资源简介

2025-2026学年初三年级第三次学业质量监测
数 学
说明： 1. 答题前，请将姓名、准考证号、考场和座位号用黑色字迹的钢笔或签字
笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好。
2. 全卷共 6页，共 20题。考试时间 90分钟，满分 100分。
3. 作答选择题时，选出每题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目答案
标号的信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写
在答题卡指定区域内。写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4. 考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分，每小题有四个选项，其中
只有一个是正确的）
1．正方体的平面展开图如图所示，原正方体“我”字所在的面的对面的汉字是（ ）
A．中 B．国 C．的 D．梦
2．实数 a，b在数轴上对应的点如图所示，则 a，b，﹣a，﹣b这四个数中最小的数是（ ）
A．a B．b C．﹣a D．﹣b
（第 1题图） （第 2题图） （第 5 题图）
题图
3．下列各式运算结果为 a7的是（ ）
A．a4+a3 B．a3 a4 C．（a4）3 D．a14÷a2
4．有 4个外观完全相同的密封试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶
液．小星从这 4个试剂瓶中任意抽取 1个，则抽到的是酸性溶液的概率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 4
5．一副三角板如图所示放置，斜边平行，即 BC∥EF，则∠1的度数为（ ）
2025-2026学年初三年级第三次学业质量监测 数学 第1页 共 6页
A．10° B．15° C．20° D．30°
6．如图，将 Rt△ABC沿着点 B到点 C的方向平移到△DEF的位置，已知 AB＝6，HD＝2，
CF＝3，则 CE的长度为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
（第 8 题图）
（第 6 题图）
7．某玩具厂共有 300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架 20个或车轮 40个，且 1个
题图
题图
车架与 4个车轮可配成一套，设有 x个工人生产车架，y个工人生产车轮，则下列方程组正
确的是（ ）
+ = 300 + = 300 + = 300 + = 300
A． 40 = 20 B． 20 = 40 C． 4 × 20 = 40 D． 20 = 4 × 40
8．五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况
十分危急，幸好路边设有紧急避险车道（如图），这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专
门为失控车辆设计的安全避险坡道．已知汽车在避险车道上的初始速度 v与汽车在紧急避
险车道上停止时的路程 x的关系式为 v2= 5 26 ，并且避险车道坡比（斜坡竖直高度：水
平宽度）为 1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为 100m，则刚进入
避险车道时的速度是（ ）
A．10 26 / B． 26 / C．20m/s D．5 26 /
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）
9．请你写一个小于 5的整数： ．
=
10．已知 = 是关于 x、y的方程 3x﹣2y﹣5＝0的解，则代数式6m 4n 9
的值是 ．
11．如图，在矩形 ABCD中，AB＝4， = 2 3，以 B为圆心，AB长为半径
画 弧 交 边 CD 于 点 E ， 连 结 BE ， 则 弧 AE 的 长 度
（第 11 题图）
为 ．（结果保留π）
2025-2026学年初三年级第三次学业质量监测 数学 第2页 共 6页 题图
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等边三角形，点 A的坐标为（2，0），AB⊥x轴，
垂足为 A ．若反比例函数 = ( ＞0)的图象经过点 B，C，则 k＝ ．
13．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等
的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ拼成的一个大正方形 ABCD．直线 MP 交正方形
ABCD的两边于点 E，F，记正方形 ABCD的边长为 a，正方形 MNPQ的边长为 b.若 2BE＝
3AE a，则 的值是 ．
b
（第 12 题图） （第 13 题图）
题图
三、解答题（本大题共 7小题，共 61分）
14. （7 分）计算： 60° | 3 2| + ( 2026)0 + ( 1 ) 12 ．
15
2 2 1
．（8 分）先化简；再求值：(2 2+ ) ÷ 2+2 +1，再从﹣1，0，1，2中选一个合适的
数代入求值．
16．（9 分）为了解 A，B两款品质相近的无人机满电运行的最长时间，分别抽样调查了两款无
人机各 10架，记录它们运行的最长时间（单位：min），并进行数据整理．
平均数/min 中位数/min 众数/min 方差/min2
无人机 A 70 69.5 72 21
无人机 B 72 a b 22
（1）填空：a＝ ，b＝ ， 21 22（填写“＞、＜或＝”）；
（2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由；
（3）如果 A款无人机再实验 1次，运行最长时间为 70min，那么 A款无人机最长运行时
间的方差将 （填“变大”，“变小”或“不变”）．
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17．（8 分）首届“粤超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球
的畅销．
（1）某商店计划购进 A，B两种品牌的足球，已知 A品牌的单件进价比 B品牌的单件进价高
20元，且用 6000元购进的 A品牌足球与用 4800元购进的 B品牌足球的数量相同，分别
求两种品牌足球的单件进价；
（2）经调研发现，A品牌足球的销售量 m与单件售价 a满足 m＝﹣2a+400关系，
请你选择其中一种销售方案为老板制定销售价格：
方案一：利润最大 方案二：固定利润率 80％
该店销售 A品牌足球的利润最大，单件售价 尽量优惠顾客，该店销售 A品牌足球获得
a为多少元，最大利润为多少？ 固定利润率 80％，单件售价 a为多少元，
及进货量。
18．（9 分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC．弦 CD⊥AB于点 E，连结 OB，交圆于
点 H，交 CD于点 F．
（1）求证：∠BCD＝∠ABO．

（2）连结 BD．若 ∠ = 35，求 的值．
（3）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，
过 O做 AC的垂线交 AC于点 G．
（第 18 题图）
题图
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19．（10 分）综合实践与探究 —— 新能源汽车刹车性能研究
【设计实验方案】
某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随
刹车时间的变化规律开展探究。
设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至 A 点时启
动刹车，从汽车到达 A 点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车
（第 19题图 1）
刹车后的运动时间 t（s）、瞬时速度 v（m/s）、刹车路程 y（m）的数据．
题图
v（m/s） y（m）
【收集整理数据】
运动时间 t（s） 0 4 8 12 16 20 ．．．
瞬时速度 v（m/s） 12 10 8 6 4 2 ．．．
刹车路程 y（m） 0 44 80 108 128 140 ．．．
【数学建模探究】
（1）【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图 2、图 3的平面直角坐标系中描点、连线，观
察图象并猜想：
①v与 t之间的关系可以近似地用 函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），
v与 t的函数关系式为
②y与 t之间的关系可以近似地用 函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），
y与 t之间的函数关系式为 ．
（2）【拓展与运用】
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①若某段水平测试路面的长度为 150m，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会
超出该路面范围？
②当新能源汽车到达水平路面 A点时，前方 B点处有另一辆电动车以 3m/s的速度在匀速向前
直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么 AB的最小值是多少？
20．（10 分）定义：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的
三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“内接垂中三角形”．
（1）如图 1，△CEF是 ABCD的内接垂中三角形，∠CFE＝90°，若 EF平分∠AEC．∠FCE
＝43°，则∠FCD＝ °
（2）如图 2，在矩形 ABCD中，E是 BC边的中点，将△ABE沿 AE所在直线折叠，得到△
AB′E，延长 AB′交 CD于点 F．连接 EF，若 AB′＝ 4 2 ，B′E＝4．求证：△AEF是矩
形 ABCD的内接垂中三角形．
4
（3）在△ABC中，∠A＝90°， = ，以△ABC为内接垂中三角形的平行四边形的一组邻
3

边的长记为 m，n，其中 m＞n，请画出草图并求出对应的 值．

（第 20 题图 1） （第 20 题图 2）
题图
2025-2026学年初三年级第三次学业质量监测 数学 第6页 共 6页参考答案与试题解析
一．选择题（每小题 3分，共 24 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C B C C A
二．填空题（每小题 3分，共 15 分）
题号 9 10 11 12 13
答案 2（答案不唯 19 4 8 3
3 3 13
一）
三．解答题（共 7 小题）
14 3． 解：原式= 2 2 + 3 + 1 2 ……………………………4 分
= 3 32 3． ……………………………7分
2 215． 解：(2 1 2+ ) ÷ 2+2 +1
2 2+2 2 ( +1)2= 2+ ( +1)( 1) ……………………………2分
= ( +2)
+1
……………………………4分 ( +1) 1
= +2 1， ……………………………6分
∵m＝﹣1，0，1时，原分式无意义，
∴m＝2，
当 m＝2时，原式= 2+22 1 =4． ……………………………8 分
16． 解：（1）71，69，＞； ……………………………4分（中位数 2 分）
（2）B款无人机运行时间更有优…势…，………………………5 分
∵B款无人机运行时间的平均时间大于 A款无人机，
∴B款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）．； ……………………………7分
（3）变小 ……………………………9 分
17． 解：（1）设 B品牌足球的单件进价为 x元，
6000 4800
= ， ……………………………2 分
+20
解得 x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解．
第 1页（共 7页）
∴x+20＝100．
答：A品牌足球的单件进价为 100元，B品牌足球的单件进价为 80元． ………………4 分
（2）选择期中一个均可，若两个都选，按照第一个给分
方案一：A品牌足球的销售量 m与单件售价 a成一次函数的关系，满足 m＝﹣2a+400，
设销售 A品牌足球的利润为 W元，
则 W＝（a﹣100）（﹣2a+400）
＝﹣2a2+600a﹣40000
＝﹣2（a2﹣300a）﹣40000
＝﹣2（a﹣150）2+5000， ……………………………6分
因为二次项系数小于 0，所以抛物线图象开口向下，当 a＝150元时，W取得最大值．
答：当单件售价 a＝150元时，该店销售 A ……………………………8 分品牌足球的利润最大．
方案二：∵A品牌足球的销售量 m与单件售价 a成一次函数的关系，满足 m＝﹣2a+400，
∴（a﹣100）（﹣2a+400）＝﹣2a2+600a﹣40000=6000×80％ ……………………………6 分
解得 x1 140 x2 160
又∵尽量优惠顾客
∴ x 140
答：当单件售价 a＝140元时，该店销售 A品牌足球的利润率为 80％． …………………8 分
18． （1）证明：如图 1，连结 OA．
∵AB⊥CD，
∴∠ABC＝90°﹣∠BCD， ……………………………1分
∵AC＝AB，
第 2页（共 7页）
∴∠ACB＝∠ABC＝90°﹣∠BCD，
∴∠AOB＝2∠ACB＝180°﹣2∠BCD， ……………………………2分
又∵OA＝OB，
= 180° ∠ ∴∠ 2 = ∠ ． ……………………………3分
（其他证明方法合理酌情给分）
（2）解：设 CE＝3x，
∵ ∠ = 35，
∴在 Rt△AEC中，有 AC＝5x，AE＝4x．
∴AB＝5x，BE＝AB﹣AE＝x． ……………………………4分
∴ = 2 + 2 = 10 ，
∵∠ABD＝∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣2∠BCD，
∴∠DBF＝∠ABD+∠ABO＝90°﹣∠BCD＝∠ACB， ……………………………5分
又∵∠CAB＝∠D，
∴△BDF∽△BAC，
5 10
∴ = = = ；
10 2 ……………………………6 分
（其他证明方法合理酌情给分）
（3）如图点 H即为所求 ……………………………9 分
（其他做法酌情给分）
19．解：（1） v（m/s） y（m）
第 3页（共 7页）
……………………………2 分
1 一次； = 12 + 12， ……………………………4分
2 二次； = 1 24 + 12 ……………………………6分
（2）∵当新能源汽车完全停车时 = 0
∴ = 12 + 12=0 ∴t=24s ……………………………7 分
1
∴新能源汽车行走的最大距离为 242 12 24 144m
4
144m＞130m
所以会超过路面范围 ……………………………9分
（3 1）∵ = 4
2 + 12 ，设 AB＝d，
1
由题意，得： 24 + 12 ≥ + 3 ， ……………………………10分
∴ ≤ 1 24 + 9 ，
= 9 = 18 d 1∴当 1 时， 最大为 4 × 18
2 + 9 × 18 = 81；
2×( 4)
∴AB最小为 81cm． ……………………………10分
20．解：（1）43° ……………………………2分
（2）在矩形 ABCD中，∠B＝∠C＝90°，
由折叠可知，△ABE≌△AB′E，
∴∠AEB＝∠AEB′，BE＝B′E，∠B＝∠AB′E＝90°，
∵E是 BC中点，
∴BE＝CE＝B′E， ……………………………3分
在 Rt△B′EF和 Rt△CEF中，
' =
= ，
∴Rt△B′EF≌Rt△CEF（HL）， ……………………………4 分
∴∠CEF＝∠B′EF，
∴∠ = ∠ ' + ∠ ' = 12 × 180° = 90°； ……………………………5分
∴∠AEB+∠FEC＝90° ∠EFC+∠FEC＝90°，
∵∠AEB＝∠EFC，
第 4页（共 7页）
∴△ABE∽△EFC，
4 2 4
∴ = ，即
4 CF
∴CF 2 2，
∴F为 CD的中点，∴△BEF是矩形 ABCD的半隅三角形 ……………………………6分
（3）如图 2，
△ABC是 CDFE的“中直三角形”，
作 BH⊥DF，交 DF的延长线于点 H，作 CG⊥DF于 G，
∴∠H＝∠G＝90°，
由上知，
∠D＝∠BFH，
∴△CDG∽△BFH，

∴ = = = 1 = 1 = 2，
2 2
设 FH＝x，BH＝y，则 DG＝2x，CG＝2y，
由上知，
△ACG∽△BAH，
3
∴ = = = ，
4
3 3
∴AG= 4BH= 4y，AH=
4
3CG=
8
3 ，
AF AH FH= 8 3∴ ＝ ﹣ 3 x，AD＝DG+AG＝2x+ 4y，
∵AF＝AD，
8 3
∴ = 2 + ，
3 4
23
∴x= 36 ，
第 5页（共 7页）
∴AD= 83 =
8 23 73
3 36 = 36 ，
∵BF= 2 + 2 = 2 + ( 2336 )
2 = 5 7336 ，
73
2 36 73
∴ = = = ，
2 5 73
36
5
如图 3，
设 FH＝x，CH＝y，则 DG＝2x，BG＝2y，
由上知，
△ABG∽△CAH，
4
∴ = = = ，
3
AG= 4CH= 4y AH= 3∴ 3 3 ， 4 =
3
2 ，
3 4
∴AF＝AH﹣FH= 2 ，AD＝AG+DG= 3 + 2 ，
∵AF＝AD，
3 4
∴ = + 2 ，
2 3
∴y＝18x，
∴AD= 43 × 18 + 2 = 26 ，
CF= 2 + 2 = 2 + (18 )2 =5 13 ，
26 2 13
∴ = = ，
5 13 5
∴AD= 83 =
8
3
23 73
36 = 36 ，
如图 4，
第 6页（共 7页）
作 EQ⊥AF于 Q，作 BH⊥AF于 H，作 CG⊥AF，交 FA的延长线于点 G，
设 BH＝4a，CE＝CD＝x，BF＝BE＝y，则 CG＝EQ＝2BH＝8a，AF＝DE＝2CE＝2x，
由上可知，
AG= 3BH 3a AH= 4CG= 324 ＝ ， 3 3 a，
∴AQ＝QG﹣AG＝CE﹣AG＝x﹣3a，
32 41 32
∴HQ＝AH﹣AQ= 3 ( 3 ) = 3 ，FH＝AF﹣AH＝2x 3 ，
∵FH＝HQ，
41 32
∴ = 2 ，
3 3
∴x= 739 ，
FH= 41∴ 3
73 50
9 = 9 ，
∴BF= 2 + 2 = ( 509 )
2 + (4 )2 = 2 9499 a，
73
9 949
∴ = =
2 949
= ，
269
73 2 13 949
综上所述： = 或 或 ． ……………………………10分
5 5 26
第 7页（共 7页）

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