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第2课时　匀变速直线运动的规律
目标要求　1.理解匀变速直线运动的特点，掌握匀变速直线运动的公式，并理解公式中各物理量的含义。2.会灵活应用运动学公式及推论解题。
考点一　匀变速直线运动的基本规律及应用
1.匀变速直线运动
沿着一条直线且加速度不变的运动。如图所示，v-t图线是一条倾斜的直线。
(1)匀加速直线运动：加速度a与速度v方向相同；
(2)匀减速直线运动：加速度a与速度v方向相反。
2.匀变速直线运动的基本规律
(1)速度与时间的关系式：v=v0+at。
(2)位移与时间的关系式：x=v0t+at2。
由以上两式联立可得速度与位移的关系式：
v2-=2ax。
3.公式选用原则
以上三个公式共涉及五个物理量，每个公式有四个物理量。选用原则如下：
不涉及位移，选用v=v0+at；
不涉及末速度，选用x=v0t+at2；
不涉及时间，选用v2-=2ax。
4.正方向的选取
以上三式均为矢量式，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，通常以初速度v0的方向为正方向；当v0=0时，一般以加速度a的方向为正方向。速度、加速度、位移的方向与正方向相同时取正，相反时取负。
例1　(来自教材改编)滑跃式起飞是一种航母舰载机的起飞方式。如图所示，飞机跑道的前一部分是水平的，跑道尾段略微向上翘起。飞机在尾段翘起跑道上的运动虽然会使加速度略有减小，但能使飞机具有斜向上的速度，有利于飞机的起飞。假设某飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动，前一段的加速度为7.8 m/s2，位移为180 m，后一段的加速度为5.2 m/s2，位移为15 m。求：
(1)飞机离舰时的速度有多大(保留3位有效数字)；
(2)飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次飞机着舰时的速度为80 m/s，飞机钩住阻拦索后经过2.5 s停下来。将这段运动视为匀减速直线运动，此过程中飞机滑行的距离是多少。
答案　(1)54.4 m/s　(2)100 m
解析　(1)已知前一段匀加速直线运动中x1=180 m，a1=7.8 m/s2，
后一段匀加速直线运动中x2=15 m，a2=5.2 m/s2，
由=2a1x1及-=2a2x2
联立解得v2≈54.4 m/s。
(2)飞机着舰时的速度v3=80 m/s，飞机停下来时，速度为零。
由0-v3=-a3t及x3=v3t-a3t2
联立解得x3=100 m或由0-v3=-a3t及0-=-2a3x3
联立解得x3=100 m。
例2　(2025·河北保定市联考)具有“主动刹车系统”的汽车遇到紧急情况时，会立即启动主动刹车。某汽车以72 km/h的速度匀速行驶时，前方45 m处突然出现一群羚羊横穿公路，“主动刹车系统”立即启动，汽车开始做匀减速直线运动，恰好在羚羊通过道路前5 m处停车。求：
(1)汽车在刹车后2 s内和刹车后5 s内的位移大小；
(2)汽车开始“主动刹车”后第4 s内通过的位移大小。
答案　(1)30 m　40 m　(2)2.5 m
解析　(1)依题意，汽车做匀减速直线运动，其位移为x=45 m-5 m=40 m，初速度v0=72 km/h=20 m/s，设加速度大小为a，则有0-=-2ax，解得a=5 m/s2，汽车的刹车时间为t刹==4 s，刹车后5 s汽车已停止，故刹车后5 s内的位移大小等于刹车距离40 m，刹车后2 s内位移大小x=v0t-at2=30 m。
(2)由“逆向思维”可知汽车开始“主动刹车”后第4 s内通过的位移大小为反方向做匀加速直线运动第1 s内的位移大小，即x'=at'2=2.5 m。
　逆向思维在匀减速直线运动中的应用
当物体做匀减速直线运动时，若末速度已知，利用逆向思维，可看作初速度已知的匀加速直线运动，例如匀减速直线运动速度减到零，利用逆向思维看作初速度为零的匀加速直线运动。
例3　(多选)如图，在足够长的光滑固定斜面上，有一物体以大小为10 m/s的初速度v0沿斜面向上运动，物体的加速度大小始终为5 m/s2、方向沿斜面向下，当物体的位移大小为7.5 m时，下列说法正确的是(　　)
A.物体运动时间可能为1 s
B.物体运动时间可能为3 s
C.物体运动时间可能为(2+) s
D.物体此时的速度大小一定为5 m/s
答案　ABC
解析　以沿斜面向上为正方向，则a=-5 m/s2，当物体的位移为沿斜面向上7.5 m时，x=7.5 m，由运动学公式x=v0t+at2，解得t1=3 s或t2=1 s，故A、B正确；当物体的位移为沿斜面向下7.5 m时，x=-7.5 m，由x=v0t+at2，解得t3=(2+) s或t4=(2-) s(舍去)，故C正确；由速度时间公式v=v0+at，解得v1=-5 m/s、v2=5 m/s、v3=-5 m/s，故D错误。
思考　(1)刹车类问题有什么特点，解题时首先应该注意什么？
(2)双向可逆类匀减速直线运动有什么特点，解题时应该注意什么？
答案　(1)刹车类问题的特点：物体匀减速到速度为零后停止运动。解题时，判断在所求问题的时间内，物体是否已经停止。
(2)如沿光滑固定斜面上滑的物体，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变。解题时可分过程列式，也可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义，物体的运动可能出现多解。
考点二　匀变速直线运动的推论及应用
1.匀变速直线运动的常用推论
(1)平均速度公式：做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间内初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度。即：==。此公式可以求某时刻的瞬时速度。
(2)位移差公式：连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等。
即：Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2。
不相邻相等的时间间隔T内的位移差xm-xn=(m-n)aT2，此公式可以求加速度。
2.初速度为零的匀加速直线运动的四个重要比例式
(1)T末、2T末、3T末、……、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。
(2)前T内、前2T内、前3T内、……、前nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶4∶9∶…∶n2。
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、……、第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)。
例4　(多选)一物体沿直线做匀加速直线运动，已知它在第2 s内的位移为4 m，第3 s内的位移为6 m，则下列判断中正确的是(　　)
A.它的加速度大小是2 m/s2
B.它在第2 s末的速度为4 m/s
C.它的初速度为零
D.它在前7 s内的位移是56 m
答案　AD
解析　根据匀变速直线运动相邻相等时间间隔内位移差的关系x3-x2=aT2，解得加速度大小是a=2 m/s2，故A正确；第2 s末的速度等于第2 s初至第3 s末的平均速度，即v2== m/s=5 m/s，v2=v0+at2，则v0=v2-at2=5 m/s-2×2 m/s=1 m/s，故B、C错误；在前7 s内的位移是x=v0t7+a=1×7 m+×2×72 m=56 m，故D正确。
拓展　在例4中，求解加速度时，可用平均速度法、位移差公式、基本公式法，请尝试用另外两种方法求解加速度。
答案　基本公式法：设第1 s末的速度为v1，第2 s内位移为x1，第3 s内位移为x2，则有x1=v1t+at2，x2=(v1+at)t+at2，联立解得a=2 m/s2，v1=3 m/s。
平均速度法：1.5 s末的速度v1.5=，2.5 s末的速度v2.5=，a==2 m/s2。
[变式1]　(2025·河南省部分学校联考一模)如图所示是一景区游客观光滑道的示意图。一游客沿倾斜直滑道下滑的过程中，测得通过长x1=2 m的ab段历时1 s，通过bc段历时2 s，通过长x2=8 m的cd段历时1 s，若视游客匀加速直线下滑，则下列说法正确的是(　　)
A.游客下滑的加速度大小为2 m/s2
B.游客经过a点时的速度大小为1.5 m/s
C.bc段的长度为12 m
D.游客经过ad段的平均速度大小为4 m/s
答案　A
解析　根据题意可得x2-x1=3aT2，代入数据解得a=2 m/s2，故A正确；ab阶段有x1=vaT+aT2，代入数据解得va=1 m/s，故B错误；bc段的长度为xbc=x1+aT2+x1+2aT2=4 m+6 m=10 m，故C错误；游客经过ad段的平均速度大小为==5 m/s，故D错误。
例5　(2025·山东青岛市期末)高速避险车道是指在高速公路上设置的一种特殊车道，主要用于在紧急情况下帮助失控车辆减速和安全停车，如图甲。图乙是高速避险车道简化图，B、C、D为AE的四等分点。汽车刚冲进避险车道A点时的速度为v，经过t时间到达B，最终在E点停下。汽车在斜面上的运动可视为匀减速直线运动，下列说法正确的是(　　)
A.汽车在C点的速度大小为v
B.汽车由D点到E点的时间为(2-)t
C.汽车运动的总时间为(4+)t
D.汽车运动的总位移为(2+)vt
答案　D
解析　由题意可知C点为AE中点，根据匀变速直线运动速度与位移关系可推出，位移中点速度v中=，结合题意可知C点速度vC==v，故A错误；汽车从A点匀减速到E点停下，逆向思维法，可看作汽车从E点做初速度为0的匀加速直线运动到A点，根据匀变速直线运动推论，在连续相等的位移内所用时间关系，有tED∶tDC∶tCB∶tBA=1∶(-1)∶(-)∶(2-)，因为tBA=t，则tED==(2+)t，故B错误；综合以上分析，可知运动总时间t总=tED+tDC+tCB+tBA=(4+2)t，故C错误；根据匀变速直线运动位移与时间关系有xAE=t总，联立以上解得xAE=(2+)vt，故D正确。
[变式2]　(2024·山东卷·3)如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度L，通过A点的时间间隔为Δt1；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2∶Δt1为(　　)
A.(-1)∶(-1)
B.(-)∶(-1)
C.(+1)∶(+1)
D.(+)∶(+1)
答案　A
解析　方法一　基本公式法
木板在斜面上运动时，木板的加速度不变，设加速度为a，木板从静止释放到下端到达A点的过程，根据运动学公式有L=a
木板从静止释放到上端到达A点的过程，当木板长度为L时，有2L=a
当木板长度为2L时，有3L=a
又Δt1=t1-t0，Δt2=t2-t0
联立解得Δt2∶Δt1=(-1)∶(-1)
故选A。
方法二　比例式法
设木板从静止释放到下端到达A点的时间为t0，木板经过A点时间为Δt1
若木板长度为L，
则t0∶Δt1=1∶(-1)①
若木板长度为2L，设木板经过A点时间为Δt2
t0∶Δt2=1∶[(-1)+(-)]=1∶(-1)②
联立①②得Δt2∶Δt1=(-1)∶(-1)
1.应用匀变速直线运动规律解题的基本思路
画过程示意图→判断运动性质→选取正方向→选用公式列方程→解方程并加以讨论
2.匀变速直线运动问题常用的解题方法
课时精练
[分值：60分]
　[1~5题，每题4分]
1.(2025·新课标卷·14)我国自主研发的CR450动车组试验时的速度可达450 km/h。若以120 m/s的初速度在平直轨道上行驶的CR450动车组，匀减速运行14.4 km后停止，则减速运动中其加速度的大小为(　　)
A.0.1 m/s2 B.0.5 m/s2
C.1.0 m/s2 D.1.5 m/s2
答案　B
解析　根据速度位移关系0-=-2ax，其中v0=120 m/s，x=14 400 m，代入数据可得减速运动中其加速度的大小a=0.5 m/s2，故选B。
2.(2025·广西卷·3)某位同学观察火车进站，火车由初速度为36 km/h，降速到停下，火车的运动看作匀减速直线运动，火车降速运动过程，此同学的脉搏跳动了70下，已知该同学每分钟脉搏跳动60下，则火车共行驶距离约为(　　)
A.216 m B.350 m
C.600 m D.700 m
答案　B
解析　火车运动的时间为t=×70 s=70 s，火车的初速度v0=36 km/h=10 m/s，火车共行驶的距离x=t=×70 m=350 m，故选B。
3.(2025·山东威海市检测)一质点沿x轴运动，其位置坐标x与时间t的关系为x=t2+2t+4，物理量的单位均为国际单位。质点在第2 s末的速度为(　　)
A.2 m/s B.4 m/s
C.6 m/s D.8 m/s
答案　C
解析　方法1：x=t2+2t+4，对比匀变速直线运动位移与时间关系x=v0t+at2，则v0=2 m/s，a=2 m/s2，根据速度—时间公式有v=v0+at=6 m/s，故选C。
方法2：x=t2+2t+4，求导可知v=2t+2(m/s)，故t=2 s时，v=6 m/s，故选C。
4.(2025·北京市海淀区二模)一辆做匀减速直线运动的汽车，依次经过a、b、c三点。已知汽车在ab间与bc间的运动时间均为1 s，ab段的平均速度是10 m/s，bc段的平均速度是5 m/s，则汽车做匀减速直线运动的加速度大小为(　　)
A.2.5 m/s2 B.5 m/s2
C.7.5 m/s2 D.10 m/s2
答案　B
解析　汽车在ab段，根据平均速度等于中间时刻的瞬时速度有=v0.5 s=10 m/s，同理可知，在bc段有=v1.5 s=5 m/s，汽车做匀减速直线运动的加速度a==-5 m/s2，则汽车做匀减速直线运动的加速度大小为5 m/s2。故选B。
5.(2025·云南昆明市一模)春节期间，小明和家人在水平桌面上玩推盒子游戏。如图所示，将盒子从O点推出，盒子最终停止位置决定了可获得的奖品。在某次游戏过程中，推出的盒子从O点开始做匀减速直线运动，刚好停在e点。盒子可视为质点，a、b、c、d、e相邻两点间距离均为0.25 m，盒子从d点运动到e点的时间为0.5 s。下列说法正确的是(　　)
A.盒子运动的加速度大小为1 m/s2
B.盒子运动到a点的速度大小为2 m/s
C.盒子运动到c点的速度大小为1 m/s
D.盒子从a点运动到e点的时间为2 s
答案　B
解析　由题知，盒子在停止运动前的最后0.5 s内通过的距离为0.25 m，根据逆向思维法有x0=at2，代入数据有a=2 m/s2，故A错误；根据逆向思维法有=2a×4x0，解得盒子运动到a点的速度大小为va=2 m/s，故B正确；根据逆向思维法有=2a×2x0，解得盒子运动到c点的速度大小为vc= m/s(或vc== m/s)，故C错误；根据逆向思维法有4x0=at'2，解得盒子从a点运动到e点的时间为t'=1 s(或根据匀变速直线运动推论，xde∶xae=1∶4，则tde∶tae=1∶2，则tae=1 s)，故D错误。
6.(10分)(2025·青海省名校联盟期中)从足够长的固定光滑斜面顶端O点，每隔Δt=0.5 s由静止分别释放A、B、C三个相同的小球(均可视为质点)，小球沿斜面做匀加速直线运动，某时刻三个小球的位置如图所示，小球A、B间的距离xAB=3.5 m，小球B、C间的距离xBC=2.5 m，求：
(1)(4分)小球沿斜面运动的加速度大小a；
(2)(6分)此时小球C距斜面顶端的距离d。
答案　(1)4 m/s2　(2)2 m
解析　(1)根据匀变速直线运动规律有
xAB-xBC=a(Δt)2
解得a=4 m/s2
(2)设题图中小球B的速度大小为v，
则有v=
v2=2a(d+xBC)
解得d=2 m。
　[7~11题，每题6分]
7.(2024·海南卷·5)商场自动感应门如图所示，人走进时两扇门从静止开始同时向左右平移，经4 s恰好完全打开，两扇门移动距离均为2 m，若门从静止开始以相同加速度大小先匀加速运动后匀减速运动，完全打开时速度恰好为0，则加速度的大小为(　　)
A.1.25 m/s2 B.1 m/s2
C.0.5 m/s2 D.0.25 m/s2
答案　C
解析　设门的最大速度为v，根据匀变速直线运动的规律可知加速过程和减速过程的平均速度均为，且时间相等，均为t=2 s，根据x=×4(m)，可得v=1 m/s，则加速度大小a==0.5 m/s2，故选C。
8.(多选)(2025·安徽黄山市二模改编)一辆小汽车在高速公路上正常行驶，驾驶员发现前方较远处有异常情况，立即刹车，车辆匀减速直线行驶经过一段分别标有“0 m”“50 m”“100 m”的标志牌路面。车头到达“0 m”标志牌时开始计时，车头经过“0 m”~“50 m”路段用时2 s，车头经过“50 m”~“100 m”路段用时3 s，下列说法正确的是(　　)
A.车头在“0 m”标志牌处速度大小等于 m/s
B.车辆加速度大小等于 m/s2
C.车头在“50 m”标志牌处速度大小为20 m/s
D.车头在1~9 s时间内的位移大小为 m
答案　AD
解析　根据题意可得，车头经过0~50 m路段中间时刻的速度大小为v1==25 m/s，经过50~100 m路段中间时刻的速度大小为v2== m/s，所以加速度大小为a== m/s2，所以车头在“0 m”标志牌处速度大小等于v0=v1+a= m/s，故A正确，B错误；车头在“50 m”标志牌处速度大小为v50=v1-a= m/s，故C错误；由0=v0-at可知刹车用时t=8.5 s，车头在1~9 s时间内的位移为x'=v1t'-at'2=25×7.5 m-××7.52 m= m，故D正确。
9.(来自教材改编)(2025·四川眉山市检测)子弹以初速度v0垂直射入叠在一起的相同木板，穿过第20块木板后的速度变为0，可以把子弹视为质点，已知木板的厚度均为d，认为子弹在各块木板中运动的加速度大小都相同，则下列说法正确的是(　　)
A.子弹穿过前15块木板所用的时间为
B.子弹穿过第15块木板所用的时间为
C.子弹穿过第15块木板时速度为
D.子弹穿过前15块木板的平均速度为v0
答案　B
解析　子弹做匀减速直线运动，根据=2a×20d，可得子弹的加速度大小为a=，将子弹的运动看作反向的初速度为0的匀加速直线运动， 根据=2a×5d，可得穿过第15块木板后的速度v15=，C错误；子弹穿过前15块木板所用的时间为t==，A错误；将子弹的运动看作反向的初速度为0的匀加速直线运动，根据d=v15t'+at'2，可知子弹穿过第15块木板所用的时间t'=，B正确；子弹穿过前15块木板的平均速度==，D错误。
10.(多选)(2025·河北省二模)如图所示，一可视为质点的物体沿一足够长的光滑固定斜面向上滑行，从某时刻开始计时，第一个t内的位移为s，第三个t内的位移为零，下列说法正确的是(　　)
A.第二个t内该物体的位移为
B.该物体的加速度大小为
C.计时起点物体的速度大小为
D.该物体第二个t末的速度大小为
答案　AC
解析　第三个t内的位移为零，说明第3个t内的物体前沿斜面向上滑，后沿斜面向下滑，将上滑过程分为5个，根据初速度为0的匀加速直线运动规律可知，其位移之比为9∶7∶5∶3∶1，故第二个t内的位移为第一个t内位移的一半，即，故A正确；根据第一个t内和第二个t内的位移可知，物体的加速度大小a==，故B错误；利用逆向思维，计时起点物体的速度大小v0=a·t=，故C正确；同理，第二个t末的速度大小v=a·=，故D错误。
11.(2025·湖北省部分重点中学联考)如图，竖直面内固定一大圆环④，小环套在光滑杆上，杆的上下两端分别固定在圆的顶点P和圆周Q点上。圆①②③④共用顶点P，半径之比为1∶2∶3∶4，它们把杆分成四段。小环从顶点P由静止开始沿杆自由下滑至Q点，则小环依次经过这四段的时间之比为(　　)
A.12∶6∶4∶3
B.1∶∶∶2
C.1∶(-1)∶(-)∶(2-)
D.2∶∶∶1
答案　C
解析　如图所示，根据题意，由几何知识PA∶PB∶PC∶PD=PE∶PF∶PG∶PH=1∶2∶3∶4，得PE=EF=FG=GH，小环套在光滑杆上静止滑下做匀加速直线运动，由初速度为零的匀加速直线运动规律可知，通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶t4=1∶(-1)∶(-)∶(2-)，故选C。(共55张PPT)
第一章
运动的描述　匀变速直线
运动的研究
匀变速直线运动的规律
第2课时
1.理解匀变速直线运动的特点，掌握匀变速直线运动的公式，并理解公式中各物理量的含义。
2.会灵活应用运动学公式及推论解题。
目标要求
课时精练
考点一　匀变速直线运动的基本规律及应用
考点二　匀变速直线运动的推论及应用
内容索引
匀变速直线运动的基本规律及应用
考点一
1.匀变速直线运动
沿着一条直线且　　　　不变的运动。如图所示，v-t图线是一条倾斜的直线。
(1)匀加速直线运动：加速度a与速度v方向　　　；
(2)匀减速直线运动：加速度a与速度v方向　　　。
2.匀变速直线运动的基本规律
(1)速度与时间的关系式：v=　　　。
(2)位移与时间的关系式：x=　　　　。
由以上两式联立可得速度与位移的关系式：　　　　　　。
加速度
相同
相反
v0+at
v0t+at2
v2-=2ax
3.公式选用原则
以上三个公式共涉及五个物理量，每个公式有四个物理量。选用原则如下：
不涉及位移，选用v=v0+at；
不涉及末速度，选用x=v0t+at2；
不涉及时间，选用v2-=2ax。
4.正方向的选取
以上三式均为矢量式，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，通常以初速度v0的方向为正方向；当v0=0时，一般以加速度a的方向为正方向。速度、加速度、位移的方向与正方向相同时取正，相反时取负。
　　　 (来自教材改编)滑跃式起飞是一种航母舰载机的起飞方式。如图所示，飞机跑道的前一部分是水平的，跑道尾段略微向上翘起。飞机在尾段翘起跑道上的运动虽然会使加速度略有减小，但能使飞机具有斜向上的速度，有利于飞机的起飞。假设某飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动，前一段的加速度为7.8 m/s2，位移为180 m，后一段的加速度为5.2 m/s2，位移为15 m。求：
(1)飞机离舰时的速度有多大(保留3位有效数字)；
答案　54.4 m/s
　　　已知前一段匀加速直线运动中x1=180 m，a1=7.8 m/s2，
后一段匀加速直线运动中x2=15 m，a2=5.2 m/s2，
由=2a1x1及-=2a2x2
联立解得v2≈54.4 m/s。
(2)飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次飞机着舰时的速度为80 m/s，飞机钩住阻拦索后经过2.5 s停下来。将这段运动视为匀减速直线运动，此过程中飞机滑行的距离是多少。
答案　100 m
　　　飞机着舰时的速度v3=80 m/s，飞机停下来时，速度为零。
由0-v3=-a3t及x3=v3t-a3t2
联立解得x3=100 m或由0-v3=-a3t及0-=-2a3x3
联立解得x3=100 m。
　　　(2025·河北保定市联考)具有“主动刹车系统”的汽车遇到紧急情况时，会立即启动主动刹车。某汽车以72 km/h的速度匀速行驶时，前方45 m处突然出现一群羚羊横穿公路，“主动刹车系统”立即启动，汽车开始做匀减速直线运动，恰好在羚羊通过道路前5 m处停车。求：
(1)汽车在刹车后2 s内和刹车后5 s内的位移大小；
答案　30 m　40 m
　　　依题意，汽车做匀减速直线运动，其位移为x=45 m-5 m=40 m，初速度v0=72 km/h=20 m/s，设加速度大小为a，则有0-=-2ax，解得a=5 m/s2，
汽车的刹车时间为t刹==4 s，刹车后5 s汽车已停止，故刹车后5 s内的位移大小等于刹车距离40 m，刹车后2 s内位移大小x=v0t-at2=30 m。
(2)汽车开始“主动刹车”后第4 s内通过的位移大小。
答案　2.5 m
　　　由“逆向思维”可知汽车开始“主动刹车”后第4 s内通过的位移大小为反方向做匀加速直线运动第1 s内的位移大小，即x'=at'2=2.5 m。
逆向思维在匀减速直线运动中的应用
当物体做匀减速直线运动时，若末速度已知，利用逆向思维，可看作初速度已知的匀加速直线运动，例如匀减速直线运动速度减到零，利用逆向思维看作初速度为零的匀加速直线运动。
　　　(多选)如图，在足够长的光滑固定斜面上，有一物体以大小为10 m/s的初速度v0沿斜面向上运动，物体的加速度大小始终为5 m/s2、方向沿斜面向下，当物体的位移大小为7.5 m时，下列说法正确的是
A.物体运动时间可能为1 s
B.物体运动时间可能为3 s
C.物体运动时间可能为(2+) s
D.物体此时的速度大小一定为5 m/s
√
√
√
　　　以沿斜面向上为正方向，则a=-5 m/s2，当物体的位移为沿斜面向
上7.5 m时，x=7.5 m，由运动学公式x=v0t+at2，解得t1=3 s或t2=1 s，故A、
B正确；
当物体的位移为沿斜面向下7.5 m时，x=-7.5 m，由x=v0t+at2，解得t3=(2
+) s或t4=(2-) s(舍去)，故C正确；
由速度时间公式v=v0+at，解得v1=-5 m/s、v2=5 m/s、v3=-5 m/s，故D错误。
思考　(1)刹车类问题有什么特点，解题时首先应该注意什么？
答案　刹车类问题的特点：物体匀减速到速度为零后停止运动。解题时，判断在所求问题的时间内，物体是否已经停止。
(2)双向可逆类匀减速直线运动有什么特点，解题时应该注意什么？
答案　如沿光滑固定斜面上滑的物体，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变。解题时可分过程列式，也可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义，物体的运动可能出现多解。
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匀变速直线运动的
推论及应用
考点二
1.匀变速直线运动的常用推论
(1)平均速度公式：做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间内初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度。即：=　　　=　　。此公式可以求某时刻的瞬时速度。
(2)位移差公式：连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等。
即：Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=　　　。
不相邻相等的时间间隔T内的位移差xm-xn=　　　　　，此公式可以求加速度。
　
　
aT2
(m-n)aT2
2.初速度为零的匀加速直线运动的四个重要比例式
(1)T末、2T末、3T末、……、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn
=　　　　　　　　。
(2)前T内、前2T内、前3T内、……、前nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…
∶xn=　　　　　　　　。
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、……、第n个T内的位移之比为xⅠ
∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=　　　　　　　　　　。
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn=
　 　　　　。
1∶2∶3∶…∶n
1∶4∶9∶…∶n2
1∶3∶5∶…∶(2n-1)
1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)
　　　(多选)一物体沿直线做匀加速直线运动，已知它在第2 s内的位移为4 m，第3 s内的位移为6 m，则下列判断中正确的是
A.它的加速度大小是2 m/s2
B.它在第2 s末的速度为4 m/s
C.它的初速度为零
D.它在前7 s内的位移是56 m
√
√
　　　根据匀变速直线运动相邻相等时间间隔内位移差的关系x3-x2=aT2，解得加速度大小是a=2 m/s2，故A正确；
第2 s末的速度等于第2 s初至第3 s末的平均速度，即v2== m/s=5 m/s，
v2=v0+at2，则v0=v2-at2=5 m/s-2×2 m/s=1 m/s，故B、C错误；
在前7 s内的位移是x=v0t7+a=1×7 m+×2×72 m=56 m，故D正确。
拓展　在例4中，求解加速度时，可用平均速度法、位移差公式、基本公式法，请尝试用另外两种方法求解加速度。
答案　基本公式法：设第1 s末的速度为v1，第2 s内位移为x1，第3 s内位
移为x2，则有x1=v1t+at2，x2=(v1+at)t+at2，联立解得a=2 m/s2，v1=3 m/s。
平均速度法：1.5 s末的速度v1.5=，2.5 s末的速度v2.5=，a==2 m/s2。
[变式1]　(2025·河南省部分学校联考一模)如图所示是一景区游客观光滑道的示意图。一游客沿倾斜直滑道下滑的过程中，测得通过长x1=2 m的ab段历时1 s，通过bc段历时2 s，通过长x2=8 m的cd段历时1 s，若视游客匀加速直线下滑，则下列说法正确的是
A.游客下滑的加速度大小为2 m/s2
B.游客经过a点时的速度大小为1.5 m/s
C.bc段的长度为12 m
D.游客经过ad段的平均速度大小为4 m/s
√
　　　根据题意可得x2-x1=3aT2，代入数据解得a=2 m/s2，故A正确；
ab阶段有x1=vaT+aT2，代入数据解得va=1 m/s，故B错误；
bc段的长度为xbc=x1+aT2+x1+2aT2=4 m+6 m=10 m，故C错误；
游客经过ad段的平均速度大小为==5 m/s，故D错误。
　　　(2025·山东青岛市期末)高速避险车道是指在高速公路上设置的一种特殊车道，主要用于在紧急情况下帮助失控车辆减速和安全停车，如图甲。图乙是高速避险车道简化图，B、C、D为AE的四等分点。汽车刚冲进避险车道A点时的速度为v，经过t时间到达B，最终在E点停下。汽车在斜面上的运动可视为匀减速直线运动，下列说法正确的是
A.汽车在C点的速度大小为v
B.汽车由D点到E点的时间为(2-)t
C.汽车运动的总时间为(4+)t
D.汽车运动的总位移为(2+)vt
√
　　　由题意可知C点为AE中点，根据匀变速直线运动速度与位移关系
可推出，位移中点速度v中=，结合题意可知C点速度vC==
v，故A错误；
汽车从A点匀减速到E点停下，逆向思维法，可看作汽车从E点做初速度为0的匀加速直线运动到A点，根据匀变速直线运动推论，在连续相等的位移内所用时间关系，有tED∶tDC∶tCB∶tBA=1∶(-1)∶(-)∶(2-)，
因为tBA=t，则tED==(2+)t，故B错误；
　　　综合以上分析，可知运动总时间t总=tED+tDC+tCB+tBA=(4+2)t，故C错误；
根据匀变速直线运动位移与时间关系有xAE=t总，联立以上解得xAE=(2+
)vt，故D正确。
[变式2]　(2024·山东卷·3)如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度L，通过A点的时间间隔为Δt1；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2∶Δt1为
A.(-1)∶(-1)
B.(-)∶(-1)
C.(+1)∶(+1)
D.(+)∶(+1)
√
　　　方法一　基本公式法
木板在斜面上运动时，木板的加速度不变，设加速度为a，木板从静止释
放到下端到达A点的过程，根据运动学公式有L=a
木板从静止释放到上端到达A点的过程，当木板长度为L时，有2L=a
当木板长度为2L时，有3L=a
又Δt1=t1-t0，Δt2=t2-t0
联立解得Δt2∶Δt1=(-1)∶(-1)
故选A。
　　　方法二　比例式法
设木板从静止释放到下端到达A点的时间为t0，木板经过A点时间为Δt1
若木板长度为L，
则t0∶Δt1=1∶(-1) ①
若木板长度为2L，设木板经过A点时间为Δt2
t0∶Δt2=1∶[(-1)+(-)]=1∶(-1) ②
联立①②得Δt2∶Δt1=(-1)∶(-1)
1.应用匀变速直线运动规律解题的基本思路
画过程示意图→判断运动性质→选取正方向→选用公式列方程→
解方程并加以讨论
2.匀变速直线运动问题常用的解题方法
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B C B B (1)4 m/s2　(2)2 m
题号 7 8 9 10 11
答案 C AD B AC C
答案
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1.(2025·新课标卷·14)我国自主研发的CR450动车组试验时的速度可达450 km/h。若以120 m/s的初速度在平直轨道上行驶的CR450动车组，匀减速运行14.4 km后停止，则减速运动中其加速度的大小为
A.0.1 m/s2 B.0.5 m/s2
C.1.0 m/s2 D.1.5 m/s2
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答案
基础落实练
　　　根据速度位移关系0-=-2ax，其中v0=120 m/s，x=14 400 m，代入数据可得减速运动中其加速度的大小a=0.5 m/s2，故选B。
√
2.(2025·广西卷·3)某位同学观察火车进站，火车由初速度为36 km/h，降速到停下，火车的运动看作匀减速直线运动，火车降速运动过程，此同学的脉搏跳动了70下，已知该同学每分钟脉搏跳动60下，则火车共行驶距离约为
A.216 m B.350 m
C.600 m D.700 m
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答案
√
　　　火车运动的时间为t=×70 s=70 s，火车的初速度v0=36 km/h=10 m/s，火车共行驶的距离x=t=×70 m=350 m，故选B。
3.(2025·山东威海市检测)一质点沿x轴运动，其位置坐标x与时间t的关系为x=t2+2t+4，物理量的单位均为国际单位。质点在第2 s末的速度为
A.2 m/s B.4 m/s
C.6 m/s D.8 m/s
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答案
　　 方法1：x=t2+2t+4，对比匀变速直线运动位移与时间关系x=v0t+at2，则v0=2 m/s，a=2 m/s2，根据速度—时间公式有v=v0+at=6 m/s，故选C。
方法2：x=t2+2t+4，求导可知v=2t+2(m/s)，故t=2 s时，v=6 m/s，故选C。
√
4.(2025·北京市海淀区二模)一辆做匀减速直线运动的汽车，依次经过a、b、c三点。已知汽车在ab间与bc间的运动时间均为1 s，ab段的平均速度是10 m/s，bc段的平均速度是5 m/s，则汽车做匀减速直线运动的加速度大小为
A.2.5 m/s2 B.5 m/s2
C.7.5 m/s2 D.10 m/s2
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答案
　　　汽车在ab段，根据平均速度等于中间时刻的瞬时速度有=v0.5 s=
10 m/s，同理可知，在bc段有=v1.5 s=5 m/s，汽车做匀减速直线运动的加速度a==-5 m/s2，则汽车做匀减速直线运动的加速度大小为5 m/s2。故选B。
5.(2025·云南昆明市一模)春节期间，小明和家人在水平桌面上玩推盒子游戏。如图所示，将盒子从O点推出，盒子最终停止位置决定了可获得的奖品。在某次游戏过程中，推出的盒子从O点开始做匀减速直线运动，刚好停在e点。盒子可视为质点，a、b、c、d、e相邻两点间距离均为0.25 m，盒子从d点运动到e点的时间为0.5 s。下列说法正确的是
A.盒子运动的加速度大小为1 m/s2
B.盒子运动到a点的速度大小为2 m/s
C.盒子运动到c点的速度大小为1 m/s
D.盒子从a点运动到e点的时间为2 s
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答案
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　　　由题知，盒子在停止运动前的最后0.5 s内通过的距离为0.25 m，
根据逆向思维法有x0=at2，代入数据有a=2 m/s2，故A错误；
根据逆向思维法有=2a×4x0，解得盒子运动到a点的速度大小为va=2 m/s，故B正确；
根据逆向思维法有=2a×2x0，解得盒子运动到c点的速度大小为vc= m/s
(或vc== m/s)，故C错误；
根据逆向思维法有4x0=at'2，解得盒子从a点运动到e点的时间为t'=1 s(或
根据匀变速直线运动推论，xde∶xae=1∶4，则tde∶tae=1∶2，则tae=1 s)，故D错误。
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答案
6.(2025·青海省名校联盟期中)从足够长的固定光滑斜面顶端O点，每隔Δt=0.5 s由静止分别释放A、B、C三个相同的小球(均可视为质点)，小球沿斜面做匀加速直线运动，某时刻三个小球的位置如图所示，小球A、B间的距离xAB=3.5 m，小球B、C间的距离xBC=2.5 m，求：
(1)小球沿斜面运动的加速度大小a；
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答案
答案　4 m/s2
　　　根据匀变速直线运动规律有
xAB-xBC=a(Δt)2
解得a=4 m/s2
(2)此时小球C距斜面顶端的距离d。
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答案
答案　2 m
　　　设题图中小球B的速度大小为v，
则有v=
v2=2a(d+xBC)
解得d=2 m。
7.(2024·海南卷·5)商场自动感应门如图所示，人走进时两扇门从静止开始同时向左右平移，经4 s恰好完全打开，两扇门移动距离均为2 m，若门从静止开始以相同加速度大小先匀加速运动后匀减速运动，完全打开时速度恰好为0，则加速度的大小为
A.1.25 m/s2 B.1 m/s2
C.0.5 m/s2 D.0.25 m/s2
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答案
能力综合练
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答案
　　　设门的最大速度为v，根据匀变速直线运动的规律可知加速过程和
减速过程的平均速度均为，且时间相等，均为t=2 s，根据x=×4(m)，可得v=1 m/s，则加速度大小a==0.5 m/s2，故选C。
8.(多选)(2025·安徽黄山市二模改编)一辆小汽车在高速公路上正常行驶，驾驶员发现前方较远处有异常情况，立即刹车，车辆匀减速直线行驶经过一段分别标有“0 m”“50 m”“100 m”的标志牌路面。车头到达“0 m”标志牌时开始计时，车头经过“0 m”~“50 m”路段用时2 s，车头经过“50 m”~“100 m”路段用时3 s，下列说法正确的是
A.车头在“0 m”标志牌处速度大小等于 m/s
B.车辆加速度大小等于 m/s2
C.车头在“50 m”标志牌处速度大小为20 m/s
D.车头在1~9 s时间内的位移大小为 m
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答案
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答案
　　　根据题意可得，车头经过0~50 m路段中间时刻的速度大小为v1=
=25 m/s，经过50~100 m路段中间时刻的速度大小为v2== m/s，所以加速度大小为a== m/s2，所以车头在“0 m”标志牌处速度大小等于v0=v1+a= m/s，故A正确，B错误；
车头在“50 m”标志牌处速度大小为v50=v1-a= m/s，故C错误；
由0=v0-at可知刹车用时t=8.5 s，车头在1~9 s时间内的位移为x'=v1t'-at'2=
25×7.5 m-××7.52 m= m，故D正确。
9.(来自教材改编)(2025·四川眉山市检测)子弹以初速度v0垂直射入叠在一起的相同木板，穿过第20块木板后的速度变为0，可以把子弹视为质点，已知木板的厚度均为d，认为子弹在各块木板中运动的加速度大小都相同，则下列说法正确的是
A.子弹穿过前15块木板所用的时间为
B.子弹穿过第15块木板所用的时间为
C.子弹穿过第15块木板时速度为
D.子弹穿过前15块木板的平均速度为v0
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答案
　　　子弹做匀减速直线运动，根据=2a×20d，可得子弹的加速度大
小为a=，将子弹的运动看作反向的初速度为0的匀加速直线运动，根据=2a×5d，可得穿过第15块木板后的速度v15=，C错误；
子弹穿过前15块木板所用的时间为t==，A错误；
将子弹的运动看作反向的初速度为0的匀加速直线运动，根据d=v15t'+at'2，可知子弹穿过第15块木板所用的时间t'=，B正确；
子弹穿过前15块木板的平均速度==，D错误。
10.(多选)(2025·河北省二模)如图所示，一可视为质点的物体沿一足够长的光滑固定斜面向上滑行，从某时刻开始计时，第一个t内的位移为s，第三个t内的位移为零，下列说法正确的是
A.第二个t内该物体的位移为
B.该物体的加速度大小为
C.计时起点物体的速度大小为
D.该物体第二个t末的速度大小为
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答案
　　　第三个t内的位移为零，说明第3个t内的物体前沿斜面向上滑，后沿斜面向下滑，将上滑过程分为5个，根据初速度为0的匀加速直线运
动规律可知，其位移之比为9∶7∶5∶3∶1，故第二个t内的位移为第一
个t内位移的一半，即，故A正确；
根据第一个t内和第二个t内的位移可知，物体的加速度大小a==，故
B错误；
利用逆向思维，计时起点物体的速度大小v0=a·t=，故C正确；
同理，第二个t末的速度大小v=a·=，故D错误。
11.(2025·湖北省部分重点中学联考)如图，竖直面内固定一大圆环④，小环套在光滑杆上，杆的上下两端分别固定在圆的顶点P和圆周Q点上。圆①②③④共用顶点P，半径之比为1∶2∶3∶4，它们把杆分成四段。小环从顶点P由静止开始沿杆自由下滑至Q点，则小环依次经过这四段的时间之比为
A.12∶6∶4∶3
B.1∶∶∶2
C.1∶(-1)∶(-)∶(2-)
D.2∶∶∶1
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　　　如图所示，根据题意，由几何知识PA∶PB∶PC
∶PD=PE∶PF∶PG∶PH=1∶2∶3∶4，得PE=EF=FG=
GH，小环套在光滑杆上静止滑下做匀加速直线运动，由初速度为零的匀加速直线运动规律可知，通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶t4=1∶(-1)∶(-)∶(2-)，故选C。
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