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2025-2026学年重庆市江津中学高二（下）第二阶段质量检测数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设集合A={x||x-1|＜2}，，则（ RA）∩B=（　　）
A. （-1，1） B. [1，3）
C. （-∞，-1]∪[1，+∞） D. [3，4]
2.函数的定义域为R的充要条件是（　　）
A. B. 且t≠0 C. D.
3.某校办学教育成果展活动中，安排4名学生志愿者到3个不同的服务点开展服务工作，且每人只去一个服务点，要求每个服务点至少有一名学生志愿者，则不同的安排方式共有（　　）
A. 34种 B. 18种 C. 36种 D. 72种
4.已知关于x的方程x3-3x=m至多有两个不同实数解，则实数m的取值范围是（　　）
A. （-2，2） B. （-∞，-2]∪[2，+∞）
C. [-2，2] D. （-∞，-2）∪（2，+∞）
5.某校高二年级男生1000米跑成绩近似服从正态分布X～N（225，σ2）（σ＞0）.体育组规定：用时不超过205秒的学生可获得“体能满分”证书，这部分学生约占全年级的15%.据此估算，成绩在205秒到225秒之间的学生占比约为（　　）
A. 25% B. 30% C. 35% D. 40%
6.当x=1时，函数取得最大值-2，则f′（4）=（　　）
A. -1 B. C. D. 1
7.已知函数f（x）=xex-ax,若函数f（x）在区间（-∞，0]上单调递增，且曲线y=f（x）在区间[-1，0]上任意一点处的切线斜率均不大于2，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. [-2，-1） C. （-∞，-1） D.
8.已知e是自然对数的底数，π是圆周率，下列不等式中，π3＜3π，e3＜3e，πe＜eπ，正确的个数为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知正数a,b满足2a+b=1，则（　　）
A. ab的最大值为 B. 4a2+b2的最小值为
C. 的最小值为4 D. 4a+2b+1的最小值为4
10.高二学情统计显示：课后自主学习对数学成绩提升作用显著，高二学生课后自主学习的概率为，设事件A：学生课后自主学习，：学生课后未自主学习；事件B：第二阶段考试数学成绩达标，：第二阶段考试数学成绩未达标.已知，，则下列说法正确的是（　　）
A. ， B. P（B|）+P（|A）=1
C. D.
11.对于集合A中的任意两个元素x,y,若实数d（x,y）同时满足以下三个条件：
①“d（x,y）=0”的充要条件为“x=y”；
②d（x,y）=d（y,x）；
③ z∈A，都有d（x,y）≤d（x,z）+d（y,z）.
则称d（x,y）为集合A上的距离，记为dA.则下列说法正确的是（　　）
A. d（x,y）=|x-y|为dR
B. d（x,y）=|sinx-siny|为dR
C. 若A=（0，+∞），则d（x,y）=|lnx-lny|为dA
D. 若d为dR，则ed-1也为dR（e为自然对数的底数）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知展开式中的第4项是一次项，则展开式的各项系数和为 .
13.已知正数x,y满足x+y=1，则的最小值为 .
14.已知函数f（x）=xex的图象与函数g（x）=ax+alnx的图象有两个交点，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某景点在2024年2月10日至24日（正月初一至正月十五）期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目.前9场的观众人数（单位：万）与场次的统计数据如表所示：
场次编号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
观众人数y（单位：万） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07
经计算可得：，，.
（1）通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；
（2）若该烟花秀节目分A、B两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B两个等次票的情况，其中60位男性观众中有15位观众购买了B等票；40位女性观众中有5位观众购买了B等票.请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？
性别 购买情况 合计
购买A等票 购买B等票
男性观众 60
女性观众 40
合计 100
附：
①对于一组数据（（x1，y1），（x2，y2），…，（x ，y ），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；②.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
16.(本小题15分)
已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx的极大值是20，其导函数y=f'（x）的图象经过点（2，0），（4，0）.如图所示.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求a,b,c的值；
（3）若函数y=f（x）-m有三个零点，求m的取值范围.
17.(本小题15分)
某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元；
方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费t元；
制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表：
维修次数 0 1 2
机器台数 10 40 50
以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后3年内共需维修的次数.
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t的取值范围.
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=f（x）+ax,若x1，x2为g（x）的两个极值点，求g（x1）+g（x2）的取值范围.
19.(本小题17分)
三个互不相同的函数y=f（x），y=g（x）与y=h（x）在区间D上恒有f（x）≥h（x）≥g（x）或恒有f（x）≤h（x）≤g（x），则称y=h（x）为y=f（x）与y=g（x）在区间D上的“分割函数”.
（1）设h1（x）=4x,h2（x）=x+1，试分别判断y=h1（x）、y=h2（x）是否是y=2x2+2与y=-x2+4x在区间上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数，使得该函数是y=2x2+2与y=4x在区间（-∞，+∞）上的“分割函数”；
（3）若[m,n] [-2，2]，且存在实数k,b,使得y=kx+b为y=x4-4x2与y=4x2-16在区间[m,n]上的“分割函数”，求n-m的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AB
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】59049
13.【答案】9
14.【答案】（e,+∞）
15.【答案】解：（1）由表格中的数据可得，
因为，，，
所以，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为；
（2）根据题意，得到2×2的列联表，如下表所示：
性别 购买情况 合计
购买A等票 购买B等票
男性观众 45 15 60
女性观众 35 5 40
合计 80 20 100
零假设为H0：观众的性别与购票情况无关，
根据列联表中的数据，经计算可得，
根据小概率值α=0.050的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
所以认为H0成立，即认为观众的性别与购票情况无关．
16.【答案】解：（1）根据图象可知x∈（2，4）时，f'（x）＜0，即f（x）单调递减；
x∈（-∞，2）和（4，+∞）时，f'（x）＞0，即 f（x）单调递增；
故f（x）单调递减区间是（2，4）；f（x）单调递增是（-∞，2）和（4，+∞）．
（2）由已知可得：f'（x）=3ax2+2bx+c,x=2和x=4是f'（x）=0的两个根，
由（1）可得f（x）的极大值在x=2处取得，故，
解得：a=1，b=-9，c=24．
（3）由（2）知f（x）=x3-9x2+24x,f（x）的极小值为：f（4）=16
结合f（x）的单调性可作其草图，如下所示
函数y=f（x）-m有三个零点等价于y=m与y=f（x）有三个交点，所以m∈（16，20）．
17.【答案】解：（1）由题意得X的取值为0，1，2，3，4，
则，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
（2）记选择方案一所需费用为Y1元，
则当X≤1时，Y1=3000，
当X=2时，Y1=4000，
当X=3时，Y1=5000，
当X=4时，Y1=6000，
则Y1的分布列为：
Y1 3000 4000 5000 6000
P
，
记选择方案二所需费用为Y2元，
则X≤2时，Y2=4000，
X=3时，Y2=4000+t,
X=4时，Y2=4000+2t,
则Y2的分布列为：
Y2 4000 4000+t 4000+2t
P
，
因为E（Y2）＜E（Y1），
所以，解得t＜900，
即t的取值范围为[0，900）．
18.【答案】当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）和（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减
19.【答案】解：（1）因为2x2-4x+2=2（x-1）2≥0恒成立，且4x-（-x2+4x）=x2≥0恒成立，所以当x∈R时，2x2+2≥4x≥-x2+4x恒成立，
故y=h1（x）是y=2x2+2与y=-x2+4x在（-∞，+∞）上的“分割函数”；
又因为x+1-（-x2+4x）=x2-3x+1，当x=0与1时，其值分别为1与-1，
所以h2（x）≥-x2+4x与h2（x）≤-x2+4x在（-∞，+∞）上都不恒成立，
故h2（x）不是y=2x2+2与y=-x2+4x在（-∞，+∞）上的“分割函数”；
（2）设y=ax2+cx+d（a≠0）是y=2x2+2与y=4x在区间（-∞，+∞）上的“分割函数”，
则2x2+2≥ax2+cx+d≥4x对一切实数x恒成立，
又因为（2x2+2）′=4x,当x=1时，它的值为4，
可知y=2x2+2的图象在x=1处的切线为直线y=4x,
它也是y=ax2+cx+d的图象在x=1处的切线，
所以，可得，
所以2x2+2≥ax2+（4-2a）x+a≥4x对一切实数x恒成立，
即（2-a）（x-1）2≥0且a（x-1）2≥0对一切实数x恒成立，
可得2-a≥0且a＞0，即0＜a≤2，
又a=2时，y=ax2+（4-2a）x+a与y=2x2+2为相同函数，不合题意，
故所求的函数为y=ax2+（4-2a）x+a（0＜a＜2）；
（3）关于函数y=x4-4x2，令y′=8x3-8x=0，可得x=0，，
当x∈（-∞，-）与x∈（0，）时，y′＜0；当x∈（-，0）与x∈（，+∞）时，y′＞0，
可知是函数y=x4-4x2极小值点，0是极大值点，
该函数与y=4x2-16的图象如图所示：
由y=kx+b为y=x4-4x2与y=4x2-16在区间[m,n]上的“分割函数”，
故存在b0使得b≤b0且直线y=kx+b0与y=x4-4x2的图象相切，并且切点横坐标t∈[-2，-]∪[，2]，
此时切线方程为y=（4t3-8t）x+4t2-3t4，
即k=4t3-8t,b0=4t2-3t4，
设直线y=kx+b与y=4x2-16的图象交于点（x1，y1），（x2，y2），
则由，可得4x2-kx-16-b=0，
所以|x1-x2|==≤===（s=t2∈[2，4]），
令k（s）=s3-7s2+8s+16，s∈[2，4]，
则k′（s）=3s2-14s+8=（3s-2）（s-4）≤0，当s=4时，k′（s）=0，
所以k（s）在[2，4]上单调递减，
所以k（s）max=k（2）=12，
所以|x1-x2|max=2，
所以n-m的最大值为2．
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