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2025-2026学年上海市松江区第二中学高二（下）学情调研数学试卷（5月份）
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.给出下列4个命题：
①若事件A和事件B互斥，则P（A∩B）=P（A）P（B）；
②数据2，3，6，7，8，10，11，13的第70百分位数为10；
③已知y关于x的回归方程为y=-0.5x+0.7，则样本点（2，-1）的残差为-0.7；
④若随机变量X的方差为，则D[5X+2]=12.
其中正确命题的序号为（　　）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
2.“x＞y＞0”是“”的（　　）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
3.已知A，B为圆M：（x-4）2+y2=9的某直径的两端点，动点Q在抛物线y2=2x上，则的最小值为（　　）
A. B. C. 9 D.
4.已知定义在R上的函数f（x），g（x）的导数满足|f'（x）|≤g'（x），给出两个命题：
①对任意x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|≤|g（x1）-g（x2）|；
②若g（x）的值域为[m,M]，f（-1）=m,f（1）=M，则对任意x∈R都有f（x）=g（x）.
则下列判断正确的是（　　）
A. ①②都是假命题 B. ①②都是真命题
C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是真命题，②是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|y=log2026x}，则A∩B= .
6.曲线y=cos2x在点处的切线斜率为 .
7.等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且3S5-5S3=15，则a6= .
8.将序号分别为1，2，3，4的4张参观券全部分给3人，每人至少1张，则不同的分法种数是 .
9.已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤-2）=P（X≥2a-2），则（ax-2）5展开式中各项系数之和为 .
10.已知x＞0，y＞0，且2x 8y=2，则的最小值为 .
11.为了增强法治观念，甲、乙两位老师在A，B，C，D，E，F共6所学校中各自选1所学校开展普法讲座.在甲、乙选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择A学校开展讲座的概率为 .
12.扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，守门员也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且守门员即使方向判断正确，也有的可能性扑不到球.假设每次点球，守门员的表现，罚点球的球员的表现都是独立的，不考虑其它因素，在一次5轮点球大战中，守门员至少扑到1个点球的概率为 （答案精确到0.001）.
13.采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为 .
14.已知F1、F2是双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的左右焦点，l是Γ的一条渐近线，以F2为圆心的圆与l相切于P.若双曲线Γ的离心率为3，则sin∠PF1F2= .
15.已知a∈R，若不等式（lnx-1）（lnx-ax）＞0的解集中有且仅有两个整数，则a的最小值为 .
16.对数集An中的元素先按照从小到大的顺序排列得到x1，x2，x3，…，xn，定义为其“交替和”，数集An的所有非空子集的交替和的和为“交替总和”.已知，Ak={f（1），f（2），f（3），…，f（k）}，则A12的交替总和为 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知集合，集合B={x|x2-ax+3＜0}.
（1）当a=4时，求A∪B；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围.
18.(本小题14分)
在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且侧棱BB1⊥底面ABCD，BB1=BC=2B1C1=8，O，E，F分别是BD，CB1，CC1的中点.
（1）求证：平面OEF∥平面AB1C1；
（2）求直线EF到平面AB1C1的距离.
19.(本小题14分)
某商场为了解顾客购买AI手机的意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表.
购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计
男性顾客 45 65 110
女性顾客 56 34 90
总计 101 99 200
（1）根据表中数据，判断是否有95%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由；
（2）从这110位男性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）；
（3）为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励300元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学期望.
参考公式及数据：①，其中n=a+b+c+d.
②P（χ2≥6.635）≈0.01，P（χ2≥5.024）≈0.025，P（χ2≥3.841）≈0.05，P（χ2≥2.706）≈0.1.
20.(本小题18分)
已知椭圆Γ：，动直线l与椭圆Γ交于A、B两点.
（1）求椭圆Γ的焦距和离心率；
（2）设，O为坐标原点，若四边形OABE为平行四边形，求直线l的方程；
（3）若动直线l经过点P（0，1），则y轴上是否存在定点Q（不同于点P），使得直线QA与直线QB的倾斜角总互补？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
21.(本小题18分)
已知定义域均为D的函数y=f（x），y=g（x），S是R的非空子集.若对任意x1，x2∈D，当x1-x2∈S时，总有f（x1）-g（x2）∈S，则称y=f（x）是y=g（x）的一个“S关联函数”.
（1）求y=sinx的所有{1}关联函数；
（2）若是其自身的一个（0，+∞）关联函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=f（x）是其自身的关联函数，证明：“f（x）是{1}关联，且是[0，+∞）关联”的充要条件是“f（x）是[1，2]关联”.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】{1，2，3}
6.【答案】-
7.【答案】7
8.【答案】36
9.【答案】1
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】0.445
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】512e2
17.【答案】A∪B={x|-1＜x＜3}
18.【答案】证明：如图所示，
连接AC，则O是AC的中点，E是B1C的中点，
所以OE∥AB1，AB1 平面AB1C1，OE 平面AB1C1，
所以OE∥平面AB1C1，又F是CC1的中点，所以EF∥B1C1，
因为B1C1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1，又EF∩OE=E，OE 平面OEF，EF 平面OEF，
所以平面OEF∥平面AB1C1
19.【答案】有95%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关 0.54
20.【答案】焦距为2， 或 存在定点Q（0，4）
21.【答案】y=h（x）=sin（x-1）+1 先证明必要性：“f（x）是{1}关联，且是[0，+∞）关联” “f（x）是[1，2]关联”．
由f（x）是{1}关联，可得，f（x+1）=f（x）+1，∴f（x+n）=f（x）+n，n∈Z，
又因为f（x）是[0，+∞）关联，
所以 x1，x2∈D且x2≥x1，总有f（x2）≥f（x1）成立，即f（x）是增函数，
若1≤x2-x1≤2，则1+x1≤x2≤2+x1，所以f（1+x1）≤f（x2）≤f（2+x1），
即f（x1）+1≤f（x2）≤f（x1）+2，则1≤f（x2）-f（x1）≤2，
所以f（x）是[1，2]关联；再证明充分性：“f（x）是[1，2]关联” “f（x）是{1}关联，且是[0，+∞）关联”．
因为f（x）是[1，2]关联，所以任取x2-x1∈[1，2]，都有f（x2）-f（x1）∈[1，2]成立，
即满足1≤x2-x1≤2，都有1≤f（x2）-f（x1）≤2，
下面用反证法证明：f（x+1）-f（x）=1，
假设f（x+1）-f（x）＞1，则f（x+2）-f（x）=f（x+2）-f（x+1）+f（x+1）-f（x）＞2，
这与满足1≤x2-x1≤2，都有1≤f（x2）-f（x1）≤2相矛盾，
所以假设不成立，所以f（x+1）-f（x）≤1，
又由f（x）是[1，2]关联，当x2-x1=1时，有f（x+1）-f（x）∈[1，2]，即f（x+1）-f（x）≥1．
所以f（x+1）-f（x）=1成立，即f（x）是{1}关联，
再证明f（x）是[0，+∞）关联，
任取x2-x1∈[0，+∞），则存在n∈N，使得x2-x1∈[n，n+1]，n∈N，
因为1≤x2-（n-1）-x1≤2，所以f[x2-（n-1）]-f（x1）=f（x2）-（n-1）-f（x1）∈[1，2]，
即f（x2）-f（x1）∈[n，n+1] [0，+∞），所以f（x）是[0，+∞）关联．
综上所述：“f（x）是{1}关联，且是[0，+∞）关联”的充要条件是“f（x）是[1，2]关联”
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