资源简介

第16课时　函数的零点与方程的解
[考试要求]　1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．
1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 (　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
2．(苏教版必修第一册P253本章测试T8改编)函数f (x)＝的零点个数为 (　　)
A．3 B．2
C．7 D．0
3．(北师大版必修第一册P132练习T3(2)改编)函数f (x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为 (　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
4．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
f (x) －4 －2 1 4 2 －1 －3
在下列区间中，函数f (x)必有零点的区间为 (　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．(5，6) D．(6，7)
5． (人教A版必修第一册P156习题4.5T13改编)函数f (x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为___________．
1．函数零点的概念
对于一般函数y＝f (x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
2．函数零点与方程实数解的关系
方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)有___________ 函数y＝f (x)的图象与___________有公共点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条___________的曲线，且有___________，那么，函数y＝f (x)在区间___________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
提醒：函数f (x)的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的解．
4．二分法
对于在区间[a，b]上图象___________且___________的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近___________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点．
1．确定零点所在区间的方法：定理法、数形结合法．
2．若连续不断的函数f (x)在[a，b]上是单调函数，而且f (a)f (b)<0，则f (x)在(a，b)内有且仅有一个零点．
3．由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
考点一　判定函数零点所在的区间
[典例1]　(1)(2025·天津卷)函数f (x)＝0.3x－的零点所在区间是 (　　)
A．(0，0.3) B．(0.3，0.5)
C．(0.5，1) D．(1，2)
(2)(2025·浙江杭州一模)设f (x)＝ex＋ln x，满足f (a)f (b)f (c)<0(0A．x0a
C．x0c
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f (a)·f (b)<0，若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点．
[巩固迁移]
1．若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
2．已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2考点二　确定函数零点的个数
[典例2]　(1)设函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝ex＋x－3，则f (x)的零点个数为 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2021·北京卷)已知f (x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
①若k＝0，则f (x)有两个零点；
② k<0，使得f (x)有一个零点；
③ k<0，使得f (x)有三个零点；
④ k>0，使得f (x)有三个零点．
以上正确结论的序号是___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：求解函数零点个数问题的基本方法有直接法、定理法、图象法．其中，图象法一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
[巩固迁移]
3．(2026·湖南长沙模拟)已知函数 f (x)＝的根的个数为 (　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
考点三　函数零点的应用
　根据函数零点个数求参数
[典例3]　(2026·广东深圳模拟)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－a恰有3个零点，则a的取值范围为 (　　)
A．(－1，3] B．[0，3]
C．(－1，0] D．(3，＋∞)∪
　根据函数零点范围求参数
[典例4]　(1)(2026·辽宁抚顺模拟)函数f (x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为 (　　)
A．[－4，1) B．(－4，1]
C．[－1，4) D．(－1，4]
(2)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2，函数g(x)＝若函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，则a的取值范围为 (　　)
A．(2，4) B．(2，5)
C．(1，5) D．(1，4)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：已知函数零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．
[巩固迁移]
4．(2025·北京昌平区二模)若函数f (x)＝x|x－2a|－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(0，1)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
5．若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是___________．
第16课时　函数的零点与方程的解
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．A　2．B　3．B　4．BC　5．0或－
No2．储备知识要点
1．f (x)＝0
2．零点　x轴
3．连续不断　f (a)f (b)<0　(a，b)　f (c)＝0
4．连续不断　f (a)f (b)<0　零点
精研考点·提升素养
考点一
典例1　(1)B　(2)B　[(1)易知f (x)单调递减，又f (0)＝1>0，f (0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5>0，f (0.5)＝0.30.5－<0，所以f (x)的零点所在区间是(0.3，0.5)．故选B．
(2)函数f (x)＝ex＋ln x的定义域为{x|x>0}，且y＝ex，y＝ln x均为增函数，故函数f (x)＝ex＋ln x是增函数，由于0满足f (a)f (b)f (c)<0(0a．故选B．]
巩固迁移
1．A　2.2
考点二
典例2　(1)C　(2)①②④[(1)因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，所以f (0)＝0，即x＝0是函数f (x)的1个零点．当x>0时，令f (x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x) 在(0，＋∞)上有1个零点．根据对称性知，当x<0时，函数f (x)也有1个零点．综上所述，f (x)的零点个数为3．
(2)将问题转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2图象的交点问题．
对于①，当k＝0时，|lg x|＝2，两函数图象有两个交点，①正确；
对于②，存在k<0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，②正确；
对于③，若k<0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2的图象最多有2个交点，③错误；
对于④，当k>0时，过点(0，2)可作曲线y＝g(x)＝lg x(x>1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于切线的斜率时，就会有3个交点，故④正确．]
巩固迁移
3．B　[当x≥0时，f (x)＝f (x－2)，故2是f (x)的一个周期，又当0≤x<2时，－2≤x－2<0，则f (x)＝f (x－2)＝ex-2，作出函数y＝f (x)和y＝g(x)＝－x＋的函数图象，
f (2)＝f (0)＝f (－2)＝e-2f (4)＝f (2)＝e-2>g(4)＝0，
结合图象可知，f (x)和g(x)的函数图象交点个数为3．
故选B．]
考点三
考向1　典例3　A　[若函数g(x)＝f (x)－a恰有3个零点，
即函数y＝f (x)与y＝a的图象有3个交点，
f (x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1(x≤0)，
当x＝0时，f (x)＝3，当x＝－2时，f (x)＝－1，
作出函数y＝f (x)的图象如图所示，
结合图象可得－1故选A．]
考向2　典例4　(1)D　(2)A　[(1)当x∈[1，4)时，由f (x)＝kx－4＋xlog2x＝0，可得k＋log2x－＝0，
令g(x)＝k＋log2x－，
因为函数y＝log2x，y＝k－在[1，4)内均单调递增，
故函数g(x)＝k＋log2x－在[1，4)内单调递增，
因为函数f (x)在区间[1，4)内有零点，则函数g(x)在区间[1，4)内有零点，
所以解得－1因此，实数k的取值范围是(－1，4]．故选D．
(2)函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，即函数f (x)与函数g(x)的图象在区间[－5，5]上有8个交点，由f (x＋2)＝f (x)知，f (x)是R上周期为2的函数，作函数f (x)与函数g(x)在区间[－5，5]上的图象，如图所示，
由图象知，当x∈[－5，1]时，图象有5个交点，故在(1，5]上有3个交点即可，则a>1．
故解得2巩固迁移
4．A　[由f (x)＝x|x－2a|－a＝0，得x|x－2a|＝a，当x＝0时，a＝0，此时f (x)＝x|x|只有一个零点，不满足条件．故x＝0不是函数的零点，则由x|x－2a|＝a，得|x－2a|＝，
当a<0时，作出函数g(x)＝|x－2a|和h(x)＝的图象，如图1，
若a<0，要使g(x)与h(x)的图象有三个交点，
则只需要当2a即方程x－2a＝有两个根，
则x2－2ax－a＝0有两个根即可，则判别式Δ＝4a2＋4a>0，得a2＋a>0，得a>0(舍)或a<－1；
当a>0时，作出函数g(x)＝|x－2a|和h(x)＝的图象，如图2．
若a>0，要使g(x)与h(x)的图象有三个交点，
则只需要当0即方程－(x－2a)＝有两个根，
则x2－2ax＋a＝0有两个根即可，则判别式Δ＝4a2－4a>0，得a2－a>0，得a>1或a<0(舍)，
综上得，a>1或a<－1．故选A．]
5．　[依题意，结合函数f (x)的图象(图略)分析可知，m需满足即
解得5/5(共87张PPT)
第16课时　函数的零点与方程的解
第二章 函数的概念与性质
[考试要求]
1．理解函数的零点与方程的解的联系．
2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．
3．了解用二分法求方程的近似解．
1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
以题引理·激活思维
√
A　[根据二分法的概念可知选项A中的函数不能用二分法求零点．]
2．(苏教版必修第一册P253本章测试T8改编)函数f (x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2
C．7 D．0
√
B　[由
解得x＝－2或x＝e，故f (x)有2个零点．]
3．(北师大版必修第一册P132练习T3(2)改编)函数f (x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
B　[函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝－1，f (2)＝1，
则f (1)f (2)<0，故f (x)的零点所在的区间为(1，2)．]
√
x 1 2 3 4 5 6 7
f (x) －4 －2 1 4 2 －1 －3
4．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：


在下列区间中，函数f (x)必有零点的区间为(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．(5，6) D．(6，7)
√
√
BC　[由所给的函数值表知，
f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0，f (6)f (7)>0，∴函数f (x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)．故选BC．]
5．(人教A版必修第一册P156习题4.5T13改编)函数f (x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为_____________．
0或－　[当a＝0时，f (x)＝－x－1，
令f (x)＝0，得x＝－1，
此时，f (x)只有一个零点为－1；
当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－．
综上，实数a的值为0或－．]
0或－
1．函数零点的概念
对于一般函数y＝f (x)，我们把使______________的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
2．函数零点与方程实数解的关系
方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)有____ 函数y＝f (x)的图象与____有公共点．
f (x)＝0
零点
x轴
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有_______________，那么，函数y＝f (x)在区间__________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
提醒：函数f (x)的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的解．
连续不断
f (a)f (b)<0
(a，b)
f (c)＝0
4．二分法
对于在区间[a，b]上图象________且____________的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点．
连续不断
f (a)f (b)<0
零点
1．确定零点所在区间的方法：定理法、数形结合法．
2．若连续不断的函数f (x)在[a，b]上是单调函数，而且f (a)f (b)<0，
则f (x)在(a，b)内有且仅有一个零点．
3．由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
考点一　判定函数零点所在的区间
[典例1]　(1)(2025·天津卷)函数f (x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　)
A．(0，0.3) B．(0.3，0.5)
C．(0.5，1) D．(1，2)
(2)(2025·浙江杭州一模)设f (x)＝ex＋ln x，满足f (a)f (b)f (c)<0
(0A．x0a
C．x0c
精研考点·提升素养
√
√
(1)B　(2)B　[(1)易知f (x)单调递减，又f (0)＝1>0，f (0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5>0，f (0.5)＝0.30.5－<0，
所以f (x)的零点所在区间是(0.3，0.5)．故选B．
(2)函数f (x)＝ex＋ln x的定义域为{x|x>0}，且y＝ex，y＝ln x均为增函数，故函数f (x)＝ex＋ln x是增函数，由于0满足f (a)f (b)f (c)<0(0a．故选B．]
名师点评：确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f (a)·f (b)<0，若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点．
[巩固迁移]
1．若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
√
A　[函数y＝f (x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f (b)＝(b－c)(b－a)<0，f (c)＝(c－a)(c－b)>0．
所以f (a)f (b)<0，f (b)f (c)<0，即f (x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．]
2　[法一：∵2∵2∴f (2)＝loga2＋2－b<0，f (3)＝loga3＋3－b>0，
∴f (2)·f (3)<0．
由x0∈(n，n＋1)，n∈N*，得n＝2．
2．已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2f (x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．
2
法二：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一直角坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断出两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以当函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2．]
考点二　确定函数零点的个数
[典例2]　(1)设函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝ex＋x－3，则f (x)的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2021·北京卷)已知f (x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
①若k＝0，则f (x)有两个零点；
② k<0，使得f (x)有一个零点；
③ k<0，使得f (x)有三个零点；
④ k>0，使得f (x)有三个零点．
以上正确结论的序号是____________．
√
①②④
(1)C　(2)①②④　[(1)因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，所以
f (0)＝0，即x＝0是函数f (x)的1个零点．当x>0时，令f (x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x) 在(0，＋∞)上有1个零点．根据对称性知，当x<0时，函数f (x)也有1个零点．综上所述，
f (x)的零点个数为3．
(2)将问题转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2图象的交点问题．
对于①，当k＝0时，|lg x|＝2，两函数图象有两个交点，①正确；
对于②，存在k<0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，②正确；
对于③，若k<0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2的图象最多有2个交点，③错误；
对于④，当k>0时，过点(0，2)可作曲线y＝g(x)＝lg x(x>1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于切线的斜率时，就会有3个交点，故④正确．]
名师点评：求解函数零点个数问题的基本方法有直接法、定理法、图象法．其中，图象法一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
[巩固迁移]
3．(2026·湖南长沙模拟)已知函数 f (x)＝的根的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
√
B　[当x≥0时，f (x)＝f (x－2)，故2是f (x)的一个周期，又当0≤x<2时，－2≤x－2<0，则f (x)＝f (x－2)＝ex-2，作出函数y＝f (x)和y＝g(x)＝－的函数图象，

f (2)＝f (0)＝f (－2)＝e-2g(4)＝0，
结合图象可知，f (x)和g(x)的函数图象交点个数为3．故选B．]
【教用·备选题】
1．已知函数f (x)＝则关于x的方程f (x)＝ax＋2的根的个数不可能是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
√
C　[画出函数y＝f (x)的图象，如图所示，
将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f (x)的图象交点的个数，
由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f (x)的图象只有一个交点；
当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象没有交点；当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象有三个交点；
所以直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象不可能
有两个交点．
故选C．]
2．已知函数f
＋9的零点的个数为(　　)
A．8 B．7
C．5 D．2
√
B　[根据题意，令4f 2(x)－13f (x)＋9＝0，
得f (x)＝1或f (x)＝．作出f (x)的简图，
如图，

由图象可得直线y＝1、y＝与f (x)的图象，分别有4个和3个交点，故关于x的函数y＝4f 2＋9的零点的个数为7．故选B．]
考点三　函数零点的应用
考向1　根据函数零点个数求参数
[典例3]　(2026·广东深圳模拟)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－a恰有3个零点，则a的取值范围为(　　)
A．(－1，3] B．[0，3]
C．(－1，0] D．(3，＋∞)∪
√
A　[若函数g(x)＝f (x)－a恰有3个零点，
即函数y＝f (x)与y＝a的图象有3个交点，
f (x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1(x≤0)，
当x＝0时，f (x)＝3，当x＝－2时，f (x)＝－1，
作出函数y＝f (x)的图象如图所示，
结合图象可得－1故选A．]
【教用·备选题】
1．已知函数f (x)＝若函数f (x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是____________________________；若函数f (x)存在三个零点，则实数a的取值范围是______________．
(－∞，－
，＋∞)
(－∞，－，＋∞)　[y＝ 当x≤a时，y'＝3－3x2≥0 x∈[－1，1]，可得y＝3x－x3在[－1，1]上单调递增，在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，
解方程3x－x3＝0，其根依次记为x1＝－，x3＝0，x4＝，而2x＋1＝0的根记为x2＝－，可得其草图如图所示．
若函数f (x)有且只有一个零点，由函数解析式
可知该零点只能为x1＝－，或x2＝－．
(i)若零点为x2＝－，只需a<－，即函数左半段无零点，零点在右半段，即直线段部分上；
(ii)若零点为x1＝－，由函数解析式及图象可知，只需a∈，
所以若f (x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围为(－∞，－)
∪．
若函数f (x)存在三个零点，则零点为x1＝－，x3＝0，x4＝，只需a≥．]
2．已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a．若函数g(x)存在2个零点，则a的取值范围是____________________．
[－1，＋∞)
[－1，＋∞)　[函数g(x)＝f (x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程
f (x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f (x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f (x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1．]
考向2　根据函数零点范围求参数
[典例4]　(1)(2026·辽宁抚顺模拟)函数f (x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(　　)
A．[－4，1) B．(－4，1]
C．[－1，4) D．(－1，4]
√
(2)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2，函数g(x)＝若函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，则a的取值范围为(　　)
A．(2，4) B．(2，5)
C．(1，5) D．(1，4)
√
(1)D　(2)A　[(1)当x∈[1，4)时，由f (x)＝kx－4＋xlog2x＝0，可得k＋log2x－＝0，
令g(x)＝k＋log2x－，
因为函数y＝log2x，y＝k－在[1，4)内均单调递增，
故函数g(x)＝k＋log2x－在[1，4)内单调递增，
因为函数f (x)在区间[1，4)内有零点，则函数g(x)在区间[1，4)内有零点，
所以解得－1因此，实数k的取值范围是(－1，4]．故选D．
由图象知，当x∈[－5，1]时，图象有5个交点，故在(1，5]上有3个交点即可，则a>1．
故解得2(2)函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，即函数f (x)与函数g(x)的图象在区间[－5，5]上有8个交点，由f (x＋2)＝f (x)知，f (x)是R上周期为2的函数，作函数f (x)与函数g(x)在区间[－5，5]上的图象，如图所示，
名师点评：已知函数零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．
[巩固迁移]
4．(2025·北京昌平区二模)若函数f (x)＝x|x－2a|－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(0，1)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
√
A　[由f (x)＝x|x－2a|－a＝0，得x|x－2a|＝a，当x＝0时，a＝0，此时f (x)＝x|x|只有一个零点，不满足条件．故x＝0不是函数的零点，则由x|x－2a|＝a，得|x－2a|＝，
当a<0时，作出函数g(x)＝|x－2a|和h(x)＝的图象，如图1，
若a<0，要使g(x)与h(x)的图象有三个交点，
则只需要当2a即方程x－2a＝有两个根，
则x2－2ax－a＝0有两个根即可，
则判别式Δ＝4a2＋4a>0，得a2＋a>0，
得a>0(舍)或a<－1，
当a>0时，作出函数g(x)＝|x－2a|和h(x)＝的图象，如图2．
若a>0，要使g(x)与h(x)的图象有三个交点，
则只需要当0即方程－(x－2a)＝有两个根，
则x2－2ax＋a＝0有两个根即可，则判别式Δ＝4a2－4a>0，得a2－a>0，得a>1或a<0(舍)，
综上得，a>1或a<－1．故选A．]
5．若函数f (x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．
　[依题意，结合函数f (x)的图象(图略)分析可知，m需满足
即
解得．]
【教用·备选题】
(2025·江苏淮安期末)已知f (x)＝1－为奇函数，g(x)＝2x2＋b2x－b．
(1)求实数a的值；
(2)求函数f (x)的值域；
(3)若函数g(f (x))有两个零点，求实数b的取值范围．
[解]　(1)根据题意，函数f (x)的定义域为R，
因为f (x)为奇函数，所以f (0)＝0，即1－＝0，a＝2，
可得f (x)＝1－，f (－x)＝＝－f (x)，满足条件，
综上所述，实数a的值为2．
(2)根据4x>0，可得4x＋1>1，所以0<<1，
可得0<<2，f (x)＝1－∈(－1，1)，
即函数f (x)的值域为(－1，1)．
(3)根据y＝4x＋1为R上的增函数，值域为(1，＋∞)，
可得f (x)＝1－为R上的增函数，
令f (x)＝t，则g(t)＝0，由(2)可得t∈(－1，1)时，f (x)＝t仅有一根，
所以g(t)有两个零点，即2t2＋b2t－b＝0在(－1，1)上有两个不相等的实数根，
可得解得0所以实数b的取值范围是(0，1)．
一、单项选择题
1．函数y＝(x－2)(2x＋1)的零点是(　　)
A．2 B．(2，0)
C．－2 D．2或－1
A　[令y＝(x－2)(2x＋1)＝0，因为2x＋1>1>0，所以x－2＝0，即x＝2．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课后作业(十六)　函数的零点与方程的解
√
16
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．用二分法求函数f (x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f (1)≈－0.28，f (1.5)≈0.98，
f (1.25)≈0.24，f (1.125)≈－0.04，关于下一步的说法正确的是(　　)
A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f (1.187 5)
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f (1.062 5)
√
16
C　[由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，(1，1.5)→
(1，1.25)→(1.125，1.25)，因为|1.125－1.25|＝0.125>0.1，故没有达到精确度的要求，应该接着计算f ＝f (1.187 5)的值．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
3．(2025·广东广州一模)函数f (x)＝2x3＋3x－7的一个零点所在的区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
B　[y＝2x3和y＝3x－7都是增函数，所以函数f (x)＝2x3＋3x－7为增函数，
且f (0)＝－7<0，f (1)＝2＋3－7＝－2<0，
f (2)＝16＋6－7＝15>0，
则f (1)f (2)<0，所以函数在区间(1，2)存在唯一零点，此函数的零点所在区间为(1，2)．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
4．(2025·山西晋城三模)若函数f (x)＝－3x－x＋a在(0，1)内有零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，4) B．(－4，0)
C．(0，4) D．(－∞，4)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
A　[易知函数f (x)＝－3x－x＋a在(0，1)内连续且单调递减，
又因为函数f (x)＝－3x－x＋a在(0，1)内有零点，
所以f (0)f (1)＝(a－1)(a－4)<0，
解得1故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
5．(2026·河南郑州模拟)若定义域为R的奇函数f (x)满足f (x＋1)＝
f (x)，则f (x)在(－2，2)内的零点个数至少为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
C　[由f (x)是定义域为R的奇函数，可得f (0)＝0，
再由f (x＋1)＝f (x)，可得函数周期为1，所以f (－1)＝f (0)＝f (1)＝0．
在f (x＋1)＝f (x)中取x＝－，
得f ，
所以f ＝0，f ＝0，f ＝0，f ＝0，
所以f (x)在(－2，2)内的零点个数至少为7．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
6．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f (x)＝2x＋x－的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．b>a>c
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
B　[令f (x)＝0，则有2x＝－x＋；g(x)＝0，则有lg x＝－x＋；h(x)＝0，则有x3＝－x＋；
在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝lg x，y＝x3及y＝－x＋的图象，如图所示，
由图象可知b>c>a．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
7．(2026·浙江绍兴模拟)已知函数f (x)＝x2＋a＋a2－4有唯一零点，则a＝(　　)
A．0 B．－2
C．2 D．±2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
C　[由题知函数f (x)的定义域为R，
f (－x)＝(－x)2＋a|－x|＋a2－4＝x2＋a|x|＋a2－4＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，
又因为函数f (x)＝x2＋a|x|＋a2－4有唯一零点，根据零点关于y轴对称，得出f (0)＝a2－4＝0，所以a＝±2，
当a＝2时，函数f (x)＝x2＋2|x|＝0有唯一零点，符合题意；
当a＝－2时，函数f (x)＝x2－2|x|＝0有零点0，2，－2，不符合题意，舍去．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
8．(2025·广东广州二模)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－a恰有2个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，1]
C．(0，4] D．(4，＋∞)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
B　[易知当x≤0时，函数y＝ex单调递增，且y＝ex∈(0，1]；
当x>0时，函数y＝x－，易知y'＝1＋，
显然当a≥0时，y' >0恒成立，即y＝x－在(0，＋∞)上单调递增；
当x→0时，y→－∞；当x→＋∞时，y→＋∞，
此时函数f (x)的图象大致如图所示，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
若函数g(x)＝f (x)－a恰有2个零点，即函数f (x)的图象与直线y＝a有两个交点，
由图可知a∈(0，1]；
当a<0时，根据对勾函数性质可知y＝x－，当且仅当x＝时，等号成立，
此时其图象大致如图所示，
显然函数f (x)的图象与直线y＝a没有交点，不合题意．
综上可知，实数a的取值范围是(0，1]．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
二、多项选择题
9．已知函数f (x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则(　　)
A．当g(x)有2个零点时，f (x)只有1个零点
B．当g(x)有3个零点时，f (x)只有1个零点
C．当f (x)有2个零点时，g(x)有2个零点
D．当f (x)有2个零点时，g(x)有4个零点
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
BD　[令f (x)＝0，g(x)＝0，得＝a，x2－4＋2＝a，
利用指数函数与二次函数的性质，在同一直角坐标系中画出y＝，y＝x2－4＋2的大致图象，如图所示，
由图可知，当g(x)有2个零点时，a＝－2或a>2，
此时f (x)无零点或只有1个零点，故A错误；
当g(x)有3个零点时，a＝2，此时f (x)只有1个零点，故B正确；
当f (x)有2个零点时，0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
10．对于函数f (x)，若在其定义域内存在x0，使得f (x0)＝x0，则称x0为函数f (x)的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有(　　)
A．f (x)＝2x2＋ B．f (x)＝ex－3x
C．f (x)＝ex-1－2ln x D．f (x)＝ln x－
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
BC　[对于A，f (x)的定义域为R，f (x)＝2x2＋＝x，则2x2－x＋＝0，由于Δ＝1－4×2×<0，故方程无实数根，故A错误；
对于B，f (x)的定义域为R，f (x)＝ex－3x＝x，记g(x)＝ex－4x，则g(x)的图象是连续不断的曲线，g(0)＝1>0，g(1)＝e－4<0，根据函数零点存在定理可知，g(x)在(0，1)内存在零点，故B正确；
对于C，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ex-1－2ln x＝x，由于f (1)＝e0－0＝1，所以x＝1是f (x)的一个不动点，故C正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
对于D，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ln x－＝x，
令F(x)＝ln x－－x，x>0，
则F'(x)＝＝，
故当x>2时，F'(x)<0，F(x)单调递减，
当00，F(x)单调递增，
故当x＝2时，F(x)取极大值也是最大值，
故F(x)≤F(2)＝ln 2－3<0，故f (x)＝ln x－＝x在(0，＋∞)上无实数根，故D错误．故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
11．(2026·福建福州模拟)已知函数f (x)＝则
(　　)
A．直线y＝与f (x)的图象有四个交点
B．f (x)有两个零点
C．直线y＝kx与f (x)的图象至多有两个交点
D．存在两点(a，b)，(－2－a，b)(a>0，b>0)同时在f (x)的图象上
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
BD　[画出f (x)的图象，如图，
A选项，在同一坐标系内画出f (x)与直线y＝的图象，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
可知直线y＝与f (x)的图象有2个交点，A错误；
B选项，f (x)有两个零点，即－2和0，B正确；
C选项，由图象可得，可能有三个交点，故C错误；
D选项，点(a，b)，(－2－a，b)(a>0，b>0)是关于直线x＝－1对称的两点，
因为a>0，b>0，故(a，b)是位于第一象限的点，(－2－a，b)位于第二象限，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
(－2－a，b)在f (x)＝x2＋2x，x<－2的图象上，要想满足(a，b)同时在f (x)的图象上，
只需g(x)＝x2＋2x，x>0与h(x)＝ex－1，x>0在第一象限内有交点，
因为g(1)＝3，h(1)＝e－1，故g(1)>h(1)，
又g(3)＝15，h(3)＝e3－1，故g(3)两函数均在(0，＋∞)上单调递增，故一定存在x0∈(1，3)，使得g(x0)＝h(x0)，D正确．故选BD．]
三、填空题
12．函数f
＝_____________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
(答案不唯一)　[函数f 的图象在区间(0，2)内连续不断，且“若f 在区间(0，2)内存在零点，则f (0)·f (2)<0”为假命题，可知函数f 满足在(0，2)内存在零点，且f (0)·f (2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f ．]
(答案不唯一)
2　[由f (x)＝0，得ln＝1－x，令g(x)＝ln，
因为g(x)＋g(2－x)＝ln＝ln 1＝0，所以函数g(x)＝ln的图象关于点(1，0)对称，
又因为y＝1－x的图象关于点(1，0)对称，
如图所示，两个函数图象有两个公共点，
横坐标依次为x1，x2，这两个交点关于点(1，0)
对称，所以x1＋x2＝2．]
13．函数f (x)＝ln＋x－1的所有零点之和为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
2
14．已知函数f (x)＝ 若实数a，b，c(af (a)＝f (b)＝f (c)，则a＋b＝________；a＋b＋c的取值范围是________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
2
[6，7)
2　 [6，7)　[由f (x)＝故f (x)在(－∞，1]和(2，＋∞)上单调递减，
在[1，2]上单调递增，且有f (1)＝0，f (2)＝1，f (0)＝1，f (4)＝1，f (5)＝0．
由f (a)＝f (b)＝f (c)，则0≤a<1当x∈[0，2]时，f (x)＝|x－1|，则f (x)的图象关于直线x＝1对称，故a＋b＝2，则a＋b＋c＝2＋c∈[6，7)．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
15．关于函数f (x)＝ 其中a，b∈R，给出下列四个结论：
甲：5是该函数的零点；
乙：4是该函数的零点；
丙：该函数的所有零点之积为0；
丁：方程f (x)＝1有两个不等的实根．
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是(　　)
A．甲　　B．乙　　C．丙　　D．丁
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
√
B　[当x∈[3.5，＋∞)时，f (x)＝b－x单调递减，故5和4只有一个是函数的零点．
即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确．
由所有零点之积为0，结合分段函数的性质，知必有一个零点为0，
则f (0)＝log22－a＝0，可得a＝1．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
①若甲正确，则f (5)＝b－5＝0，则b＝5，
可得f (x)＝
由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f (x)＝1有两个不等的实根，故丁正确．则甲正确，乙错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
②若乙正确，则f (4)＝0，即b－4＝0，则b＝4，
可得f (x)＝
由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5，
解得x＝2，方程f (x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意．
综上，甲正确，乙错误．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
16．(多选)已知函数f (x)＝＋1的零点个数的说法中正确的是(　　)
A．当k>1时，有1个零点
B．当k＝－2时，有3个零点
C．当0D．当k＝－4时，有7个零点
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
ABD　[令y＝0，得f ＝－1，设f ＝t，则方程f ＝－1等价于f ＝－1，函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点，对称轴为x＝．
对于A，当k>1时，画出函数f 的图象，
∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有1个根t＝，
由f 可知，此时只有1个解，
即函数y＝f ＋1有1个零点，故A正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
对于B，当k＝－2时，画出函数f 的图象，
∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有1个根t＝，
由f 可知，此时有3个解，
即函数y＝f (f (x))＋1有3个零点，故B正确；
对于C，当0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
对于D，当k＝－4时，画出函数f 的图象，
∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有3个根，其中t1＝，t2∈(－1，0)，t3∈(－4，－3)，由f 可知，此时有3个解，由f ＝t2∈(－1，0)可知，此时有3个解，
由f ＝t3∈(－4，－3)可知，此时有1个
解，即函数y＝f ＋1有7个零点，
故D正确．故选ABD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 ！课后作业(十六)　函数的零点与方程的解
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共84分
一、单项选择题
1．函数y＝(x－2)(2x＋1)的零点是 (　　)
A．2 B．(2，0)
C．－2 D．2或－1
2．用二分法求函数f (x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f (1)≈－0.28，f (1.5)≈0.98，f (1.25)≈0.24，f (1.125)≈－0.04，关于下一步的说法正确的是 (　　)
A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f (1.187 5)
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f (1.062 5)
3．(2025·广东广州一模)函数f (x)＝2x3＋3x－7的一个零点所在的区间是 (　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
4．(2025·山西晋城三模)若函数f (x)＝－3x－x＋a在(0，1)内有零点，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(1，4) B．(－4，0)
C．(0，4) D．(－∞，4)
5．(2026·河南郑州模拟)若定义域为R的奇函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x)，则f (x)在(－2，2)内的零点个数至少为 (　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
6．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f (x)＝2x＋x－的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．b>a>c
7．(2026·浙江绍兴模拟)已知函数f (x)＝x2＋a＋a2－4有唯一零点，则a＝ (　　)
A．0 B．－2
C．2 D．±2
8．(2025·广东广州二模)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－a恰有2个零点，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，0) B．(0，1]
C．(0，4] D．(4，＋∞)
二、多项选择题
9．已知函数f (x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则 (　　)
A．当g(x)有2个零点时，f (x)只有1个零点
B．当g(x)有3个零点时，f (x)只有1个零点
C．当f (x)有2个零点时，g(x)有2个零点
D．当f (x)有2个零点时，g(x)有4个零点
10．对于函数f (x)，若在其定义域内存在x0，使得f (x0)＝x0，则称x0为函数f (x)的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有 (　　)
A．f (x)＝2x2＋ B．f (x)＝ex－3x
C．f (x)＝ex-1－2ln x D．f (x)＝ln x－
11．(2026·福建福州模拟)已知函数f (x)＝则 (　　)
A．直线y＝与f (x)的图象有四个交点
B．f (x)有两个零点
C．直线y＝kx与f (x)的图象至多有两个交点
D．存在两点(a，b)，(－2－a，b)(a>0，b>0)同时在f (x)的图象上
三、填空题
12．函数f ＝___________．
13．函数f (x)＝ln＋x－1的所有零点之和为___________．
14．已知函数f (x)＝ 若实数a，b，c(a15．关于函数f (x)＝其中a，b∈R，给出下列四个结论：
甲：5是该函数的零点；
乙：4是该函数的零点；
丙：该函数的所有零点之积为0；
丁：方程f (x)＝1有两个不等的实根．
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是 (　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
16．(多选)已知函数f (x)＝＋1的零点个数的说法中正确的是 (　　)
A．当k>1时，有1个零点
B．当k＝－2时，有3个零点
C．当0D．当k＝－4时，有7个零点
课后作业(十六)
1．A　[令y＝(x－2)(2x＋1)＝0，因为2x＋1>1>0，所以x－2＝0，即x＝2．]
2．C　3．B
4．A　[易知函数f (x)＝－3x－x＋a在(0，1)内连续且单调递减，
又因为函数f (x)＝－3x－x＋a在(0，1)内有零点，
所以f (0)f (1)＝(a－1)(a－4)<0，
解得15．C　[由f (x)是定义域为R的奇函数，可得f (0)＝0，
再由f (x＋1)＝f (x)，可得函数周期为1，所以f (－1)＝f (0)＝f (1)＝0．
在f (x＋1)＝f (x)中取x＝－，
得f ＝f ＝－f ，
所以f ＝0，f ＝0，f ＝0，f ＝0，
所以f (x)在(－2，2)内的零点个数至少为7．故选C．]
6．B　[令f (x)＝0，则有2x＝－x＋；g(x)＝0，则有lg x＝－x＋；h(x)＝0，则有x3＝－x＋；
在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝lg x，y＝x3及y＝－x＋的图象，如图所示，
由图象可知b>c>a．故选B．]
7．C　[由题知函数f (x)的定义域为R，
f (－x)＝(－x)2＋a|－x|＋a2－4＝x2＋a|x|＋a2－4＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，
又因为函数f (x)＝x2＋a|x|＋a2－4有唯一零点，根据零点关于y轴对称，得出f (0)＝a2－4＝0，所以a＝±2，
当a＝2时，函数f (x)＝x2＋2|x|＝0有唯一零点，符合题意；
当a＝－2时，函数f (x)＝x2－2|x|＝0有零点0，2，－2，不符合题意，舍去．故选C．]
8．B　[易知当x≤0时，函数y＝ex单调递增，且y＝ex∈(0，1]；
当x>0时，函数y＝x－，易知y'＝1＋，
显然当a≥0时，y'>0恒成立，即y＝x－在(0，＋∞)上单调递增；
当x→0时，y→－∞；当x→＋∞时，y→＋∞，
此时函数f (x)的图象大致如图所示，
若函数g(x)＝f (x)－a恰有2个零点，即函数f (x)的图象与直线y＝a有两个交点，
由图可知a∈(0，1]；
当a<0时，根据对勾函数性质可知y＝x－＝x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立，
此时其图象大致如图所示，
显然函数f (x)的图象与直线y＝a没有交点，不合题意．
综上可知，实数a的取值范围是(0，1]．故选B．]
9．BD　[令f (x)＝0，g(x)＝0，得＝a，x2－4＋2＝a，
利用指数函数与二次函数的性质，在同一直角坐标系中画出y＝，y＝x2－4＋2的大致图象，如图所示，
由图可知，当g(x)有2个零点时，a＝－2或a>2，
此时f (x)无零点或只有1个零点，故A错误；
当g(x)有3个零点时，a＝2，此时f (x)只有1个零点，故B正确；
当f (x)有2个零点时，0故选BD．]
10．BC　[对于A，f (x)的定义域为R，f (x)＝2x2＋＝x，则2x2－x＋＝0，由于Δ＝1－4×2×<0，故方程无实数根，故A错误；
对于B，f (x)的定义域为R，f (x)＝ex－3x＝x，记g(x)＝ex－4x，则g(x)的图象是连续不断的曲线，g(0)＝1>0，g(1)＝e－4<0，根据函数零点存在定理可知，g(x)在(0，1)内存在零点，故B正确；
对于C，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ex-1－2ln x＝x，由于f (1)＝e0－0＝1，所以x＝1是f (x)的一个不动点，故C正确；
对于D，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ln x－＝x，令F(x)＝ln x－－x，x>0，
则F'(x)＝－1＝＝，
故当x>2时，F'(x)<0，F(x)单调递减，
当00，F(x)单调递增，
故当x＝2时，F(x)取极大值也是最大值，
故F(x)≤F(2)＝ln 2－3<0，故f (x)＝ln x－＝x在(0，＋∞)上无实数根，故D错误．
故选BC．]
11．BD　[画出f (x)的图象，如图，
A选项，在同一坐标系内画出f (x)与直线y＝的图象，
可知直线y＝与f (x)的图象有2个交点，A错误；
B选项，f (x)有两个零点，即－2和0，B正确；
C选项，由图象可得，可能有三个交点，故C错误；
D选项，点(a，b)，(－2－a，b)(a>0，b>0)是关于直线x＝－1对称的两点，
因为a>0，b>0，故(a，b)是位于第一象限的点，(－2－a，b)位于第二象限，
(－2－a，b)在f (x)＝x2＋2x，x<－2的图象上，要想满足(a，b)同时在f (x)的图象上，
只需g(x)＝x2＋2x，x>0与h(x)＝ex－1，x>0在第一象限内有交点，
因为g(1)＝3，h(1)＝e－1，故g(1)>h(1)，
又g(3)＝15，h(3)＝e3－1，故g(3)两函数均在(0，＋∞)上单调递增，故一定存在x0∈(1，3)，使得g(x0)＝h(x0)，D正确．故选BD．]
12．(答案不唯一)　[函数f 的图象在区间(0，2)内连续不断，且“若f 在区间(0，2)内存在零点，则f (0)·f (2)<0”为假命题，可知函数f 满足在(0，2)内存在零点，且f (0)·f (2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f ．]
13．2
14．2　 [6，7)　[由f (x)＝故f (x)在(－∞，1]和(2，＋∞)上单调递减，
在[1，2]上单调递增，且有f (1)＝0，f (2)＝1，f (0)＝1，f (4)＝1，f (5)＝0．
由f (a)＝f (b)＝f (c)，则0≤a<1当x∈[0，2]时，f (x)＝|x－1|，则f (x)的图象关于直线x＝1对称，故a＋b＝2，则a＋b＋c＝2＋c∈[6，7)．]
15．B　[当x∈[3.5，＋∞)时，f (x)＝b－x单调递减，故5和4只有一个是函数的零点．
即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确．
由所有零点之积为0，结合分段函数的性质，知必有一个零点为0，
则f (0)＝log22－a＝0，可得a＝1．
①若甲正确，则f (5)＝b－5＝0，则b＝5，
可得f (x)＝
由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f (x)＝1有两个不等的实根，故丁正确．则甲正确，乙错误；
②若乙正确，则f (4)＝0，即b－4＝0，则b＝4，
可得f (x)＝
由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5，
解得x＝2，方程f (x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意．
综上，甲正确，乙错误．故选B．]
16．ABD　[令y＝0，得f ＝－1，设f ＝t，则方程f ＝－1等价于f ＝－1，函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点，对称轴为x＝．
对于A，当k>1时，画出函数f 的图象，
∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有1个根t＝，由f 可知，此时只有1个解，即函数y＝f ＋1有1个零点，故A正确；
对于B，当k＝－2时，画出函数f 的图象，
∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有1个根t＝，由f 可知，此时有3个解，即函数y＝f (f (x))＋1有3个零点，故B正确；
对于C，当0对于D，当k＝－4时，画出函数f 的图象，
∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有3个根，其中t1＝，t2∈(－1，0)，t3∈(－4，－3)，由f 可知，此时有3个解，由f ＝t2∈(－1，0)可知，此时有3个解，由f ＝t3∈(－4，－3)可知，此时有1个解，即函数y＝f ＋1有7个零点，故D正确．故选ABD．]
3/3

展开更多......

收起↑