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第15课时　函数的图象
[考试要求]　1．掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题．2．掌握图象的作法：描点法和图象变换法．3．会运用函数的图象理解和研究函数性质．
1．(人教A版必修第一册P72习题3.1T3(2)改编)函数y＝1－的图象是 (　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
2．(人教A版必修第一册P72练习T1改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后来为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是 (　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
3．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)已知图甲为函数y＝f (x)的图象，则图乙中的图象对应的函数可能为 (　　)
A．y＝|f (x)| B．y＝f (|x|)
C．y＝f (－|x|) D．y＝－f (|x|)
4．(人教A版必修第一册P140习题4.4T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是 (　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
5．(人教A版必修第一册P161复习参考题4T7)已知指数函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx图象顶点的横坐标的取值范围是___________．
1．利用描点法作函数图象的步骤：__________________、____________________、__________________．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f (x)的图象y＝___________的图象；
②y＝f (x)的图象y＝___________的图象；
③y＝f (x)的图象y＝___________的图象；
④y＝ax(a>0且a≠1)的图象y＝__________________的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f (x)的图象y＝______的图象；
②y＝f (x)的图象y＝_____的图象．
(4)翻折变换
①y＝f (x)的图象y＝___________的图象；
②y＝f (x)的图象y＝______的图象．
1．作图时要抓住图象的关键信息，如：奇偶性、单调性、极值、最值、零点、定点、渐近线等．
2．“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减．
考点一　作函数的图象
[典例1]　作出下列函数的图象．
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，即利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
[巩固迁移]
1．作出函数f (x)＝[x]＋2([x]表示不大于x的最大整数)的图象．
考点二　函数图象的辨识
[典例2]　(1)(2024·全国甲卷)函数f (x)＝－x2＋(ex－e-x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为 (　　)
A　　　　　 　　B
C　　　　　 　　D
(2) (2025·天津卷)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能为 (　　)
A．f (x)＝
B．f (x)＝
C．f (x)＝
D．f (x)＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性判断图象的对称性．
(3)从函数的特殊点排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性判断图象的循环往复．
[巩固迁移]
2．(2026·山西忻州模拟)函数f (x)＝(2x＋2-x)·的大致图象是 (　　)
A　　　　　　　　 B
C　　　　　　　 　D
3．已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为 (　　)
A．f (x)＝ex－e-x
B．f (x)＝1－
C．f (x)＝x
D．f (x)＝
考点三　函数图象的应用
　研究函数的性质
[典例3]　(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f (x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的说法正确的是 (　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有3个根
C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增
D．函数F(x)有4个单调区间
　解不等式
[典例4]　已知函数f (x)＝log2x－x＋1，则不等式f (x)<0的解集是 (　　)
A．(1，2)　　 B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(0，2) D．(0，1)∪(2，＋∞)
　求参变量的取值范围
[典例5]　(1)已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是___________．
(2)已知函数f (x)＝a，b，c，d是互不相同的正数，且f (a)＝f (b)＝f (c)＝f (d)，则abcd的取值范围是___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：(1)注意函数性质与图象特征的对应关系．
(2)某些方程和不等式的求解问题，可转化为图象的交点问题，体现了数形结合的思想．
[巩固迁移]
4．已知定义在R上的奇函数f (x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f (x)>2f (x)的解集为 (　　)
A．(－，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－，2)
D．(－2，－)∪(2，＋∞)
5．已知函数f (x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是 (　　)
A．f (x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B．f (x)是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减
C．f (x)是奇函数，在区间(－1，1)内单调递减
D．f (x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增
第15课时　函数的图象
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．B　2．C　3．B　4．B　5．
No2．储备知识要点
1．列表　描点　连线
2．(1)f (x＋h)　f (x－h)　(2)－f (x) 　f (－x)　－f (－x)　logax(a>0且a≠1)
(3)f (ax)　af (x)　(4)|f (x)|　f (|x|)
精研考点·提升素养
考点一
典例1　解：(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即可得到函数y＝的图象，如图1实线部分所示．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图2．
(3)因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图3．
(4)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图4．
巩固迁移
1．解：f (x)＝[x]＋2＝
函数部分图象如图所示．
考点二
典例2　(1)B　(2)D　[(1)f (－x)＝－x2＋(e-x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e-x)sin x＝f (x)，
又x∈[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，图象关于y轴对称，可排除A，C，
又f (1)＝－1＋sin 1>－1＋sin －1－>>0，故可排除D．
故选B．
(2)由题图可知函数f (x)的定义域为{x|x≠±1}，且f (x)为偶函数，易得f (x)＝与f (x)＝均为奇函数，排除选项A，B．由题图可知当x>1时，f (x)>0，易得当x>1时，f (x)＝<0，f (x)＝>0，排除C，故选D．]
巩固迁移
2．B　[函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，排除选项D；
f (－x)＝(2-x＋2x)＝－(2-x＋2x)·＝－f (x)，
故函数f (x)为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A；
当x>0时，f (x)＝(2x＋2-x)＝2x＋2-x>2＝2；
当x<0时，f (x)＝－(2x＋2-x)<－2＝－2，排除选项C；综上可得，选项B符合题意．故选B．]
3．D　[根据函数f (x)的图象，知f (1)≈1，而对A选项，f (1)＝e－e-1>2，排除A；
对B选项，f (x)＝1－，因为ex＋1>1，则∈(0，2)，则f (x)＝1－∈(－1，1)，但图象中函数值可以大于1，排除B；
根据C选项的解析式，f (2)＝2≈2.8，而根据函数f (x)的图象，知f (2)≈1，排除C．故选D．]
考点三
考向1　典例3　ABD　[
根据函数f (x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，
函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的图象关于y轴对称，所以A正确；函数F(x)的图象与x轴有3个交点，所以方程F(x)＝0有3个根，所以B正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C错误，D正确．]
考向2　典例4　D　[依题意，f (x)<0等价于log2x分别作出y＝log2x的图象与y＝x－1的图象，
如图可得不等式f (x)<0的解集是(0，1)∪(2，＋∞)．故选D．
]
考向3　典例5　(1)　(2)(24，25)
[(1)先作出函数f (x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线y＝kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线y＝kx过A点时，斜率为，故方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为．
(2)作出函数f (x)的大致图象如图所示．
因为a，b，c，d互不相同，不妨设a则有－log4a＝log4b，即log4a＋log4b＝0，可得ab＝1，则abcd＝cd．
由c＋d＝10，且c当c＝4时，d＝6，此时cd＝24，但c取不到4，
故abcd的取值范围是(24，25)．]
巩固迁移
4．C　[根据奇函数的图象特征，作出f (x)在(－∞，0)上的图象如图所示，
由x2f (x)>2f (x)，得(x2－2)f (x)>0，
等价于
解得x<－2或故不等式解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)．故选C．]
5．C　[f (x)＝
作出函数f (x)的图象，如图．
观察图象可知，函数f (x)的图象关于原点对称，故函数f (x)为奇函数，且在(－1，1)内单调递减．]
7/7(共76张PPT)
第15课时　函数的图象
第二章 函数的概念与性质
[考试要求]
1．掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题．
2．掌握图象的作法：描点法和图象变换法．
3．会运用函数的图象理解和研究函数性质．
B　[将函数y＝－的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得到y＝1－的图象．故选B．]
A　　　　　　B　　　 　　 C　　　　 　　D
1．(人教A版必修第一册P72习题3.1T3(2)改编)函数y＝1－的图象是(　　)
以题引理·激活思维
√
2．(人教A版必修第一册P72练习T1改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后来为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
A　　　　 　　B　　　 　　 C　　　 　　D
√
C　[法一：出发时距学校最远，先排除A；中途堵塞停留，距离不变，再排除D；堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B，故选C．
法二：由小明的运动规律知，小明与学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故图象前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加快速度行驶，图象比前段下降得快，故选C．]
3．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)已知图甲为函数y＝f (x)的图象，则图乙中的图象对应的函数可能为(　　)
A．y＝|f (x)|　　
B．y＝f (|x|)
C．y＝f (－|x|)
D．y＝－f (|x|)
√
B　[比较图甲与图乙中两个函数的图象，当x>0时，函数图象与原函数图象相同，只有B符合，
观察图乙中函数的图象，图象关于y轴对称，故图乙中的图象对应的函数为偶函数，选项B仍符合．
故选B．]
4．(人教A版必修第一册P140习题4.4T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)
√
A　　　 　　B　　　 　　 C　　　 　　D
B　[选项A中，注射时间是1小时，不符合题意；选项D中，有小于0的部分，不符合题意；选项C中，图象下降速度先慢后快，不符合指数衰减特点．故选B．]
5．(人教A版必修第一册P161复习参考题4T7)已知
指数函数y＝的图象如图所示，则二次函数y
＝ax2＋bx图象顶点的横坐标的取值范围是
____________．
　[由指数函数y＝的图象可知，0<<1，所以－
<0，所以二次函数y＝ax2＋bx图象顶点的横坐标的取值范围是．]
1．利用描点法作函数图象的步骤：____、____、____．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
列表
描点
连线
f (x+h)
f (x-h)
(2)对称变换
①y＝f (x)的图象 y＝____________的图象；
②y＝f (x)的图象 y＝____________的图象；
③y＝f (x)的图象 y＝______________的图象；
④y＝ax(a>0且a≠1)的图象 y＝________________的图象．
－f (x)
f (－x)
－f (－x)
logax(a>0且a≠1)
(3)伸缩变换
①y＝f (x)的图象 y＝___________的图象；
②y＝f (x)的图象 y＝___________的图象．
f (ax)
af (x)
(4)翻折变换
①y＝f (x)的图象 y＝____________的图象；
②y＝f (x)的图象 y＝__________的图象．
|f (x)|
f (|x|)
1．作图时要抓住图象的关键信息，如：奇偶性、单调性、极值、最值、零点、定点、渐近线等．
2．“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减．
考点一　作函数的图象
[典例1]　作出下列函数的图象．
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1．
精研考点·提升素养
[解]　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即可得到函数y＝的图象，如图1实线部分所示．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图2．
(3)因为y＝，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图3．

(4)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图4．
名师点评：(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，即利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
[巩固迁移]
1．作出函数f (x)＝[x]＋2([x]表示不大于x的最大整数)的图象．
[解]　f (x)＝[x]＋2＝
函数部分图象如图所示．
考点二　函数图象的辨识
[典例2]　(1)(2024·全国甲卷)函数f (x)＝－x2＋(ex－e-x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
√
(2) (2025·天津卷)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能为(　　)
A．f (x)＝
C．f (x)＝
√
(1)B　(2)D　[(1)f (－x)＝－x2＋(e-x－ex)·sin(－x)
＝－x2＋(ex－e-x)sin x＝f (x)，
又x∈[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，图象关于y轴对称，可排除A，C，
又f (1)＝－1＋sin 1>－1＋sin
>0，
故可排除D．
故选B．
(2)由题图可知函数f (x)的定义域为{x|x≠±1}，且f (x)为偶函数，易得f (x)＝与f (x)＝均为奇函数，排除选项A，B．由题图可知当x>1时，f (x)>0，易得当x>1时，f (x)＝<0，f (x)＝>0，排除C，故选D．]
名师点评：辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性判断图象的对称性．
(3)从函数的特殊点排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性判断图象的循环往复．
[巩固迁移]
2．(2026·山西忻州模拟)函数f (x)＝(2x＋2-x)的大致图象是(　　)
√
B　[函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，排除选项D；
f (－x)＝(2-x＋2x)＝－(2-x＋2x)·＝－f (x)，
故函数f (x)为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A；
当x>0时，f (x)＝(2x＋2-x)＝2；
当x<0时，f (x)＝－(2x＋2-x)<－2＝－2，排除选项C；
综上可得，选项B符合题意．
故选B．]
3．已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为(　　)
A．f (x)＝ex－e-x
B．f (x)＝1－
C．f (x)＝x
√
D　[根据函数f (x)的图象，知f (1)≈1，而对A选项，f (1)＝e－e-1>2，排除A；
对B选项，f (x)＝1－，因为ex＋1>1，则∈(0，2)，则f (x)＝1－∈(－1，1)，但图象中函数值可以大于1，排除B；
根据C选项的解析式，f (2)＝2≈2.8，而根据函数f (x)的图象，
知f (2)≈1，排除C．
故选D．]
【教用·备选题】
下列可以作为方程x3＋y3＝3xy的图象的是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
√
B　[当x<0时，x3＝3xy－y3＝y(3x－y2)<0，若y<0，则3x－y2>0，即y2<3x<0，不成立，故x<0，y<0不可能同时成立，则A，C，D错误．故选B．]
考点三　函数图象的应用
考向1　研究函数的性质
[典例3]　(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若
f (x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的说法正确的是(　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有3个根
C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增
D．函数F(x)有4个单调区间
√
√
√
ABD　[根据函数f (x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的图象关于y轴对称，所以A正确；函数F(x)的图象与x轴有3个交点，所以方程F(x)＝0有3个根，所以B正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C错误，D正确．]
考向2　解不等式
[典例4]　已知函数f (x)＝log2x－x＋1，则不等式f (x)<0的解集是
(　　)
A．(1，2)　 B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(0，2) D．(0，1)∪(2，＋∞)
√
D　[依题意，f (x)<0等价于log2x分别作出y＝log2x的图象与y＝x－1的图象，
如图可得不等式f (x)<0的解集是(0，1)∪(2，＋∞)．故选D．]
考向3　　求参变量的取值范围
[典例5]　(1)已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
(2)已知函数f (x)＝a，b，c，d是互不相同的正数，且f (a)＝f (b)＝f (c)＝f (d)，则abcd的取值范围是________．
(24，25)
(1)　(2)(24，25)　[(1)先作出函数f (x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线y＝kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线y＝kx过A点时，斜率为，故方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为．
(2)作出函数f (x)的大致图象如图所示．
因为a，b，c，d互不相同，不妨设a则有－log4a＝log4b，即log4a＋log4b＝0，可得ab＝1，则abcd＝cd．
由c＋d＝10，且c当c＝4时，d＝6，此时cd＝24，
但c取不到4，
故abcd的取值范围是(24，25)．]
名师点评：(1)注意函数性质与图象特征的对应关系．
(2)某些方程和不等式的求解问题，可转化为图象的交点问题，体现了数形结合的思想．
[巩固迁移]
4．已知定义在R上的奇函数f (x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f (x)>2f (x)的解集为(　　)
A．(－，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－，2)
D．(－2，－)∪(2，＋∞)
√
C　[根据奇函数的图象特征，作出f (x)在(－∞，0)上的图象如图所示，
由x2f (x)>2f (x)，得(x2－2)f (x)>0，
等价于
解得x<－2或故不等式解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)．故选C．]
5．已知函数f (x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f (x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B．f (x)是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减
C．f (x)是奇函数，在区间(－1，1)内单调递减
D．f (x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增
√
C　[f (x)＝
作出函数f (x)的图象，如图．
观察图象可知，函数f (x)的图象关于原点对称，
故函数f (x)为奇函数，且在(－1，1)内单调递减．]
一、单项选择题
1．(2025·北京卷)为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点(　　)
A．横坐标变成原来的，纵坐标不变
B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C．纵坐标变成原来的，横坐标不变
D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课后作业(十五)　函数的图象
√
16
A　[根据题意，y＝9x＝32x，为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．(2026·安徽亳州模拟)函数f (x)＝的图象的交点个数为(　　)
A．6 B．4
C．2 D．1
√
16
C　[依题意，f (x)＝
g(x)＝y＝log3x与y＝log3(－x)的图象关于y轴对称，
在同一直角坐标系中，作出两个函数f (x)＝
与g(x)＝log3的图象，
由图可知，两函数的图象的交点个数为2．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
3．已知函数f (x)的部分图象如图所示，则函数f (x)的解析式可能为
(　　)
A．f (x)＝－
C．f (x)＝－
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
A　[由题图可知，函数f (x)为偶函数，排除C选项；函数f (x)的定义域不是实数集，故排除B选项；
由题图可知，当x→＋∞时，y→－∞，而对于D选项，当x→＋∞时，y→0，故排除D．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
4．已知函数f (x)＝则f (2－x)的大致图象是(　　)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
C　[法一：画出f (x)的大致图象如图所示．
要得到y＝f (2－x)的图象，只需将y＝f (x)
的图象沿y轴对称，再向右平移2个单位长
度即可．
法二：设g(x)＝f (2－x)，则g(1)＝f (1)＝2，从而排除A，B，D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
5．函数y＝f (x)的图象如图1所示，则如图2所示的图象对应的函数可能为(　　)
A．y＝f (－x)＋1
B．y＝f (－x＋1)
C．y＝－f (x＋1)
D．y＝－f (－x－1)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
D　[先将函数y＝f (x)的图象关于原点对称，可得出函数y＝－f (－x)的图象，如图所示，
再把所得函数图象向左平移1个单位长度，即可得出题图2所示图象，
故题图2所示图象对应的函数可能为y＝－f (－(x＋1))＝－f (－x－1)．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
6．已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿A→B→C→E运动，设点P经过的路程为x，△APE的面积为y，则y关于x的函数的图象大致为(　　)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
A　[当动点P在正方形ABCD边上沿A→B运动时，则△APE的面积为y＝x，0当动点P在正方形ABCD边上沿B→C运动时，则△APE的面积为y＝×(x－1)×1－×(2－x)＝(3－x)，1当动点P在正方形ABCD边上沿C→E运动时，
则△APE的面积为y＝(5－2x)，2≤x<2.5，
所以y＝所以A正确，BCD错误．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
7．如图，函数f (x)的图象为折线ACB，则不等式f (x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1D．{x|－1题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
C　[令y＝g(x)＝log2(x＋1)，x>－1，作出函数g(x)的图象，如图所示．
由得
所以结合图象知不等式f (x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
8．已知函数f (x)＝ 则f (x)图象上关于原点对称的点有(　　)
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
C　[作出f (x)的图象，再作出函数y＝(x≥0)的图象关于原点对称的图象如图所示．因为函数y＝(x≥0)的图象关于原点对称的图象与y＝－|x2＋2x|(x<0)的图象有三个交点，故f (x)图象上关于原点对称的点有3对．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
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11
12
13
14
15
16
二、多项选择题
9．设函数f (x)＝ln x，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f (x)的图象与函数y＝ln(－x)的图象关于x轴对称
B．函数f (|x|)的图象关于y轴对称
C．函数|f (x＋1)|在(0，＋∞)上单调递增
D．<|f (4)|
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
√
BCD　[函数f (x)＝ln x的图象如图1所示，
对于A，由函数图象变换可知，y＝ln(－x)的图象如图2所示，函数图象与原函数图象关于y轴对称，故A错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
对于B，由函数图象变换可知，f (|x|)的图象如图3所示，函数图象关于y轴对称，故B正确；
对于C，由函数图象变换可知，|f (x＋1)|的图象如图4所示，此函数在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
对于D，即＝ln 3，|f (4)|＝|ln 4|＝ln 4，
∵y＝ln x在定义域上单调递增，
∴ln 3故D正确．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
10．函数f (x)＝的图象如图所示，则下列结论一定成立的是
(　　)
A．a<0
B．b<0
C．c>0
D．abc<0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
√
BCD　[由题图知f (0)＝>0，所以b<0，B正确；
当x＝－c时，函数f (x)无意义，
由题图知－c<0，所以c>0，C正确；
令f (x)＝0，解得x＝<0，
又因为b<0，所以a>0，A错误；
综上，a>0，b<0，c>0，所以abc<0，D正确．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
11．(2026·黑龙江哈尔滨期中)定义min设f (x)＝min{|x|，x＋1}，则(　　)
A．f (x)有最大值，无最小值
B．当x≤0，f (x)的最大值为
C．不等式f (x)≤
D．f (x)的单调递增区间为[0，1]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
BC　[作出函数f (x)＝min{|x|，x＋1}的图象，如图所示，
对于A，根据图象，可得f (x)无最大值，也无最小值，故A错误；
对于B，由图可知当x≤0时，f (x)的最大值为，可得B正确；
对于C，由，解得－，并结合图象可得不等式f (x)≤，可得C正确；
对于D，由图可得f (x)的单调递增区间为
，[0，＋∞)，故D错误．
故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
其图象关于直线x＝1对称(答案不唯一)　[利用翻折变换，可得函数y＝＝|x2－2x|的图象如图所示，
显然其图象关于直线x＝1对称．(答案不唯一)]
三、填空题
12．结合函数y＝的图象，写出该函数的一条性质：______________________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14
15
16
其图象关于直线x＝1对称(答案不唯一)
13．已知函数y＝ex和y＝ln x的图象与直线y＝－x＋2交点的横坐标分别为a，b，则a＋b＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
2　[作出函数y＝ex和y＝ln x以及直线y＝－x＋2的图象，如图所示，
由函数y＝ex和y＝ln x的图象与直线y＝－x＋2的交点A，B的横坐标分别为a，b，知A(a，ea)，B(b，ln b)，即A(a，2－a)，B(b，2－b)，
2
由于函数y＝ex和y＝ln x互为反函数，
二者图象关于直线y＝x对称，
而A，B分别为y＝ex和y＝ln x的图象与直线y＝－x＋2的交点，故A，B关于直线y＝x对称，故a＝2－b，
∴a＋b＝2．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
14．(2026·河南豫湘名校联考)已知函数f (x)＝存在0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
(16，36)
(16，36)　[作出函数的图象，设f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝k，依题意，0且1－log2x1＝log2x2－1＝k，3－＝k，解得x1x2＝4，x3＝(3－k)2，
故x1x2x3＝4(k－3)2，因为函数y＝4(k－3)2在(0，1)内单调递减，故16即x1x2x3的取值范围是(16，36)．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
15．已知函数f (x)的定义域为R，且f (x)＋x2是奇函数，f (x)－x是偶函数，设函数g(x)＝若对任意的x∈[0，m]，g(x)≤3恒成立，则实数m的最大值为(　　)
A．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
√
B　[因为f (x)＋x2是奇函数，f (x)－x是偶函数，
所以
解得f (x)＝x－x2，
由g(x)＝
当x∈(1，2)时，x－1∈(0，1)，
所以g(x)＝2g(x－1)＝2f (x－1)，
当x∈(2，3)时，g(x)＝2g(x－1)＝4g(x－2)＝4f (x－2)，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
以此类推，可以得到g(x)的图象如图所示，
由此可得，当x∈(4，5)时，g(x)＝16f (x－4)，
由g(x)≤3，得16(x－4)(5－x)≤3，解得x≤或x≥，
又因为对任意的x∈，g(x)≤3恒成立，
所以0所以实数m的最大值为．
故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
(－∞，1)　[由题意可知f (x)＝g(－x)在(0，＋∞)上有解，即ln(x＋1)＝－a在(0，＋∞)上有解，作出函数y＝ln(x＋1)与y＝－a的图象，则两图象在(0，＋∞)上有交点，
显然，当－a>－1，即a<1时，两图象在
(0，＋∞)上一定有交点．]
16．已知函数f (x)＝ln(x＋1)(x>0)与g(x)＝2x－a的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
(－∞，1)
谢 谢 ！课后作业(十五)　函数的图象
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共83分
一、单项选择题
1．(2025·北京卷)为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点 (　　)
A．横坐标变成原来的，纵坐标不变
B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C．纵坐标变成原来的，横坐标不变
D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
2．(2026·安徽亳州模拟)函数f (x)＝的图象的交点个数为 (　　)
A．6 B．4
C．2 D．1
3．已知函数f (x)的部分图象如图所示，则函数f (x)的解析式可能为 (　　)
A．f (x)＝－
B．f (x)＝－
C．f (x)＝－
D．f (x)＝－
4．已知函数f (x)＝则f (2－x)的大致图象是 (　　)
A　　　　　B
C　　　　　　D
5．函数y＝f (x)的图象如图1所示，则如图2所示的图象对应的函数可能为 (　　)
A．y＝f (－x)＋1　　 B．y＝f (－x＋1)
C．y＝－f (x＋1) D．y＝－f (－x－1)
6．已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿A→B→C→E运动，设点P经过的路程为x，△APE的面积为y，则y关于x的函数的图象大致为 (　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
7．如图，函数f (x)的图象为折线ACB，则不等式f (x)≥log2(x＋1)的解集是 (　　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1D．{x|－18．已知函数f (x)＝ 则f (x)图象上关于原点对称的点有 (　　)
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
二、多项选择题
9．设函数f (x)＝ln x，则下列说法正确的是 (　　)
A．函数f (x)的图象与函数y＝ln(－x)的图象关于x轴对称
B．函数f (|x|)的图象关于y轴对称
C．函数|f (x＋1)|在(0，＋∞)上单调递增
D．<|f (4)|
10．函数f (x)＝的图象如图所示，则下列结论一定成立的是 (　　)
A．a<0 B．b<0
C．c>0 D．abc<0
11．(2026·黑龙江哈尔滨期中)定义min{a，b}＝设f (x)＝min{|x|，x＋1}，则 (　　)
A．f (x)有最大值，无最小值
B．当x≤0，f (x)的最大值为
C．不等式f (x)≤
D．f (x)的单调递增区间为[0，1]
三、填空题
12．结合函数y＝的图象，写出该函数的一条性质： 　．
13．已知函数y＝ex和y＝ln x的图象与直线y＝－x＋2交点的横坐标分别为a，b，则a＋b＝___________．
14．(2026·河南豫湘名校联考)已知函数f (x)＝存在015．已知函数f (x)的定义域为R，且f (x)＋x2是奇函数，f (x)－x是偶函数，设函数g(x)＝若对任意的x∈[0，m]，g(x)≤3恒成立，则实数m的最大值为 (　　)
A．
16．已知函数f (x)＝ln(x＋1)(x>0)与g(x)＝2x－a的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是___________．
课后作业(十五)
1．A　2．C
3．A　[由题图可知，函数f (x)为偶函数，排除C选项；函数f (x)的定义域不是实数集，故排除B选项；
由题图可知，当x→＋∞时，y→－∞，而对于D选项，当x→＋∞时，y→0，故排除D．故选A．]
4．C　[法一：画出f (x)的大致图象如图所示．
要得到y＝f (2－x)的图象，只需将y＝f (x)的图象沿y轴对称，再向右平移2个单位长度即可．
法二：设g(x)＝f (2－x)，则g(1)＝f (1)＝2，从而排除A，B，D．]
5．D　[
先将函数y＝f (x)的图象关于原点对称，可得出函数y＝－f (－x)的图象，如图所示，
再把所得函数图象向左平移1个单位长度，即可得出题图2所示图象，
故题图2所示图象对应的函数可能为y＝－f (－(x＋1))＝－f (－x－1)．故选D．]
6．A　[当动点P在正方形ABCD边上沿A→B运动时，则△APE的面积为y＝x×1＝x，0当动点P在正方形ABCD边上沿B→C运动时，
则△APE的面积为y＝×1－×(x－1)×1－×(2－x)＝(3－x)，1当动点P在正方形ABCD边上沿C→E运动时，
则△APE的面积为y＝×1＝(5－2x)，2≤x<2.5，
所以y＝
所以A正确，BCD错误．故选A．]
7．C　[令y＝g(x)＝log2(x＋1)，x>－1，作出函数g(x)的图象，如图所示．
由得
所以结合图象知不等式f (x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－18．C　[作出f (x)的图象，再作出函数y＝(x≥0)的图象关于原点对称的图象如图所示．因为函数y＝(x≥0)的图象关于原点对称的图象与y＝－|x2＋2x|(x<0)的图象有三个交点，故f (x)图象上关于原点对称的点有3对．故选C．]
9．BCD　[函数f (x)＝ln x的图象如图1所示，
对于A，由函数图象变换可知，y＝ln(－x)的图象如图2所示，函数图象与原函数图象关于y轴对称，故A错误；
对于B，由函数图象变换可知，f (|x|)的图象如图3所示，函数图象关于y轴对称，故B正确；
对于C，由函数图象变换可知，|f (x＋1)|的图象如图4所示，此函数在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
对于D，即＝ln 3，
|f (4)|＝|ln 4|＝ln 4，
∵y＝ln x在定义域上单调递增，
∴ln 310．BCD　[由题图知f (0)＝>0，所以b<0，B正确；
当x＝－c时，函数f (x)无意义，
由题图知－c<0，所以c>0，C正确；
令f (x)＝0，解得x＝<0，
又因为b<0，所以a>0，A错误；
综上，a>0，b<0，c>0，所以abc<0，D正确．]
11．BC　[作出函数f (x)＝min{|x|，x＋1}的图象，如图所示，
对于A，根据图象，可得f (x)无最大值，也无最小值，故A错误；
对于B，由图可知当x≤0时，f (x)的最大值为，可得B正确；
对于C，由，解得－≤x≤，并结合图象可得不等式f (x)≤，可得C正确；
对于D，由图可得f (x)的单调递增区间为，[0，＋∞)，故D错误．
故选BC．]
12．其图象关于直线x＝1对称(答案不唯一)
13．2
14．(16，36)　[作出函数的图象，设f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝k，依题意，0且1－log2x1＝log2x2－1＝k，3－＝k，解得x1x2＝4，x3＝(3－k)2，
故x1x2x3＝4(k－3)2，因为函数y＝4(k－3)2在(0，1)内单调递减，故16即x1x2x3的取值范围是(16，36)．
]
15．B　[因为f (x)＋x2是奇函数，f (x)－x是偶函数，
所以
解得f (x)＝x－x2，
由g(x)＝
当x∈(1，2)时，x－1∈(0，1)，
所以g(x)＝2g(x－1)＝2f (x－1)，
当x∈(2，3)时，g(x)＝2g(x－1)＝4g(x－2)＝4f (x－2)，
以此类推，可以得到g(x)的图象如图所示，
由此可得，当x∈(4，5)时，g(x)＝16f (x－4)，
由g(x)≤3，得16(x－4)(5－x)≤3，解得x≤或x≥，
又因为对任意的x∈，g(x)≤3恒成立，
所以016．(－∞，1)　[由题意可知f (x)＝g(－x)在(0，＋∞)上有解，即ln(x＋1)＝－a在(0，＋∞)上有解，
作出函数y＝ln(x＋1)与y＝－a的图象，则两图象在(0，＋∞)上有交点，
显然，当－a>－1，即a<1时，两图象在(0，＋∞)上一定有交点．]
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