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江苏省苏州市相城区2025-2026学年九年级数学模拟试卷（一）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-2的倒数是（）
A. -2 B. C. D. 2
2.如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
3.某中学规定九年级学生的学期数学综评成绩满分为130分，其中平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占．小苏同学的三项成绩如下表所示，则小苏同学这学期的数学综评成绩是（ ）
项目 平时 期中 期末
成绩
A. B. C. D.
4.已知点，在一次函数的图像上，则下列关于，大小关系的判断正确的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
5.如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（ ）
A. B. C. D.
6.已知抛物线向左平移个单位长度后，得到的抛物线正好与原抛物线关于轴对称，则的值是（ ）
A. - B. C. - D.
7.《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为株，则符合题意的方程是 　　
A. B. C. D.
8.定义：若二次函数的图像与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数是勾股二次函数，且其图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．下列结论：①，②，③若，则，④若该函数图象的对称轴为直线，则，其中正确的是（ ）
A. ①④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.年月日晚间，中国人民银行发布年度一季度金融统计数据显示，至月末我国人均存款约元，将用科学记数法表示为 ．
10.因式分解： .
11.如图，将一个棱长为的正方体的表面涂上绿色，再把它分割为棱长为的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体表面没有涂色的概率是 ．
12.用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好围成一个圆锥侧面，则圆锥底面圆的半径为 ．
13.如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为 ．
14.设是方程的两个根，则 ．
15.如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有两个交点时，则的取值范围为 ．
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，，点D为BC边上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE＜DG，且AG:CG＝3:1，则 ．
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
17.计算：．
18.解一元一次不等式组：
四、解答题：本题共9小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
先化简，再求值：，其中是方程的解．
20.(本小题6分)
在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了如下的频数分布表和统计图．
分组 频数 频率
第一组
第二组
第三组
第四组
请你根据图表中的信息完成下列问题：
(1) 频数分布表中 ， ，并将统计图补充完整；
(2) 如果该校七年级共有女生人，估计仰卧起坐能够一分钟完成或次以上的女学生有多少人？
21.(本小题6分)
校园文化艺术节中，九年级某班有名男生和名女生获得美术奖，另有名男生和名女生获得音乐奖．
(1) 从获奖的名学生中随机选取名学生参加颁奖大会，选中男生的概率是 ；
(2) 分别从获得美术奖和音乐奖的学生中随机选取名学生参加颁奖大会，请用画树状图法或列表法求选中名男生名女生的概率．
22.(本小题6分)
如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1) 求证：；
(2) 若，求的长．
23.(本小题6分)
在如图所示的平面直角坐标系中，矩形的边，，是的中点，过点的反比例函数的图象与边交于点，连接，，直线交轴于点．
(1) 求值和直线的函数表达式；
(2) 为轴上一点，的面积与的面积相等，请求出点的坐标．
24.(本小题7分)
家用投影仪逐步被大众所喜爱．图①是投影仪投屏情景图，图②是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角．（参考数据：，，）
(1) 求的长度；（结果保留整数）
(2) 求光源投屏最高点与地面间的距离．（结果保留根号）
25.(本小题8分)
如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，过点作⊙的切线，与的延长线交于点．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的值．
26.(本小题8分)
如图，和是两条互相垂直的城市道路，两条道路相交于点．甲、乙两人分别从点，出发，分别去往，两地，，甲、乙两人在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．甲上午出发，在处恰巧绿灯，上午到达地．乙上午出发，在处因红灯等待1分钟后继续行驶，上午到达地．设甲的行驶速度为，与点的距离为；乙的行驶速度为，与点的距离为．
根据以上信息，解决下列问题：
(1) ；
(2) 已知，，．
①求和的值；
②从上午开始计时，经过的时长记为分钟．那么在乙的行驶过程中，当时，求的值．
27.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．
(1) 求平移后新抛物线的表达式；
(2) 直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．
①如果小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】
10.【答案】(1+x)(1-x)
11.【答案】
12.【答案】10
13.【答案】18
14.【答案】9
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：
．

18.【答案】解：
由①得：，
由②得：，
∴该不等式组的解集为：．

19.【答案】解：
解方程得，
∵原分式有意义时分母不能为，
∴，
∵是方程的解
∴
将代入得：原式．

20.【答案】【小题1】
【详解】解：由统计图可知，
总人数为，
则，

【小题2】
解：（人）
答：估计仰卧起坐能够一分钟完成或次以上的女学生有121人．

21.【答案】【小题1】

【小题2】
解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有6种等可能的结果数，其中刚好选中名男生名女生的结果数为3，
所以刚好是一男生一女生的概率为．

22.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
【小题2】
解：∵，
由（1）可知：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∴的长为．

23.【答案】【小题1】
解：矩形的边，，
，，．
是的中点，
，
将点代入得，，
解得，，
反比例函数解析式为，
当时，即，解得，，
．
设直线的函数表达式为，
将和代入得，，
解得，
直线的函数表达式为．
【小题2】
解：直线的函数表达式为，
当时，，即．
由题意可知，的面积为，且的面积与的面积相等，
的面积为．
设，
，
的面积可表示为，
即，
解得，或，
点的坐标为或．

24.【答案】【小题1】
解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
则，，，
在中，，，
∴，
∵，
∴．
【小题2】
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴光源投屏最高点与地面间的距离约为．

25.【答案】【小题1】
连接，如图，
则，
∴，
∵过点作的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，，，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
在中，，
∵，
∴．

26.【答案】【小题1】

【小题2】
解：①∵，，
∴，
∴，
∴，；
②根据题意作出与，与的函数图象，如图：
设时的与的函数关系式为，
由图象可知，函数过点与点，
则有，解得，
∴；
同理可得时与的函数关系式为；
同理可得时与的函数关系式为；
令，解得，满足的取值范围，
令，解得，满足的取值范围，
综上，当时，求的值为或27．

27.【答案】【小题1】
解：设平移抛物线后得到的新抛物线为，
把和代入可得：
，
解得：，
∴新抛物线为；
【小题2】
解：①如图，设，则，
∴，
∵小于3，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，
由题意可得：在的右边，当时，
∴轴，
∴，
∴，
由平移的性质可得：，即；
如图，当时，则，
过作于，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，
解得：（不符合题意舍去）；
综上：；

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