>1．故选C．]
巩固迁移
1．ACD　[由题意，函数f (x)＝loga．
①当a>1时，函数f (x)单调递增，且0<<1，
又f (0)＝loga＝loga＝－1，故A可以，B不可以；
②当01，
又f (－1)＝loga，
当1<<2时，f (－1)＝loga>loga1＝0，则C可以；
当＝2时，f (－1)＝loga＝loga1＝0，则D可以．故选ACD．]
2．(3，＋∞)　[作出f (x)＝|ln x|的图象如图所示，
因为f (a)＝f (b)，
所以|ln a|＝|ln b|，
因为0所以ln a<0，ln b>0，
所以01，所以－ln a＝ln b，
所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，
所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋，
令g(x)＝x＋(0所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，
所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．]
考点二
典例2　(1)D　(2)　[(1)法一(中间量法、单调性法)：因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，所以a>b．又因为c＝lo＝log23，且函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log23>log2e，所以c>a，所以c>a>b．
法二(图象法)：lo＝log23，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图，由图可知c>a>b．
(2)由loga(a＋1)解得巩固迁移
3．D
4．C　[因为loa＝－log2a，所以f (log2a)＋f (loa)＝f (log2a)＋f (－log2a)＝2f (log2a)，原不等式变为2f (log2a)≤2f (1)，即f (log2a)≤f (1)．又因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2．故选C．]
考点三
典例3　(1)AC　(2)BC　(3)2　[(1)对于A，∵a＝0，
∴f (x)＝lg(x2－1)，即x2－1>0，∴x<－1或x>1，∴A正确；
对于B，令u(x)＝x2＋ax－a－1，则复合函数y＝f (x)是由y＝lg u，u＝x2＋ax－a－1复合而成的，
∵y＝lg u在定义域内是单调递增的，而u＝x2＋ax－a－1(u>0)无最小值，∴f (x)没有最小值，∴B错误；
对于C，当a＝0时，f (x)＝lg(x2－1)中的x2－1能够取到所有的正数，
∴f (x)的值域为R，∴C正确；
对于D，∵复合函数y＝lg(x2＋ax－a－1)是由y＝lg u，u＝x2＋ax－a－1复合而成的，而y＝lg u在定义域内是单调递增的，又∵y＝f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知， u＝x2＋ax－a－1在区间[2，＋∞)上单调递增，则有－≤2，
即a≥－4．
又∵x2＋ax－a－1>0在区间[2，＋∞)上恒成立，则有22＋2a－a－1>0，即a>－3，
∴a>－3，∴D错误．故选AC．
(2)函数f (x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0当x＝2时，4x－x2取到最大值4，
故此时f (x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，A错误；
f (x)＝log2(4x－x2)(0而y＝log2u在(0，4)内单调递增，u＝－x2＋4x(0故f (x)在区间(0，2)内单调递增，在(2，4)内单调递减，B正确；
因为函数f (4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f (x)，故f (x)的图象关于直线x＝2对称，C正确；
因为f (4－x)＋f (x)＝log2(4－x)＋log2x＋f (x)＝2f (x)＝0不恒成立，故f (x)的图象不关于点(2，0)对称，D错误．
故选BC．
(3)由题意知f (x)的定义域为R，函数f (x)＝ln(eax ＋ 1)－x是偶函数，则f (－x)＝ln(e-ax＋1)＋x＝f (x)＝ln(eax ＋ 1)－x，
即ln＝2x，化简得ln eax＝2x，解得a＝2．]
巩固迁移
5．A　[令t＝log2x，因为x∈[1，16]，所以t∈[0，4]，
因为f (x)＝log2(2x)·log2(4x)＝(log22＋log2x)·(log24＋log2x)＝(1＋log2x)(2＋log2x)，
所以g(t)＝(t＋1)(t＋2)＝t2＋3t＋2＝，t∈[0，4]，
函数g(t)在区间[0，4]上单调递增，
所以g(t)min＝g(0)＝2，g(t)max＝g(4)＝30，
所以函数f (x)＝log2(2x)·log2(4x)，x∈[1，16]的值域为[2，30]．故选A．]
6．ACD　[对于A，由>0得x<－1或x>3，故定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，A正确；
对于B，因为定义域不关于原点对称，故f (x)不是偶函数，B错误；
对于C，因为f (1－x)＋f (1＋x)＝log3＋log3＝log3＋log3＝log3＝log31＝0，
所以f (x)的图象关于点(1，0)对称，C正确；
对于D，f (x)＝log3＝log3，
因为函数t＝1－在区间(3，＋∞)上单调递增，且y＝log3t在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x)在(3，＋∞)上单调递增，D正确．故选ACD．]
5/5(共81张PPT)
第14课时　对数函数
第二章 函数的概念与性质
[考试要求]
1．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点等性质，并能简单应用．
2．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
以题引理·激活思维
1．(湘教版必修第一册P126习题4.3T17(1)改编)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝eln x的定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝
√
D　[函数y＝eln x的定义域和值域均为(0，＋∞)，
函数y＝x的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足要求；
函数y＝ex的定义域为R，值域为(0，＋∞)，不满足要求；
函数y＝的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．
故选D．]
2．(人教B版必修第二册P29习题4－2AT7改编)函数y＝的定义域是(　　)
A．(0，1) B．
C． ∪(1，＋∞)
√
B　[由得0<4x－3≤1，解得3．(人教A版必修第一册P135练习T2改编)已知a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　)
A．aC．c√
B　[法一：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，由图象可知，当x＝6时，log0.26>log0.36>log0.46，即a>b>c．

法二：易知0>log60.4>log60.3>log60.2，所以，即log0.46b>c．]
4．(苏教版必修第一册P158习题6.3T8)设a与b为实数，a>0，a≠1．已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则a与b的值分别为__________．
，3　[由题图可知，函数y＝loga(x＋b)的图象过点(－2，0)，(0，2)，所以0＝loga(－2＋b)，且2＝logab．由0＝loga(－2＋b)，得－2＋b＝1，解得b＝3，则2＝loga3，得a＝，所以a＝，b＝3．]
，3
5．(人教A版必修第一册P141习题4.4T12改编)若loga<1，则实数a的取值范围是___________________________．
∪(1，＋∞)　[当a>1时，满足条件；
当0综上，实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
∪(1，＋∞)
1．对数函数
(1)一般地，函数______________(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是____________．
y＝logax
(0，＋∞)
(2)对数函数的图象与性质
项目 a>1 0图象
定义域 ____________
(0，＋∞)
值域 R
性质 过定点__________，即x＝1时，y＝0
当x>1时，______； 当01时，______；
当0在(0，＋∞)上是__函数 在(0，＋∞)上是__函数
(1，0)
y>0
y<0
y<0
y>0
增
减
2．反函数
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．
y＝x
1．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故02．研究与对数函数有关的复合函数的单调性、值域问题，必须弄清三个问题：
一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．同时关注其真数与底数的取值范围．
考点一　对数函数的图象及应用
[典例1]　(1)函数f (x)＝ax与g(x)＝lox(a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是(　　)
精研考点·提升素养
√
A　　　　　 　B　　　 　C　　 　　　　D
(2)已知实数m>0且m≠1，函数y＝logm(x＋n)的大致图象如图所示，则m，n的取值范围可能为(　　)
A．m>1，n>1
B．m>1，0C．01
D．0√
(1)C　(2)C　[(1)对于A，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，由指数函数的图象，可得01，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；对于C，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故C正确；对于D，因为g(x)＝lox的定义域为(0，＋∞)，显然D中g(x)的定义域不符合，故D错误．故选C．
(2)由y＝logm(x＋n)的图象可得0又当x＝0时，logmn<0，故n>1．故选C．]
名师点评：对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[巩固迁移]
1．(多选)(2026·广东广州模拟)函数f (x)＝loga的图象可以为(　　)
A　　　　 　 　B　　　 　C　　 　 　　　D
√
√
√
ACD　[由题意，函数f (x)＝loga．
①当a>1时，函数f (x)单调递增，且0<<1，
又f (0)＝loga＝－1，故A可以，B不可以；
②当01，
又f (－1)＝loga，
当1<<2时，f (－1)＝loga>loga1＝0，则C可以；
当＝2时，f (－1)＝loga＝loga1＝0，则D可以．故选ACD．]
2．已知函数f (x)＝|ln x|，若0(3，＋∞)　[作出f (x)＝|ln x|的图象如图所示，
因为f (a)＝f (b)，
所以|ln a|＝|ln b|，
因为00，
所以01，所以－ln a＝ln b，
(3，＋∞)
所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，
所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋，
令g(x)＝x＋(0所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，
所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．]
【教用·备选题】
1．已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0B．0C．0D．0√
A　[由函数图象可知，f (x)为增函数，故a>1．
函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，
由函数图象可知－1综上，0A　　　　 　 　B　　　 　C　　 　 　　　D
2．(多选)若函数f (x)＝ax-2，g(x)＝loga|x|，其中a>0，且a≠1，则函数f (x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　)
√
√
AD　[易知g(x)＝loga|x|为偶函数．当01时，f (x)＝ax-2在R上单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD．]
考点二　对数函数的单调性及应用
[典例2]　(1)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝lo，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
(2)若loga(a＋1)0，且a≠1)，则实数a的取值范围是_______________．
√
(1)D　(2)　[(1)法一(中间量法、单调性法)：因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，所以a>b．又因为c＝lo＝log23，且函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log23>log2e，所以c>a，所以c>a>b．
法二(图象法)：lo＝log23，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，
如图，由图可知c>a>b．
(2)由loga(a＋1)得
解得名师点评：(1)比较对数函数值大小的方法：单调性法、中间量法、图象法等．
(2)解对数不等式的类型及方法
①形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0②形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解．
[巩固迁移]
3．(2025·浙江金华二模)已知a＝log32，b＝log54，c＝log98，则
(　　)
A．cC．b√
D　[法一：由题意可知，0则<1，所以a则<1，所以b法二：b＝log54＝log2，c＝log98＝lo2，而a＝log32，因为36>53>92，所以3>，所以log324．已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f (log2a)＋f (loa)≤2f (1)，则a的取值范围是
(　　)
A．[1，2] B．
C． D．(0，2]
√
C　[因为loa＝－log2a，所以f (log2a)＋f (loa)＝f (log2a)＋
f (－log2a)＝2f (log2a)，原不等式变为2f (log2a)≤2f (1)，即f (log2a)≤
f (1)．又因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2．故选C．]
【教用·备选题】
设函数f (x)＝若f (a)>f (－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
√
C　[由题意可得
解得a>1或－1考点三　对数函数性质的综合应用
[典例3]　(1)(多选)已知函数f (x)＝lg(x2＋ax－a－1)，给出下列论述，其中正确的是(　　)
A．当a＝0时，f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f (x)一定有最小值
C．当a＝0时，f (x)的值域为R
D．若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4}
√
√
(2)(多选)关于函数f (x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是(　　)
A．f (x)的最大值为1
B．f (x)在区间(0，2)内单调递增
C．f (x)的图象关于直线x＝2对称
D．f (x)的图象关于点(2，0)对称
(3)已知函数f －x是偶函数，则实数a的值为________．
√
√
2
(1)AC　(2)BC　(3)2　[(1)对于A，∵a＝0，
∴f (x)＝lg(x2－1)，即x2－1>0，∴x<－1或x>1，∴A正确；
对于B，令u(x)＝x2＋ax－a－1，则复合函数y＝f (x)是由y＝lg u，u＝x2＋ax－a－1复合而成的，
∵y＝lg u在定义域内是单调递增的，而u＝x2＋ax－a－1(u>0)无最小值，∴f (x)没有最小值，
∴B错误；
对于C，当a＝0时，f (x)＝lg(x2－1)中的x2－1能够取到所有的正数，
∴f (x)的值域为R，
∴C正确；
对于D，∵复合函数y＝lg(x2＋ax－a－1)是由y＝lg u，u＝x2＋ax－a－1复合而成的，而y＝lg u在定义域内是单调递增的，又∵y＝f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知， u＝x2＋ax－a－1在区间[2，＋∞)上单调递增，则有－≤2，
即a≥－4．
又∵x2＋ax－a－1>0在区间[2，＋∞)上恒成立，则有22＋2a－a－1>0，即a>－3，
∴a>－3，∴D错误．故选AC．
(2)函数f (x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0当x＝2时，4x－x2取到最大值4，
故此时f (x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，A错误；
f (x)＝log2(4x－x2)(0而y＝log2u在(0，4)内单调递增，u＝－x2＋4x(0故f (x)在区间(0，2)内单调递增，在(2，4)内单调递减，B正确；
因为函数f (4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f (x)，故f (x)的图象关于直线x＝2对称，C正确；
因为f (4－x)＋f (x)＝log2(4－x)＋log2x＋f (x)＝2f (x)＝0不恒成立，故f (x)的图象不关于点(2，0)对称，D错误．
故选BC．
(3)由题意知f (x)的定义域为R，函数f (x)＝ln(eax ＋ 1)－x是偶函数，则f (－x)＝ln(e-ax＋1)＋x＝f (x)＝ln(eax ＋ 1)－x，
即ln＝2x，化简得ln eax＝2x，解得a＝2．]
名师点评：求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
[巩固迁移]
5．(2026·广东广州模拟)函数f (x)＝log2(2x)·log2(4x)，x∈[1，16]的值域为(　　)
A．[2，30] B．
C． D．[2，16]
√
A　[令t＝log2x，因为x∈[1，16]，所以t∈[0，4]，
因为f (x)＝log2(2x)·log2(4x)＝(log22＋log2x)·(log24＋log2x)＝(1＋log2x)(2＋log2x)，
所以g(t)＝(t＋1)(t＋2)＝t2＋3t＋2＝，t∈[0，4]，
函数g(t)在区间[0，4]上单调递增，
所以g(t)min＝g(0)＝2，g(t)max＝g(4)＝30，
所以函数f (x)＝log2(2x)·log2(4x)，x∈[1，16]的值域为[2，30]．故选A．]
6．(多选)关于函数f (x)＝log3，下列结论正确的是(　　)
A．定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．f (x)是偶函数
C．f (x)的图象关于点(1，0)对称
D．f (x)在(3，＋∞)上单调递增
√
√
√
ACD　[对于A，由>0得x<－1或x>3，故定义域为(－∞，－1)∪
(3，＋∞)，A正确；
对于B，因为定义域不关于原点对称，故f (x)不是偶函数，B错误；
对于C，因为f (1－x)＋f (1＋x)＝log3＝log3＝log31＝0，
所以f (x)的图象关于点(1，0)对称，C正确；
对于D，f (x)＝log3，
因为函数t＝1－在区间(3，＋∞)上单调递增，
且y＝log3t在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x)在(3，＋∞)上单调递增，D正确．故选ACD．]
【教用·备选题】
(2026·山东泰安模拟)已知函数f (x)＝lg(x2－ax－5)在(5，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，4)　 B．(－∞，4]
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
√
B　[由函数f (x)＝lg(x2－ax－5)在(5，＋∞)上单调递增，可得u(x)＝x2－ax－5在(5，＋∞)上单调递增，
且u(x)>0在(5，＋∞)上恒成立，故需满足解得a≤4．故选B．]
一、单项选择题
1．函数f (x)＝的定义域为(　　)
A．(0，1) B．(0，1]
C．(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课后作业(十四)　对数函数
√
A　[由解得0即函数f (x)的定义域为(0，1)．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．函数y＝f (x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，则
f ＋f (9)＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
A　[因为函数y＝f (x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，所以f (x)＝log3x，所以f ＋f (9)＝log3＋log39＝－1＋2＝1．故选A．]
3．(2025·黑龙江哈尔滨二模)函数f (x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间为(　　)
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，0)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
A　[由已知得x2－2x>0，解得x<0或x>2，函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
因为y＝log2t为增函数，要求函数f (x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间，由同增异减可得即求函数y＝x2－2x在(－∞，0)∪(2，＋∞)上的单调递增区间．
由二次函数的性质可得y＝x2－2x在(－∞，0)∪(2，＋∞)上的单调递增区间为(2，＋∞)，
故函数f (x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间是(2，＋∞)．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4．(2026·湖南长沙模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f (x)＝a-x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
B　[由lg a＋lg b＝0可知，＝b，
故f (x)＝a-x＝bx，故函数f (x)＝a-x与函数g(x)＝logbx的单调性相同．
故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
5．(2025·天津二模)设a＝log43，b＝log86，c＝log62，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．c题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
D　[由已知，a＝log43＝，b＝log86＝，
因为33<62，所以，所以a又a＝log2，c＝log62故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
6．当0A．
C．(1， ，2)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
B　[构造函数f (x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时，不满足条件；当0，所以a的取值范围为．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
二、多项选择题
7．(2025·湖北孝感三模)已知函数f (x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则(　　)
A．0B．a>1
C．f (a＋2 022)>f (2 023)
D．f (a＋2 022)题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
AC　[f (x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
设z＝|x－1|，可得函数z＝|x－1|在(－∞，1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增，
根据复合函数的单调性可得0由0又f (x)在(1，＋∞)上单调递减，
则f (a＋2 022)>f (2 023)，故C正确，D错误．
故选AC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
8．(2026·江西赣州模拟)关于函数f (x)＝lo(2x2－4x＋a)，以下说法正确的是(　　)
A．当a＝－6时，f (x)在(－∞，－1)上单调递增
B．当a＝6时，f (x)的值域为[－2，＋∞)
C．如果f (x)的值域为R，则a≥2
D．函数f (x)的图象关于直线x＝1对称
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
AD　[由题知f (x)为复合函数，其中对数函数的底数为<1，所以对数函数单调递减，令μ(x)＝2x2－4x＋a．
对于A，当a＝－6时，f (x)＝lo(2x2－4x－6)，所以f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，根据复合函数的单调性知，只需求μ(x)＝2x2－4x－6的单调递减区间即可，μ(x)在(－∞，－1)上单调递减，所以f (x)在(－∞，－1)上单调递增，选项A正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
对于B，当a＝6时，f (x)＝lo(2x2－4x＋6)，此时f (x)的定义域为R，μ(x)＝2x2－4x＋6＝2(x－1)2＋4，所以μ(x)的最小值为4，即内层函数的值可取[4，＋∞)，即lo4＝－2，所以f (x)的值域为(－∞，－2]，选项B错误；
对于C，因为f (x)的值域为R，所以只需内层函数μ(x)＝2x2－4x＋a能取到所有的正实数，即判别式(－4)2－4×2×a≥0，解得a≤2，选项C错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
对于D，f (1＋x)＝lo[2(1＋x)2－4(1＋x)＋a]＝lo(2x2＋a－2)，f (1－x)＝lo[2(1－x)2－4(1－x)＋a]＝lo(2x2＋a－2)，所以f (1＋x)＝
f (1－x)，即f (x)的图象关于直线x＝1对称，选项D正确．故选AD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
三、填空题
9．(2025·安徽滁州一模)已知函数f (x)＝loga(3x＋4)＋2x(a>0且a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
－3　[令3x＋4＝1，则x＝－1，又f (－1)＝－2，所以f (x)过定点
(－1，－2)，
即m＝－1，n＝－2，所以m＋n＝－3．]
－3
10．已知函数f (x)＝ln(＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4　[设g(x)＝ln(－x)，则f (x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝
－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f (lg 3)＋f ＝f (lg 3)＋f (－lg 3)＝g(lg 3)＋2＋g(－lg 3)＋2＝4．]
4
四、解答题
11．已知f (x)＝lo(x2－ax＋5a)．
(1)若a＝2，求f (x)的值域；
(2)若f (x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)当a＝2时，f (x)＝lo(x2－2x＋10)，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
∴t≥9，f (x)≤lo9＝－2，
∴f (x)的值域为(－∞，－2]．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(2)令u＝x2－ax＋5a，
∵y＝lou为减函数，f (x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴u＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
∴解得－≤a≤2，
∴a的取值范围是．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
12．已知函数f (x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x)．
(1)求函数f (x)－g(x)的定义域；
(2)判断函数f (x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)求使得不等式f (x)－g(x)>1成立的x的取值范围．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)由题意，得解得－1所以函数f (x)－g(x)的定义域是(－1，1)．
(2)函数f (x)－g(x)是奇函数．理由如下：
因为函数f (x)－g(x)的定义域是(－1，1)，
所以其定义域关于原点对称．
又因为f (－x)－g(－x)＝log2(1－x)－log2(1＋x)＝－[log2(1＋x)－log2(1－x)]＝－[f (x)－g(x)]，
所以函数f (x)－g(x)是奇函数．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(3)因为f (x)－g(x)>1，
即log2(1＋x)－log2(1－x)>1，
所以log2>1＝log22．
所以所以使得不等式f (x)－g(x)>1成立的x的取值范围是．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
13．已知函数f (x)＝log4．
(1)解关于x的不等式f (x)>3；
(2)若存在x∈[2，4]，使得不等式f (2x)－a·log2x＋1≥0成立，求实数a的取值范围．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)因为f (x)的定义域为(0，＋∞)，则f (x)＝＝(log2x－2)·(log2x－4)＝(log2x)2－6log2x＋8，
设log2x＝t(t∈R)，则不等式可化为t2－6t＋8>3，
即t2－6t＋5>0，
解得t<1或t>5，即log2x<1或log2x>5，
解得032．
所以不等式的解集为{x|032}．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(2)因为f (2x)－a·log2x＋1≥0，
所以(log2x－1)·(log2x－3)－alog2x＋1≥0，
设log2x＝t，则t∈[1，2]，
原问题化为：存在t∈[1，2]，t2－4t＋4－at≥0．
即a≤t＋－4在t∈[1，2]上有解．
因为y＝t＋－4在[1，2]上单调递减，
所以＝1，所以a≤1．
即实数a的取值范围是(－∞，1]．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
谢 谢 ！课后作业(十四)　对数函数
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共95分
一、单项选择题
1．函数f (x)＝的定义域为 (　　)
A．(0，1) B．(0，1]
C．(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)
2．函数y＝f (x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，则f ＋f (9)＝ (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．(2025·黑龙江哈尔滨二模)函数f (x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间为 (　　)
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，0)
4．(2026·湖南长沙模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f (x)＝a-x与g(x)＝logbx的图象可能是 (　　)
A　　　　　　B
C　　　　　　D
5．(2025·天津二模)设a＝log43，b＝log86，c＝log62，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A．aC．c6．当0A．
C．(1，
，2)
二、多项选择题
7．(2025·湖北孝感三模)已知函数f (x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则 (　　)
A．0B．a>1
C．f (a＋2 022)>f (2 023)
D．f (a＋2 022)8．(2026·江西赣州模拟)关于函数f (x)＝lo(2x2－4x＋a)，以下说法正确的是 (　　)
A．当a＝－6时，f (x)在(－∞，－1)上单调递增
B．当a＝6时，f (x)的值域为[－2，＋∞)
C．如果f (x)的值域为R，则a≥2
D．函数f (x)的图象关于直线x＝1对称
三、填空题
9．(2025·安徽滁州一模)已知函数f (x)＝loga(3x＋4)＋2x(a>0，且a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝___________．
10．已知函数f (x)＝ln(＝___________．
四、解答题
11．(13分)已知f (x)＝lo(x2－ax＋5a)．
(1)若a＝2，求f (x)的值域；
(2)若f (x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
12．(15分)已知函数f (x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x)．
(1)求函数f (x)－g(x)的定义域；
(2)判断函数f (x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)求使得不等式f (x)－g(x)>1成立的x的取值范围．
13．(15分)已知函数f (x)＝log4．
(1)解关于x的不等式f (x)>3；
(2)若存在x∈[2，4]，使得不等式f (2x)－a·log2x＋1≥0成立，求实数a的取值范围．
课后作业(十四)
1．A
2．A　[因为函数y＝f (x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，所以f (x)＝log3x，所以f ＋f (9)＝log3＋log39＝－1＋2＝1．故选A．]
3．A
4．B　[由lg a＋lg b＝0可知，＝b，
故f (x)＝a-x＝bx，故函数f (x)＝a-x与函数g(x)＝logbx的单调性相同．故选B．]
5．D　[由已知，a＝log43＝log23＝log2，b＝log86＝log26＝log2，
因为33<62，所以<，所以a又a＝log2>log2，c＝log626．B　[构造函数f (x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时，不满足条件；当0则a>，所以a的取值范围为．]
7．AC　[f (x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
设z＝|x－1|，可得函数z＝|x－1|在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
根据复合函数的单调性可得0由0又f (x)在(1，＋∞)上单调递减，
则f (a＋2 022)>f (2 023)，故C正确，D错误．
故选AC．]
8．AD　[由题知f (x)为复合函数，其中对数函数的底数为<1，所以对数函数单调递减，令μ(x)＝2x2－4x＋a．
对于A，当a＝－6时，f (x)＝lo(2x2－4x－6)，所以f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，根据复合函数的单调性知，只需求μ(x)＝2x2－4x－6的单调递减区间即可，μ(x)在(－∞，－1)上单调递减，所以f (x)在(－∞，－1)上单调递增，选项A正确；
对于B，当a＝6时，f (x)＝lo(2x2－4x＋6)，此时f (x)的定义域为R，μ(x)＝2x2－4x＋6＝2(x－1)2＋4，所以μ(x)的最小值为4，即内层函数的值可取[4，＋∞)，即lo4＝－2，所以f (x)的值域为(－∞，－2]，选项B错误；
对于C，因为f (x)的值域为R，所以只需内层函数μ(x)＝2x2－4x＋a能取到所有的正实数，即判别式(－4)2－4×2×a≥0，解得a≤2，选项C错误；
对于D，f (1＋x)＝lo[2(1＋x)2－4(1＋x)＋a]＝lo(2x2＋a－2)，f (1－x)＝lo[2(1－x)2－4(1－x)＋a]＝lo(2x2＋a－2)，所以f (1＋x)＝f (1－x)，即f (x)的图象关于直线x＝1对称，选项D正确．故选AD．]
9．－3
10．4　[设g(x)＝ln(－x)，则f (x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f (lg 3)＋f ＝f (lg 3)＋f (－lg 3)＝g(lg 3)＋2＋g(－lg 3)＋2＝4．]
11．解：(1)当a＝2时，f (x)＝lo(x2－2x＋10)，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
∴t≥9，f (x)≤lo9＝－2，
∴f (x)的值域为(－∞，－2]．
(2)令u＝x2－ax＋5a，
∵y＝lou为减函数，f (x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴u＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
∴解得－≤a≤2，
∴a的取值范围是．
12．解：(1)由题意，得解得－1所以函数f (x)－g(x)的定义域是(－1，1)．
(2)函数f (x)－g(x)是奇函数．理由如下：
因为函数f (x)－g(x)的定义域是(－1，1)，
所以其定义域关于原点对称．
又因为f (－x)－g(－x)＝log2(1－x)－log2(1＋x)＝－[log2(1＋x)－log2(1－x)]＝－[f (x)－g(x)]，
所以函数f (x)－g(x)是奇函数．
(3)因为f (x)－g(x)>1，
即log2(1＋x)－log2(1－x)>1，
所以log2>1＝log22．
所以所以使得不等式f (x)－g(x)>1成立的x的取值范围是．
13．解：(1)因为f (x)的定义域为(0，＋∞)，则f (x)＝log2·2log2＝(log2x－2)·(log2x－4)＝(log2x)2－6log2x＋8，
设log2x＝t(t∈R)，则不等式可化为t2－6t＋8>3，
即t2－6t＋5>0，
解得t<1或t>5，
即log2x<1或log2x>5，
解得032．
所以不等式的解集为{x|032}．
(2)因为f (2x)－a·log2x＋1≥0，
所以(log2x－1)·(log2x－3)－alog2x＋1≥0，
设log2x＝t，则t∈[1，2]，
原问题化为：存在t∈[1，2]，t2－4t＋4－at≥0．
即a≤t＋－4在t∈[1，2]上有解．
因为y＝t＋－4在[1，2]上单调递减，
所以＝1，所以a≤1．
即实数a的取值范围是(－∞，1]．
3/3

展开更多......

收起↑